Tloustieteen mtemttiset menetelmät 7 mterili Linerilgebr Johdnto Seurvill luennoill esimerkin vloss perustelln menetelmiä yhtälöryhmän nlysointiin j rtkisuun tärkeä rtkisumenetelmä mtriisien yleisiä ominisuuksi - vuksi nlyysiin - eli onko rtkisu? determinntti keskeisiä tloustieteen linerisi mllej Esimerkki Linerinen mrkkintspino nlysoidn kysyntä- j trjontkehikoss khden tuotteen tspinohintoj j -määriä Tuotteen kysyntä on muoto Q d = K P P Y ; Q d = K P P Y Q d i on siis kysytty määrä P i on tuotteen i hint, Y on tulotso K i koko kikki nlyysin ulkopuoliset muuttujt (eksogeeniset muuttujt), jotk vikuttvt kysyntään Tulkitn prmetrit ij j i mikroteorin ineopintojen mukisesti ij on tuotteen i kysynnän jousto tuotteen j hinnn mukn Siis esimerkiksi on tuotteen hintjousto omn hinnn mukn j on tuotteen ristihintjousto i on tuotteen i kysynnän tulojousto Mitä etumerkkejä odott ii n j ij n svn? Entä i? Trjontfunktiot tuotteille riippuvt vin omist hinnoist (j tämän mrkkinn ulkopuolisist tekijöistä) Q s = M P ; Q s = M P Tulkint i lle on siis trjonnn hintjousto Tspinoss kysyntä koht trjonnn eli
j Q d = Q s ; Q d = Q s Toisin snoen mlliss on 6 yhtälöä kuudelle muuttujlle Mlli on melko monimutkisen näköinen, mutt sitä voi yksinkertist huomttvsti muuttujnmuunnoksell Merkitään q d i = ln Q d i ; q s i = ln Q s i p i = ln P i ; y i = ln Y i ; m i = ln M i ; k i = ln K i ; i f; g Ottmll logritmit puolittin mllin yhtälöistä, voidn tspinoehdot kirjoitt muodoss kikille i f; g q d i = k i + ii p i + ij p j + i y; q s i = m i + i p i ; q s i = q d i Sijoittmll ensin kolmnnest yhtälöstä toiseen j sitten ensimmäisestä toiseen sdn k i + ii p i + ij p j + i y = m i + i p i ; i f; g Osittisen tspinon mlleiss oletetn, että nlysoitvt mrkkint ovt pieniä kokonistlouteen verrttun j niinpä tulotso Y oletetn mlliss eksogeeniseksi muuttujksi Niinpä sijoittmisten jälkeen inot endogeeniset muuttujt mlliss ovt p j p Kirjoitetn mlli muotoon, joss endogeeniset muuttujt ovt yhtälön vsemmll j eksogeeniset oikell puolell ( ) p + p = m k y; p ( ) p = m k y Kirjoitetn mtriisimuodoss p p = b b ; missä ii = ii i ; ij = ij ; j b i = m i k i i y Kurssin ensimmäinen os käsittelee lineristen yhtälöryhmien rtkisu Ylläolev mlli on esimerrki tällisest mllist j ensimmäisellä hrjoituskerrll esitellään muit tloudellisi esimerkkejä Ylläolevss mlliss rtkisu sdn helposti esimerkiksi rtkisemll p ylemmästä yhtälöstä j sijoittmll lempn yhtälöön p = m k y p ; ( )
j sijoittmll lempn sdn p = m k y p ( ) = m m k y k y p ( ) ( ) Kertomll puolittin ( ) ( ) ll sdn ( ) ( ) p = ( ) (m k y) (m k y)+ p ; joten p = ( ) (m k y) (m k y) ( ) ( ) Sijoittmll ensimmäiseen yhtälöön sdn p = m ( k y )(m k y) (m k y) ( )( ) ( ) = ( ) (m k y) (m k y) (( ) ( ) ) Tspinomäärät sdn rtkistu helpoimmin trjontyhtälöistä Huomtk, kuink monimutkist j virheltist rtkiseminen tällisell suorll sijoittmisell on Jos kyseessä olisi,4 ti hyödykkeen mrkkin, tehtävää