73035 Insinöörimatematiikka 2

Transkriptio

1 7335 Insinöörimtemtiikk Syksy 4/ Y Avoin yliopisto Risto Silvennoinen Sisällys OSA Mtriisilgebr Determinntit 3 Redusoitu riviporrsmuoto 4 Alivruudet Linerinen riippuvuus Knnt 5 Lineriset yhtälöryhmät 6 Ortogonliprojektiot 7 Ominisrvot Digonlisointi 8 Neliömuodot Definiittisyys OSA 9 Jonot Lukusrjt Funktiosrjt Vektorifunktion derivtt Ketjusääntö Hessen mtriisi Äärirvoteori 3 Integrointi vruudess R n 4 Ensimmäisen j toisen kertluvun differentiliyhtälöistä 5 Vkiokertoiminen linerinen normliryhmä 6 Differentiliyhtälösysteemeistä

2 Mtriisilgebr Mtemtiikss yksi käytetyimmistä numeerisen tiedon esitysmuodoist on mtriisi Se on sinällään yksinkertinen tietorkenne, joss esitetään joukko dtoj tulukkomuodoss Yleisistä tulukoist poiketen mtriiseihin kuitenkin liitetään mtemttisi ominisuuksi, kuten lskutoimituksi, jotk tekevät niistä monipuolisi työkluj sovellettuun mtemtiikkn Plutetn ensin mieleen vektorit tsost: v = (x, x ) ässä komponentit on nnettu vkrivinä (komponenttien järjestys on oleellinen), jost syystä näin ilmistu vektori snotn myös vkvektoriksi Vektori voidn lusu myös pystyvektorin v = x x, jok sisältää smn informtion kuin vkriviesityskin, eli tiedon siitä, mikä on ensimmäinen j mikä toinen komponentti ässä on molemmiss tpuksiss ollut sovittun, että tson kntvektorein ovt i = (,) j j = (,) Eli kyse on vektorist v = x i+ x j Vektoreiden u = (x, x ) j v = (y, y ) pistetulo on tunnetusti u v = x y + x y

3 son vektoreill komponenttej on kksi (tson ulottuvuus), j hvinnollisen vruuden vektoreill kolme Mutt eri tilnteiss päädytään käsittelemään vektoreit, joill on n komponentti, missä n voi oll mikä hyvänsä luonnollinen luku Esimerkiksi msspisteen liikkeessä kolme komponentti piklle, nopeudelle j kiihtyvyydelle kullekin eli yhteensä yhdeksän Näin johdutn n-ulotteisen euklidisen vruuden R n käsitteeseen Avruus R n koostuu n-komponenttisist vektoreist x = (x, x,, x n ) = x e + x e + + x n e n, joille on voimss tiettyjä lskusääntöjä (tson vektoreiden geometrisi ominisuuksi mtkien) Vektorit e = (,,,,),, e n = (,,,,) ovt tson vektoreit i j j vstvi kntvektoreit, ns luonnollisi kntvektoreit Vektoreiden u = (u,, u n ) j v = (v,, v n ) pistetulo (sisätulo eli sklritulo) on u v = u v + +u n v n On osoittutunut trkoituksenmukiseksi esittää luvuist koostuv dt vektoreiden ohell myös yleisemmässä tulukkomuodoss: Mtriisi on m-rivinen j n-srkkeinen tulukko: A = m m n n mn Mtriisin lkiot ovt ij, i =,,m, j =,,n Siinä on m riviä eli vkriviä j n srkett eli pystyriviä Mtriisin koko on tällöin m n eli A on m n-mtriisi Erityisesti n-mtriisi on vkvektori j m - mtriisi on pystyvektori

4 3 Mtriisi merkitään pitsi yllä olevn tpn luettelemll sen lkiot hk- ti krisuluill ympäröityinä, myös lyhyemmin A = ( ij ) = [ ij ] Myös käytetään merkintää ( A) ij kohdss (i,j) olev lkio on ij = kertomn, että mtriisin A ij Mtriisi voidn jtell myös rkennetuksi vkvektoreistn A i : A = A A : A m ti pystyvektoreistn j : A = [ n ] Nämä ovt esimerkkitpuksi yleisemmistä lohkomtriiseist, joiss lohkot voivt oll muitkin osmtriisej kuin pysty- ti vkrivejä Mtriisit A j B ovt smt, A = B, jos ne ovt smnkokoiset j niiden kikki lkiot ovt smt: A = ( ij ), B = (b ij ), ij = b ij, kikill i,j Eri kokoisi mtriisej ei voi verrt toisiins tässä mielessä Mtriisi on neliömtriisi, jos siinä on yhtä mont vk- j pystyriviä eli m=n Neliömtriisin (pää)lävistäjä koostuu lkioist,, nn Lävistäjämtriisi on sellinen, joss kikki lävistäjälle kuulumttomt lkiot ovt =

