Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4
Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen perusominisuuksist......................................... 6.3 Rj-rvo................................................................4 Funktioiden ksvunopeuksist.............................................. 6.5 Jtkuvuus............................................................... 9.6 Suljetull välillä jtkuvien funktioiden ominisuuksi...........................7 Tsinen jtkuvuus....................................................... 3 Derivtt................................................................... 5. Derivtn määritelmä.................................................... 5. Derivointisääntöjä........................................................ 8.3 Prmetrimuodoss olevn j implisiittifunktion derivointi...................... 3.4 Usempikertiset derivtt................................................ 3.5 Antiderivtt j sen määrittäminen......................................... 3.5. Rtionlifunktion ntiderivtt..................................... 35.6 Differentililskennn välirvoluse........................................ 37 3 Differentililskennn sovelluksi............................................. 4 3. l Hospitlin sääntö....................................................... 4 3. Käyrän tngentti......................................................... 4 3.3 Funktion kulun tutkiminen................................................. 4 3.4 Optimointitehtävät....................................................... 43 3.5 Muutoksen rviointi...................................................... 44 3.6 Yksinkertiset differentiliyhtälöt.......................................... 44 3.7 Suorviivinen tsisesti kiihtyvä liike....................................... 45 3.8 Yhtälön likimääräinen rtkiseminen........................................ 46 4 Tylorin polynomit........................................................... 5 4. Korkemmn steen pproksimtiot........................................ 5 4. Ordo-merkintä........................................................... 54 4.3 Rj-rvojen määrittäminen................................................ 56 5 Integrlit................................................................... 57 5. Riemnn-integrli Drboux n tvll....................................... 58 5. Funktioiden integroituvuus................................................. 6 5.3 Riemnn-summt........................................................ 6 5.4 Integrlien perusominisuuksi............................................ 63 5.5 Anlyysin perusluse..................................................... 65 5.6 Integrlin rvon määrääminen............................................. 67 3
4 Sisältö 6 Integrlin sovelluksi........................................................ 7 6. Tylorin polynomit....................................................... 7 6. Pint-l................................................................ 7 6.. xy-muotoinen käyrän yhtälö......................................... 7 6.. Npkoordinttimuotoinen käyrän yhtälö............................. 73 6..3 Prmetrimuotoinen käyrän yhtälö.................................... 73 6.3 Krenpituus............................................................ 74 6.3. Prmetrimuoto................................................... 74 6.3. xy-muoto......................................................... 75 6.3.3 Npkoordinttimuoto............................................. 76 6.4 Tilvuus................................................................ 76 6.5 Summien rviointi........................................................ 77 7 Kompleksifunktioiden differentili- j integrlilskennst..................... 8 7. Kompleksifunktioiden derivointi............................................ 8 7. Integrointi yli käyrän...................................................... 83 8 Integrlikäsitteen ljennuksi............................................... 87 8. I ljin epäoleellinen integrli.............................................. 87 8. II ljin epäoleellinen integrli............................................. 9 8.3 Yleinen epäoleellinen integrli............................................ 93 8.4 Integrlin määrittelemistä funktioist....................................... 95
Luku Rj-rvo j jtkuvuus. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä Mtemtiikn historin tutkimus on osoittnut, että jo muiniset kreikkliset, ti inkin yksi heistä, Arkhimedes, tunsi integrlilskennn lähestulkoon siinä muodoss, joksi Newton j Leibnitz sen kehittivät noin khdeksntoist vuosist Arkhimeden ikojen jälkeen. Arkhimedes kykeni kehittämänsä integrlilskennn perusteell selvittämään määrittämään pint-loj j tilvuuksi jotk olivt iemmin olleet tvoittmttomiss. On hyvinkin mhdollist, että jotkut Arkhimedeen tieteellisistä svutuksist eivät ole säilynyt nykypäivään sti, mutt säilyneidenkin perusteell Arkhimedes oli selvästi ntiikin jn merkittävin j yksi kikkien ikojen merkittävimmistä tieteen j tekniikn kehittäjistä. Vikk Arkhimedes olikin todellinen urnuurtj mtemtiikn lll, on mtemtiikk hänekin ikojens jälkeen kehittynyt huomttvsti. Arkhimedeen tp lske integrlej oli vrsin työläs j prempi menetelmä stiin vst differentililskennn myötä. Miksi Arkhimedes, liki kksi vuosituhtt iklisin edellä olev mtemtikko ei sitten kehittänyt myös differentililskent? Vstus jäänee ikuisiksi joiksi lähestulkoon spekultion vrn, mutt yksi tärkeä syy lienee, että Arkhimedeen kulttuuripiirissä mtemtiikk perustui hyvin suurelt osin geometristen käsitteiden vrn, j täten negtiivisten suureiden käsite oli tuntemton. Differentililskent edellyttää yhtä lill negtiivisten kuin positiivistenkin suureiden hllint, j ilmeisesti tätä