olisi mhdotont lähestyä näin Kurssin ensimmäisessä osss etsimme yleisiä menetelmiä löytää rtkisuj linerisille yhtälöryhmille x + x + n x n = b ; x + x + n x n = b ; n x + n x + nn x n = b n Mtriisimuodoss yhtälöryhmä voidn esittää missä n + n = ; x = n n + nn x = b; () x x x n b ; b = b Linerilgebrss trkstelln yleisesti yhtälöitä jotk ovt sm muoto kuin Tällöin kysytään, onko yhtälöllä rtkisu j jos rtkisu on olemss, miten se löydetään j onko rtkisuj usempi Jtkoss käydään läpi seurvt linerilgebrn peruskäsitteet j käytetään niitä pun tloudellisten mllien nlyysissä b n
Vkriviopertiot Singulriset j ei-singulriset mtriisit Rivi- j srkerngi x linerisen funktion (injektiivisyys, surjektiivisuus j bijektiivisyys) Lineriset yhtälöryhmät loitmme tutkimll yhtälöryhmää x + x + n x n = b ; x + x + n x n = b ; n x + n x + nn x n = b n () Mtriisimuodoss yhtälöryhmä voidn esittää x = b; () missä = n n n n nn ; x = x x x n ; b = b b b n Ryhmän () ensimmäisestä yhtälöstä voidn rtkist suorn x = b x n x n Sijoitetn tämä smn ryhmän muihin yhtälöihin Tällöin sdn (n ) yhtälön ryhmä ( )x + n n x n = b b ; (4) ( n n )x + nn n b n x n = b n Voimme toist smn skeleen eli rtkist ryhmän (4) ensimmäisestä yhtälöstä x j sijoitt ryhmän muihin yhtälöihin Kosk jok skelell päädymme yhtä pienempään yhtälöryhmään, on (n ) skeleen jälkeen jäljellä linerinen yhden muuttujn yhtälö cx n = d Tällä yhtälöllä on in (yksikäsitteinen) rtkisu jos c 6= Yhtälöllä on äärettömän mont rtkisu jos c = d = ; j yhtälöllä ei ole rtkisu jos c = j d 6= 4
Linerilgebrss pyrimme siis selvittämään, milloin viimeisen eliminoinnin jäkeen muodostuvll yhtälöllä on rtkisu Muistutetn mieliin pri perussääntöä Yhtälön rtkisut eivä muutu jos sen molemmt puolet kertoo smll nollst poikkevll reliluvull Jos (x ; ; x n ) toteutt yhtälöt j x + x + n x n = b ; x + x + n x n = b ; silloin (x ; ; x n ) toteutt myös yhtälön ( + ) x + + ( n + n ) x n = b + b Yhdistämällä edelliset kksi koht tiedetään, että yhtälöryhmän rtkisut eivät muutu mikäli yksi yhtälö lisätään toiseen yhtälöön millä thns reliluvull kerrottun 4 Yhtälöryhmän rtkisut eivät riipu siitä, missä järjestyksessä yhtälöt on kirjttu Näiden sääntöjen soveltmist mtriisin riveille kutsutn vkriviopertioiksi Yhtälöryhmän rtkiseminen vkriviopertioill Trkstelln yhtälöryhmää missä x = ; n n = ; x = n n nn Tällä yhtälöryhmällä on in rtkisu x = (; ; ); mutt voimme kysyä, onko yhtälöllä muit rtkisuit Trkstelln siis mtriisi Mikäli = ; vihdetn rivi jonkin sellisen rivin k knss, joss k 6= Mikäli tällist riviä ei löydy, toteutt (x; ; ; ) yhtälöryhmän kikill xn rvoill eikä rtkisu siis ole yksikäsitteinen x x x n
