MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
|
|
- Aurora Niemelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 + dx k e k k 2 5kx dx 2. Olkoon a k = (k + 3) 2 (k + 4) 2, k =, 2, 3,... lukujono. Laske lukujonosta kolme ensimmäistä termiä, ja määrää lukujonon raja-arvo, jos jono suppenee. 3. Määritellään tehtävän 2 lukujonon avulla uusi lukujono ( n ) n= siten, että n [ n = (k + 3) 2 (k + 4) 2], n =, 2, 3,.... Laske näin määritellyn lukujonon kolme ensimmäistä termiä. Mikä on lauseke termille n? Määrää lukujonon ( n ) n= raja-arvo, jos jono suppenee. Mitä voit sanoa sarjan (k + 3) 2 (k + 4) 2] suppenemisesta? Osaatko laskea [ sarjan summan? 4. Olkoon a R. Tarkastellaan suppenevaa sarjaa (a) = 8a 4 (4k )(4k + 3). Laske sarjan summa (a) ja määrää reaaliluku a siten, että (a) = Tutki tarkasti perustellen seuraavien sarjojen suppenemista: 3 sin(k) + 7 a) k 3, b) e k (e k + ) 2, c), d) 2k + 6. Määrää seuraavien potenssisarjojen suppenemissäde R: a) 5 ( ) k k k + xk, b) 3k + (x + 2)k, c) ( 4) k k k+ xk, d) Millä reaaliluvun x arvoilla potenssisarja varmasti suppenee? Opastus: 7. Olkoon a reaaliluku. Määrää potenssisarjan ( ) k 2ka k (x a)k lim k suppenemissäde R a. Millä reaaliluvun x arvoilla potenssisarja varmasti suppenee? 8. a) Laske potenssisarjojen avulla raja-arvo lim x x cos(3x) + sinh(3x) 4x x 2 arc tan(x 3. ) b) Määrää potenssisarjojen avulla reaaliluku a siten, että raja-arvo sin(x) xe x2 ax 3 lim x ln( + x 5 ) on olemassa ja äärellinen. Laske myös raja-arvo! k 3. k 3k k + 2 (x e)k. ( + k ) k = e..,
2 9. Hahmottele 2π-jaksollisen funktion f(x) = { x, kun x π, 2π x, kun π < x < 2π kuvaaja ja määrää funktion Fourier-sarja (x). Laske tuloksen (π) = f(π) avulla sarjan (2k ) 2 summalle tarkka arvo. Opastus: Osittaisintegroinnilla voidaan johtaa seuraavat kaavat: t cos(kt) dt = k 2 [cos(kt) + kt sin(kt)] +, t sin(kt) dt = k 2 [sin(kt) kt cos(kt)] +.. Määrää seuraavien funktioiden määritysjoukot ja piirrä ne xy- tai xyz-koordinaatistoon: a) f(x, y) = y 2x 2 +, b) f(x, y) = ln(ln( x 2 y 2 )), c) f(x, y, z) = 4 x2 y 2 z, d) f(x, y, z) = y 2 (z + 2)( x 2 z 2 ).. Piirrä xyz-koordinaatistoon seuraavat pinnat: a) x 2 + y 2 + z 2 = 3, b) z x =, c) z = 2 + x 2 + y 2, d) z = 3 x 2 y 2, e) y 2 + z 2 = 4. Mitkä eo. pinnoista ovat kahden muuttujan funktion z = f(x, y) kuvaajia? 2. lueessa {(x, y) R 2 2 x 2, 4 y } erään puuttoman mäen pohjoisrinteen korkeus voidaan esittää funktiona z = h(x, y) = ( 5 y 4. Piirrä xy-koordinaatistoon arvoja.8,,.25 ) x2 ja.5625 vastaavat tasa-arvokäyrät. Hahmottele funktion h kuvaaja xyz-koordinaatistoon tasaarvokäyrien perusteella. x-, y- ja z-koordinaattien yksikkö on metri. 3. Tutki, onko seuraava raja-arvo olemassa: lim (x,y) (,) 5x 2 y 6 x 4 + y 2. alitse lähestymistieksi origon kautta kulkevat suora y = x sekä käyrä y = 3 x. 4. Olkoon z(x, y) = x c e y x, missä c R on vakio. Määrää vakio c siten, että kaikilla (x, y) R + R. z x = y 2 z y 2 + z y 5. Olkoot a ja b reaalilukuja. Tarkastellaan kahden muuttujan reaaliarvoista funktiota f(x, y) = ax 6 + by 3. a) Laske f(a, b). b) Olkoon u = 4 ı + ȷ suuntavektori. Ratkaise luvut a, b R yhtälöparista { f(a, ) = 6 ı, u f(a, b) =. 6. Olkoon f(u, v) = 3u 2 uv 2 3v kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio. Tarkastellaan tämän funktion käyttäytymistä pisteessä (, ). a) Laske suunnattu derivaatta vektorin 3 ı 4 ȷ suuntaan. b) Mikä on funktion suunnatun derivaatan suurin arvo? c) Mihin suuntaan funktion arvot vähenevät voimakkaimmin? d) Mihin suuntaan funktion arvot muuttuvat vähiten?
3 7. Olkoon a reaaliluku. Olkoot edelleen f(x, y) = ax 2 y 3 ja g(x, y) = ax 2 + y 3 kahden muuttujan reaaliarvoisia funktiota sekä u = ı 2 ȷ suuntavektori. Määrää reaaliluku a siten, että u f(, 2) = u g(, 2). 8. Kappale liikkuu xy-koordinaatistossa käyrää x(t) = t ı + t ȷ pitkin, missä t kuvaa aikaa sekunneissa ja x- ja y- koordinaattien yksikkö on cm. Kappaleen lämpötila ( ) pisteessä (x, y) R 2 on T (x, y) = 3e 2x2 +y 2. Laske ketjusäännön avulla kappaleen lämpötilan muutosnopeus ( /s) hetkellä t >. Johtopäätös? Millä ajan t hetkellä kappaleen lämpötila on suurin? Missä tason R 2 pisteessä kappale tällöin on? 9. Olkoon f(x, y) = x 4 e 3y kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio sekä x = x(s, t) = 2s 2 2t 2, y = y(s, t) = 3st. Käytä ketjusääntöä ja esitä osittaisderivaatat f s ja f t muuttujien s ja t avulla. 2. a) Määrää funktion f(x, y) = 24xy 4xy 2 2x 3 kaikkien kriittisten pisteiden laatu. b) Olkoot a < ja b reaalilukuja. Määrää kahden muuttujan funktion f(x, y) = ax 3 3ax + e by by kaikkien kriittisten pisteiden laatu. 2. a) Määrää Lagrangen menetelmällä funktion f(x, y, z) = 8x y + 8z suurin arvo lisäehdolla y = 3x 2 + 2z 2. b) Peltisakset ja hitsauspuikko kädessä syntynyt Impi Ikiteekkari suunnittelee itselleen kannetonta, lieriönmuotoista paperikoria, jonka korkeus on h ja pohjaympyrän säde r sekä tilavuus. Impi haluaa määrätä korkeuden ja säteen suhteen niin, että peltiä kuluu paperikoriin mahdollisimman vähän. Määrää Lagrangen menetelmällä suhde h r siten, että paperikorin pinta-ala on mahdollisimman pieni, kun paperikorilla on vakio tilavuus =. Mikä on paperikorin pienin pinta-ala? Opastus: Lieriön pinta-ala on 2πrh ja tilavuus πr 2 h, ympyrän pinta-ala on πr Laske a) 3 3 x 2 x xy dy dx, b) 2 4y Piirrä kuvat tasoalueista, joiden yli integrointi suoritetaan. y 4x 2 e y4 dx dy. 23. a) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu käyrien y = x 2 ja y = x 2 sekä suorien x = ja x = 3 leikatessa toisensa. Laske 2x(y + 2) 2 d. b) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu suorien y = 3x, y = 3x ja y = 3 leikatessa toisensa. Laske 9 (y 2 + 3) 4 d. Piirrä kuvat tasoalueista.
4 24. a) Laske integrointijärjestystä vaihtamalla x 28x(y 7 + 2) 3 dy dx. Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. b) Olkoon M reaaliluku. Laske integrointijärjestystä vaihtamalla I M = M 2 M 2 y cos(m 2 x 2 ) M 2 dx dy. Määrää lim M I M. Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. 25. Laske 48xyz d, missä = {(x, y, z) R 3 x 3, y 9 x 2, z 9 x 2 y 2 }. 26. Laske sen kappaleen tilavuus, jota ylhäältä rajoittaa paraboloidipinta z = f(x, y) = 4 x 2 y 2, alhaalta taso z = sekä sivuilta tasot y =, x = ja y = 2 x. Piirrä kuva kappaleesta. 27. a) Laske napakoordinaattien avulla 4 25 x2 y 2 dy dx. 4 6 x 2 Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. b) Olkoon se osa xy-tason ympyrärengasta {(x, y) R 2 2 x 2 + y }, jolle x, y. Laske napakoordinaattien avulla 7x (x 2 + y 2 ) 5 d. 28. Kappaletta rajoittaa ylhäältä paraboloidipinta z = x 2 y ja alhaalta pallopinta z = 5 x 2 y 2 sekä sivuilta lieriöpinta x 2 + y 2 = 3. Laske sylinterikoordinaattien avulla kappaleen tilavuus. 29. Laske sylinterikoordinaattien avulla 2 x 2 +y x 2 x 2 +y 2 2z x 2 + y 2 dz dy dx. + Hahmottele kuva kappaleesta, jota integrointirajat kuvaavat.
5 3. a) Olkoon kappale se osa palloa x 2 + y 2 + z 2 ( 2) 2, jolle x, y ja z. Laske pallokoordinaattien avulla x2 + y 2 + z 2 e (x2 +y 2 +z 2 ) 2 4 d. b) Olkoon R > reaaliluku. Olkoon edelleen kappale = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 R 2, x, y, z }. Laske pallokoordinaattien avulla I R = 96z 3 [(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 + 3] 3 d. Määrää lim R I R. 3. Tutki seuraavien vektorikenttien lähteettömyys ja pyörteettömyys, kun (x, y, z) R 3 : a) v(x, y, z) = (3yz 2 + 5yz + 4z 2 ) ı + (3xz 2 + 5xz + 7) ȷ + (6xyz + 5xy + 8xz) k, b) v(x, y, z) = 2ze x sin y ı + 8ze x cos y ȷ + 3z 2 e x sin y k. 32. Olkoon F (x, y, z) = P (x, y, z) ı + Q(x, y, z) ȷ + R(x, y, z) k : R 3 R 3 vektorikenttä ja f(x, y, z) : R 3 R funktio. Oletetaan, että funktioiden P, Q, R ja f toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Osoita, että a) vektorikenttä F on lähteetön, b) vektorikenttä f on pyörteetön. 33. Totea, että vektorikenttä F (x, y, z) = (6xy+4) ı+(3x 2 4yz 3 ) ȷ+( 6y 2 z 2 +4z 3 ) k on konservatiivinen. Määrää potentiaalifunktio U(x, y, z). 34. a) Laske käyräintegraali (7x y 2 ) dx + 4xy dy, kun on käyrä y = 3 x pisteestä (, 3) pisteeseen (9, 9). b) Olkoon a > reaaliluku. Olkoon edelleen käyrä y = 3x 3 2 pisteestä (, 2) pisteeseen (a, 3a 3 2). Laske käyräintegraalin 6x(y + 2) dx + (x 2 5) dy arvo. Määrää reaaliluku a > siten, että 6x(y + 2) dx + (x 2 5) dy =.
6 35. a) Laske käyräintegraali 3x 2 yz dx + z dy y dz, kun on käyrä x(t) = t ı + e t ȷ + e t k, t. b) Olkoon b reaaliluku. Olkoot edelleen a ja c reaalilukuja. Laske käyräintegraali F d x, kun F (x, y, z) = axy ı + byz ȷ + cxz k on vektorikenttä ja on käyrä x(t) = 5t ı + 6t ȷ + t 2 k pisteestä (,, ) pisteeseen (5, 6, ). Jos b =, niin mikä on lukujen c ja a suhde c a, jotta F d x =. 36. Olkoon käyrä x(t) = sin 3 (t) ı + cos(2t) ȷ, t π 2. Laske käyräintegraali (9x 2 4xy 3 ) dx + ( 6x 2 y 2 + 2y 3 ) dy. 37. Laske (6xy + 4) dx + (3x 2 4yz 3 ) dy + ( 6y 2 z 2 + 4z 3 ) dz, kun on käyrä a) x(t) = (2t 3 ) ı + t 2 sin( π 2 t) ȷ + t cos(πt) k, t, b) x(t) = 5 cos(πt) ı + 5 sin(πt) ȷ + 3 k, t a) Laske Greenin lauseen avulla (7x + 2y 3 ) dx 6xy 2 dy, kun muodostuu seuraavasti: pisteestä (, ) pisteeseen (, 2) suora y = 2x, pisteestä (, 2) pisteeseen (, ) suora x =, pisteestä (, ) pisteeseen (, ) suora y = x. b) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu suorien y = ja y = x + 2 sekä ympyrän kaaren y = 4 x 2, x, leikatessa toisensa. Piirrä kuva tasoalueesta ja laske Greenin lauseen avulla (5x 2 + 3xy) dx + (6xy y 5 ) dy. Opastus: Jaa alue kahteen osaan, joista toiseen sovellat napakoordinaatteja. 39. a) Laske pintaintegraali 37 4z d, kun on se osa paraboloidipintaa z = f(x, y) = 9 x 2 y 2, joka jää tasoalueen = {(x, y) R 2 x, 2x y } yläpuolelle. b) Laske napakoordinaattien avulla pintaintegraali z 3 36 x 2 y 2 d, kun on se osa pallopintaa z = f(x, y) = 36 x 2 y 2, joka jää ympyrärenkaan osan = {(x, y) R 2 5 x 2 + y 2 7, y, x } yläpuolelle.
7 4. a) Olkoon se osa paraboloidipintaa z = f(x, y) = 25 x 2 y 2, joka on tasoalueen = {(x, y) R 2 x, y 3x} yläpuolella. Määrää pinnan ulkoinen yksikkönormaalivektori n ja laske vektorikentän F (x, y, z) = (3x + 5y) ı + (7x + 3y) ȷ + (6z 5) k vuo pinnan läpi. b) Laske napakoordinaattien avulla vektorikentän F (x, y, z) = (6y 7yz) ı + ( 6x + 7xz) ȷ + (8xy + 5(z 5) 3 ) k vuo sen kartiopinnan z = f(x, y) = 5 + x 2 + y 2 osan läpi, joka rajoittuu tasojen z = 6 ja z = 8 väliin. 4. a) Olkoon F (x, y, z) = (6x 5) ı + yz 2 ȷ (2z + 3) k vektorikenttä. Olkoon edelleen pinta se osa funktiopintaa z = f(x, y) = xy, joka on kolmion = {(x, y) R 2 x, y 6x} yläpuolella ja jonka ulkoinen yksikkönormaalivektori on n = ( y, x, ) x2 + y 2 +. Olkoon edelleen pinnan suljettu reunakäyrä. Laske käyräintegraalin F d x = (6x 5) dx + yz 2 dy (2z + 3) dz arvo tokesin lauseen avulla. b) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu ympyrän kaarten y = x 2, x, ja y = 9 x 2, x, sekä suorien x = ja y = leikatessa toisensa. Olkoon edelleen pinta se osa paraboloidipintaa z = f(x, y) = 6 x 2 y 2, joka on tasoalueen yläpuolella. Pinnan suljettu reunakäyrä olkoon. Määrää pinnan ulkoinen yksikkönormaalivektori n ja laske käyräintegraalin 4x dx + z 2 dy + 7yz dz arvo tokesin lauseen sekä napakoordinaattien avulla. 42. a) Olkoon suljettu kappale, jota ylhäältä rajoittaa paraboloidipinta z = f(x, y) = 4 x 2 y 2 ja alhaalta pallopinta z = g(x, y) = 4 x 2 y 2. Laske divergenssilauseen avulla vektorikentän F (x, y, z) = (5x 6xy 2 ) ı + (2y 3 + 7y) ȷ + (3xy + 6z 2 ) k vuo kappaleen pinnan läpi. Käytä sylinterikoordinaatteja! b) Olkoon suljettu kappale, jota alhaalta rajoittaa taso z = sekä ylhäältä ja sivuilta pallopinta z = f(x, y) = 9 x 2 y 2. Laske divergenssilauseen avulla vektorikentän F (x, y, z) = (2x 3xz + 5) ı + (6 2y + 3yz) ȷ + (2x 2 z 2 + 2y 2 z 2 7) k vuo kappaleen pinnan läpi. Käytä pallokoordinaatteja!
8 astauksia harjoitustehtäviin kevät 26. a) hajaantuu b) suppenee, raja-arvo = c) suppenee, raja-arvo = π 2 arc tan(3) d) suppenee, raja-arvo = 2 e) suppenee, raja-arvo = f) suppenee, raja-arvo = 2. suppenee, raja-arvo = 3. n = 6 (n+4), sarja suppenee, sarjan summa = (a) = 2a4 3, a = ±3 5. a) suppenee b) suppenee c) hajaantuu d) hajaantuu 6. a) R = 5, 5 < x < 5 b) R =, 3 < x < c) R =, < x < d) R =, x = e 7. R a = 2 a, 2 a + a < x < 2 a + a 8. a) b) a = 59 6, raja-arvo = 2 9. (x) = π 2 4 π(2k ) cos[(2k )x], 2 (2k ) = π a) {(x, y) R 2 y 2x 2 } b) {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 3 2 } c) {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 < 2 2 } d) {(x, y, z) R 3 z 2 ja x 2 + z 2 2 }. pinnat b), c), d) 2. tasa-arvokäyrät: y = x 2 +, missä = +,,, 2 3. raja-arvo ei ole olemassa 4. c = 5. a) f(a, b) = 6a 6 ı + 3b 3 ȷ b) a = ± ja b = 2 6. a) b) 26 c) 5 ı + ȷ d) ±( ı + 5 ȷ) 7. a = 4 7 dt 8. dt = ( 2t + +t, 3)e 2t2 kappale lämpenee, kun s < t <.25 s, kappale jäähtyy, kun t >.25 s, lämpötila suurin, kun t =.25 s, tason piste (.25 cm,.5 cm) 9. f s = 8(s 2 t 2 ) 3 e 9st (8s 2 t + 6s 8t 3 ), f t = 8(s 2 t 2 ) 3 e 9st (8s 3 8st 2 6t) 2. a) (, ) ja (, 6) satulapisteitä, ( 6, 3) paikallinen maksimipiste, ( 6, 3) paikallinen minimipiste b) (, ) paikallinen minimipiste, (, ) satulapiste 2. a) suurin arvo f(3, 35, 2) = 35 a) suhde h r =, pienin pinta-ala f( 3 π, 3 π ) = 3 3 π a) 27 b) 2(e 6 ) 23. a) ln 5 b) a) b) sin(m 6 ) 2M, raja-arvo = a) π 5 ( ) b) π 6 ( ) 29. 2π arc tan 2 3. a) π 8 ( e 4 ) b) I R = π( 9 (R 6 +3) 2 ), raja-arvo = π 9 3. a) ei lähteetön, pyörteetön b) lähteetön, ei pyörteetön 33. U(x, y, z) = 3x 2 y + 4x 2y 2 z 3 + z a) 64 b) käyräintegraalin arvo = 27 5 a5 5a 3, a = a) b) 5a + 9b + 2c, c a = U(x, y) = 3x 3 2x 2 y 3 + 5y 4 +, käyräintegraalin arvo = a) 4 b) 38. a) 9 b) a) b) 3π 5 ( ) 4. a) 27 b) 484π 4. a) 8 b) a) 24π b) 458π
9 x y z KKOKOELM ÄLI- J LOPPUKOKEIIIN cos x = sin x = e x = cosh x = sinh x = ln( + x) = arc tan x = a = π 2π x k k! = + x + x2 2! + x3 3! +, x R ( ) k x 2k (2k)! ( ) k x 2k+ (2k + )! = x2 2! + x4 4! x6 6! +, x R = x x3 3! + x5 5! x7 7! +, x R x 2k (2k)! = + x2 2! + x4 4! + x6 6! +, x R x 2k+ (2k + )! = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! +, x R x = x k = + x + x 2 + x 3 +, x < ( ) k x k+ f(t) dt k + ( ) k x 2k+ 2k + = x x2 2 + x3 3 x4 4 +, x < = x x3 3 + x5 5 x7 7 +, x < (x) = a 2 + [a k cos(kx) + b k sin(kx)] a k = π 2π f(t) cos(kt) dt b k = π 2π f(t) sin(kt) dt D(x, y) = f xx (x, y)f yy (x, y) [f xy (x, y)] 2 = ρ sin θ cos φ ( = ρ sin θ sin φ (x, y, z) (ρ, θ, φ) = ρ2 sin θ Q P dx + Q dy = x P ) d y = ρ cos θ F (x, y, z) d = F (x, y, f(x, y)) + [f x (x, y)] 2 + [f y (x, y)] 2 d F d x = F n d D( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) g (x)f(x) [g(x)] 2 F n d = F d D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Dx n = nx n D([f(x)] n ) = n[f(x)] n f (x) De f(x) = e f(x) f (x) D ln f(x) = f (x) f(x) D arc tan x = + x 2 D sin x = cos x D cos x = sin x x n dx = xn+ + (n ) n + f (x)[f(x)] n dx = [f(x)]n+ + (n ) n + f (x)e f(x) dx = e f(x) + sin x dx = cos x + dx = ln x + x f (x) dx = ln f(x) + f(x) dx = arc tan x + + x2 cos x dx = sin x +
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 219 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 3k 5 4k 2 ) +5 2k 3, b) 7k +4 k 1 (2x+3) 3 dx, e) ( ln(2k 2 +3) k 1 3 k ) cos(3kπx) dx, c), f) k 1
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotTutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3
2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi C2
Mat-1.110 Matematiikan peruskurssi C Petri Latvala 18. helmikuuta 007 Sisältö 1 Useamman muuttujan funktiot ja niiden differentiaalilasku 1.1 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus ja derivoituvuus... 1.
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja
LisätiedotHyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedot(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
Lisätiedot1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
LisätiedotTilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,
Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotFunktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
LisätiedotVastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)
Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotDemonstraatioharjoitus 1, pe 17.1
Mat-.4 Matematiikan peruskurssi S, kevät 00 Demonstraatioharjoitukset, erä Högnäs Tässä ensimmäinen erä ratkaisuja demonstraatiotehtäviin. (Kuvat ovat melko heikkolaatuisia ja ainoastaan "kvalitatiivisia".)
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
Lisätiedot