Osa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos
|
|
- Tarja Manninen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Oa VII Laplace muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Laplace-muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet Laplace-muunno Laplace-käänteimuunno Laplace-muunnoken lineaariuu Alkeifunktioiden Laplace-muunnokia Hyperboliet ja trigonometriet funktiot Potenifunktiot ja Gammafunktio Siirto :n uhteen Muunnoten olemaaolo 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia Olkoon f : R + C. Tarkatellaan komplekilukua, Re >. Uein on ykinkertaieti reaalinen. Funktion f Laplace-muunno L {f } L {f }() : on määritelty niillä joilla integraali uppenee. e t f (t) dt, (1.1) Ooittautuu, että jo integraali (1.1) uppenee jollekin, Re >, niin e uppenee kaikilla >. eli alueea H α : { C : Re > α R} jollakin vakiolla α >. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
2 Konventioita Laplace-käänteimuunno Merkitään jatkoa t:n funktioita pienillä kirjaimilla ja niiden muunnokia ioilla, ii eim. F on f :n muunno ja X on x:n muunno. Laplace muunnoken argumentti on funktio, e ei ii riipu t:tä. On ii oikein kirjoittaa L {f }. Kun tarkoitetaan muunnoken arvoa tietyä piteeä, kirjoitetaan L {f }(). Merkintä L {f (t)} on harhaanjohtava, tulohan ei riipu t:tä. Jo ii haluamme ottaa muunnoken funktiota t in 2t on oikein kirjoittaa L {t in 2t}. Uein tämä kuitenkin kaiketa huolimatta lyhennetään muotoon L {t in 2t} L {in 2t}, Oletetaan että F : H α C, ja F () L {f }() e t f (t) dt, niin funktiota f kututaan funktion F Laplace-käänteimuunnokeki ja merkitään f L 1 {F }. Erityieti ii L 1 {L {f }} f ja L {L 1 {F }} F. joa t kuvaa ii geneeritä arvoa ei jotakin tiettyä t arvoa. Mutta muotoa L {f (t)} ei ole yytä käyttää. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Johdanto Eimerkki 1 Laplace muunno on integraalimuunno, kuten myö Fourier muunno. Se on muotoa f F, F () k(, t)f (t) dt, joa integraali on f määrittelyalueen ja k(, t) on muunnoken ydin. Fourier muunnoken tapaukea integoidaan reaaliakelin, k(, t) e ti Laplace muunnokea t [, ], C + ja k(, t) e t. Laplace ja myö Fourier muunnoken tärkeimpiä ovellukia differentiaali ja integraaliyhtälöiden teoria. Laketaan vakiofunktion f (t) 1, kun t Laplace-muunno F (). L {f }() L {1}() Huomaa, että e t e} tre {{} e} tiim {{} 1 > nimenomaan koka oletamme Re > e t dt 1 e t 1, t (Re > ). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
3 Eimerkki 2 Laplace-muunnoken lineaariuu Laketaan ekponenttifunktion f : t e αt, miä α on vakio ja t Laplace-muunno F. L {e αt }() e t e αt dt 1 α e ( α)t. Kun Re ( α) > eli Re > α, aadaan L {e αt } 1 α. t Laue 1 Laplace-muunno on lineaarinen kuvau: Jo f, g ovat funktioita, joille muunno L {f }() on olemaa kaikilla > α f, muunno L {g}() on olemaa kaikilla > α g, ja a, b C ovat vakioita, niin kaikilla > max{α f, α g } L {af + bg}() al {f }() + bl {g}(). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Toditu Hyperboliet funktiot Väite euraa uoraan määritelmätä ja integraalioperaattorin lineaariuudeta: Oletetaan Re > max{α f, α g }.Silloin L {af + bg}() a e t [af (t) + bg(t)] dt f (t)e t dt + b al {f }() + bl {g}(). g(t)e t dt Laketaan hyperbolien koinin ja inin Laplace-muunnoket. Koka coh at (e at + e at )/2, aadaan Laueeta 1 ja Eimerkitä 2 L {coh at} 1 2 ( L {e at }+L {e at } ) 2( 1 1 a + 1 ) + a Vataavati inh at (e at e at )/2 ja L {inh at} 1 2 ( L {e at } L {e at } ) 1 1 2( a 1 ) + a 2 a 2. a 2 a 2. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