Oletetn siis, että jollekin k pätee k 6= j oletetn smll suorn, että k = Kerrotn enimmäinen rivi llä j lisätään jokiseen riviin k kerrottun tekijällä k Sdn mtriisi n () () n () n n = = () () n n n nn n n () n () nn Mikäli kerrotn toinen rivi 6= ; j lisätään toinen rivi kerrottun tekijällä jokiseen riviin k; jolle k > Mikäli vihdetn riviä j k mikäli llä k k = ; k k 6= j edetään kuten edellä Mikäli () k = kikill k ; kerrotn mtriisin () toinen rivi ll () (ti vihdetn riviä jos () = ) j jtketnkuten edellä Sdn uusi mtriisi n () n n = = nn n n () () n () n () nn Jtketn mtriisin () knss kuten edellä Mikäli 6= ; kerrotn kolms rivi () 6 ll
j lisätään () k () kerrottun riviin k > Mikäli () = ; vihdetn riviä j k > ; jolle pätee () k 6= Näin sdn mtriisit () ; (4) jne kunnes päästään k eliminoinnin jälkeen esimerkiksi muotoon ll () () n () () n () n Mtriisi, jonk rivi k lk suuremmll määrällä nolli kuin rivi l jos k > l snotn riviporrsmuotoiseksi mtriisiksi Kikki mtriisit voidn stt riviporrsmuotoon vkriviopertioit käyttäen yllä kuvtun prosessin mukn Seurvss luvuss käydään läpi lukuisi käytännön esimerkkejä tästä prosessist Riviporrsmuotoisen mtriisin nollst poikkevien rivien lukumäärää kutsutn mtriisin rivirngiksi Huom, että rivirngi on in korkeintn muuttujien lukumäärän (srkkeiden lukumäärän) suuruinen Yllä olevss mtriisiss tämä on 4 Jos rivirngi on pienempi kuin mtriisin rivien lukumäärä, on yhtälöryhmällä ääretön määrä rtkisuj Yllä olevss esimerkissä x voidn vlit mielivltisesti, muut muuttujt määräytyvät tämän jälkeen yksikäsitteisesti Jos rivirngi on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä, tällöin x = (; ; ) on yhtälöryhmän ino rtkisu Trkstelln seurvksi yhtälöryhmää x = b Suoritetn edellisen kltisi vkriviopertioit lisätylle mtriisille n b n b b = ; n n nn b n joill stetn mtriisi riviporrsmuotoon () () n () n b () b () b (k) n 7
Mikäli rnk b = rnk () ; yhtälöryhmällä on rtkisu Mikäli rnk b > rnk () ; ei rtkisu ole Jos rnk b = rnk () = n; rtkisu on yksikäsitteinen Mikäli rnk b = rnk () < n; on rtkisuj ääretön määrä 4 Esimerkkilskuj vkriviopertioist j mtriiseist Mtriisin sttminen riviporrsmuotoon Olkoon = Kerrotn ensimmäinen rivi ll j lisätään toiseen j kolmnteen riviin + = + Kerrotn toinen rivi ll j lisätään kolmnteen riviin = + 7 6 Kosk riviporrsmuodoss on nollst poikkev riviä, on mtriisin rngi, rnk() = Tiedämme siis, että yhtälöryhmällä x = b on yksikäsitteinen rtkisu kikille vektoreille b 8
Yhtälöryhmän rtkiseminen Trkstelln edelliselle yhtälölle numeerist esimerkkiä = x +x x x +x +x x +x x x x Trkstelln lisättyä mtriisi = j toistetn ylläolevt vkriviopertiot j Sdn Sijoitetn toiselle riville 7 x + x = 7 = 7 Sdn x = 7 Ensimmäiseltä riviltä sdn eli x + 7 x = 7 7 = 9
Mtriisi, joll ei ole täyttä rngi = 4 Eliminoidn toinen j kolms rivi ensimmäistä käyttämällä 4 Kun eliminoimme kolmnnen rivin toist käyttämällä smme riviporrsmuodon 4 Mtriisin rngi rnk() on siis j yhtälöryhmällä x = b on joko ti rtkisu Kosk mtriisin kolms rivi sdn lskemll yhteen toinen rivi j kert ensimmäinen rivi, yhtälöryhmällä on rtkisu jos j vin jos b = b + b Jos ette usko, kokeilk vkriviopertioill lisätylle mtriisille 4 b b b Linerinen riippuvuus Trkstelln joukko (pysty)vektoreit ; ; ; n R m, missä siis i = i mi Snotn, että f ; ; ; n g ovt linerisesti riippuvi jos on olemss 6= ; = ( ; ; ; n ) siten että + + + n n = Kirjoitetn n = ( ; ; ; n ) = m mn
