3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ. Lineaarinen yhtälöryhmä jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta x 1,,x n :

Transkriptio

1 3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ Linerinen yhtälöryhmä joss on m yhtälöä j n tuntemtont x,,x n : = + + = + + = + + m n mn m n n n n b x x b x x b x x K M K K

2 Mtriisiyhtälönä: Ax = b missä A = M m M m L L O L n n M mn x x x = M x n b = b b M b m Luvut ij ovt yhtälöryhmän kertoimi, A on kerroinmtriisi, b on oiken puolen vektori. Yhtälöryhmän rtkisu on lukujoukko x,,x n jok toteutt yhtälöt j x = [x x n ] T on rtkisuvektori.

3 3 Jos kikki b i :t ovt nolli, yhtälöryhmä on homogeeninen. Jos inkin yksi b i, yhtälöryhmä on epähomogeeninen.

4 4 Yhtälöryhmällä voi oll ) yksikäsitteinen rtkisu, esim. x + 5x = 4x + 3x = ) ääretön määrä rtkisuj, esim. x + 5x = 4x + x = 4 3) ei linkn rtkisuj, esim. x + 5x = 4x + x = Homogeenisell yhtälöryhmällä on inkin yksi rtkisu, trivilirtkisu x =,, x n =.

5 Yhtälöryhmän Ax=b ljennettu mtriisi (ugmented mtrix): 5 Ã = [A b] = M m M m L L O L n n M mn b b M b m

6 Gussin eliminointimenetelmä 6 Luse 3.. Yhtälöryhmän Ax = b rtkisut pysyvät smoin, jos vihdetn yhtälöt keskenään yhtälö kerrotn puolittin nollst erovll vkioll vkioll kerrottu yhtälö lisätään puolittin toiseen yhtälöön

7 7 Vstvt lkeisriviopertiot ljennetulle mtriisille à = [A b] vihdetn mtriisin rivit keskenään mtriisin rivi kerrotn nollst erovll vkioll vkioll kerrottu rivi lisätään toiseen riviin A ~ B trkoitt, että B sdn A:st lkeisriviopertioill: A j B ovt keskenään riviekvivlentit.

8 Luse Khdell linerisell yhtälöryhmällä on smt rtkisut, jos niiden ljennetut mtriisit ovt riviekvivlentit eli sdn toisistn lkeisriviopertioill. Gussin eliminoinniss pyritään muuttmn mtriisi mhdollisimmn helposti rtkistvn muotoon.

9 9 Esimerkki 3.. x + 5x = 4x + 3x = x + 5x = 3x = 6 Mtriisimuodoss: Ã = [A b] = ~ 3 6

10 x + 5x = 3x = 6 Jälkimmäisestä yhtälöstä x = Sijoitus ensimmäiseen: x = ½ ( 5x ) = ½ ( 5 ) = 4 Rtkisu: x = 4 x =

11 Gussin eliminointimenetelmän perite: Muoktn yhtälöryhmän Ax = b ljennettu mtriisi à = [A b] lkeisriviopertioill muotoon [C d], missä C on yläkolmiomtriisi ti ns. porrsmtriisi. Tätä kutsutn Gussin eliminoinniksi ti reduktioksi. Tuntemttomt rtkistn tkisinsijoituksell viimeisestä yhtälöstä lähtien.

12 Porrsmtriisi on mtriisi, joss noll-lkiot muodostvt vsemmlt oikelle lenevn portikon, esim Alleviivttuj lkioit kutsutn johtviksi lkioiksi (= rivin ensimmäinen nollst erov lkio). Kunkin rivin johtv lkio on edellisen rivin johtvst lkiost oikelle j mhdolliset nollrivit ovt muiden rivien lpuolell.

13 3 Algoritmi ei trvitse noudtt täsmällisesti: yleisperite riittää. Voi tehdä lisäyksiä, esim. vkioll kertominen sopivss viheess, joill lskeminen yksinkertistuu.

14 GAUSSIN ELIMINOINTIALGORITMI 4. Vlitse mtriisin ensimmäinen nollst erov srke vsemmlt. Tätä kutsutn pivotsrkkeeksi.. Vlitse pivotsrkkeest jokin nollst erov lkio ns. pivotlkioksi eli tukilkioksi. Siirrä pivotlkion sisältävä vkrivi eli pivotrivi ylimmäksi mhdollisesti rivejä vihtmll. 3. Eliminoi pivotlkion lpuoliset lkiot nolliksi lkeisriviopertioill: lisää pivotrivin muihin sopivll vkioll kerrottun. 4. Jtk viheiden -3 soveltmist pivotlkion lpuolelle jäävään osmtriisiin kunnes tuloksen on porrsmuoto. 5. Rtkise muuttujt tksinsijoituksill.