4 Koini ja ini (ratkaiu reaalianalyyin avulla) Sijoittamalla f (t) co ωt ja g (t) e t oittaiintegrointikaavaan b a f (t)g b (t) dt f (t)g(t) b a f (t)g(t) dt aadaan L {co ωt}() L {in ωt}() ta e t e t co ωt dt co ωt ω t 1 ω L {in ωt}(). e t in ωt dt ω L {co ωt}(). e t in ωt dt Koini ja ini (ratkaiu reaalianalyyin avulla, jatkoa) Olemme johtaneet L {co ωt}:lle eityken L {in ωt}:n avulla ja kääntäen. Sijoitetaan ne toiiina: L {co ωt}() 1 ω L {in ωt}() 1 ω ( ω ) L {co ωt}, ) (1 + ω2 2 L {co ωt}() 1 2, L {co ωt}() ω 2. L {in ωt}() ω L {co ωt}()... ω 2 + ω 2. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Muunoken realiuu Huomatu Jo f : R + R, eli f (t) R kaikilla t >, L {f }() eli L {f }() R kaikilla > ; f (t)e t }{{} R, > dt R Trigometriten funktioiden Laplace muunno aadaan myö käyttäen komplekianalyyiä: Erityieti in t, co t R kaikilla t >. (1) Sijoitetaan a iω Eimerkiä 2, ja toiaalta (2) käytetään Eulerin kaavaa e iωt co ωt + i in ωt ja muunnoken lineaariuutta, L {e iωt }() L {e iωt }() (1) 1 + iω iω ( iω)( + iω) 2 + ω 2 + i ω 2 + ω 2 (2) L {coωt + i in ωt} + iω 2 + ω 2 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Potenifunktio (luonnolliet luvut) Tutkitaan potenifunktion f (t) t n Laplace-muunnota, kun n, 1, 2,.... Eimerkin 1 nojalla, L {t 1} ( 1 ). L {t n+1 } voidaan ilmaita L {t n } avulla oittaiintegroimalla L {t n+1 }() Induktiolla aadaan yleieti e t t n+1 dt 1 e t t n+1 t } {{ } + n + 1 L {t n }() n L {tn 1 }() (n)! n+1. e t t n dt. } {{ } L {t n }() A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
5 Gamma-funktio Halutaan määritellä Laplace-muunno funktiolle t a, kun a > on reaalinen vakio. Tulo on helppo kirjoittaa Gamma-funktion Γ() t 1 e t dt, C + avulla. Jo Re niin integraali yllä uppenee iteieti. Gamma-funktiolle pätee, Γ(1) 1 Γ(1/2) π Γ( + 1) Γ(), C, Re Γ(n + 1) n Γ(n)... n!, n, 1, 2,... Huomaa Gamma-funktion ja kertoman yhtey. Kolmannen väitteen voi nähdä ooittaiintegroimalla: Γ( + 1) t e t dt t e t + }{{} t 1 e t dt Γ() A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Kuva: Gamma-funktio reaaliakelilla. Huomaa erityieti lokaali minimi piteiden 1 ja 2 väliä. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Potenifunktio t a, a > Lähdetään liikkeelle Laplace-muunnoken määritelmätä. Oletetaan > ja tehdään muuttujanvaihto x t L {t a } Saadaan e t t a dt ja erityieti, koka Γ(n + 1) n!, e x( x ) a dx L {t a } (a+1) Γ(a + 1), 1 a+1 e x x a dx, } {{ } Γ(a+1) Kuva: Funktio h(z) Γ(z) komplekitaoa. L {t n } n! n+1. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 2 / 246
6 Siirto :n uhteen Toditu Jo L {f } on tunnettu, niin funktion e at f (t) Laplace-muunno aadaan helpoti: Laue 2 Oletetaan, että f on Laplace-muuntuva, ja en muunno on F () kun Re > α. Tällöin kaikilla a C eli L {e at f (t)}() F ( a) e at f (t) L 1 {F ( a)}(t), kun Re ( a) > α Re > α + Re a. Suoraan määritelmätä aadaan F ( a) e ( a)t f (t) dt e t [e at f (t)] dt L {e at f (t)}. Jo F () on olemaa, kun Re > α, niin integraali on olemaa, kun Re ( a) > α. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Eimerkki Etitään käänteimuunno f lauekkeelle F () L {f }() Käyttämällä käänteimuunnoken lineaariuutta laueke voidaan kirjoittaa oamurtoina, in ja co muunnokina Välittömäti iirtolaueeta ja trigonometriten ja hyperboliten funktioiden muunnokaavoita aadaan L {e at a co ωt}, L {e at ω in ωt}, ( a) 2 +ω 2 ( a) 2 +ω 2 L {e at a coh ωt}, L {e at ω inh ωt}. ( a) 2 ω 2 ( a) 2 ω 2 Valitemalla a 1 ja ω 41 a 2 2 nimittäjä voidaan kirjoittaa ( a) 2 + ω 2 ( 2 2a + a 2 ) + ω joten F () 3( + 1) 14 ( + 1) ( + 1) ( + 1) , f (t) L 1 {F }(t) e t (3 co 2t 7 in 2t). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