Vektorit ovt siis linerisesti riippuvi jos on olemss 6= ; jolle pätee = Edellisen luennon rngikriteeriä käyttämällä tiedämme siis, että f ; ; ; n g ovt linerisesti riippuvi vin jos j vin jos rnk () < n Heti näemme, että f ; ; ; n g ovt in linerisesti riippuvi jos m < n
6 Mtriisilgebr Olkoon m n -mtriisi Toisin snoen siinä on m riviä j n srkett Kirjoitetn n lkio, jok on i nnellä rivillä j j nnessä srkkeess ij Smoin mtriiseille ; ; jne kirjoitetn b ij ; c ij ; jne Mtriisien yhtäsuuruus jos kikille i; j pätee = ij = b ij Mtriisien yhtäsuuruus määritellään siis jokisen lkion yhtäsuuruuten Lkusäännöt Reliluvull kertominen Olkoon r RMääritellään joss r = ; c ij = r ij Toisin snoen n jokinen lkio kerrotn reliluvull r Yhteenlsku missä kikille i; j pätee + = ; c ij = ij + b ij Toisin snoen mtriisit lsketn yhteen lkioittin Huomtk, että n j n yhteenlsku on määritelty vin jos mtriisit ovt smnkokoisi Vähennyslsku (sdn myös yhdistämällä kht edellistä) missä kikille i; j pätee = ; c ij = ij b ij Mtriisien kertolsku Olkoon m n -mtriisi j n k -mtriisi Mtriisien j tulo määritellään seurvsti missä = ; c ij = n h= ih b hj Toisin snoen tulomtriisin lkio c ij muodostetn mtriisin i nnen rivin j mtriisin j nnen srkkeen pistetulon Huomtk, että ll on oltv yhtä mont srkett kuin llä riviä, jott kertolsku olisi määritelty
Miksi kertolsku on määritelty tällä tvll? Mietitään kht funktiot f X! Y j g Y! Z; ti Muodostetn yhdistetty funktio y = f (x) j z = g (y) h (x) = g (f (x)) Miten muodostetn funktio h jos g j f ovt molemmt linerisi funktioit j X = R n ; Y = R m j Z = R k, toisin snoen y = x j z = y; missä m n -mtriisi j n k -mtriisi Tällöin joten y = x + + n x n ; y n = n x + + nn x n ; z = b ( x + + n x n ) + + b n ( n x + + nn x n ) ; z k = b n ( x + + n x n ) + + b nn ( n x + + nn x n ) Kerätään termit x n suhteen z n h= b h h n h= b h hn = z k n h= b kh h n h= b kh hn x x n Toisin snoen z = x; eli kertolsku vst yhdistetyn funktion muodostmist Sääntöjä ( + ) + = + ( + ) ; () = () ; + = + ; ( + ) = + ; ( + ) = + Huomtk 6=
Trnspoosi Mtriisin trnspoosi > määritellään seurvsti T ij = ji Toisin snoen > muodostetn st vihtmll rivi i srkkeeksi i (j siis smll srke j riviksi j) Sääntöjä trnspoosille ( + ) > = > + > ; > > = ; () > = > > Khdelle vektorille x; y R n määritellään sisätulo x y seurvsti x y = n i=x i y i = x > y Vektorin x R n normi (eli pituus) merkitään kxk = p x x Khden vektorin x; y R n etäisyys d (x; y) = kx yk Normi j etäisyys ovt tärkeitä käsitteitä mtemttisess nlyysissä, joss tutkitn funktioiden käyttäytymistä pikllisesti (loklisti) jonkin pisteen x lähellä 6 Erityismtriisej Neliömtriisill on yhtä mont riviä j srkett Srkemtriisi on srkevektori eli sillä on m riviä, j yksi srke Yksikkösrkevektori e i ssä e j = jos j 6= j e j = jos j = i Rivimtriisi on rivivektori Sillä on yksi rivi j n srkett Lävistäjämtriisi on neliömtriisi siten, että ij = jos i 6= j n Yksikkömtriisi I on lävistäjämtriisi, joll ii = I = Yläkolmiomtriisi on neliömtriisi siten,että ij = jos i > j n nn 4