15 Jos redusoiduss mtriisiss (porrs-mtriisiss) on rivi 5 [ d], missä d, niin yhtälöryhmällä ei ole rtkisu. Jos porrsmtriisiss on vrsinisi yhtälöitä (ei-nollrivejä) vähemmän kuin tuntemttomi, mutt ei riviä [ d], missä d, rtkisuj on ääretön määrä. Rtkisuss on silloin ns. vpit muuttuji tuntemttomien lkm ei-nollrivien lkm.

16 6 Gussin Jordnin eliminointimenetelmä: Redusoidn porrsmtriisi edelleen siten, että jtketn eliminointi viimeisestä pivotsrkkeest j eliminoidn myös pivotlkioiden yläpuoliset luvut :ksi Käänteismtriisit

17 7 Esimerkki 3.. ) x x x 3 = 3x + 5x + 8x 3 = 7 x x 5x 3 = 4 x + x 3 =

18 8 b) x x x 3 + x 4 = 3x + 5x + 8x 3 + 3x 4 = 7 x x 5x 3 + 5x 4 = 4 x + x 3 + 3x 4 = Ljennettu mtriisi: 3 R R 3R R

19 9 ~ 4 3 )R (/ R )R (/ R ~ 4 4 6

20 Yhtälöinä: x x x 3 + x 4 = x + x 3 + 6x 4 = 4 x 3 = 4 Rtkisuss on yksi ns. vp muuttuj, olkoon x 4 = t. 3. yhtälöstä x 3 =. yhtälöstä x = ½ (4 x 3 6x 4 ) = ( ) 3t = 4 3t. yhtälöstä x = + x + x 3 x 4 = + 4 3t + ( ) t = 4t

21 Rtkisu prmetrimuodoss: x = 4t x = 4 3t x 3 = x 4 = t missä t R.

22 c) x x + x 3 = 3x + 5x + 3x 3 = 7 x x + 5x 3 = 4 x + 3x 3 =

23 d) x x + x 3 = 3x + 5x + 3x 3 = x x + 5x 3 = x + 3x 3 = 3

24 4 LINEAARINEN RIIPPUMATTOMUUS, MATRIISIN ASTE JA VEKTORIAVARUUDET Olkoot,, m smnkokoisi vektoreit. Niiden linerikombintio on vektori c + c + + c m m missä c,,c m ovt sklrej eli vkioit.

25 5 Linerinen riippumttomuus Vektorit,, m ovt linerisesti riippumttomi, jos yhtälöryhmä c + c + + c m m = toteutuu vin, kun kikki vkiot ovt nolli. Jos yhtälöryhmä toteutuu siten, että inkin jokin kertoimist on nollst poikkev, vektorit ovt linerisesti riippuvi. Silloin inkin jokin niistä voidn ilmist toisten linerikombintion.

26 6 Olkoon esim. c. Silloin = c c c 3 c 3 c c m m Jos,, m on n-lkioisi vektoreit, missä n < m, niin ne ovt linerisesti riippuvi.

27 7 Esimerkki 3.3. ) Ovtko vektorit,, 3 linerisesti riippumttomi? = [,, -, ] T = [-, -5, 3, ] T 3 = [,,, ] T

28 8 b) Ovtko vektorit b, b, b 3 linerisesti riippumttomi? b = [,, ] T b = [,, ] T b 3 = [,, ] T

29 Mtriisin ste 9 Mtriisin A = [ ij ] ste rnk A on sen linerisesti riippumttomien rivien ti srkkeiden mksimimäärä. Linerisesti riippumttomien rivien mksimimäärä on sm kuin srkkeiden j rnk A = rnk A T. Alkeisriviopertiot eivät muut mtriisin stett, ts. riviekvivlenteill mtriiseill on sm ste. Gussin eliminoinnin vull voidn päätellä: Mtriisin A ste on A:hn kohdistuvn Gussin eliminoinnin tuloksen olevn porrsmtriisin ei-nollrivien lukumäärä.