psykologist kynnystä ei edes Arkhimedeen kltinen mestri kyennyt murtmn. Differentililskent edelsi, j voisi lähestulkoon sno edellytti, René Descrtesin uruurtv lgebr j geometri yhdistävä työ. Muit minitsemisen rvoisi uuden jn mtemtiikn pioneerej olivt Blise Pscl j Pierre Fermt. Integrli-j differentililskent yhdessä muodostvt mtemttisen koneiston, joll voidn hyvin tehokksti kuvt luonnontieteissä, erityisesti fysiikss esiintyviä ilmiöitä. Jos tämän koneiston oleellisimmt piirteet pitäisi esittää erittäin tiiviisti, voisi sno että integrlilskent sllii suureen käsittelemisen pistemäisissä osiss j näiden osien yhdistämisen, kun ts differentililskent sllii suureen j sen muutoksen smnikisen käsittelyn. Kokonisuuten differentili- j integrlilskent syntyi 6-luvun jälkipuoliskoll Newtonin j Leibnizin töiden myötä. Newtonin motivtio uudenlisen mtemtiikn kehittämiseen lähti trpeest kuvill relimilmn ilmiöitä kuten tivnmekniikk j esittää täsmällisesti mekniikss tärkeää käsitettä suureen muutosnopeus. Leibniz ei teorins muodostessn korostnut fysiklist lähtökoht. Huolimtt erilisist filosofisist lähtökohdist Newtonin j Leibnizin työt johtivt smnlisiin mtemttisiin käsitteisiin j näiden myötä smnliseen teorin. Jälkikäteen rvioiden voidn todet, että kummnkn versio differentili- j integrlilskennst ei täytä nykypäivän vtimuksi loogisesti ukottomst mtemttisest teorist. Tämä johtuu siitä, että 6-luvun lopull reliluvun käsite ei ollut niin hyvin jäsentynyt kuin nykyisin. Newtonin j Leibnizin ikoin puhuttiin äärettömän pienistä suureist, ns. infinitesimleist, joiden vull perusteltiin sekä differentiliettä integrlilskennn tuloksi. Tällä lähestymistvll svutettiin merkittäviä tuloksi, mutt sen looginen htruus hvittiin jo vrhin: Relilukujen joukoss ei ole infinitesimlej, joihin Newtonin j Leibnizin ikinen differentili- j integrlilskent perustuu. Newton j Leibniz siis perustivt työnsä käsitteille, joist ei senikuisen tietämyksen mukn voitu puhu täsmällisesti. Loogisesti tyydyttävä teori differentili- j integrlilskennst stiin vst 8-luvull Cuchyn j Weierstrssin töiden myötä. 5
6 Rj-rvo j jtkuvuus On kuitenkin korostettv, että Newtonin j Leibnizin j heidän iklistens tp lähestyä differentili- j integrlilskent infinitesimlien vull on melko intuitiivinen j helposti ymmärrettävä. Lisäksi infinitesimlej käyttävän lähestymistvn kutt on stu merkittäviä tuloksi, jotk on myöhemmin voitu täsmällisemmän lähestymistvn puitteiss osoitt oikeiksi. Siksi on mhdollist jtell, että epätäsmällisen, infinitesimleihin tukeutuvn iden tkn olisi jokin loogisesti täsmällinen lähestymistp j tällinen tp löydettiinkin 96-luvull. Luomll ns. epästndrdin nlyysin Abrhm Robinson osoitti, miten infinitesimlej voidn käsitellä loogisesti tyydyttävällä tvll. Robinsonin tekniikk vtii kuitenkin huomttvsti vnkemmn lgebrllisen pohjn kuin Weierstrssin 8-lukulinen ε δ -tekniikk, eikä Robinsonin lähestymistp siksi käytetä yleensä. Myös tämän kurssin käsitteet esitetään Weierstrssin tvll. Leibnizin käyttöönottmi merkintöjä pidetään yleisesti selkeämpinä kuin Newtonin, mutt myös Newtonin merkintöjä käytetään edelleen etenkin fysiikss. Logiikn näkökulmst ktsoen differentililskennn kehittämiseksi trvitsee määritellä inostn yksi uusi käsite, nimittäin rj-rvo. Peritteess myös integrlilskent sellisess muodoss kuin tätä kurssikokonisuutt vrten trvitn, olisi mhdollist rkent tämän rj-rvokäsitteen päälle, mutt integrlien ominisuuksi on helpompi käsitellä, kun käytetään toisenlist rj-rvokäsitettä.. Relilukujen perusominisuuksist Differentili- j integrlilskennn klssisess esityksessä reliluvut j relifunktiot kuuluvt kikkein keskeisimpään käsitteistöön. Siinä missä kokonisluvut muodostvt selvästi toisistn eroteltviss olevn, diskreetin joukon, jtelln relilukujen täyttävän suorn ukottomsti vieläpä niin, että lukusuorn pisteet j reliluvut vstisivt toisin bijektiivisesti. Tästä juontkin yleinen tp kutsu relilukuj pisteiksi. Relilukujen ominisuuksist voidn oppi oleellisi piirteitä trkstelemll luksi tietyssä mielessä hiemn villinisemp osjoukko, nimittäin rtionlilukuj. Plutetn mieleen rtionlilukujen joukko Q = { b Z,b Z \ {}}. Smistmll murtoluvut kokonisluvun knss voidn ktso, että Q sisältää kikki kokonisluvut, mutt näiden lisäksi myös pljon muit lukuj. Kokonislukujen grfisess esityksessä lukusuorn setetn pisteet ykkösen välein, mutt rtionlilukujen esitys on mutkikkmpi, sillä rtionliluvut täyttävät lukusuorn tiheästi. Tämä voidn nähdä siitä, että khden rtionliluvun b j d c välissä on in näiden keskirvo b + c d d + bc = bd. Tämän vuoksi ei ole olemss esimerkiksi pienintä positiivist rtionliluku, sillä rtionliluvust q päästään in pienempään lukuun jkmll q = b khti: < q < q. Toislt ts olip q = b miten pieni positiivinen rtionliluku hyvänsä, sdn tästä kokonisluvull kertomll miten suuri luku hyvänsä: Nb q = Nb b = N N. Rtionlilukujen hyviin ominisuuksiin kuuluu äärellinen esitys: jokinen rtionliluku voidn esittää nimittäjän j osoittjn vull, jotk kumpikin puolestn voidn esittää äärellisenä numerojonon. Äärellisen esityksen vuoksi rtionliluvut ovt kuitenkin ominisuuksiltn rjoitettuj: ne eivät täytä lukusuor ukottomsti. Esimerkki. Todistetn, että yhtälöllä x = ei ole rtkisu rtionlilukujen joukoss Q. Tehdään vstoletus, jonk mukn olisi sellinen supistetuss muodoss olev rtionliluku m n, että ( m n ) =. Tästä seur että m = n, ts. kokonisluvun m neliö on prillinen. Tällöin myös m on prillinen, sillä prittomien lukujen neliöt ovt prittomi. Kosk m on prillinen, voidn kirjoitt m = m (m Z) j sijoittmll tämä yhtälöön m = n sdn 4m = n, ts. m = n. Smoin kuin edellä, voidn tästä päätellä, että n on prillinen, siis n = n. Tämä on vstoin oletust, jonk mukn m n oli supistetuss muodoss. Huomutus. Se, että yhtälöllä x = ei ole rtionlijuuri, seur myös siitä, että polynomin x kikki mhdolliset rtionlinollkohdt ovt joukoss {±,±} (vrt. Insinöörimtemtiikk A) Lukuj jotk eivät ole rtionlisi, snotn irrtionliluvuiksi, joten edellisen esimerkin snom voidn puke muotoon: on irrtionliluku. Relilukujen joukoss yhtälöllä x = on
. Relilukujen perusominisuuksist 7 jop kksi rtkisu, j positiivisest rtkisust käytetään tvlliseen tpn merkintää. Voidn kuitenkin perustellusti kysyä, miksi tällinen reliluku on olemss ti miksi vikkp luvut n ovt olemss positiivisille kokonisluvuille. Jott tähän kysymykseen olisi edes toivo sd vstus, tulee tietysti löytää vstus pljon perustvmp ltu olevn kysymykseen: mitä reliluvut ovt? Kysymykseen relilukujen olemuksest vsttn Insinöörimtemtiikk A:ss esitetyllä ksiomttisell menetelmällä: reliluvut ovt joukko, joss on määritelty yhteen- j kertolsku jotk toteuttvt relilukujen ksioomt. Tällä kurssill esitetään tuloksi, joiden todistus perustuu relilukujen täydellisyysksioomn j joist seur muun muuss juurten n olemssolo. On helppo todet, että Q toteutt relilukujen kunt- j järjestysksioomt. Tämän vuoksi voidn ktso, että Q R. Plutetn vielä mieleen relilukujen täydellisyysksioom: Jokisell epätyhjällä, ylhäältä rjoitetull relilukujoukoll on pienin ylärj. Tätä ksioom rtionlilukujen joukko ei toteut, j siksi Q R. Määritelmä. Relilukujoukko A on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss sellinen luku M, että M pätee kikille A. Luku M kutsutn joukon M ylärjksi Määritelmä. Joukon A pienintä ylärj S merkitään S = supa j kutsutn supremumiksi. Luse. S = supa ( x)(x A x S) ( ε)(ε > ( x A)(x > S ε)) Huomutus. Luseen todistus on ilmeinen, sillä luse on luvun S = sup A luonnehdint. Se ilmisee, että ensinnäkin jokinen A:n lkio on korkeintn S:n suuruinen. Toiseksi, jos S:stä vähennetään mikä hyvänsä positiiviluku ε, niin S ε ei ole joukon A ylärj, siis löytyy x A, jok ylittää luvun S ε. Huomutus 3. Jos relilukujoukoss A on suurin lkio M = mxa, on smll myös M = supa. Kikiss relilukujoukoiss ei kuitenkn ole suurint (eikä pienintä) lkiot. Jos esimerkiksi A = (,), ei A:ll ole mksimi eikä minimiä. Esimerkki. Joukoll [, ] Q = {q Q q q } ei ole pienintä ylärj rtionlilukujen joukoss. Sen sijn relilukujen joukoss sillä on pienin ylärj. Täydellisyysksioomn nojll jokisell epätyhjällä, ylhäältä rjoitetull relilukujoukoll on olemss pienin ylärj. Pienimmän ylärjn olemssolo on juuri se ominisuus, jok täydentää rtionlilukujoukon ukottomksi relilukujoukoksi. Kääntämällä setelm nurinpäin, siis trkstelemll joukko A = { A} joukon A sijn voidn pienimmän ylärjn sijn puhu suurimmst lrjst. Muunnost A A hyväksi käyttäen voidn todet, että täydellisyysksioom tk suurimmn lrjn olemssolon, jos A on lhlt rjoitettu epätyhjä relilukujoukko. Määritelmä 3. Relilukujoukon A suurint lrj kutsutn nimellä infimum j siitä käytetään merkintää infa. Huomutus 4. Jos joukoss A on pienin lkio mina, on mina = infa. Huomutus 5. Jos A B on epätyhjä sekä B ylhäältä rjoitettu, on myös B epätyhjä j A ylhäältä rjoitettu sekä sup A sup B. Anloginen tulos pätee infimumille: inf B inf A. Reliluvuille pätee moni rtionliluvuille tuttuj tuloksi, kuten esimerkiksi khden eri reliluvun välissä j b on in mm. näiden keskirvo ( + b). Erityisesti ei ole olemss pienintä positiiviluku, vn mitä thns positiiviluku ε kohti voidn löytää pienempi positiiviluku ε. Relilukujen täydellisyysksioomst seur merkittäviä relilukujen ominisuuksi koskevi tuloksi, joist muutmi esitellään seurvksi.
8 Rj-rvo j jtkuvuus Luse (Arkhimedeen ksioom). Jos M j ε ovt positiivisi relilukuj, on olemss sellinen kokonisluku N, että Nε > M. Todistus. Tehdään vstoletus, jonk mukn väitettyä luku N ei ole olemss, siis nε M kikille luonnollisille luvuille n. Tällöin siis joukko A = {nε n N} on ylhäältä rjoitettu. Joukko on A selvästi epätyhjä, joten sillä on täydellisyysksioomn nojll pienin ylärj S = sup A. Kosk ε oletettiin positiiviseksi j S joukon A pienimmäksi ylärjksi, ei S ε voi oll joukon A ylärj. Tämän vuoksi joukoss A on lkio mε, jok ylittää luvun S ε, siis mikä on yhtäpitävä epäyhtälön mε > S ε, (m + )ε > S knss. Nyt kuitenkin (m+)ε A, joten S ei olekn joukon A ylärj. Ristiriidst voidn päätellä vstoletus vääräksi. Huomutus 6. Lusett kutsutn Arkhimedeen ksioomksi, sillä vstv tulos Arkhimedeen (n. 87 ekr) käyttämänä geometrisess yhteydessä käsitettiin iknn ksioomn. Määritelmä 4. Luku ε > on infinitesimli (äärettömän pieni), jos nε = ε +... + ε } {{ } n kpl kikill n N. Luseen snom voidn siis ilmoitt siten, että relilukujen joukoss ei ole infinitesimlej. Luseen mukn ei myöskään ole äärettömän suuri relilukuj, vn jokisen reliluvun M ylittää in jokin kokonisluku: N = N > M. Symbolej j käytetään tällä kurssill vin rj-rvomerkintöjen yhteydessä, jolloin ne eivät viitt ktuliseen (todell olemss olevn) äärettömyyteen, vn toimivt vin merkintöinä, jotk viittvt siihen, että muuttuj voidn vlit miten suureksi ( ) ti miten pieneksi ( ) thns. Seurus. Jos < b, on välillä (,b) rtionliluku. Todistus. Trkstelln ensin tpust b j merkitään d = b. Luseen mukn on olemss sellinen kokonisluku N, että N > d, mikä merkitsee, että d > N. Luseen perusteell on myös olemss sellinen kokonisluku n, että n Nb. Olkoon M pienin tällisist kokonisluvuist, jolloin siis M < Nb M. Tämä merkitsee sitä, että M N < b M N. Lisäksi M N = M N > b d = b (b ) =, N mikä osoitt, että M N voidn vlit väitteessä minituksi rtionliluvuksi. Jos b <, voidn väittämä todist oikeksi soveltmll edellistä päättelyä väliin ( b, ). Seurus. Jos x (,b) = A, on olemss selliset rtionliluvut q j q, että x [q,q ] A. Seurus 3. Jos α R, j n N, niin on olemss sellinen rtionliluku q = b, että α q < n. Todistus. Edellisen seuruksen mukn relilukuvälillä (α n,α + n ) on olemss rtionliluku q, siis α n < q < α + n, mistä seur n < q α < n. Viimeisin epäyhtälöketju merkitsee sitä, että q α < n.
. Relilukujen perusominisuuksist 9 Huomutus 7. Edellinen seurus ilmisee sen, että minkä hyvänsä reliluvun α miten pienestä läheisyydestä thns voidn in löytää rtionliluku. Toisin ilmistun: mitä hyvänsä reliluku voidn pproksimoid mielivltisen trksti rtionliluvuill. Käyttämällä tieto että / Q on mhdollist muokt edellisen luseen todistust sen toteennäyttämiseksi, että kikill relilukuväleillä on myös in irrtionliluku. Seurv tulost käytetään usess eri yhteydessä myöhemmin, mutt sitä vrten tulee hiemn ljent terminologi. Insinöörimtemtiikk A:ss on määritelty unioni äärettömän monelle joukolle {A i i I} seurvll tvll: x i I A i ( i I)(x A i ). Joukkojen joukko nimitetään usein kokoelmksi, vikk käsitteellistä ero kokoelmn j joukon välillä ei olekn; kyseessä on lähinnä pyrkimys välttää toisto suomen kielessä. Määritelmä 5. Relilukujoukkojen {A i i I} kokoelm peittää relilukujoukon B, jos B i I A i Luse 3 (Suljetun välin kompktisuus, Heinen-Borelin peittoluse). Jos jokin kokoelm A i (i I) voimi välejä A i = ( i,b i ) peittää suljetun välin B = [,b], niin on olemss sellinen äärellinen oskokoelm {A i i I } (I I äärellinen), jok myös peittää suljetun välin B = [,b]. Todistus. Tehdään vstoletus, jonk mukn väliä [, b] ei void peittää äärellisellä määrällä voimi välejä. Kosk kokoelm A i peittää koko välin [,b], on kokoelmss joukko A = (,b ), jok peittää pisteen. Tämä merkitsee sitä, että (,b ) j kosk kyseessä on voin joukko, on välttämättä < b. Tämä merkitsee sitä, että yksi ino joukko A peittää välin [,b] epätyhjän lkuosn [, b ]. Olkoon nyt X = {x [, b] väli [, x] voidn peittää äärellisellä oskokoelmll} Aiemmin todetun mukn X, sillä [, ] = {} voidn peittää yhdellä inoll voimell välillä. Siksi X ei ole tyhjä joukko. Jok tpuksess X [,b], joten b on joukon X ylärj. Täydellisyysksioomn nojll X:llä on pienin ylärj M = sup X. Kosk M b, peittää jokin kokoelmn joukko I = (α,β) myös pisteen M, siis M (,b). Jos merkitään δ = min{ M }, on [M δ,m +δ] I = (α,β). Kosk M δ < M, voidn, b M väli [,M δ] peittää äärellisellä oskokoelmll. Mutt kosk yksi ino väli I = (α,β) peittää välin [M δ,m + δ], voidn itse siss väli [,M + δ] peittää myös äärellisellä oskokoelmll. Tämä on ristiriidss luvun M vlinnn knss. Luseess 3 minitn tärkeä suljetun relilukuvälin ominisuus: Suljetun välin jokinen peitto voimill väleillä on mhdollist plutt äärelliseksi peitoksi. Tätä ominisuutt snotn kompktiudeksi. Kompktiuden tärkeys johtuu siitä, että ensinnäkin differentili-j integrlilskennn moni tärkeitä ominisuuksi vrten tulee trkstell pisteiden voimi ympäristöjä, äärelliset kokoelmt voimi joukkoj ovt monin suhtein helpommin hllittviss kuin äärettömät. Esimerkki 3. Määritellään jokist n N kohti voin väli I n = (, n ). Tällöin kikki välit I n yhdessä peittävät voimen välin (,), mutt mikään äärellinen joukko välejä I n ei tee niin. Avoimet relilukuvälit eivät siis ole kompktej kuten suljetut.
Rj-rvo j jtkuvuus.3 Rj-rvo Jos relifunktio f on määritelty jollkin välillä [,b] pistettä x [,b] lukuunottmtt, voidn kuitenkin trkstell miten f :n rvot käyttäytyvät luvun x lähellä. Jos f (x) käyttäytyy siten, että sen rvot trkkenevt kohti luku y kun x trkkenee kohti luku x, snotn, että f :llä on rj-rvo y pisteessä x. Esimerkki 4. Selvitetään lusekkeen sinx x käyttäytyminen, kun x lähestyy noll. Kun < x < π, on geometrisen kuvion (piirrä) perusteell sinx < x < tnx, mistä sinx:llä jkmll sdn < sinx x < cosx sinx j edelleen cosx < x <. Kosk kosinifunktion rvot näyttävät lähestyvän ykköstä kun x, on uskottv, että sinx x lähestyy luku kun x lähestyy noll Käsittelemättä jäivät vielä rvot x <, mutt kosk sin( x) x johtopäätöstä. = sinx x, nämä eivät muut edellistä Differentililskent voidn vrsin yksiselitteisesti rkent rj-rvon käsitteen pohjlle. Käsitteen rj-rvo nykyikisen perustn puolestn toimii relilukujen j -funktioiden etäisyyksien rviointi. Moni rviointien perustn toimii kolmioepäyhtälö, jost esitetään seurvksi kksi eri muunnelm. Luse 4 (Kolmioepäyhtälö). b + b + b Todistus. Näytetään ensin toteen jälkimmäinen epäyhtälö. Itseisrvon määritelmän mukn (smoin b b b ), mistä seur, että ( + b ) + b + b. Kosk + b on lukujen ( + b ) j + b välissä, on välttämättä + b + b. Ensimmäinen epäyhtälö seur tästä, sillä = + b b + b + b, mistä b + b. Smoin nähdään, että b + b, toisin snoen kumpikin luvuist b j ( b ) = b on korkeintn + b, jolloin siis myös itseisrvo (jok on toinen minituist luvuist) b on korkeintn + b. Määritelmä 6. Relilukujen j b etäisyys määritellään lusekkeell d(,b) = b Luse 5. Relilukujen välinen etäisyys d(,b) = b toteutt seurvt ehdot:. d(, b) in, j d(, b) = trklleen silloin kun = b.. d(, b) = d(b, ) kikille reliluvuille, b. 3. d(,b) d(,c) + d(c,b) kikille reliluvuille, b j c (kolmioepäyhtälö,. versio). Todistus. Ehdot j ovt suorviivisi. Ehto 3 seur luseest 4; tällöin nimittäin d(, b) = b = c + c b c + c b = d(,c) + d(c,b). Huomutus 8. Voidn todist, että edelliset luseet pätevät myös kompleksilukujen etäisyydelle d(z,z ) = z z. Tästä seur, että tässä luvuss esitettävät käsitteet rj-rvo j jtkuvuus yleistyvät myös kompleksimuuttujn funktioille.