lkolmiomtriisi on neliömtriisi siten, että ij = jos i < j n nn Symmetrinen mtriisi on neliömtriisi, jolle pätee = > Permuttiomtriisi on nollist j ykkösistä muodostuv mtriisi, jonk jokisell rivillä j jokisess srkkeess on ykkönen Sdn identiteettimtriisist vihtmll rivien pikk (mhdollisesti mont kert peräkkäin Esimerkiksi n = tpuksess permuttiomtri- joss identiteettimtriisin kksi viimeistä riviä on vihdettue = isi, 6 lkeismtriisit Vkriviopertiot i) rivien vihto, ii) rivin kertominen vkioll iii) rivien yhteenlsku voidn esittää mtriisikertolskuin seurvsti Olkoon E ij permuttiomtriisi, joss rivien i j j pikk on vihdettu Mtriisin rivien i j j vihto sdn tulon E ij Olkoon E i (r) mtriisi, jok sdn kertomll yksikkömtriisin rivi i vkioll r E (r) = r Mtriisin rivin kertominen vkioll sdn tällöin mtriisitulon E i (r) Olkoon E ij (r) mtriisi, jok sdn yksikkömtriisist lisäämällä siihen mtriisi, joss lkio ji on r j muut lkiot ovt nolli E (r) = r
Mtriisin rivi i kerrottum r ll lisätään riviin j muodostmll tulo 6 Mtriisien kääntäminen E ij (r) linerisen yhtälön rktiseminen loitetn muodost x = b Tvoitteen on sd ikn luse, jok on muoto j jok on tott jos j vin jos x = c x = b Kerrotn yhtälön molemmt puolet (vsemmlt) käänteisluvull = j sdn eli x = b x = b = b ; mikäli 6= Tvoite on siis svutettu, j c = b Linerisess lgebrss pyritään smn menettelyyn yhtäl öryhmien knss Tätä vrten meidän täytyy keksiä yleistys käänteisluvulle Lähtökohtn on yhtälö x = b; missä x R n j x R n j on n n neliömtriisi Tämä yhtälö stetn muotoon x = c; ti Ix = c; missä I on n n identiteettimtriisi 6
Jos on olemss mtriisi, jolle pätee = I; voimme kerto lkuperäisen yhtälön molemmt puolet ll j sd x = b eli Ix = x = b Toisin snoen yhtälöryhmän rtkiseminen on ekvivlentti käänteismtriisin löytämiselle Mikäli käänteismtriisi on olemss, on yhtälöryhmällä myös rtkisu Trkstelln neliömtriisej, joill on n riviä j srkett Mtriisin käänteismtriisi merkitään llä j sillä trkoitetn mtriisi, jolle pätee = I Ensimmäiseltä luennolt muistmme, että yhtälöryhmällä x = b on yksikäsitteinen rtkisu kikille b jos j vin jos rnk() = n Rtkistn yhtälöryhmät x = e i kikille i = ; ; n; j merkitään rtkisuj x i ll Tällöin siis x i = e i kikille i Väite = (x ; ; x n ) Tämän perusteell tiedämme, että käänteismtriisin voi rtkist vkriviopertioill lisätylle mtriisill e ( ji ) Esimerkki = 7
Eliminoidn kolmnnen rivin ensimmäinen lkio ensimmäisellä rivillä ; j sitten kolmnnen rivin toinen lkio toisell rivillä ; 4 4 kerrotn kolms rivi 4 llä lisätään - kert kolms rivi toiseen j ensimmäiseen riviin 7 4 4 Jetn toinen rivi ll 7 lisätään - kert toinen rivi ensimmäiseen 4 6 j jetn lopuksi ensimmäinen rivi ll Sdn siis Trkistus = = 8 4 4 4 4 4 4 4 4 ; ; ; =