7 Exponentiaalinen kavu Integraali täyttää kavuehdon Jo g täyttää kavuehdon vakioilla M ja α niin integraalifunktio Sanomme että funktio f täyttää exponentiaalien kavuehdon jo on olemaa vakiot M > ja α > iten että kaikilla t määrittelyalueellaan f (t) Me αt. (1.2) Kavuvauhti on tärkeä, koka e antaa riittävän ehdon Laplace muunnoken uppenemielle. f (t) g() + g(t) dt täyttää ehdot vakioilla M g() + M α ja α α: Huomattavaa on, että kavuvauhti α ei muutu. Toditu: f (t) g() + g(t) dt g() + M e αt dt g() + M α (eαt 1) ( g() + M α )eαt A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Kaikki alemmat derivaatat täyttävät kavuehdon Laplace-muunnoken olemaaolo Jo f (n) täyttää kavuehdon vakioilla M n, α niin f (k), k, 1,..., n 1 täyttää kavuehdon vakiolla M k, α. M k riippuu arvoita f (k+1) (), f (k+1) (),..., f (n) (). Tod: Kun n 1 ja k valite edellieä kalvoa g f. Yleieä tapaukea valite f f (n) ja g f (n 1) ja käytä induktioita. Laue 3 Jo niin f (t) on määritelty ja paloittain jatkuva t R + ja f täyttää exponentiaalien kavuehdon vakioilla M ja α, Laplace-muunno L {f }() on olemaa ja analyyttinen H α ja L {f }() < C k jollakin vakiolla C ja k. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
8 Olkoon nyt ɛ ( α + Re )/2 jolloin α < α + ɛ Re ɛ < Re ja Toditu Laplace muunno on olemaa kaikilla H α : L {f }() F () F () Analyyttiyy euraa jo lauekeea F () e t f (t) dt f (t) e t dt integraali todella uppenee kaikilla H α. Me αt e tre dt ( t)e t f (t) dt M Re () α. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 F () te tɛ e t(ɛ Re ) f (t) dt }{{}}{{} 1/(ɛe) Me ɛt M eɛ 2 4M e (α Re ) 2 joten F on analyyttinen funktio puolitaoa H α. Edelleen F (k) () ( t) k e t f (t) dt 4M ke k ɛ 2 4M (α Re ) 2 ke k Väite, että F voidaan rajoittaa avulla aadaa euraavati: Kun R, edeltä näkyy että F () < 4M/ 2 kun > 2α. Yleinen tapau H α aadaan tarkatemalla analyyttitä funktiota F φ ykikköympyrää joa φ on Möbiukuvau joka vie piteet φ : (α + ɛ, α ± i) (, ±i). Nyt φ(1) ja φ() α + ɛ ja F φ(ω) kavua voidaan tarkatella MacLaurin -arjan avulla. Ykityikohdat ohitetaan. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Käänteimuunnoken olemaaolo Toditu Laue Oletetaan: F on analyyttinen funktio puolitaoa H α : { C : Re > α}. On olemaa vakiot M ja k >, iten että F () M k, H α. Tällöin on olemaa funktio f, jolle F () L {f }(), L 1 {F }(t) f (t) : 1 2π δ+i δ i miä δ voidaan valita vapaati, kunhan δ > α. e t F () d, Oletetaan, että δ > α ja C γ R Γ R, joa γ R [δ + ir, δ ir], kuten kuvaa (nk. Bromwichin polku). Oletetaan, että on ellainen pite C:n iällä, että Re > δ > α. Koka F on alueea analyyttinen, aadaan Cauchyn integraalikaavata 2πi F () C F () z dz γ R F () z dz + Γ R F () z dz A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
9 Mutta ML-epäyhtälötä aadaan uurille R:n arvoille F () z dz MR R k (R ), R joten Γ R δ+i F () 2πi F () δ i z dz Koka liäki L {e zt }() 1 z aamme L {g}() F () L {g}() 1 δ+i F (z) 2πi z dz L {g}() 1 2πi { L g(t) 1 2πi δ i δ+i δ i δ+i δ i F (z) L {e zt } dz } F (z)e zt dz () kun g f. Laplace muunnoken ykikäitteiyydetä euraa ettei muita funktioita f ole. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta Derivaatan Laplace-muunno Integraalin Laplace-muunno Differentiaaliyhtälö ja Laplace-muunno 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Johdanto Laplace-muunno on erityien hyödyllinen ratkaitaea differentiaaliyhtälöitä ja niihin liittyviä alkuarvo-ongelmia. Ajatukena on, että funktioiden derivointi ja integrointi vataa muunnoten algebralliia operaatioita. Karkeati voidaan ajatella, että f :n derivointi vataa L {f }:n kertomita :llä ja f :n integrointi L {f }:n jakamita :llä. Derivaatan Laplace-muunno Laue 1 Olkoon f : R + C ja f (m) paloittain jatkuva ja toteuttaa ekponentiaalien kavuehdot (1.2) jollakin vakioilla α, M: f (m) (t) Me αt, t > (2.1) Tällöin L {f (k) } on määritelty kaikille k 1, 2,..., m ja L {f }() L {f }() f (), L {f }() 2 L {f }() f () f (), L {f }() 3 L {f }() 2 f () f () f (), k 1 L {f (k) }() k L {f }() k j f (j) (). j A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
10 Toditu Eimerkki 1 Oletetaan että funktio g on paloittain jatkuva. Suoraan määritelmätä aadaan oittaiintegroimalla L {g } e t g (t) dt e t g(t) + e t g(t) dt. t }{{}}{{} g() L {g} Jo f (m) toteutaa kavuehdon, myö kaikki alemmat derivaatat f (k), k, 1, 2,..., m toteuttavat en (kato aikaiemmin). Yleinen f (k) kokeva väite aadaan induktiolla; ijoitetaan edellieen g(t) f (k 1), jolloin aadaan väite f (k) :lle. Tutkitaan funktiota f (t) t in ωt. Tällöin f (), f (t) in ωt + ωt co ωt, f (), f 2ω co ωt ω 2 t in ωt. Laketaan L {f } käyttäen hyväki Lauetta 1. Saadaan ii L {f } 2ω 2 + ω 2 ω2 L {f } 2 L {f }, L {f } L {t in tω} 2ω ( 2 + ω 2 ) 2. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Eimerkki 2, koinin ja inin muunnoket Tarkatellaan funktiota f (t) co ωt. Nyt f () 1, f (), f (t) ω 2 co ωt. Käyttämällä Lauetta 1 ja Laplace-muunnoken lineaariuutta aadaan Sii L {f } 2 L {f } ω 2 L {f }. L {f } L {co ωt} 2 + ω 2. Vataavati funktiolle g(t) in ωt aadaan g(), g () ω co ωt, joten aadaan Saadaan L {g } L {g} ωl {co ωt}. L {inωt} ω ω L {co ωt} 2 + ω 2. Integraalin Laplace-muunno Laue 3 Oletetaan, että f (t) on paloittain jatkuva funktio, kun t ja en Laplace-muunno F () toteuttaa ekponentiaalien kavuehdon (1.2) vakioilla M, α. Tällöin { t } L f (u) du 1 t { 1 F (), eli f (u) du L }, 1 F () kun >, > α ja t >. Tämä tulo on erityien hyödyllinen Laplace-käänteimuunnoten etimieä. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
11 Toditu Differentiaaliyhtälön ratkaieminen Laplace-muunnoken avulla Olemme jo aikaiemmin ooittaneet että g(t) t f (u) du toteuttaa ekponentiaalien kavuehdon (1.2). Koka g (t) f (t) paiti niiä piteiä, joia f (t) ei ole jatkuva, g(t) on paloittain jatkuva. Edelleen, g() ja Laueen 1 nojalla L {f (t)} L {g (t)} L {g(t)} g() L {g(t)}. Tarkatellaan alkuarvo-ongelmaa y + ay + by r(t), y() K, y () K 1. Tehdään muunno Y L {y}, R L {r}. Saadaan [ 2 Y () y() y ()] + a[y () y()] + by () R(). Tämä voidaan edelleen kirjoittaa muotoon ( 2 + a + b)y () ( + a)y() + y () + R(). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Differentiaaliyhtälön ratkaieminen.., jatkoa Eimerkki Kirjoitetaan Saadaan Q() a + b 1 ( a)2 + b 1 4 a2 Ratkaitaan y y t, y() 1, y () 1. Tekemällä Laplace-muunno aadaan 2 Y y() y () Y 1/ 2, Y () [( + a)y() + y ()]Q() + R()Q(). Erityieti, jo y() y (), niin Y RQ. Tulokena aadaan y L 1 {Y }. Huomautu: Tää joudutaan uein lakemaan oamurtoja. eli Nyt Q() 1/( 2 1), ja ii ( 2 1)Y / 2. Y ( + 1)Q ( 2 1). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