.3 Rj-rvo Ennen seurv määritelmää muistutetn, että R:n lkioit (relilukuj), kutsutn myös pisteiksi. Myös usempiulotteisten rkenteiden (vektorivruuksien) R n lkioit kutsutn pisteiksi; nimityksen tustll on geometrinen esitys. Usein myös minkä hyvänsä joukon lkiot kutsutn pisteeksi nlogin nojutuen. Määritelmä 7. Pisteen x R voin ympäristö on voin väli (,b), jok sisältää pisteen x. Ellei toisin minit, pisteen ympäristöllä trkoitetn in voint ympäristöä. Annetun relifunktion f (x) rj-rvo (limes) pisteessä x määritellään seurvsti: Määritelmä 8 (Rj-rvo). Olkoon relifunktio f määritelty josskin pisteen x voimess ympäristössä mhdollisesti pistettä x lukuunottmtt. Tällöin lim f (x) = y ( ε > )( δ ε > )( < d(x,x ) < δ ε d( f (x),y) < ε). x x j snotn, että relifunktion f rj-rvo pisteessä x on y R. Rj-rvo lim x x f (x) = y voidn merkitä myös f (x) x x y. Tusttieto Augustin-Louis Cuchy (789 857) oli rnsklinen mtemtikko, jok svutti merkittäviä tuloksi muun muuss kompleksifunktioiden integrlilskennn lll. Cuchy loitti nlyysin modernisoinnin esittämällä erikoistpuksiss nykyisen kltisen rj-rvon määritelmän. (kuv: Wikimedi Commons) Tusttieto Krl Theodor Wilhelm Weierstrss (Weierstrß) (85 897) oli skslinen mtemtikko, jok modernisoi differentili- j integrlilskennn nykyiseen suuns. Muun muuss nykyisin käytetyt eksktit rj-rvon, jtkuvuuden j derivtn käsitteet ovt häneltä peräisin. Ennen Weierstrssin töitä minitut käsitteet oli yleisesti perustettu intuitiiviselle pohjlle. (kuv: Wikimedi Commons)
Rj-rvo j jtkuvuus Rj-rvon määritelmä merkitsee siis sitä, että relifunktion f rj-rvo pisteessä x on y R, jos vlitsemll x riittävän pienestä x :n ympäristöstä (niin pienestä että d(x,x ) < δ) funktion f rvo sdn miten pieneen pisteen y ympäristöön thns (siis d( f (x), y) pienemmäksi kuin mikä hyvänsä positiiviluku ε). Jos hlutn funktion f rvo in vin y:n pienempään ympäristöön, on yleensä x vlittv in vin pienemmästä x :n ympäristöstä, mikä merkitsee siis sitä, että luku δ = δ ε yleensä riippuu luvust ε. Sen lisäksi on huomttv, että δ riippuu yleensä myös pisteestä x. Huomutus 9. Rj-rvon määritelmässä x toteutt ehdon < d(x,x ) < δ. Tällöin siis in d(x,x ), joten x x. Tästä seur, että rj-rvo lim f (x) = y ei riipu rvost f (x ), x x vn rvoist f (x), missä x x on pisteen x ympäristössä. On myös huomioitv, että rjrvo pisteessä x ei void määritellä lisinkn, ellei f on määritelty josskin pisteen x ympäristössä (x mhdollisesti poislukien). Huomutus. Kosk f (x) ei voi smnikisesti oll mielivltisen lähellä kht eri luku y j y, on rj-rvo (mikäli olemss) välttämättä yksikäsitteinen. Muodollisesti päättely voidn tehdä vikkp seurvsti: Tehdään vstoletus, jonk mukn funktioll f on pisteessä x kksi eri rjrvo y j y. Merkitään ε = d(y,y ) >. Kosk y on rj-rvo, on d( f (x),y ) < ε, kunhn d(x,x ) < δ ε. Smnikisesti myös d( f (x),y ) < ε. Tämä ei kuitenkn voi pitää pikkns, sillä tällöin olisi kolmioepäyhtälön mukn mikä on ristiriit (ε < ε). ε = d(y,y ) (d(y, f (x)) + d( f (x),y )) < (ε + ε) = ε, Esimerkki 5. lim x (3x + ) = 7, mikä voidn muodollisesti todist oikeksi seurvsti: d(3x +,7) = 3x + 7 = 3x 6 = 3 x = 3d(x,). Tällöin siis etäisyys d(3x +,7) sdn pienemmäksi kuin ε, kun x vlitn niin läheltä :st, että d(x,) on pienempi kuin δ = ε 3. Esimerkki 6. Funktio f (x) = x x x on määritelty kikkill muull pitsi pisteessä x =. rjrvo pisteessä x = on 3, mikä nähdään oikeksi seurvll lskelmll: Kosk x x = (x + )(x ), voidn tpuksess x supist, jolloin sdn d( f (x),3) = x x 3 x = (x + )(x ) 3 x = x + 3 = x = x = d(x,) < ε, kun d(x,) < ε = δ. Toisin snoen, rvo f (x) sdn miten lähelle kolmost thns, kun x vlitn riittävän läheltä luku (ei kuitenkn vlit x = ). Esimerkki 7. lim x 3 (x x + ) = 5. Tämä voidn osoitt oikeksi seurvsti: d(x x +,5) = x x + 5 = x x 3 = (x + )(x 3) = x + d(x,3). Jos x on vlittu niin läheltä luku 3, että d(x,3) <, on tällöin x + = x 3 + 4 x 3 + 4 < 5 j siis d(x x +,5) < 5d(x,3). Tällöin siis d(x x +,5) < ε, kunhn d(x,3) < min{, ε 5 } = δ. 3x x + 4 Esimerkki 8. lim = 9, mikä osoitetn oikeksi seurvsti: x x 3 4
.3 Rj-rvo 3 d( 3x x + 4, 9 x 3 4 ) = 3x x + 4 ( 9 x 3 4 ) = x + x 4(x 3) = (x + )(x ) 4(x 3) x = d(x, ). 4 x 3 Jos nyt x on vlittu niin läheltä luku, että x + = d(x, ) <, on x = x + 3 x + + 3 = x + + 3 < + 3 = 35 j x 3 = 4 + x + 4 x + > 4 = 3. Tällöin d( 3x x + 4, 9 x 3 4 ) < 35 35 d(x, ) = 4 3 d(x, ) j siis d( 3x x+4 x 3, 4 9 ) < ε, kun d(x, ) < min{ 35ε,} = δ. Huomutus. Rj-rvon määritelmä ei yleensä sovellu rj-rvon y löytämiseen, inostn sen todistmiseen, että löydetty luku y on etsitty rj-rvo. Esimerkeissä 5, 6, 7 j 8 rj-rvot on löydetty käyttämällä mielekkään tuntuist päättelyä: x:n olless lähellä luku on luseke 3x x+4 x 3 lähellä luku 3 ( ) ( )+4 3 = 4 9. Tämän päättelyn oikeellisuus perustelln myöhemmin luseess 8. Esimerkki 9. Funktio f (x) = x on määritelty kikkill muull pitsi pisteessä x =. Tässä pisteessä funktioll ei kuitenkn ole rj-rvo, mikä nähdään seurvsti: Tehdään vstoletus, jonk mukn M = lim f (x) olisi olemss. Tällöin x x M pitäisi sd pienemmäksi kuin mikä hyvänsä positiiviluku, kunhn x vlitn riittävän läheltä luku. Erityisesti x M <, kun x on kyllin pieni, snotn x δ j siksi x M <, kun x < min{δ, + M } Kolmioepäyhtälöä j vstoletust käyttämällä x M x M <, mistä seur, että x < + M, kun x on kyllin pieni. Mutt edellisestä epäyhtälöstä seur x > + M, mikä on ristiriidss epäyhtälön x < min{δ, + M } knss. Tästä päätellään että vstoletus on väärä eikä rj-rvo M ole olemss. Os edellisen esimerkin kltisist tpuksist kuuluu seurvn määritelmän piiriin: Määritelmä 9. Olkoon relifunktio f määritelty josskin pisteen x ympäristössä mhdollisesti pistettä x lukuunottmtt. lim f (x) = ( M > )( δ M )( < d(x,x ) < δ M f (x) > M) x x Tällöin snotn, että funktion f rj-rvo pisteessä x on ääretön. Rj-rvo määritellään smoin kuin yllä, vihtmll epäyhtälö f (x) > M epäyhtälöksi f (x) < M. Tällöin merkitään lim x x f (x) =. Vpmmin ilmistun funktion rj-rvo pisteessä x on ääretön, jos vlitsemll x riittävän läheltä pistettä x sdn funktion f rvo kuink suureksi hyvänsä. Jätetään hrjoitustehtäväksi rj-rvojen lim f (x) = y j lim f (x) = x x sekä vstvien symbolien sisältävien rj-rvojen määrittely.
4 Rj-rvo j jtkuvuus Huomutus. Symbolit j eivät vst mitään reliluku, vn niitä käytetään inostn pumerkintöinä puhuttess äärettömistä rj-rvoist, jotk on täsmällisesti määritelty yllä. Erityisesti ei void määritellä sellisi summi, tuloj ti osmääriä, joiss symboli ti esiintyy. Esimerkki. Funktio f (x) = on määritelty in kun x. Sillä on pisteessä x = rj-rvo, x kosk > M kun x < x M, mikä toteutuu in, kun d(x,) = x = x < M. Toisin snoen, f (x) > M, kun x vlitn niin läheltä noll, että d(x,) < M = δ M. Esimerkin 9 tpuksess ei funktioll pisteessä x = kuitenkn ole ääretöntäkään rj-rvo, mikä johtuu siitä, että tpuksess x > luseke x on positiivinen, kun ts tpuksess x < luseke x on negtiivinen. Kummsskin tpuksess luseke voi itseisrvoltn oll kuitenkin miten suuri thns. Määritelmä. Olkoon relifunktio f määritelty jollkin voimell välillä (x,b). lim f (x) = y ( ε > )( δ ε > )(( < d(x,x ) < δ) (x > x ) d( f (x),y) < ε). x x + Tällöin snotn, että funktion f oikenpuoleinen rj-rvo pisteessä x on y R. Tätä merkitään myös symbolill f (x +) Oikenpuoleisen rj-rvon määritelmä poikke siis rj-rvon määritelmäst vin siinä, että pisteen x ympäristössä trkstelln vin sellisi funktion f (x) rvoj, joiss x sijitsee x :st ktsoen oikelle, siis x > x. Anlogisesti määritellään vsemmnpuoleinen rj-rvo lim f (x) = y x x j merkitään f (x ). Oiken- j vsemmnpuoleiset äärettömät rj-rvot määritellään ilmeisellä tvll. Esimerkki. Osoitetn, että f (x) = x oikenpuoleinen rj-rvo pisteessä x = on j että vsemmnpuoleinen rj-rvo smss pisteessä on. Vlitn tätä vrten positiiviluku M. Oikenpuoleisen rj-rvon määrittämistä vrten trkstelln lukuj x >, jolloin x = x. Tällöin epäyhtälö x > M pätee trklleen silloin, kun x = x = d(x,) < M, joten rj-rvon määritelmässä esiintyväksi luvuksi voidn vlit δ M = M. Näin ollen lim x + x =. Vsemmnpuoleist rj-rvo oikeksi osoitettess on näytettävä toteen, että lusekkeen x rvo voidn sd pienemmäksi kuin mikä hyvänsä luku M, missä M on kuink suuri positiiviluku hyvänsä, kunhn x vlitn riittävän läheltä luku, siten, että x <. Oletetn siis, että x <, jolloin d(x,) = x = x j epäyhtälö x < M on yhtäpitävä epäyhtälön (x ) < M knss, mikä puolestn voidn kirjoitt muotoon d(x,) < M. Luseke x tulee siis pienemmäksi kuin M, jos x < vlitn siten, että d(x,) < M. Trkstelln seurvksi rj-rvojen lskusääntöjä. Määritelmä. Funktio f on rjoitettu joukoss I jos on olemss sellinen positiiviluku M, että f (x) M in, kun x I.
.3 Rj-rvo 5 Luse 6. Jos funktioll f on äärellinen rj-rvo A pisteessä x, siis lim x x f (x) = A, niin silloin funktio f on rjoitettu josskin pisteen x ympäristössä. Todistus. Rj-rvon määritelmän mukn d( f (x), A) sdn miten pieneksi thns, kunhn x vlitn riittävän läheltä x :. Erityisesti etäisyys d( f (x),a) <, kun d(x,x ) < δ. Jos siis d(x,x ) < δ, on f (x) A = d( f (x),a). Kolmioepäyhtälön mukn f (x) A f (x) A, joten siis f (x) A f (x) A <, kunhn d(x,x ) < δ. Näin ollen f (x) < A + kun x on x:n sellisess ympäristössä, että d(x,x ) < δ. Luse 7. Jos lim f (x) = A >, on olemss sellinen x :n ympäristö I, että f (x) > A x x > in kun x I. Todistus. Rj-rvon määritelmän perusteell on olemss sellinen δ >, että f (x) A < A in, kun x (x δ,x + δ). Nyt väli (x δ,x + δ) voidn vlit kysytyksi ympäristöksi, sillä f (x) A < A A < f (x) A < A f (x) > A. Luse 8. Olkoon lim f (x) = A, lim g(x) = B j c R. Seurvt rj-rvojen lskusäännöt x x x x pätevät:. lim x x x = x.. lim x x c f (x) = ca. 3. lim x x ( f (x) + g(x)) = A + B. 4. lim x x ( f (x)g(x)) = AB. f (x) 5. Jos B, niin lim x x g(x) = A B. 6. Jos lim f (x) = y j lim g(x) = z, niin lim g( f (x)) = z. x x x y x x Todistetn näistä esimerkin vuoksi 4 j jätetään loput hrjoitustehtäviksi. Todistus. d( f (x)g(x),ab) = f (x)g(x) AB = f (x)g(x) B f (x) + B f (x) AB f (x)g(x) B f (x) + B f (x) AB = f (x) g(x) B + B f (x) A = f (x) d(g(x),b) + B d( f (x),a). Kosk lim f (x) = A, tulee d( f (x),a) miten pieneksi thns, kunhn x vlitn kyllin läheltä x :, x x erityisesti d( f (x),a) < ε B kun d(x,x ) < δ ε,b, joten jälkimmäinen yhteenlskettv sdn miten pieneksi hyvänsä vlitsemll x riittävän läheltä x :. Edellisen luseen mukn f (x) < A +, kunhn d(x,x ) < δ. Kosk lim g(x) = B, tulee d(g(x),b) miten pieneksi thns, kunhn x vlitn kyllin läheltä x x x :, erityisesti d(g(x),b) < ε ( A +) kun d(x,x ) < δ ε,a. Jos siis d(x,x ) < δ = min{δ ε,b,δ,δ ε,a }, niin
6 Rj-rvo j jtkuvuus d( f (x)g(x),ab) f (x) d(g(x),b) + B d( f (x),a) ε < ( A + ) ( A + ) + B ε B = ε. Edellinen luse perustelee sen, että rtionlifunktioiden rj-rvo on sm kuin funktion rvo sellisiss pisteissä, missä nimittäjä ei tule nollksi. Äärettömien rj-rvojen kohdll ei välttämättä sd yleisiä lskusääntöjä. Esimerkki. lim =, lim x =, lim x x x x x =, lim x 3 =, mutt rj-rvo lim x x x x = lim x x ei ole olemss, lim x x x = lim = j lim x x x x3 = lim x =. x.4 Funktioiden ksvunopeuksist Verrtess funktioiden rvoj suurill muuttujien rvoill ovt osmäärien rj-rvot keskeisessä semss. Määritelmä. Olkoot f j g määriteltyjä, ksvvi j positiivisi jollkin välillä [M, ). Tällöin snotn, että f (x). f on ksv nopemmin kuin g, jos lim x g(x) = f (x). f on ksv hitmmin kuin g, jos lim x g(x) =. f (x) 3. f j g ovt symptoottisesti sm suuruusluokk, jos lim = A, missä A >. x g(x) f (x) 4. f j g ovt symptoottisesti yhtäsuuret, jos lim x g(x) =. f (x) g(x) Huomutus 3. Jos lim =, niin selvästikin x g(x) f (x) = f (x) g(x) lähestyy noll kun x. Täten f (x) siis määritelmän kohdt j ovt keskenään yhteensopivt. Jos lisäksi lim = A, on x g(x) g(x) lim x f (x) = A, joten kohdt 3 j 4 ovt symmetriset funktioiden f j g suhteen. Verrtn seurvksi logritmifunktioiden, potenssifunktioiden j eksponenttifunktioiden ksvunopeuksi. Aluksi todistetn rvio binomikertoimelle. Luse 9. Jos N k >, on ( N) k N k k k k!. Todistus. Helposti todetn, että epäyhtälö N k + k N pitää pikkns, kun N k >. Tämän epäyhtälön j luseen 5 j mukn ( ) N k = N! N(N )... (N k + ) = k!(n k)! k! (N k + )k k! ( k N)k k! = Nk k k k!.
.4 Funktioiden ksvunopeuksist 7 Luse. Jos > j k N, niin x lim x x k = Todistus. Trkstelln ensin millisi rvoj luseke N N k s, kun N > k on suuri kokonisluku. Tätä vrten merkitään b = >, jolloin = + b j Newtonin binomikv j edellistä lusett käyttäen sdn N N k = N k ( + b)n = N k N i= ( ) N b i ( ) N i N k b k+ k + N k N k+ (k + ) k+ (k + )! bk+ = C N, b missä on merkitty C = k+ N. Täten siis luseke sdn suuremmksi kuin M vlitsemll N suuremmksi kuin mx{k, (k+) k+ (k+)! N k C M}. Tilnne, joss x ei ole kokonisluku, plutuu edelliseen, sillä jos N < x < N, on N N k = N N k < x x k. Huomutus 4. Edellinen luse kertoo siis sen, että eksponenttifunktio x ( > ) ksv nopemmin kuin polynomifunktio x k. Rj-rvojen lskusäännöissä koht 6 on toisinn käyttökelpoinen ksvunopeuden selvittämiseksi: Jos g(x) jollkin välillä [M, ) määritelty funktio, jolle lim x g(x) =, niin lim f (x) = lim f (g(x)). x x Tämän perusteell voidn helposti verrt logritmifunktion j potenssifunktion ksvunopeutt. Luse. Jos ε >, on x ε lim x lnx =. Todistus. Ylläolevn perusteell kosk e ε >. lim x x ε lnx = lim (e x ) ε x lne x = lim (e ε ) x =, x x Huomutus 5. Yhtälön log x = ln lnx vull yllä olev luse voidn todist myös muille kuin luonnolliselle logritmille. Huomutus 6. Vlitsemll edellisessä luseess ε = k sdn k x lim x lnx =, siis myös kikki juurifunktiot ksvvt nopemmin kuin logritmifunktio. Huomutus 7. Osmäärän rj-rvon trkstelu voidn toisinn logritmi käyttämällä muunt erotuksen rj-rvon selvittämiseksi j päinvstoin:
8 Rj-rvo j jtkuvuus ln f (x) = ln f (x) lng(x). g(x) f (x) Jos nyt lim (ln f (x) lng(x)) =, on myös lim x x g(x) f (x) kertoo sen, että lim x g(x) =. Esimerkki 3. Selvitetään rj-rvo lim x e x. Tätä vrten lsketn logritmi osmäärästä: joten Esimerkki 4. Selvitetään rj-rvo Tätä vrten lsketn logritmi ln x x e x ln xx x = xlnx x = x(lnx ), ex x x x x lim x e x =. x x lim x e x. =, kun ts lim (ln f (x) lng(x)) = x = lnx x lne x = xlnx x = x( lnx x ) x. Näin ollen x x lim x e x =. Mtlbiin on ohjelmoitu työkluj myös rj-rvojen määrittämiseen. Tällöin tulee huolehti siitä, että trvittvt symbolit määritellään syms-komennoll >> syms x >> limit(sin(x)/x,x,) ns = limit-komennoss ensimmäinen pikk on vrttu funktiolle, toinen muuttujlle jok lähestyy kolmnness pikss ilmistu rvo. Rj-rvot äärettömyydessä j toispuoleiset rjrvot lsketn seurvien esimerkkien mukn. x lim x e x : >> limit(x^/exp(x),x,inf) ns = >> lim x >> limit(/(x-),x,, left ) x :
.5 Jtkuvuus 9 ns = -inf >>.5 Jtkuvuus Määritelmän mukn funktion rj-rvo pisteessä x ei riipu millään tvoin funktion rvost tässä pisteessä, vn määräytyy funktion rvoist pisteen x ympäristössä. Aiemmin kuitenkin jo nähtiin, että esimerkiksi rtionlifunktioiden rj-rvo on sm kuin funktion rvo trkstelupisteessä, mikäli funktio on kyseisessä pisteessä määritelty. Yleisesti funktiot snotn jtkuvksi pisteessä x, mikäli sen rj-rvo yhtyy funktion rvoon. Määritelmä 3. Olkoon relifunktio f määritelty josskin pisteen x ympäristössä. f on jtkuv pisteessä x, jos lim x x f (x) = f (x ). Rj-rvon määritelmän mukn funktion jtkuvuus pistessä x voidn kirjoitt seurvn muotoon: Funktio f on jtkuv pisteessä x, jos jokist positiiviluku ε kohti on olemss sellinen positiiviluku δ = δ ε, että d( f (x), f (x )) < ε, kun d(x,x ) < δ. Relifunktion jtkuvuus pisteessä x pitää siis sisällään seurvt sit: ) funktion tulee oll määritelty pisteessä x j josskin sen ympäristössä j ) funktioll tulee oll rj-rvo pisteessä x j 3) rj-rvon pisteessä x tulee yhtyä funktion rvoon tässä pisteessä. Näin ollen jtkuvuus pisteessä x merkitsee intuitiivisesti jtellen sitä, että rvo f (x) tulee miten lähelle thns rvo f (x ), kun vin x vlitn kyllin läheltä x :. Esimerkki 5. Määritellään relifunktio f : R R seurvsti: { f (x) = x, jos x, jos x =. Näin määriteltynä f on koko R:ssä määritelty relifunktio, mutt kuten esimerkissä 9 nähtiin, ei funktioll f ole rj-rvo pisteessä x =. Täten funktio f ei myöskään voi oll jtkuv pisteessä x =, eikä tilnne muutu miksikään, vikk f määriteltäisiin toisin pisteessä x =. Esimerkki 6. Pltn esimerkin 6 funktioon j ljennetn sen määritelmää settmll { x x f (x) = x, jos x 3, jos x =. Näin stu funktio on jtkuv pisteessä x =, sillä lim x f (x) = 3 = f (). Itse siss sm funktio olisi stu määrittelemällä f (x) = x +, mistä voidn todet että f on jtkuv kikiss muisskin pisteissä. Määritelmä 4. Funktio f on jtkuv välillä I, jos f on jtkuv jokisess I:n pisteessä.
Rj-rvo j jtkuvuus Esimerkki 7. Olkoon f : R {, } määritelty seurvsti: {, jos x Q, f (x) = muulloin Funktio f ei ole jtkuv missään pisteessä x, sillä jos x Q, on f (x ) = j d( f (x ), f (x)) = in, kun x / Q, j tällisi pisteitä x löytyy miten läheltä pistettä x hyvänsä. Siis edes d( f (x ), f (x)) < ei voi toteutu, vikk d(x,x) olisi miten pieni hyvänsä. Smoin todetn, että f ei voi oll jtkuv missään pisteessä x R \ Q. Tunnetusti esimerkiksi polynomifunktiot ovt jtkuvi koko R:ssä. Jtkuvist funktioist sdn uusi jtkuvi funktioit esimerkiksi rtionlisin opertioin. Luse. Olkoot f (x) j g(x) jtkuvi joukoss I. Tällöin myös f ± g, j f g ovt jtkuvi joukoss I j f g on jtkuv joukoss I \ {x g(x) = }. Lisäksi f g on jtkuv määrittelyjoukossn. Todistus. Seur luseest 8. Itse siss voimss on myös huomttvsti ljempikin tulos (jonk todistus myös sivuutetn). Luse 3. Kikki lkeisfunktiot (ktso määritelmä insinöörimtemtiikk A:st) ovt jtkuvi määrittelyjoukossn. Anlogisesti toispuoleisten rj-rvojen knss voidn määritellä toispuoleinen jtkuvuus Määritelmä 5. Olkoon f määritelty jollkin välillä [x,b) j lim x x + f (x) = f (x ). Tällöin snotn, että f on oikelt jtkuv pisteessä x. Määritelmä 6. Olkoon f määritelty jollkin välillä (,x ] j lim x x f (x) = f (x ). Tällöin snotn, että f on vsemmlt jtkuv pisteessä x. Esimerkki 8. Määritellään f ploittin seurvsti (kuv 9): { x f (x) =, jos x <, x +, jos x. Tällöin f () =, lim x + f (x) = j lim jtkuv mutt vsemmlt epäjtkuv. x f (x) =, joten funktio f on pisteessä x = oikelt Mtlbiss voidn itse määritellyt funktiot kirjoitt ns. M-tiedostoiksi (vlikoist file new M-file). Esimerkin 8 funktio (kutsutn sitä nimellä esim) voidn määritellä seurvsti: function y = esim(x) % ESIM on ploittin määritelty funktio, % linerinen, kun x> j neliöllinen muutoin. if (x>) y=x+ else y=x^ end;