Sääntojä = ; > = > ; Jos ll j llä on käänteismtriisit, 64 Determinntti () = Trkstelln n n ulotteist neliömtriisi Jos n = ; määritellään mtriisin determinntti det = Muodostetn yleisestä n n mtriisist (n ) (n ) mtriisi ij poistmll lkuperäisestä mtriisist rivi i j srke j Olkoon Mtriisin (i; j) kofktori on ij Mtriisin determinntti on M ij = det ij ij ( ) i+j M ij det = n j= ( ) (i+j) ij ij Determinntti voidn myös lske srkett pitkin Esimerkkejä det = n i= ( ) (i+j) ij ij det = det = det + det n det = nn nn = 4+ = 9
Determinntti on noll jos j vin jos mtriisill ei ole täyttä rngi Rivien vihtminen viht determinntin, rivien yhteenlsku ei muut determinntti (eikä myöskään vkioll kerrotun rivin lisääminen toiseen riviin) Tämän näkemiseksi trkstelln mtriisin j n = j + r i jj + r ij jn + r in n nj nn determinntti Kehitetään riviä j j sdn missä det = r n k= jk jk + r n k= ik ik = det + r det ; = ij n i ij in i ij in n nj nn Toisin snoen mtriisiss esiintyy mtriisin rivi i sekä rivinä i että j Kosk mtriisi voidn in kehittää mielivltist vkriviä pitkin, voidn rivit i j j in jättää viimeisenä eliminoitviksi mtriisest on helppo nähdä, että determinntti on noll jos rivit ovt smt 4 Sääntöjä 6 rmerin sääntö det > = det det = det det ; det = det ; det + 6= det + det in generl Oletetn, että ll on täysi rngi (j siis det 6= ) Yhtälöryhmällä x = b
on yksikäsitteinen rtkisu x i = det i det ; missä i on mtriisi, jok on muodostettu korvmll mtriisin srke i (pysty)vektorill b Esimerkki x = x = x = det det det det 66 Mtriisin kääntäminen x x x = Muodostetn mtriisin kofktorimtriisi = ( ij ) = ; = ; = ; Kofktorimtriisin trnspoosi > kutsutn mtriisin djungoiduksi mtriisiksi, dj () dj () = > Tällöin Esimerkki lsketn dj(); kun = dj () det =
Joten = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; = 4 dj () = ; 4 = det 4 ; mikä on sm vstus kuin edellä, kosk kuten iemmin lskettiin, det = 7 Extr mterili Dominntit lävistäjämtriisit Määritelmä Trkstelln mtriisi b b n = b n b nn on dominntti lävistäjämtriisi jos b ii > kikille i b ij kikille i; j Kikille j pätee b jj > i6=j b ij Eliminoidn ensimmäisen srkkeen lkiot käyttämällä ensimmäistä riviä vkriviopertioss Tällöin sdn muotoon b b b j b n b b b b b b b j b b j b n b b n b i b i b b b jj b j b b j b in b i b b n b b n b n b b b n b nj b b j b n nn b b n
Trkstelln (n ) (n ) osmtriisi b b = b b b bn b bn b bnn = b b b b b j b b b j b n b b b n b i b n b i b b b b j b jj b b j b i in b b n b n b b b b n b nj b b j b n nn b b n Väite Jos on dominntti lävistäjämtriisi niin myös b on dominntti lävistäjämtriisi Todistus b b jj = b jj b j b b j > b jj b j >, kosk b jj > i6=j b ij b b ij = b ij b i b b j < kun i 6= j b bj + b b j + + b b nj = b jj b j b b j i6=;j = b jj i6=;j b ij i6= b i > b jj i6= b ij > b b ij + b i b j b Näin siis tiedämme, että myös b on dominntti lävistäjämtriisi Eliminoidn seurvss skeleess ensimmäisen srkkeen lkiot b st j sdn ts uusi dominntti lävistäjämtriisi, jonk koko on nyt (n ) (n ) Jtketn vkriviopertioit, kunnes lkuperäinen mtriisi on stettu (j eliminoinnin jälkeen) muotoon b b b j b n b b b b b b b j b b j b n b b n + b bjj b bjn b bnj b bnn b j