12 Eimerkki, jatkoa Sieventämällä ja uorittamalla jako oamurtoihin aadaan Y y L 1 {Y } L 1 { 1 1 e t + inh t t. } + L 1 { } L 1 { 1 2 } Eimerkki Ratkaitaan alkuarvo-ongelma y + y + 9y alkuarvoilla y(), 16, y (). Käyttämällä derivaatan Laplace-muunnoken kaavaa aadaan Ratkaitaan Y. Saadaan eli, 16( + 1) Y Käänteimuunnokella aadaan 2 Y, 16 + Y, Y. ( )Y, 16( + 1), y(t) L 1 {Y } e t/2(, 16 co, 16( + 1/2) +, 8 ( + 1/2) /4. 35, 8 35 ) t + in 4 35/4 4 t e,5t (, 16 co 2, 96t +, 27 in 2, 96t). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Siirretty alkuarvo-ongelma Eimerkki Ratkaitaan alkuarvo-ongelma y + y 2t, y(π/4) π/2, y (π/4) 2 2. Jo alkuarvo-ongelman alkuarvot on annettu piteeä t > muunnetaan ongelma ijoitettamalla t t + t. Koka t t t Laplace-muunnota voidaan oveltaa ongelman ratkaiemieki tarkatelalla ongelmaa t funktiona. Saadaan t π/4, t t + π/4. Ratkaitava ongelma on ỹ + ỹ 2( t + π/4), ỹ() π/2, ỹ() 2 2, miä ỹ( t) y(t). Laplace-muunnoken avulla aadaan 2 Ỹ π/2 (2 2) + Ỹ 2/ 2 + π/(2), joten ( 2 + 1)Ỹ 2/ 2 + π/(2) + π/ A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
13 Eimerkki, jatkoa Ratkaiemalla Ỹ aadaan 2 Ỹ ( 2 + 1) 2 + π/2 ( 2 + 1) + π/ Kahden eimmäien termin käänteimuunnoket lakettiin Eimerkiä 3, kaki viimeitä ovat inin ja koinin muunnoket (kertaa vakio). Ratkaiu on ii ỹ L 1 {Ỹ } 2( t in t) π(1 co t) π co t + (2 2) in t. 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia Siirto t:n uhteen Diracin deltafunktio Konvoluution Koka t t π/4, in t (in t co t)/ 2 ja y(t) 2t in t + co t. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Uein eiintyvien funktoiden Laplace-muunnokia f (t) L {f } / 2. t 1/ 2 3. t 2 2!/ 3 4. t n, n 1, 2,... n! n+1 Γ(a+1) a+1 5. t a, a > 6. e at 1 a 7. co ωt 2 +ω 2 8. in ωt ω 2 +ω 2 9. coh at 2 a 2 1. inh at a 2 a e at co ωt a ( a) 2 +ω e at in ωt ω ( a) 2 +ω 2 Heaviiden funktion Laplace-muunno Tarkatellaan ykikköakelfunktiota eli Heaviiden funktiota u(t): {, kun t < a, u(t a) 1, kun t a, kun a. Suoraan määritelmätä aadaan L {u(t a)} e t u(t a) dt Heaviiden funktion muunnokeki ii aadaan L {u(t a)} e at, ( > ). a e t 1 dt e t ta. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
14 Siirto t:n uhteen Toditu Kirjoitetaan Laue 1 Jo funktio f (t) on Laplace-muuntuva kun > α, niin iirretyllä funktiolla {, kun t < a, g(t) f (t a)u(t a) f (t a), kun t a. on muunno kun > α ja L {g}() L {f (t a)u(t a)}() e a F (). e a F () e a e τ f (τ) dτ Sijoitetaan τ + a t ja aadaan e a F () a e t f (t a) dt. Siirretään integrointiväliä funktiolla u(t a) e a F () e t f (t a)u(t a) dt e (τ+a) f (τ) dτ. e t f (t) dt. Integraali yhtälön oikealla puolella on haluttu Laplace-muunno. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Eimerkki 1: ykikköakelfunktion käyttö Eimerkki 1: ykikköakelfunktion käyttö, jatkoa Ilmaitaan funktio 2, kun t < 1, 1 f (t) 2 t2, kun 1 a < π/2, co t, kun t π/2. ykikköakelfunktion avulla, ja laketaan en Laplace-muunno. Funktio f (t) voidaan kirjoittaa f (t) 2(1 u(t 1))+ 1 2 t2( u(t 1) u(t 1 2 π)) +(co t)u(t 1 2 π). Lauetta 1 voidaan oveltaa erikeen kaikkiin termeihin, joia eiintyy muotoa f (t a)u(t a) oleva funktio. Jäljelle jää termi 2(1 u(t 1)), jonka muuno on 2(1 e )/. Laketaan L { (t 2 /2)u(t a) } ( ) e 2 { 1 L 2 t2( t 1 )} ( 1 2 π 3 + π π2 ) e π/2 8 { L (co t) (t 1 )} 2 π e π/2. L {f } aadaan lakemalla nämä yhteen. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
