Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions (3rd edition).. Tylor-polynomit j -srjt [Adms 4.8, 9.6-9.8] Funktion f Tylor-polynomi stett n kehityskeskuksen : f,n (x) := n k= Funktion f Tylor-srj kehityskeskuksen : f (x) := lim n f,n (x) = k! f(k) () (x ) k. () k= Tylor-rvion virhe: Jollkin x n (:n j x:n välillä) pätee R,n (f,x) := f(x) f,n (x) = k! f(k) () (x ) k. (2) (n + )! f(n+) (x n ) (x ) n+. (3) Iso-O-merkintä : f(x) = g(x) + O(u(x)), kun x, jos f(x) g(x) vkio u(x), kun x. Jos tässä g on polynomi stett n j u(x) = (x ) n+, niin g = f,n. Integrli [Adms 5-7]. Pint-l [Adms 5.2] S R 2 on kolmioituv, jos S = n S k = S S n, missä {S k } n k= erillisten k= kolmioiden kokoelm. Kolmioituvn S R 2 pint-llt A(S) R vditn: () A(suorkide) = knt korkeus. (2) A(S T) = A(S) + A(T), jos S,T erillisiä. (3) Pint-l ei muutu joukon siirroiss ti kierroiss: S T A(S) = A(T).
Seuruksi: A(suunniks) = knt korkeus, A(kolmio) = knt korkeus. 2 Jos S R 2 ei ole kolmioituv, sovitn, että (4) S:n pint-l on A(S) := lim k A(S k ), mikäli on olemss kolmioituvt joukot S k j T k, joille j lim k A(S k ) = lim k A(T k )..2 Määrätty integrli Ide: S k S k+ S T k+ T k f(x) dx [Adms 5.3, 5.7] Jos f : [,b] R kiv, niin f(x) dx R = A(S +) A(S ), missä S + = { (x,y) R 2 : x b, y f(x) }, S = { (x,y) R 2 : x b, f(x) y }. Toteutus: Olkoon f rjoitettu eli C < x R : f(x) C. Välin [,b] R ositus on P = {x k } n k=, missä = x x... x n = b. Merkitään x k := x k x k. Silloin L(f,P) := n ( ) inf f(x) x k x [x k,x k ] k= A(S + ) A(S ) ( ) n sup f(x) x k =: U(f,P) x [x k,x k ] k= Riemnn lsumm (Lower) Riemnn ylāsumm (Upper); Jos Riemnn-lsummien j -yläsummien väliin jää vin yksi luku c R, on f Riemnn-integroituv j sen määrätty integrli :st b:hen on f(x) dx := c R. Huom. f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos esim. jtkuv/ksvv/vähenevä. 2
.3 Integrlin ominisuuksi; nlyysin perusluse [Adms 5.4-5.5] Määriteltiin Sopimus: f(x) dx R, kun f integroituv j < b. f(x) dx :=. Sopimus: f(x) dx := f(x) dx. b Ominisuuksi: (f(x) + g(x)) dx = k f(x) dx = k f(x) dx = c f(x) dx + g(x) dx. (4) f(x) dx (k R vkio). (5) f(x) dx + Jos < b j f(x) kikill x [,b], niin Jos f jtkuv, niin min(f) b c f(x) dx. (6) f(x) dx. (7) f(x) dx f(x) dx (kun < b). (8) f(x) dx mx(f). Anlyysin perusluse (os ): Jos f : [, b] R jtkuv j t ], b[, niin d dt t f(x) dx = f(t). (9) Anlyysin perusluse (os 2): Jos f = G jtkuv, niin f(x) dx = G(b) G(). () Merkintä. x=b x=g(x) = b G(x) = G(x) x=b x= := G(b) G(). 3
.4 Integroimismenetelmiä.4. Osittisintegrointi [Adms 6.] Tulon derivtt (u v) = u v + u v integroidn: (u v) dx = u v dx + u v dx, Sdn osittisintegrointikvt u(x) v (x) dx = u(x)v(x) u (x) v(x) dx () u(x) v (x) dx = x=b x= u(x) v(x) u (x) v(x) dx. (2).4.2 Sijoitukset/muuttujnvihdot [Adms 5.6, 6.2] Derivtn ketjusääntö d dx F(g(x)) = F (g(x)) g (x) integroidn: F(g(x))+vkio= d F(g(x)) dx= dx f:=f, u=g(x) f(g(x)) g (x) dx = x=b x= F (g(x)) g (x) dx f(g(x)) g (x) dx = F(g(x)) u=g(x) = u=g(b) u=g() F(u) = f(u) du, (3) g(b) Muist muutt sijoituksess u = g(x) myös differentili j rjt: g() f(u) du. (4) du = g (x) dx eli du dx = g (x), luksi x=b x=... dx, sitten u=g(b) u=g()... du. 4
.4.3 Rtionlifunktion integrointi [Adms 6.3] Rtionlifunktio on funktio muoto p/q, missä p,q ovt polynomej. Tulos: p(x)/q(x) voidn kirjoitt osmurtokehitelmänä eli A Bx+C summn polynomist, termeistä muoto j termeistä muoto, (x ) r (x 2 +bx+c) s missä (x ) r j (x 2 +bx+c) s ovt q(x):n tekijöitä j x R : x 2 +bx+c >. Erityisesti du = rctn(u) +vkio u 2 + j u u 2 + du = 2 ln(u2 + ) +vkio..5 Epäoleellinen integrli (j rjoittmttomn joukon pint-l) [Adms 6.5] Olkoon f integroituv väleillä [ã, b] ],b[, missä [,b] [, ] j S f := {(x,y) R 2 : < x < b, min(,f(x)) y mx(,f(x))}, Sovitn, että f:n epäoleellinen integrli :st b:hen on f(x) dx := lim ã + c ã f(x) dx + lim b b b c f(x) dx jos rj-rvot olemss j äärellisiä; rvo ei riipu pisteen c ],b[ vlinnst. Sovitn, että pint-l A(S f ) := f(x) dx. Integrlien vertilu: Olkoot f, g :], b[ R jtkuvi, joille f g. Olkoon g(x) dx suppenev. Silloin f(x) dx suppenee. Myös: Jos < b j f g, niin f(x) dx g(x) dx (kun suppenevt). Erityisesti b f(x) dx f(x) dx. Srjojen suppenemisen integrlitesti: Olkoon f : [, [ [, [ jtkuv ei-ksvv. Silloin k= f(k) j f(x) dx joko molemmt suppenevt ti molemmt hjntuvt. (Huom. kyseessä myös integrlin suppenemisen srjtesti!) 5
2 Tilvuuksi, pint-loj j pituuksi 2. Tilvuuksi [Adms 7.-7.2] Limpun K R 3 tilvuus V (K) = A(K x ) dx, missä K:n x-viiple on K x := {(y,z) R 2 : (x,y,z) K}. 2.. Yleinen pyörähdyskpple 2..2 Sylinterikuoret K = { (x,y,z) R 3 : x b, y 2 + z 2 f(x) 2}, V (K) = A(K x ) dx = π f(x) 2 dx. K = { (x,y,z) R 3 : 2 x 2 + z 2 b 2, y f(x ) }. V (K) = x=b x= dv = 2πx f(x) dx. 2.2 Krenpituus [Adms 7.3] Olkoon r = (x (x,f(x))) : [,b] R 2 tsokäyrän suoristus. Krenpituus on siis funktion f : [, b] R kuvjn pituus: l(r, [,b]) = + f (x) 2 dx. Muistisääntö: Krenpituus s = x=b x= ds, missä (ds)2 = (dx) 2 + (dy) 2. 2.3 Pyörähdyspinnn l [Adms 7.3] Kun y = f(x) (missä x [,b]) pyörähtää X-kselin ympäri, on syntyvän pinnn S = { (x,y,z) R 3 : x b, y 2 + z 2 = f(x) 2} pint-l A(S) = x=b x= da = 2π f(x) + f (x) 2 dx Kun y = f(x) (missä x b) pyörähtää Y -kselin ympäri, on syntyvän pinnn pint-l x=b x= da = 2π x + f (x) 2 dx. 6
3 Numeerinen integrointi [Adms 6.6-6.8] 3.. Aste : Puolisuunnikssääntö (engl. Trpezoid rule) [Adms 6.6] Ide: f korvtn ploittin ens. steen polynomeill. T n (f,,b) n f(x) dx, kun T n (f,,b) = b ( ) f + f n + [f + f 2 +... + f n ], n 2 missä f k := f(x k,n ) j x k,n = + k b. Virherviot: n f (x) C T n(f,,b) f(x) dx C (b ) 2. n f (x) C 2 T n(f,,b) f(x) dx C (b ) 3 2. 2n 2 3..2 Aste 2: Simpsonin sääntö [Adms 6.7] Ide: f korvtn ploittin toisen steen polynomeill. kun f k := f(x k,n ) j S n (f,,b) = S n (f,,b) n f(x) dx, b 3n [f + 4f + 2f 2 + 4f 3 + 2f 4 + 4f 5 + 2f 6 +... + 4f n 3 + 2f n 2 + 4f n + f n ] (muist kertoimet,4,2,4,2,4,2,...,4,2,4,!) Virhervio: f (x) C 4 S n(f,,b) f(x) dx C (b ) 5 4 8n. 4 3..3 Integrlien muokkus koneell lskettvksi [Adms 6.8] Numeerinen integrointi toimii hyvin, jos funktio on sileä j rjoitettu j integroimisväli on rjoitettu. Esim. R x /2 dx x=t2 = e x dx = R t 2t dt, e x dx + j e x dx = R x /2 dx x=t2 = Esim. Tylor-polynomit numeerisess integroinniss... 7 R ( e t + t 2 e /t) dt. t 2t dt,