BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

Transkriptio

1 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1

2 Kurssin sisältö Matriiseihin liittyvät peruskäsitteet Matriisien laskutoimitukset Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisu Determinantit Käänteismatriisi Ominaisarvot Matriisin diagonalisointi 2

3 1 Johdanto 1.1 Matriisin käsite Matriisilla tarkoitetaan luku tai funktiojoukkoa, joka on järjestetty hakasulkujen ympäröimäksi suorakulmaiseksi taulukoksi. Näitä lukuja tai funktioita kutsutaan matriisin alkioiksi tai elementeiksi. Vaakarivi = rivi, pystyrivi = sarake Esimerkkejä matriiseista: [a 1 a 2 a 3 ] ex sinx (1) e 2x x 2 3

4 1.2 Mihin matriiseja tarvitaan? Lineaariset yhtälöryhmät, esim. 5x 2y + z = 0 3x + 4z = 0 (2) Tämän yhtälöryhmän kerroinmatriisi on A = (3) Sovelluksia: sähkö, tie ym. verkostojen mallintaminen, mekaniikka, tilastomatematiikka, lukuisia sovelluksia eri fysiikan aloilla 4

5 1.3 Matriiseihin liittyvät peruskäsitteet Matriisia merkitään isolla kirjaimella: A,B jne. tai kirjoittamalla yleinen matriisielementti hakasulkuihin: A = [a jk ]. Ensimmäinen indeksi ilmoittaa rivin ja toinen sarakkeen, josta kyseinen elementti löytyy. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = [a jk ] = a m1 a m2 a mn (4) Matriisi, jossa on m riviä ja n saraketta on m n matriisi. Jos m = n, on kyseessä n n neliömatriisi. Neliömatriisin diagonaali, jolla ovat alkiot a 11, a 22,...,a nn on matriisin päälävistäjä. 5

6 m n matriisin A alimatriisi (tai osamatriisi, engl. submatrix) saadaan jättämällä A:sta rivejä ja/tai sarakkeita pois. Esim. 2 3 matriisin A = a 11 a 12 a 13 (5) a 21 a 22 a alimatriisit ovat a 11 a 12, a 21 a 22 a 11 a 13 a 21 a 23 ja a 12 a 22 (6) a 22 a 23 Yo. matriisilla A on myös kaksi 1 3, kolme 2 1, kuusi 1 2 ja kuusi 1 1 alimatriisia. 6

7 Vektori on matriisi, jossa on vain yksi rivi tai sarake. Ensinmainittua kutsutaan vaakavektoriksi ja jälkimmäistä pystyvektoriksi. Esim. ] a = [a 1 a 2 a n (7) on vaakavektori ja b = b 1 b 2. (8) b m on pystyvektori. 7

8 Vektorin a transpoosi a T saadaan vaihtamalla pystyvektori vaakavektoriksi tai päinvastoin. Vastaavasti matriisin A transpoosi A T saadaan vaihtamalla matriisin rivit ja sarakkeet keskenään: a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 A T = [a kj ] =.. (9). a 1n a 2n a mn Jos A T = A, matriisi A on symmetrinen. Jos A T = A, matriisi A on vinosymmetrinen (skew symmetric). Matriisien yhtäsuuruus: Matriisit A ja B ovat yhtäsuuria, ts. A = B, jos niiden kaikki alkiot ovat yhtäsuuria, eli a jk = b jk kaikilla j:n ja k:n arvoilla. 8

9 2 Matriisien laskutoimitukset 2.1 Matriisien yhteenlasku ja kertominen skalaarilla Jos A = [a jk ] ja B = [b jk ], niin A + B = [a jk + b jk ] (10) Olkoon A = [a jk ] m n matriisi ja c skalaari. Tällöin ca = [ca jk ] (11) Merkitään ( 1)A = A. Vastaavasti ( k)a = ka ja A + ( B) = A B (matriisien A ja B erotus). m n matriisi on m n nollamatriisi, jos kaikki sen elementit ovat nollia, merkitään 0. 9

10 Ominaisuuksia (oletus: samankokoiset matriisit): A + B = B + A (12) (U + V) + W = U + (V + W) (13) A + 0 = A (14) A + ( A) = 0 (15) Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen määritelmistä seuraa: c(a + B) = ca + cb (16) (c + k)a = ca + ka (17) c(ka) = (ck)a (18) 1A = A (19) 10

11 Em. ominaisuudet ovat samanlaisia kuin reaalilukujen yhteenlaskuun liittyvät ominaisuudet ja seuraavat suoraan matriisien yhteenlaskun määritelmästä Kahden m n matriisin transpoosien summa: Transpoosin kertominen skalaarilla: (A + B) T = A T + B T (20) (ca) T = ca T (21) 11

12 2.2 Matriisien kertolasku m n matriisin A = [a jk ] ja r p matriisin B = [b jk ] tulo C = AB on määritelty jos ja vain jos r = n (B:n rivien määrä = A:n sarakkeiden määrä) ja määritellään m p matriisina C = [c jk ], jonka elementit ovat n c jk = a jl b lk = a j1 b 1k + a j2 b 2k + + a jn b nk (22) l=1 Huom. Vaikka olisi AB = 0, niin välttämättä ei ole A = 0, B = 0 tai BA = 0. Esim vs (23)

13 Yleisessä tapauksessa siis AB BA, esim vs (24) Ym. ominaisuuksien vuoksi määritellään, että tulossa AB, matriisi B on kerrottu vasemmalta ja matriisi A oikealta. Muita matriisitulon ominaisuuksia, k mielivaltainen skalaari (edellyttäen, että ao. matriisit ovat sellaisia, että laskutoimitukset on määritelty): (ka)b = (kab) = A(kB) (25) A(BC) = (AB)C (26) (A + B)C = AC + BC (27) C(A + B) = CA + CB (28) 13

14 2.2.1 Erilaisia matriisityyppejä Neliömatriisi, jonka päälävistäjän yläpuolella olevat alkiot ovat nollia, on alakolmiomatriisi. Esim (29) Neliömatriisi, jonka päälävistäjän alapuolella olevat alkiot ovat nollia, on yläkolmiomatriisi (30) Molemmissa tapauksessa päälävistäjän alkiot voivat olla tai olla olematta nollia. 14

15 Neliömatriisi A = [a jk ], jonka päälävistäjän ylä ja alapuoliset alkiot ovat nollia, ts. [a jk ] = 0, kun j k, on diagonaalimatriisi. Diagonaalimatriisi, jonka päälävistäjän kaikki alkiot ovat samoja, on skalaarimatriisi. Jos S on n n skalaarimatriisi, mille tahansa n n matriisille A pätee AS = SA = ca (31) Jos AS = SA, sanotaan, että matriisit S ja A kommutoivat Skalaarimatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat kaikki ykkösiä, on identtinen matriisi eli yksikkömatriisi, merkitään I n tai I. Esim. 3 3 yksikkömatriisi: I = (32)

16 2.2.2 Tulon transpoosi ja vektorien sisätulo Tulon transpoosi = tekijöiden transpoosien tulo käänteisessä järjestyksessä, ts. (AB) T = B T A T (33) Jos a ja b ovat n:n alkion pystyvektoreita, a T on vaakavektori ja vektorien kertolaskun tulos on 1 1 matriisi, ts. reaaliluku. Tätä lukua kutsutaan vektorien a ja b sisätuloksi tai pistetuloksi, merkitään a b: b 1. a b = a T n b = [a 1 a n ] = a l b l = a 1 b 1 + +a n b n (34) b n l=1 Matriisitulo voidaan esittää sisätulojen avulla: c jk = a j b k = (A: nj: s rivi) (B: nk: s sarake) (35) 16

17 2.2.3 Matriisitulo lineaarimuunnoksissa Tarkastellaan lineaarimuunnoksia y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 (36) y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 x 1 = b 11 w 1 + b 12 w 2 (37) x 2 = b 21 w 1 + b 22 w 2 Huomataan, että koordinaatit y 1 y 2 saadaan suoraan koordinaateista w 1 w 2 : y 1 = c 11 w 1 + c 12 w 2 (38) y 2 = c 21 w 1 + c 22 w 2 17

18 Sijoittamalla (37) (36):een saadaan y 1 = a 11 (b 11 w 1 + b 12 w 2 ) + a 12 (b 21 w 1 + b 22 w 2 ) y 2 = a 21 (b 11 w 1 + b 12 w 2 ) + a 22 (b 21 w 1 + b 22 w 2 ) (39) Vertaamalla tätä (38):een saadaan eli lyhyesti c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 (40) c jk = a j1 b 1k + a j2 b 2k = 2 a ji b ik, j, k = 1, 2 (41) i=1 Lineaarimuunnokset voidaan siis esittää kompaktisti matriiseja käyttäen: 18

19 Yhtälö (36) tulee muotoon y = Ax, (42) missä y = y 1 A = a 11 a 12 x = x 1 (43) y 2 a 21 a 22 x 2 Vastaavasti yhtälöstä (37) saadaan x = Bw, (44) missä x = x 1 B = b 11 b 12 w = w 1 (45) x 2 b 21 b 22 w 2 y = Ax = A(Bw) = ABw = Cw; C = AB (46) 19