30 3 Esimerkki 3.3. Mikä on mtriisin A = ste?

31 Vektorivruus 3 Joukko V on vektorivruus (eli linerivruus) jos kikille sen lkioille eli vektoreille,b V j sklreille, pätee, että + b V j seurvt kvt pätevät: + b = b + () ( + b) + c = + (b + c) () + = (3) + (-) = (4) c( + b) = c + cb (5) (c+k) = c + k (6) c(k) = (ck) (7) = (8)

32 Dimensio j knt 3 Avruuden V dimensio, merk. dim V on sen linerisesti riippumttomien vektoreiden mksimimäärä. Jos dim V = n, niin n:n linerisesti riippumttomn vektorin joukko {v,, v n } on V:n knt. Jokinen V:n vektori voidn esittää kntvektorien linerikombintion. Vektorien,, m virittämä vektorivruus on näiden vektorien kikkien linerikombintioiden joukko, merk. Spn(,, m )

33 R n = kikkien n-lkioisten relilukuvektoreiden (x,x,,x n ) muodostm vektorivruus. Vektorit voivt oll rivi- ti srkevektoreit. 33 Yksikkövektorit e = (,,,,,) e = (,,,,,) e n = (,,,,,) muodostvt R n :n knnn j dim R n = n.

34 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT: RATKAISUJEN YLEISIÄ OMINAISUUKSIA 34 Rtkisujen olemssolo j yksikäsitteisyys Linerinen yhtälöryhmä m x x x x x m x + K + + K + M K + n n mn x x x n n n = b = b = b m eli Ax = b

35 A:n srkevektoreiden 35 = M m, = M m,, n = M n n mn vull x + x + + x n n = b

36 Luse Olkoon A m n-mtriisi j r = rnk A. Yhtälöryhmässä Ax = b on m yhtälöä j n tuntemtont. Ryhmällä on ) rtkisu, jos r = rnk Ã. b) täsmälleen yksi rtkisu, jos r = rnk Ã= n. c) ääretön määrä rtkisuj, jos r = rnk à < n, eli A:ss on linerisesti riippumttomi rivejä (j srkkeit) vähemmän kuin tuntemttomi, eikä Gussin reduktion tuloksen sduss porrsmuodoss ole riviä [ d], missä d. d) ei rtkisu, jos r < rnk Ã, jolloin ljennetun mtriisin porrsmuodoss on epätosi yhtälö eli rivi [ d], missä d.

37 37 Homogeeninen linerinen yhtälöryhmä Homogeenisell ryhmällä Ax = on in trivilirtkisu x =. Mtriisi A määrittelee linerikuvuksen f: R n R m, f(x) = Ax

38 38 Mtriisiin j sen määrittämään linerikuvukseen liittyviä vektorivruuksi Kun r < n eli A:n srkkeet ovt linerisesti riippuvi, homogeeniryhmän rtkisut muodostvt vektorivruuden N(A) = {x R n Ax = } jok on mtriisin A noll-vruus (null spce) ti ydin (kernel). Noll-vruuden dimensio on A:n nulliteetti: nullity A = dim N(A)

39 39 A:n srkevruus Col(A) on A:n srkevektoreiden virittämä vektorivruus Col(A) = {y R m Ax = y jollkin x R n } jot on smll linerikuvuksen f(x) = Ax kuv-vruus. A:n rivivruus Row(A) on vstvsti A:n rivivektoreiden virittämä vektorivruus. dim Col(A) = dim Row(A) = rnk A

40 4 Luse 3.4. (Dimensioluse) eli rnk A + nullity A = n dim Col(A) + dim N(A) = n missä n = A:n srkkeiden lukumäärä

41 4 Homogeeniryhmän rtkisut: Jos A:n srkkeet ovt linerisesti riippumttomi eli r = n, homogeeniryhmällä on inostn trivilirtkisu x =. Jos A:n srkkeet ovt linerisesti riippuvi eli r < n, homogeeniryhmän rtkisut muodostvt vektorivruuden N(A), jonk dimensio on n r.

42 4 Esimerkki 3.4. ) Rtkise Ax =, missä A = Mikä on A:n nulliteetti? Määrittele jokin srkevruuden Col(A) knt.

43 43 b) Rtkise Ax =, missä A = Mikä on mtriisin A noll-vruus N(A) j nulliteetti?