Toistmll yllä esitetty rgumentti jokisen vkriviopertion yhteydessä, tiedämme, että osmtriisi b bjj b bn b (j ) = b bn b bnn on myös dominntti lävistäjämtriisi Tästä näemme, että kikille dominntti lävistäjämtriiseille pätee, että yhtälöllä x = y on yksikäsitteinen rtkisu kikille y (kosk rnk () = n) j lisäksi jos y ; on myös yhtälön rtkisev x ; kosk vkriviopertioiden jälkeen on stettu muotoon + = + Riviltä n luemme Kosk nn > ; x n > jos y n > Riviltä n luemme eli nn x n = y n, x n = y n nn n n x n + n n x n = y n x n = y n n n x n n n Kosk x n ; n n j n n > ; smme x n jos y n Jtkmll tkisin sijoittmist tulos sdn todistettu 8 Linerisi mllej tloustieteessä Input-output -tulukot jtelln tloutt, joss tuotetn n hyödykettä Kikki tuotteet ovt sekä lopputuotteit että (potentilisi) välituotteit Tuotntoprosessiss siis kikki tuotteit kulutetn j tuotetn smnikisest Oletetn tuotntoprosessi lineriseksi siten, että x i yksikön tuottmiseksi tuotett i trvitn ji x i yksikköä tuotett j Jos tloudess tuotetn nettotuotntovektori (y ; ; y n ) kokonistuotost, voidn kokonistuotntomäärät 4
(x ; ; x n ) lske seurvsti x x x n x n = y ; x x x n x n = y ; x n n x n x nn x n = y n Vektorimuodoss voidn kirjoitt n n n n nn x x x n = y y y n Mitä nettotuotntoj y = (y ; ; y n ) voidn tloudess tuott? Mtriisi snotn dominntti digonlimtriisiksi jos () Digonlilkiot ovt positiivisi (b) Digonlin ulkopuoliset lkiot eivät ole positiivisi (c) Jokisen srkkeen lkioiden summ on positiivinen Väite Jos input-output tulukon määrittävä mtriisi (I ) on dominntti digonlimtriisi niin kikki positiiviset lopputuotosvektorit ovt mhdollisi, toisin snoen kikille y on olemss x siten, että (I ) x = y Todistus hrjoitusluennoll j S& sivuill 78-79 Tspino oligopolimlleiss Mikroteorin ineopinnoiss käydään läpi ournot-kilpilumlli oligopolistiselle toimillle Toimilll on n yritystä j kunkin yrityksen i optimlinen tuotnnon tso riippuu sen omist (vkioksi oletetuist) rjkustnnuksist c i, j muiden yritysten tuotnnost q j seurvsti q i = j6=iq j c i Kirjoitetn mtriisimuotoon q q q n c = c c n
Trkstelln vkriviopertioit lisätylle mtriisille c c Vähennetään ensimmäinen rivi kikist muist riveistä c c c Sdn siis tulos Ensimmäinen yhtälö kertoo eli mistä sdn c c n c n q j = q + c c j () q + j6=i q j = c q + (n ) q + (n ) c j6=i c j = c ; (n + ) q = + j6=i c j nc ; q = c + j6=i (c j c ) (n + ) Muut tuotnnot q j sdn helposti lskettu yhtälöä () käyttäen ti vstvsti käyttämällä vkriviä j mtriisin muuntmisess Optimliset kysynnät (ennkointi tulevlle) ineopinnoiss johdettiin kuluttjn optimliselle (sisäpiste)kysynnälle ehto rjsubstituutiosteen j hintsuhteen yhtäläisyydelle MU xi (x) MU xj (x) = p i p j ; (6) missä U (x) on kuluttjn hyötyfunktio j MU xi on hyötyfunktion osittisderivtt tuotteen i kulutuksen x i suhteen (määrittelmme pin tällä kurssill) Joissin yksinkertisiss tpuksiss pätee MU xi (x) MU xj (x) = k ik x k k jk x k (7) 6