15 Diracin deltafunktio, kertauta Deltafunktion Laplace-muunno Palautetaan mieleen määritelmä { 1/ε, kun t [, ε], f ε (t), muulloin. Raja-arvona aadaan Diracin deltafunktio Erityieti pätee kaikille jatkuville g(t). δ(t) lim ε + f ε(t). g(t)δ(t a) dt g(a) u(t) u(t ɛ) ɛ Laketaan Laplace-muunno L {f ε (t a)} a+ε a 1 ε e t dt 1 ε [e a e (a+ε) ] Raja-arvo aadaan l Hôpitalin äännön nojalla. Joten L {δ(t a)} e a. e a 1 e ε ε }{{} 1, kun ɛ A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Eimerkki: vaaraniku jouea Tutkitaan jouiyteemin mallia, my + cy + ky r(t), miä m on jouea olevan punnuken maa, c on vaimenemikerroin, k jouivakio ja r(t) joueen vaikuttava ulkoinen voima. Tutkitaan tätä tyyppiä olevaa tilannetta, joa yhtälö on y + 3y + 2y δ(t 1), eli joueen kohdituu ykikköimpuli ( vaaraniku ) hetkellä t 1. Alua yteemi on lepotilaa, eli y() ja y (). Muodotetaan Laplace-muunno. Saadaan Eimerkki: vaaraniku jouea, jatkoa Ratkaitaan yhtälö algrebrallieti: Y () e ( 1 ( + 1)( + 2) ) e. + 2 Laueen 1 avulla ratkaiuki aadaan { y(t) L 1, kun < t < 1, {Y } e (t 1) e 2(t 1), kun t 1. ( )Y () e. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
16 Konvoluutio, motivaatio Konvoluutio, eimerkki Motivaatio: Tunnetaan muunnoket L {f }, L {g}. Halutaan löytää funktio h, jonka muunno on L {f }L {g}. Erityieti yleenä L {fg} L {f }L {g}. Tarkatellaan funktioita f e t, g 1, jolloin fg e t. Laketaan Laplace-muunnoket: L {f } L {fg} 1/( 1), L {g} 1/. Sii L {f }L {g} 1/( 2 ) L {fg}. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 Konvoluutio Toditu Määritellään f, g : R + C:n konvoluutio funktiona f g : R + C, jo ko integraali uppenee. (f g)(t) : t f (τ)g(t τ) dτ, Laue Jo funktiot f, g ovat Laplace-muuntuvia, niin L {f g} L {f }L {g}. Merkitään F () e τ f (τ) dτ, G() e ρ g(ρ) dρ. Aetetaan t ρ + τ, jolloin ρ t τ ja t:n vaihteluväli on τ:ta :ään. Kirjoitetaan G() τ e (t τ) g(t τ) dt e τ e t g(t τ) dt. τ A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
17 Toditu, jatkoa Laketaan F ()G() e τ f (τ)e τ e t g(t τ) dt dτ f (τ) Vaihtamalla integrointijärjetytä aadaan F ()G() τ τ e t g(t τ) dt dτ. t e t f (τ)g(t τ) dτ dt L {f g}() e t (f g)(t) dt Eimerkki Etitään h(t), kun tunnetaan H() 1 ( a). Funktion 1/( a) käänteimuunno on f (t) e at, ja funktion 1/ käänteimuunno on g(t) 1. Laketaan konvoluutio h(t) e at 1 t e aτ 1 dτ 1 a (eat 1). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta / 246
Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jui Talja Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta en avulla Informaatiotieteiden ykikkö Matematiikka Huhtikuu 2 Tampereen yliopito Informaatiotieteiden
LisätiedotLaplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0
Laplacemuunnoten peruteet kurilla S; v.. Jarmo Malinen. joulukuuta 29 Siältö Alkuanat 2 2 Määritelmiä 2 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia 6 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin
LisätiedotX 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k
Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +
LisätiedotLaplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt
8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotSATE1050 Piirianalyysi II syksy 2016 kevät / 6 Laskuharjoitus 3 / Laplace-muunnos
SAE1050 Piirianalyyi II yky 016 kevät 017 1 / 6 ehtävä 1. Muodota alla olevaa kuvaa eitetyn muotoien jännitteen aplace-muunno. u(t) - t Kuva 1. Jännitteen kuvaaja tehtävään 1. Määritetään funktio paloittain:
LisätiedotLaplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
Lisätiedotgallup gallup potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima
aup Kuinka pajon käytät kurikirjaa (tai jotain muuta oppikirjaa)? a) Tututun aiheeeen ennen uentoja b) Luen kirjaa uentojen jäkeen c) Luen oppikirjaa ähinnä akareita tehdeä d) n koke oppikirjaan aup Kappae
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotKUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto
KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri
LisätiedotPOSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI
S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotS Piirianalyysi 2 2. välikoe
S-55.22 Piirianalyyi 2 2. välikoe 6.5.23 Lake tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muita kirjoittaa jokaieen paperiin elväti nimi, opikelijanumero, kurin nimi ja koodi. Epäelvät vataupaperit voidaan
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotELEC-C4120 Piirianalyysi II 2. välikoe
LC-C4 Piirianalyyi II 2. välikoe 8.4.4 Vataa KOLMN tehtävään.. e (t) R C Oheiea piiriä vaikuttaa taajännitelähde = V ekä e (t) = ê in(ω 0 t)+ê 2 in(2ω 0 t). Lake vatukea kuluva pätöteho P. ê = 2 V ê 2
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
Lisätiedot4.3 Liikemäärän säilyminen
Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
Lisätiedot12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut
1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
LisätiedotMatemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0
Laplace-muunnos (Kr. 6. Aalto Mat-.32/332, C3-II/KP3-II, 8/23, Kari Eloranta Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. Määritelmä
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
Lisätiedot[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotLaplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anni Meisalmi Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
LisätiedotHarjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.
Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
Lisätiedotk = 1,...,r. L(x 1 (t), x
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun
LisätiedotDerivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan
87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen
LisätiedotRATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino
Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotKompleksinen Laplace-muunnos
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Päivikki Mäki Kompleksinen Laplace-muunnos Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄKI, PÄIVIKKI:
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
Lisätiedot= r, s. Jokaisella diedriryhmällä on vastaavanlainen esitys ryhmän O(2) < GL 2 (R) aliryhmänä. r 2 (C) r 2 (B) r 2 (A) s s
6. Symmetinen yhmä Ääellien n alkiota kootuvan joukon { 2...n} pemutaatioyhmää kututaan ymmetieki yhmäki S n.hajoitutehtävän5nojallaminkätahanan alkion joukon pemutaatioyhmä on iomofinen yhmän S n kana.
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011
S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
LisätiedotLuku 16 Markkinatasapaino
68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien
LisätiedotMellin-muunnos ja sen sovelluksia
Mellin-muunnos ja sen sovelluksia LuK-tutkielma Eetu Leinonen 25645 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 28 Sisältö Johdanto 2 Esitiedot 2 2 Mellin-muunnos 3 2. Muunnoksen perusominaisuuksia................
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotintegraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali
integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm
LisätiedotFourier-sarjat ja -muunnos
24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,
LisätiedotViivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli
hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen
LisätiedotTilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)
Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot