MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

Transkriptio

1 MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

2 Skalaarikenttä Olkoon R 2 tason osajoukko. Tällöin reaaliarvoista funktiota f : R kutsutaan skalaarikentäksi. Vastaavasti voidaan tutkia avaruuden R 3 osajoukkoa ja funktiota (eli skalaarikenttää) f : R. Skalaarikenttiä esiintyy monissa sovelluksissa, joissa on esimerkiksi levy ( R 2 ) tai kolmiulotteinen kappale ( R 3 ). Tällöin funktion f saama arvo voi olla esimerkiksi kappaleen tiheys tai lämpötila pisteessä x. Tason R 2 tapauksessa skaarikenttää voi ajatella myös tason osajoukon päälle piirrettynä pintana. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

3 Esimerkki 1 Olkoon f (x, y) = y/(x 2 + y 2 + 1), (x, y) = [ 5, 5] [ 2π, 2π]. Skalaarikenttää z = f (x, y) voidaan havainnollistaa pintana. Matlab syms x y ezsurfc(y/(1 + x^2 + y^2),[-5,5,-2*pi,2*pi],35) Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

4 Huomautuksia Kolmiulotteisessa tapauksessa skalaarikenttää w = f (x, y, z), (x, y, z) R 3 ei yleensä voi visualisoida tällä tavoin. Joissakin tapauksissa skalaarikentällä on kuitenkin ilmeinen fysikaalinen tulkinta kuten aineen tiheys, lämpötila tai paine pisteessä (x, y, z). Tulkinta voi ilmetä myös funktion matemaattisesta lausekkeesta. Esim. f (x, y, z) = (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 on pisteen (x, y, z) etäisyys pisteestä (a, b, c) R 3. Käytetään myös notaatioita (x, y) = xi + yj R 2 (piste tasossa) ja (x, y, z) = xi + yj + zk R 3 (piste avaruudessa). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

5 Tasointegraali Olkoon R 2 joukko tasossa ja f : R skalaarikenttä. Halutaan määritellä tasointegraali f (x, y) da. Integraalin arvo on pinnan z = f (x, y) ja xy-tason väliin jäävän alueen tilavuus. Tutkitaan aluksi erikoistapausta = [a, b] [c, d]: Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

6 Yhden muuttujan tapaus Yhden muuttujan tapauksessa integraali saadaan Riemannin summien raja-arvona Formaalisti ˆ b a f (x) dx = lim n n f (x i ) x, missä a = x, x 1,..., x n = b on välin [a, b] tasavälinen jako ja x on jakovälin pituus. i=1 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

7 Usean muuttujan tapaus (tasointegraali, R 2 ) Jaetaan tason osajoukko = [a, b] [c, d] tasavälisesti ruudukoksi niin, että kummallakin akselilla on n jakopistettä: Nyt voidaan määritellä n f (x, y) da = lim n i=1 j=1 n f (x i, y j ) x y, missä x ja y vastaavat jakovälien pituutta x ja y-suunnassa: x = b a n, y = d c. n Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

8 Usean muuttujan tapaus (avaruusintegraali R 3 ) Tason tapauksessa edellä määriteltyä integraalia kutsutaan tasointegraaliksi. Samaan tapaan voidaan määritellä avaruusintegraali: f (x, y, y) dv = lim n n n i=1 j=1 k=1 n f (x i, y j, z k ) x y z, kun = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] R 2 ja f : R. Tässä x = b 1 a 1, y = b 2 a 2 n n ja z = b 3 a 3. n Matematiikan kannalta vieläkin useamman muuttujan funktioita f : R n R, missä n 2, voi integroida samaan tapaan. Niitä ei kuitenkaan yleensä esiinny sovelluksissa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

9 Huomautuksia Yhden muuttajan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin peruslause: f (x) = d dx ˆ x c f (t) dt, kun c, x [a, b] ja f : [a, b] R on jatkuva funktio. Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Valitettavasti Analyysin peruslauseelle ei ole suoraa vastinetta usean muuttujan tapauksessa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

10 Moninkertainen integraali Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina eli iteroituina integraaleina. Kaksiulotteinen tapaus (integrointialue suorakaide) f (x, y) da = ˆ d ˆ b c a f (x, y) dx dy, kun = [a, b] [c, d]. Kolmiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmainen särmiö) f (x, y, z) dv = ˆ b3 a 3 ( ˆ b2 ( ˆ b1 kun = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. a 2 a 1 ) ) f (x, y, z) dx dy dz, Mikäli funktio f : R n R (n = 2, 3,...) on (esimerkiksi) jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

11 Esimerkki 2 (helppo) Olkoon f (x, y) = xy 2. Lasketaan f (x, y) da, missä = {(x, y) R 2 : x 1, y 1}. Aluksi kirjoitetaan tasointegraali kaksinkertaisena integraalina, ja lasketaan xy 2 da = xy 2 dx dy = = [ x 2 y 2 2 y 2 2 dy = ] 1 dy x= ] 1 [ y 3 6 y= = 1 6. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

12 Esimerkki 3 Olkoon f (x, y, z) = xye z. Lasketaan f (x, y, z) dv, missä = [, 2] [, 1] [ 1, 1]. Kirjoitetaan avaruusintegraali kolminkertaisena integraalina. Lasketaan ˆ 2 xye z dv = xye z dx dy dz = 1 = x 2 ye z x= y 2 e z 1 1 dy dz = y= dz = 1 1 = e z 1 = e z= 1 e 1. e z dz 2ye z dy dz Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

13 Esimerkki 4 (numeerinen) Olkoon f (x, y) = y sin(x) + x cos(y). Lasketaan numeerisesti integraali f (x, y) da, kun = [π, 2π] [, π]. MATLAB Määritellään funktio: f y*sin(x)+x*cos(y) f Lasketaan integraali: dblquad(f,pi,2*pi,,pi) ans = Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

14 Integrointi yleisemmissä alueissa 1/2 Tutkitaan funktiota f : R, joka on määritelty tason (tai avaruuden) osajoukossa. Tähän asti on oletettu, että on suorakaide (vast. suorakulmainen särmiö). Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmiota ˆ, jolle ˆ. Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon olla siisti (esim. riittää, että reuna on paloittain sileä) Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

15 Integrointi yleisemmissä alueissa 2/2 Määritellään funktio ˆf : ˆ R seuraavasti: { f (x, y), kun (x, y), ˆf (x, y) =, kun (x, y) ˆ \. Nyt voidaan määritellä f (x, y) da := ˆ ˆf (x, y) da. Samaan tapaan voidaan määritellä myös avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa: f (x, y, z) dv := ˆf (x, y, z) dv, kun ˆ on suorakulmainen särmiö ja ˆ. ˆ Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

16 Esimerkki 5 1/2 Olkoon = {(x, y) R 2 : < x < 1, < y < x}. Lasketaan funktion f (x, y) = xy integraali yli alueen = xy 2 2 xy da = x y= dx = ( ˆ x x 3 2 ) xy dy dx dx = x4 8 1 x= = 1 8. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

17 Esimerkki 5 2/2 Integrointi on mahdollista suorittaa myös toisessa järjestyksessä: ( ) xy da = xy dx dy = = x 2 y 2 1 x=y ] 1 [ y 2 4 y 4 8 dy = y= y y 2 y 3 2 dy = = 1 8. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

18 Esimerkki 5b (tietokoneella) Esimerkin 5 kaltaisissa tapauksissa kannattaa käyttää symbolista laskentaa. MATLAB:issa on sisäänrakennettuna myös symbolinen laskentaympäristö, jonka saa käyttöön komennolla mupad. Edellisen esimerkin ratkaisu symbolista laskentaa käyttäen: MATLAB (MuPA) int(int(x*y,y=..x),x=..1) 1 8 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

19 Esimerkki 6 Lasketaan funktion f (x, y) = e x2 e x2 da = ( ˆ x Sijoituksella t = x 2, dt = 2x dx saadaan 1 2 e t dt = 1 2 et 1 integraali Esimerkin 5 alueessa. ) e x2 dy dx = t= = e Huom. Integroimisjärjestyksellä on väliä. Integraali ( ) e x2 dx dy on hyvin vaikea laskea. y xe x2 dx Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

20 Epäoleelliset integraalit 1/2 Tähän asti on oletettu, että integrointi tapahtuu rajoitetussa alueessa (siis suorakulmaisen särmiön ˆ sisällä). Monialotteisia integraaleja on mahdollista laskea myös rajoittamattomissa alueissa. Tarkastellaan ainoastaan tapausta, jossa funktio f on ei-negatiivinen eli f (u) kaikilla u. Lasketaan Esimerkin 6 funktion integraali alueessa suorien y = ±x, kun x >, rajoittamassa alueessa Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

21 Epäoleelliset integraalit 2/2 Mikäli integraali on olemassa, sen arvo saadaan laskemalla ˆ ˆ x ˆ e x2 da = e x2 dy dx = 2xe x2 dx x ˆ R = lim 2xe x2 dx. R Integraalin laskemiseksi tehdään muuttujanvaihdot t = x 2, dt = 2x dx, eli ˆ ˆ 2xe x2 dx = e t dt = e t + e = e x2 + e. Siten ˆ R lim R 2xe x2 dx = lim R e x2 R x= = lim R 1 e R2 = 1. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

22 Esimerkki 7 1/2 Olkoon 1 = {(x, y) R 2 : x >, y x 2 } ja f (x, y) = 1/x Lasketaan integraali 1 1 x 2 da = = ˆ x2 2 dx = 2. 1 dy dx x 2 x2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

23 Esimerkki 7 2/2 Lasketaan integraali alueessa 2 = {(x, y) R 2 : x >, y x} = 2 x 1 x 2 dx = 2 1 x 2 da = ˆ x x 1 dy dx x2 2x 3/2 dx = lim R 2x 1/2 1/2 1 x=r =. Suppeneminen riippuu integroitavasta funktiosta ja myös alueesta. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24

24 Esimerkki 7b (tietokoneella) Esimerkin 7 ratkaisu symbolista laskentaa käyttäen: MATLAB (MuPA) int(int(1/x^2,y=-x^2..x^2),x=..1) 2 int(int(1/x^2,y=-sqrt(x)..sqrt(x)),x=..1) Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy / 24