Esimerkiksi obb-dougls j kvdrttinen hyötyfunktio toteuttvt tämän Trkstelln rjsubstituutiosteit tuotteen suhteen, muut voidn joht tästä kosk MU xk = MU x = MU x MU xl MU xl MU xk Kirjoitetn (6) muodoss Käytetään lisäksi budjettiehto k (p jk p j k ) x k k p k x k = w Mtriisimuodoss sdn p p p k p p p p p n p n p n p n p n p n p nn p n n x x x n = w Tämä voidn rtkist linerilgebr käyttäen Erityistpus obb-dougls hyötyfunktio U (x) = n n ln (x n ) Tällöin j eli MU xn (x) = n x n ; MU x MU xk = x k k x = p p k ; p k x k k p x = kikille k Toisin snoen p k x k = k p x Sijoittmll budjettiehtoon sdn eli j tällöin p x + n j j= p x = w; p x = n j= w j k p k x k = n j= w j 7
4 Portfolion vlint Trkstelln milm, johon liittyy epävrmuutt j oletetn, että mhdolliset tulevisuudennäkymät voidn jotell m eriliseksi milmntilksi (stte of the world) Kukin milmntil sisältää kuvuksen kikest tloudelliseen päätöksentekoon vikuttvst dtst Milmntil ei etukäteen tiedetä, mutt seurvll periodill relisoituu s S = fs ; ; s m g Konkreettisi esimerkkejä milmntiloist Plovkuutuksen hnkkiminen S = fs ; s g; missä s = "tlo pl", s = "tlo ei pl" Vrutuminen tulevn tloustilnteeseen S = fs ; s ; s g; missä s = "syvä lm", s = "pieni lm", s = "ei lm" Steenvrjo mukn? S = fs ; s g; missä s = "st", s = "ei sd" Rhoitusinstrumentit trjovt mhdollisuuden vrutu tuleviin milmntiloihin Oletetn, että mlliss on n rhoitusinstrumentti j r si on instrumentin i tuotto milmntilss stoisin snoen se on instrumentin mksm tuotto jettun instrumentin hinnll investointihetkellä (ennen milmntiln pljstumist) Kerätään kikki rhoitusinstrumenttien tuotot mtriisiksi R = r r n r m r mn Merkitään portfoliot vektorill x = (x ; ; x n ) Tällöin portfolion kokonistuotto sd lskettu r r n x Rx = r m r mn x n Täydellisillä rhoitusmrkkinoill instrumenttej voi ost j myydä, joten x i voi oll positiivinen ti negtiivinen Portfolio x on riskitön jos i r ki x i = i r li x i kikille k; l; eli portfolion tuotto on sm kikiss milmntiloiss rbitrsiportfolio jos sille pätee Portfolio x on i x i = 8
Kosk olemme normlisoineet instrumenttien hinnt, tämä trkoitt yksinkertisesti sitä, että portfolion hint ennen milmntiln selviämistä on rbitrsi trkoitt mhdollisuutt sd vrm tuotto ilmn rbitrsiportfoioll Mlliss siis on rbitrsimhdollisuus jos on olemss rbitrsiportfolio x, jolle pätee Rx Mllill on tilhinnt p = (p ; ; p m ) jos j p j r ji = kikille i Tällöin siis hint p j voidn jtell yhden vrllisuusyksikön hintn milmntilss j Tilhinnt on siis olemss jos on olemss p siten, että R > p = Tilhinnt ovt siis olemss jos m n j rnk (R) = n Tilhinnt eivät ole yksikäsitteisesti määrättyjä jos m > n 9