ELEC-C30 Sääöekniikka Luku 3: Dynaamien vaeen määriäminen, Laplace-muunno, iirofunkio
Differeniaaliyhälön rakaiu Syeemin ymmärämien ja hallinnan kannala on olennaia ieää, mien lähöuure y() käyäyyy ajan funkiona eri ilaneia ja eri ohjaukilla u(). Koka malli ova differeniaaliyhälöiä, niin lähöuureen käyäyymien elviäminen pelkiyy differeniaaliyhälön rakaiemieen anneuilla heräeillä ja alkuarvoilla. Epälineaarielle ai jakauuneiden paramerien differeniaaliyhälöryhmälle ei aina löydy analyyiä rakaiua Lineaarielle, kooujen paramerien, arkai määrieylle differeniaaliyhälöryhmälle voidaan aina määriää analyyinen rakaiu
Eimerkki: läpivirauäiliö Tarkaellaan läpivirauäiliöä, joa on vapaa purkauuminen ilmanpaineeeen. Heräeenä on ulovirau F in () ja vaeena pinnankorkeu h(). Poiovirau F ou () on uoraan verrannollinen pinnankorkeuden neliöjuureen. Fou () k h() h() F in () Pohjan pina-ala A = m ja purkaukerroin k = m 5/ /h. Alkuhekellä pinnankorkeu h(0) = m Määrieään kauanko äiliön yhjenyminen keää, kun ulovirau kakaiaan; eli F in () = 0 m 3 /h, kun 0. A F ou ()
Eimerkki: läpivirauäiliö Proeille aadaan maaaeea malli: dv () A dh () Fin() Fou () Fin () k h() d d dh() / - m h d h () Rakaiaan pinnankorkeuden aikariippuvuu inegroinnilla h z() z / - / - h( 0) 0 dh() m h d dh() m h h () h () h ( ) / / h () m h h () h( 0) m h h( 0) 0 / - / - d h () h( 0)/ m/ h m i d
Eimerkki: läpivirauäiliö Kun ähän ijoieaan alkuarvo h(0) = m ja loppuilan arvo h( F ) = 0 m, niin äiliön yhjenemien ajanhekeki F aadaan h ( ) 0 / Eli äiliö yhjenee unnia b g F m F h m F h
Lineaarien differeniaaliyhälön rakaiu Edellieä eimerkiä pinnankorkeuden aikariippuvuu (vae ulovirauken kakaiemielle) rakaiiin yeemin epälineaariea mallia uoralla inegroinnilla. Lineaarinen differeniaaliyhälö/-yhälöryhmä voidaan rakaia mekaaniei Laplace-muunnoken avulla Laplace-muunneaan yeemiä kuvaava differeniaaliyhälö ja yeemin ulouuree Rakaiaan aadua algebralliea yhälöä lähöuure Laplace-kääneimuunneaan lähöuureen laueke Sääöekniikan ovellukia kaikki ajan funkio ova nollia ennen alkuhekeä: f ( ) 0, kun 0
Aikaaon ongelma y () y () e y(0) Eimerkki Aikaaon rakaiu y () e Laplace-aon ongelma Y () y(0) Y () y(0) Laplace-aon rakaiu Y()
Laplace-muunno Määrielmä: (f() on ajan funkio ja F() on iä vaaava Laplace-aon eiy) F ( ) L f () fe () d 0 Jo raja-arvo ova olemaa, niin niille päee f () L F () Fed () j b j bj Loppuarvoeoreema Alkuarvoeoreema lim f ( ) lim F( ) lim f ( ) lim F( ) 0 0 Laplace-auluko on eiey eri läheiä hieman erilaiina (yleenä joko niin, eä ajan funkio on helppo Laplace-muunaa ai niin, eä Laplace-aon eiy voidaan kääneimuunaa helpoi.
Laplace-eoreemoja Laplace-muunno Ajan funkio F () f () T CF() CF() C f() C f () T a F ( a) e f ( ) T3 e a F a 0, a F() T4 f( a), a a f( a) T5 d F () f () T6 d
Laplace-eoreemoja Laplace-muunno 0 F f f f n n n ( n) ( n) ( ) (0) (0) (0) ( ) T Ajan funkio F( ) d f( ) T7 F() F () f () f ( ) d T8 F() f (0) f () T9 () (0) (0) () T0 F f f f f F( ) f( ) d f( ) d 0 0 0 T
Laplace-muunnopareja Laplace-muunno Ajan funkio ( ) M n a ( a) n ( )! M n n! a n e a n a a M3 M4 M5 M6 M7 a e M8 ( a) a e e Laplace-muunno Ajan funkio ( a)( b) ab ( a)( b) ab abb ( a) a a a a ( b) a b ( b) a e e b a b a M9 M0 in( a) M co( a) M b b e e ae be in( a) M3 co( a) M4 a b () ( ab) e M5 b
Impuli Diracin dela Akel Penger
Deerminiie eifunkio Syeemin heräeenä u() käyeään uein euraavia ignaaleja Ykikköimpulifunkio (Diracin delafunkio) R ; z S 0 T () d 0; muulloin U () () Ykikköakelfunkio u () () R S u () ; 0 0 T; 0 Ykikköpengerfunkio R S u () ; r 0 0 T; 0 U () U () r u() u() u() 0 0 0
Eimerkki: Maakappale Edelliellä luennolla johdeiin maakappaleelle: Rakaiaan vae, kun R S T mx() Bx( ) kx() F() k 5 B m R S x( 0) x( 0) T F () () (impuli) Maakappaleen malli aikaaoa ja Laplace-muunneuna: c h b g k m F() B () x x ( ) 5x () () X () x() 0 x( 0) X () x() 0 5X () x() c h b g c h X () X () 5X () 5 X () 3
Eimerkki: Maakappale Rakaiaan lauekkeea maakappaleen paikka X(): X() 3 5 ( ) ( ) ( ) Kääneimuunneaan akaiin aikaaoon l q b g x ( ) L X( ) e co( ) e in( ) e in( ) co( )
Nollaila- ja nollaohjauvaee Vaeea voidaan eroaa alkuarvoia johuva vae y 0 () (nollaohjauvae) ja ulkoiea ohjaukea johuva vae y u () (nollailavae). Lineaariella järjeelmällä kokonaivae on näiden kahden vaeen umma. y () yu () y 0 () Nollaohjauvae y 0 () on vae illoin, kun ulkoie ohjauke eivä vaikua yeemiin u i () = 0. Nollailavae y u () on vae illoin, kun kaikki yeemin alkuarvo y (n) (0) ja u i (n) (0) ova nollia. Uein ermillä vae arkoieaan nollailavaea eli vaea johonkin ulkoieen heräeeeen huomioimaa alkuarvoja.
Eimerkki : Maakappale Määrieään edellieä eimerkiä nollaila- ja nollaohjauvaee c h b g c 5h b g X() x() 0 x( 0) x( 0) ( ) X () x() 0 x( 0) X () x() 0 5X () () X() b g x( 0) x( 0) x( 0) () X () Xu() 5 5 0 X() X () X () ( ) ( ) 0 u l q l q 0 u 0 x () L X() L X() X() e co( ) e in( ) x() x() u
Eimerkki : Maakappale Nollaohjauvae lähee alkuilaa yeemin alkuarvojen johdoa (maakappaleen ijaini alkuhekellä on ja en alkunopeu -) Nollailavae lähee levoa ulkoien ohjauken eli voiman johdoa (impulimainen nykäiy alkuhekellä) R S T x () e co( ) 0 x () e in( ) u x () e co( ) in( ) b g
Siirofunkio Sääöekniikaa ukiaan avalliei, mien ulkoie ohjauke ja häiriö vaikuava vaeeeen; alkuarvojen vaikuu jäeään ällöin huomioimaa ja kekiyään nollailavaeeeen. Kun alkuarvoja ei ole, niin vaeen laueke aa muodon, joa lähöuure Y() on ulo mallin Laplace-aon eiykeä G() ja ulouureen Laplace-muunnokea U(). Mallin Laplace-aon eiy G() on nimelään iirofunkio. Y() G() U () U() heräe G() iirofunkio Y() vae z z 0 0 * * * y () g ( ) u( ) d g( ) u ( ) d
Siirofunkion määriäminen Laplace-muunneaan yeemiä kuvaava differeniaaliyhälö oleaen kaikki alkuarvo nolliki (ällöin derivoinia vaaa Laplace-aoa :llä kerominen) Siirofunkio G() on lähöuureen Y() ja ulouureen U() oamäärä. Y () G () U() Mikäli ulo- ja lähöuureia on ueia (MIMO-malli), niin ykiäien ulouureen vaikuu ykiäieen lähöuureeeen voidaan määriää oleamalla muu uuree nolliki. Kun ämä oieaan jokaielle ulo- ja lähöuureelle, niin aadaan iirofunkiomariii, joka noudaaa mariiiyhälöä Y() G() U()
Siirofunkion määriäminen L NM Y () Y () Y n y () O QP L NM G() G() G n () u G() G() Gn () u G () G () G () U U MM Q NU y y y u u n n n n n O P L M () () () O P PP Q Painofunkio g() on Laplace-kääneimuunno iirofunkioa ja amalla myö yeemin ykikköimpulivae. Joiain apaukia iirofunkio voidaan määriää kokeelliei yöämällä yeemiin impulimainen heräe, miaamalla vae ja Laplace-muunamalla vaeeeen ovieu maemaainen laueke. g () L G ( ) G () Lg ()
Differeniaaliyhälöä iirofunkioon Differeniaaliyhälöä voidaan päää iirofunkioon myö oikoieä. Yleinen lineaarinen differeniaaliyhälö ( n) ( n ) ( ) ( n ) ( ) y () a y () a y () a y() bu () b u () b u() n on Laplace-muunneuna (ja oleaen alkuarvo nolliki) n n n n n n n Tää on helppo muodoaa iirofunkio Vaaavai pääään iirofunkioa akaiin differeniaaliyhälöihin n a a a Y() b b b U() G () Y() b b bn n U() a a a n n n n n n n
Eimerkki: Maakappale Määrieään edellien eimerkin iirofunkio ja painofunkio () x x( ) 5x() F() y () x () u () F () () y y ( ) 5y () u () Y () Y () 5Y () U() R S T c Y 5h () Y() U() G() U() 5 l q RST UVW R U g () L G () L L e S V T( ) W 5 in( ) Painofunkio on ny ama kuin ykikköimpulivae
Vaeen määriäminen Kun iirofunkio unneaan, niin vae (nollailavae) lakeaan euraavai Laplace-muunneaan ulkoinen ohjau u() Rakaiaan lähöuure Y() Kääneimuunneaan lähöuure aikaaoon U() L u() l q Y () G() U () y () L Y () l q Eli: m l qr y () L G () Lu ()
Eimerkki: Maakappale Määrieään maakappaleelle ykikköakel- ja - pengervaee. Aikaiemmin yeemille määrieiin iirofunkio Ykikköakeleelle Vaeelle: G () 5 U() Y () G () U () Tehdään oamurokehielmä: 5 ( 5) A B C A ( 5) B ( C) ( A B) ( A C) 5A ( 5) 5 ( 5) ( 5) ( AB) ( AC) 5A R S T A B 0 AC 0 5A R S T A 5 B C 5 5
Eimerkki: Maakappale Y() ( 5) 5 5 ( ) ( ) 5 5 5 Vaeeki aadaan: Pengerheräeellä: U() l q e c hj 5 y () L Y () e co( ) e in( ) Y () G () U () 5 ( 5) Oamurokehielmän avulla vaeeki aadaan : l q c h 5 5 5 0 y () L Y () e 3 co( ) e in( )
Eimerkki: Maakappale Kaoaan, mien vaee aadaan lakeua MATLABia ymboliei ilaplace(/(^3+*^+5*)) an=/5-/5*exp(-)*co(*)-/0*exp(-)*in(*) ilaplace(/((^)*(^+*+5))) an =/5*-/5+/5*exp(-)*co(*)-3/50*exp(-)*in(*) Saadaan ama uloke
Saainen vahviu Syeemin aainen vahviu keroo kuinka paljon ignaali vahviuu ai vaimenee kuljeuaan yeemin läpi Ykikköakelvaeella aainen vahviu keroo mille aolle vae ulee jäämään (aympooiei abiililla yeemillä) Ykikköpengervaeella aainen vahviu keroo vaeen kulmakeroimen jakuvuuilaa (aympooiei abiililla yeemillä) Saainen vahviu voidaan lakea iirofunkioa rajaarvon avulla. Saainen vahviu voidaan määriää myö epäabiilien yeemien iirofunkioille, mua ällöin illä ei ole fyikaalia ulkinaa, joka liiyii vaeen loppuarvoon. Saainen vahviu on k lim G( ) 0 l q
Eimerkki: Maakappale Määrieään maakappaleelle yeemin aainen vahviu G () Saainen vahviu nähdään myö vaeia Ykikköakelvae Ykikköpengervae l 5 k lim G( ) lim q 0 0 RST 5 UVW 5 y () e 5 c co( ) e in( ) e hj y () e 3 co( ) e in( ) 5 c 5 5 0 h
MATLAB: malli, heräee ja vaee Mallin yöäminen yöilaan Siirofunkion ai ilaeiyken voi kirjoiaa f, zpk ja komennoilla. Eimerkiki eimerkki :n mekaaninen järjeelmä Järjeelmää kuvaa differeniaaliyhälö: mx () Bx () kx() F() x() x () 5 x() u() Syöeään yöilaan y=f(,[ 5]) Tranfer funcion: ------------- ^ + + 5 Tarkaellaan impuli- ja akelvaeia [imp,]=impule(y); (Tai: [imp,]=impule(f(,[ 5])); ) [e,]=ep(y); plo(,imp) plo(,e)
MATLAB: malli, heräee ja vaee Saadaan vaee Vahviukeki aadaan k=dcgain(y) k =0.000 Vaeia voidaan arkaella myö liview-ikkunan avulla liview file -> impor -> y edi -> plo configuraion
MATLAB: malli, heräee ja vaee Peruvaeiden liäki voidaan MATLABin yöilaa lakea vaeia mielivalaiille ohjaukille limkomennolla. Pengervae ram=lim(y,,); plo(,ram) Sinivae oc=lim(y,in(0*),); plo(,oc) lim komenoa varen voidaan oaa jollain oiella komennolla lakeu valmi aikavekori, ai generoida ellainen ie, joko yleiellä MATLABin komennolla (kakoipieillä) ai eriyiellä linpace-komennolla 3=(0:0.:0)'; 3=linpace(0,0,0)';
MATLAB: malli, heräee ja vaee Aikaiemmilla luennoilla kerroiin, eä peruvaee aadaan oiiaan derivoimalla ja inegroimalla. Kokeillaan, mien hyvin ämä oimii numeeriei Oeaan akelvae pohjaki ja generoidaan impulivae numeeriella derivoinnilla ja pengervae numeeriella inegroinnilla Akelvaeen numeerinen derivaaa imp=diff(e)./diff(); plo(,[0;imp],,imp) Akelvaeen numeerinen inegraali dela=mean(diff()) ram=cumum(e)*dela; plo(,[ram ram]) Numeerinen derivoini ja inegroini oimiva kohuullien hyvin ää (häiriöömää) apaukea.
MATLAB: vaeiden lakena ymboliei Vaeia voidaan lakea ymboliei MATLABin Symbolic Mah Toolboxilla. Määriellään ymbolie muuuja ja lakeaan vaee ym G=/(^+*+5) ilaplace(g) an = -/6*(-6)^(/)*(exp((-+/*(-6)^(/))*)-exp((-- /*(-6)^(/))*)) Siirofunkion nimiäjällä on komplekie juure ja euraukena vaeea on komplekiia ermejä (voidaan muunaa reaaliiki ineiki ja koineiki - Eulerin kaavalla). Kannueaan kuienkin ymbolia lakenaa eiämään rakaiu reaaliea muodoa - eieään nimiäjä neliölliinä ermeinä. G=/((+)^+^) imp=ilaplace(g) imp = /*exp(-)*in(*) e=ilaplace(g/) e = /5-/5*exp(-)*co(*)-/0*exp(-)*in(*) ram=ilaplace(g/(^)) ram = /5*-/5+/5*exp(-)*co(*)-3/50*exp(-)*in(*)
MATLAB: vaeiden lakena ymboliei Ajalle voidaan ny ijoiaa arvoja ja vaee voidaan eiää graafiei Symbolic Mah Toolboxia voidaan arkaella ymboliia graafeja ezplokomennolla. ezplo(imp,[0 6]) ezplo(e,[0 6]) ezplo(ram,[0 6])
Loppu- ja alkuarvoeoreema Loppu- ja alkuarvoeoreema päevä ainoaaan, jo kyeie raja-arvo ova olemaa Kokeillaan eoreemien oimivuua kahdelle vaeelle y () ja y (): 3 y() e y () 3 7 Vaeiden Laplace-muunnoke ova e Y () Y () 3 ( ) 3 ( )
Loppu- ja alkuarvoeoreema 3 lim Y ( ) lim ( ) 3 3 lim Y ( ) lim 0 0 ( ) 3 lim Y ( ) lim ( ) 3 lim Y ( ) lim ( ) 3 0 0 3 y e y e 3 7 y e 3 7 y e lim ( ) lim 0 0 lim ( ) lim 3 3 lim ( ) lim 0 0 lim ( ) lim Loppu- ja alkuarvoeoreema päevä ainoaaan vaeelle y (). Vae y () on epäabiili ja ille päee ainoaaan alkuarvoeoreema loppuilalla ei ole olemaa raja-arvoa Yleiei loppuarvoeoreema päee ainoaaan aympooiei abiileille yeemeille.
Tilaeiykeä iirofunioon Konvoluuioinegraalin rakaieminen on yölää ja uein pääään helpommalla, jo ilayhälö jäeään Laplace-aoon, heräe Laplacemuunneaan ja vae kääneimuunneaan (aivan kuen yleieä vaeen rakaiemiea). Lähöuureelle aadaan vaaavai: X I A x I A BU () ( ) (0) ( ) () Y CX DU C I A x I A BU DU () () () ( ) (0) ( ) () () C IA x C IA BD U C x G U Y ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) () Y () 0 u x I A x I A BU () L ( ) (0) L ( ) ( ) () x(0) L ( I A) BU() x0() xu() y() L ( ) Y
Tilaeiykeä iirofunkioon Tää aadaan kaava, jonka avulla voidaan määriää iirofunkio ilaeiykeä (iirofunkiohan määrieliin ulouureiden ja lähöuureiden välieki riippuvuudeki Laplace-aoa illoin kun alkuarvoja ei oea huomioon) G() C( IA) BD Uein uoravaikuuermiä D ei ole, jolloin kaava vielä ykinkeraiuu muooon G() C( IA) B
Eimerkki: Maakappale Rakaiaan maakappaleen ykikköakelvae (nollailavae) iirofunkion avulla Vaeeki aadaan 0 () C( I A) B 0 5 G 0 0 5 5 5 y () L Y() L GU () () L e co( ) e in( ) 5 ( 5) U()
Malli ja muunnoke niiden välillä Todellinen yeemi Tilojen valina Epälineaarinen differeniaaliyhälö Epälineaarinen ilaeiy Linearioini Tilojen eliminoini Linearioini Lineaarinen differeniaaliyhälö Tilojen valina Lineaarinen ilaeiy =e A L{ } Tilojen eliminoini L - { } Kanonie muodo Siirofunkio G=C(I-A) - B+D L - { } L{ } Painofunkio eli impulivae d/d Tilaeiyken yleinen rakaiu Tilaniiromariii Akelvae d/d Pengervae