5 4 Erityismtriiseist tärkeimpiä ovt yksikkömtriisi I n = I = : : : jok on in neliömtriisi koko n n (n jätetään usein merkitsemättä, jos se on siyhteydestä selvä) j nollmtriisi O = : :, : jonk koko voi oll mikä hyvänsä m n Mtriiseille määritellään kolme lskutoimitust, yhteenlsku (summ), sklrill kertominen j mtriisitulo Yhteenlsku on määritelty smnkokoisille mtriiseille A = ( ij ) j B = (b ij ) : A + B = ( ij + b ij ) eli vstinlkiot lsketn yhteen Sklrill kertominen trkoitt mtriisin A kertomist reliluvull c eli sklrill: ca = (c ij ) eli jokinen A:n lkio kerrotn luvull c Sm mtriisi on myös Ac

6 5 Vähennyslsku on yhdistelmä yhteenlskust j sklrill kertomisest: A B = A+ ( ) B Mtriisitulo on monimutkisempi opertio, jonk perustelut selviävät myöhemmin ulo on määritelty, kun kertojn A = ( ij ) on m p-mtriisi j kerrottvn B = (b ij ) on p n-mtriisi, eli A:ss on oltv yhtä mont srkett kuin B:ssä on vkrivejä Silloin missä AB = C =(c ij ), c ij = p b ik kj k= Siis tulon C i:nnen rivin j j:nnen srkkeen lkio sdn kertomll A:n i:nnellä rivillä B:n j:s srke pistetulon mielessä eli vstinlkiot kerrotn keskenään j näin sdut tulot lsketn yhteen Kvion tulo on 3 - j -mtriisien tpuksess: AB = b + b b + b b b b b b b b b b b = b b Siis tulomtriisi voidn lske rivi i kerrlln, kun A:n rivillä i kerrotn (pistetulon) B:n jokinen srke järjestyksessä ensimmäisestä viimeiseen i tulo sdn myös srke j kerrlln, kun B:n srke j kerrotn vuoronperään jokisell A:n rivillä järjestyksessä ensimmäisestä viimeiseen

7 6 Seurvt lskusäännöt ovt voimss: A + O = A A = O 3 A + B = B + A 4 (A + B) + C = A + (B + C) 5 c(a + B) = ca + cb 6 A = A 7 A(BC) = (AB)C 8 c(ab) = (ca)b = A(cB) 9 A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC IA = AI = A OA = O & AO = O ässä on mtriisin koko in tilnteen mukn sellinen, että merkitty lskutoimitus on määritelty (c, j ovt sklrej) odistukset: Säännöt - 6, 8 j - seurvt välittömästi määritelmistä j relilukujen vstvist ominisuuksist 7 Olkoot A= ( ik ), B = ( bkl ), C = ( clj ) koko m p, p q, q n vstvsti Silloin p p q p q ( ABC ( )) = ( BC) = bc = bc = ij ik kj ik kl lj ik kl lj k= k= l= k= l= q p q p q bc = ( b) c = ( AB) c = (( ABC ) ) ik kl lj ik kl lj il lj ij l= k= l= k= l= 9 p ( AB ( + C)) = ( B+ C) = ( b + c ) = ij ik kj ik kj kj k= k= p p p p ( b + c) = b + c = ( AB) + ( AC) ik kj ik kj ik kj ik kj ij ij k= k= k= Menee vstvll tvll kuin 9

8 7 Usein -mtriisi pidetään sklrin: [c] korvtn sklrill c (Kertolskun kokovtimuksien tki tämä ei in ole mhdollist Esimerkiksi c(ab) = (ca)b = A(cB) pitää pikkns sklrille c, mutt ei yleensä -mtriisille [c]) Verrttun tuttuun relilukujen lgebrn todetn, että mtriisitulo ei ole vihdnninen eli yleensä AB BA Mtriiseille omininen opertio, jok "sklrimilmss" ei näy, on trnsponointi eli vk- j pystyrivien vihtminen keskenään Koko m n olevn mtriisin A =( ij ) trnspoosi on n m-mtriisi eli jos A = ( ji ) A = m m n n mn niin A = n n m m mn Nähdään siis, että (A ) ij = ji Neliömtriisin tpuksess trnsponointi merkitsee peilust lävistäjän suhteen Usein käytetään myös merkintää A t ti A' Mtriisi, jok ei muutu trnsponoinniss, on symmetrinen Se on siis välttämättä neliömtriisi (mutt jokinen neliömtriisi ei ole symmetrinen) Symmetrisyyden ehto on siis A = A

9 8 Neliömtriisi A on vinosymmetrinen, jos lävistäjän suhteen symmetrisessä semss olevt lkiot ovt toistens vstlukuj: ji = - ij ällöin siis lävistäjälkiot erityisesti ovt = Vinosymmetrisyyden ehdon voi ilmist myös muodss A = -A rnsponointi toteutt seurvt lskusäännöt (jtketn numerointi): 3 (A + B) = A + B 4 (ca) = ca 5 (AB) = B A 6 (A ) = A od: Kohdt 3, 4 j 6 helppoj seuruksi määritelmistä 5 p p p = = ij ji = jk ki = kj ik = ik kj ij k= k= k= (( AB) ) ( AB) ( A) ( B) ( A ) ( B ) ( B ) ( A ) ( B A ) Erityisesti todetn, että trnsponointi "nost" vkvektorin pystyvektoriksi j päinvstoin: y = [y y y n ], y = y y y n x = x x x n, x = [x x x n ] Avruuden R n vektoreit tulln jtkoss pääsääntöisesti pitämään pystyvektorein ällöin vektori x on n -mtriisi j vektorien lskuopertiot sdn utomttisesti mtriisien lskutoimituksist

10 9 Pistetulo s silloin muodon u v = [u u u n ] v v v n = u v + u v + +u n v n ästä syystä nimityskin on R n :ssä useimmiten pistetulon sijst sklriti sisätulo Mtriisikertolsku voidn nyt esittää myös muodoiss AB = A [b b b n ] = [Ab Ab Ab n ], missä b j on mtriisin B j:s pystyrivi j siis Ab j on tulon AB j:s pystyrivi ti AB = A A A m B = A B A B A B m, missä A i on A:n i:s vkrivi, j siis A i B on tulon AB i:s vkrivi Lskutoimituksist puuttui yllä jkolsku Oslle mtriiseist on kuitenkin olemss käänteismtriisi, j silloin tällisill mtriiseill voidn "jk" sopivnkokoisi mtriiseit Neliömtriisi A on kääntyvä, jos on olemss sellinen smnkokoinen mtriisi B, että AB= BA= I ällöin mtriisi B snotn mtriisin A käänteismtriisiksi j merkitään B = A (Kuten snmuodot ntvt ymmärtää, käänteismtriisi on yksikäsitteinen, mikäli se on olemss Jos nimittäin C olisi myös A:n käänteismtriisi, niin C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B)

11 Myöhemmin osoitetn, että yllä olevst vtimuksest AB= BA= I riittää käänteismtriisin olemssololle trkist vin toinen (AB=I ti BA=I), jolloin toinenkin ehdoist toteutuu Jos A on kääntyvä j mtriisien dimensiot ovt sopivt, niin yhtälön AX = C rtkisu on X = A C ämä stiin kertomll yllä olev yhtälö puolittin vsemmlt Vstvsti yhtälön YA = F rtkisu on Y = FA Huomttkoon, että vikk edelliset rtkisut muistuttvtkin jkolsku, niitä ei merkitä muodoss X C F = ti Y =, A A sillä nämä ovt epämääräisiä, niistä ei käy ilmi kummlt puolelt A :lläkerrotn Käänteismtriisi noudtt seurvi lskusääntöjä: (A j B oletetn kääntyviksi smnkokoisiksi neliömtriiseiksi) 7 ( A ) = A ( AB) = B A 8 9 ( A ) = ( A ) od: 7 Jos C=A -, niin CA=AC=I, joten määritelmän nojll C - =A 8 9 B A AB B A AB B IB B B I ( )( ) = = = = j vstvsti toisin päin A A = AA = I = I A A = A A = I = I ( ) ( ), ( ) ( ) Käänteismtriisin muodostmiseen j lskemiseen plmme myöhemmin

12 ehtäviä Olkoon A = 3 4 5, B = 4 5 3, C = Lske B + 3C Lske tuloist AB, BA, BC ne, mitkä ovt määriteltyjä 3 Muodost A, B, C 4 Mitkä mtriiseist A, B, C ovt neliömtriisej? symmetrisiä? 5 Lske A A j tote tulos symmetriseksi 6 Osoit, että kikill mtriiseill A on A A symmetrinen 7 Onko nyt BC = CB? 8 Rtkise mtriisi X yhtälöstä AX A = B

13 Determinntit Historillisesti on yllättävää, että determinnttien oppi kehittyi pitkälle huomttvsti ennen mtriisej Leibniz oli ilmeisesti ensimmäisiä, jok käytti determinnttej yhtälöryhmän rtkisuiss ämä tphtui ivn 6-luvun lopuss, j vst 85-luvull Jmes Sylvester otti käyttöön termin "mtriisi" erottkseen determinntin (jok on luku) siitä lukukviost, jost determinntti lsketn Neliömtriisin A determinntti det(a) on luku, jok määritellään rekursiivisesti mtriisin koon n suhteen Determinntist käytetään myös merkintää det( A) = A (ässä ei ole siis kyse itseisrvost, vn pystysuorien väliin kirjoitetn mtriisin A lkiot) Determinntti määräytyy koon n mukn lkupäästä lukien seurvsti: n=: A = [ ], det( A) = A =, det( A) = n=: n=3: 3 A = 3, det( A) = C + C + C = 3 3 ämä viimeisin muoto yleistyy yleiselle n:lle, jolloin kyseessä on determinntin "kehittäminen vkrivin mukn" rkstelln mtriisi, jok on stu mtriisist A poistmll siitä rivi i j srke j (eli se rivi j srke, joll lkio ij on) Näin stu mtriisin A limtriisi A ij on A:n (i,j)-minori

14 3 Esimerkiksi: 3 3 A = 4 5 6, (3,)-minori on A3 = Minorin A ij determinntti det( A ij) on mtriisin A (i,j)-lideterminntti Kun lideterminnttiin "otetn merkinvihtelu mukn", sdn mtriisin A (i,j)-kofktori eli (i,j)-komplementti: C ij i+ j = ( ) det( A ) ij Näiden vull sdn n n-mtriisin A determinntti määriteltyä yhtä pienempien eli ( n ) ( n ) -mtriisien determinnttien vull: det( ) n n A = = C + C + + ncn n n nn ämä luseke on determinntin lskeminen kehittämällä vkrivin mukn Voidn osoitt, että sm tulos sdn, jos determinntti lsketn kehittämällä minkä hyvänsä vkrivin ti minkä hyvänsä pystyrivin mukn Esimerkki A 3 =, jost kehittämällä vkrivin mukn: = + ( ) = 7 ( 5) + ( )3 ( 6) = 6 ässä koko 3 3 olevt lideterminntit lskettiin edelleen sivun kvll

15 4 Kun determinntti kehitetään i:nnen vkrivin mukn, sdn kvksi det( ) n n A = = C i i+ C i i+ + C in in n n nn j kehitettynä j:nnen pystyrivin mukn det( ) n n A = = jcj+ jcj+ + njcnj n n nn Helpoimmt mtriisit determinntin lskemisen knnlt ovt kolmiomtriisit Mtriisi U = ( u ij ) on yläkolmiomtriisi, jos sen lävistäjän lpuolell olevt lkiot ovt nolli: uij =, kun i> j Mtriisi L = ( l ij ) on lkolmiomtriisi, jos sen lävistäjän yläpuolell olevt lkiot ovt nolli: lij =, kun i< j Yläkolmiomtriisiss nollst poikkevt luvut voivt oll siis vin lävistäjällä ti sen yläpuolell, j lkolmiomtriisiss vstvsti lävistäjällä ti sen lpuolell Kun yläkolmiomtriisin determinntti kehitetään ensimmäisen pystyrivin mukn, j seurvss viheess ts smoin, huomtn, että determinntiksi sdn lävistäjälkioiden tulo Smoin lkolmiomtriisill determinntti on lävistäjälkioiden tulo Kosk lävistäjämtriisi on kumpkin yllä minittu tyyppiä, on siis erityisesti lävistäjämtriisin determinntti in lävistäjälkioiden tulo

16 5 Determinntin perusominisuuksi Seurvss A j B ovt smnkokoisi neliömtriisej j c sklri (Kunkin ominisuuden kohdll on esimerkkitilnne) Jos mtriisin A jokin vk- ti pystyrivi sisältää pelkästään nolli, niin det(a)= 3 3 = 4 6 = Jos mtriisin A jonkin vk- ti pystyrivin kikki lkiot kerrotn luvull c, niin det(a) tulee kerrottu c:llä = Jos mtriisiss A vihdetn keskenään khden vkrivin ti khden pystyrivin pikk, niin det(a):n merkki vihtuu = Jos mtriisiss A on kksi smnlist vkriviä ti kksi smnlist pystyriviä, niin det(a)= = 3

17 6 5 Jos mtriisin A vk(pysty)rivi on vkio kert toinen vk(pysty)rivi, niin det(a)= = Olkoon mtriiseill A j B on ero vin yhden vk- ti pystyrivin lkioiss Silloin determinnttien summ det( A) + det( B) = det( C), missä C:n lkiot ovt smt kuin A:n j B:n, pitsi minituss erovss rivissä, jonk lkiot ovt nyt A:n j B:n vstinlkioiden summt = Determinntin rvo ei muutu, jos mtriisin johonkin (vk- ti pystyriviin) lisätään toinen (smnsuuntinen) rivi jollkin vkioll kerrottun = 4 + ( 4) 5 + ( 4) 6 + ( 4) 3 = = = 3 6 = 6

18 7 8 Mtriisin A trnspoosin A determinntti on sm kuin A:n: det( A ) = det( A) = ulon determinntti on determinnttien tulo: det( AB) = det( A)det( B) 8 = = 3 8 Jos mtriisist muodostetn jonkin vk- ti pystyrivin mukn kehitelmä kuten determinntti lskettess, mutt kofktorit poimitn joltin toiselt (smnsuuntiselt) riviltä, niin tulos on in noll: C + C + + C in jn = δij det( ) i j i j A C + C + + nicnj = δij det( ) i j i j A missä δ ij, i= =, i j j A = 5, 3 ( ) + + ( )( ) = 3 3

19 8 Ominisuuksist voidn useimmt todist määritelmien perusteell "suorll lskull" Vikeimpi ovt kohdt 8 (induktioll koon n suhteen) j 9, mutt sivuutmme niiden todistukset tässä kurssiss Seurvss trkstelemme determinnttien yhteyttä käänteismtriiseihin Aluksi nähdään perusyhteys: Jos A on kääntyvä, niin det( A ) = det( A) ) ämä seur yhtälöstä = det( I ) = det( AA ) = det( A)det( A ) Erityisesti nähdään siis, että ollkseen kääntyvä, mtriisill on determinntin oltv nollst erov Koht nähdään, että tämä ehto on myös riittävä mtriisin kääntyvyydelle Muodostetn kofktoreist C ij mtriisi ( C ij) Sdun mtriisin trnspoosi on mtriisin A djungoitu mtriisi C C C C C C dj( A) ( Cij) = = Cn Cn C n n nn 9 Käyttämällä ominisuutt sdn nyt käänteismtriisin luseke determinnttien vull: A = dj( A) det( A) ämä seur suorll kertolskull: C C C n n n C C C n Adj( A) = n n nn Cn Cn Cnn

20 9 = C + C + + C C + C + + C C + C + + C n n n n n n n nn C + C + + C C + C + + C C + C + + C n n n n n n n nn C + C + + C C + C + + C C + C + + n n nn n n n nn n n n n n nn C nn det( A) det( A) = = det( A) = det( A) I det( A) Siis A( dj( A)) = I, j smll tvll nähdään tulo toisess järjestyksessä det( A) odettkoon, että yllä olev kv ei ole numeerisesti sovelis tp lske käänteismtriisi Myöhemmin esitetään muit, lskennllisesti prempi keinoj Käänteismtriisin kvst nähdään, että käänteismtriisi on olemss, jos det(a) Näin stiin perustulos: Mtriisi A on kääntyvä det(a) Mtriisi A, jolle det(a) =, snotn singulriseksi ästä syystä kääntyvää mtriisi hyvin usein kutsutn ei-singulriseksi Siis: Mtriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se on ei-singulrinen

21 3 Redusoitu riviporrsmuoto Lineristen yhtälöiden ryhmiä rtkistess on jo kouluss opittu muokkmn yhtälöitä niin, että yhtälöryhmän rtkisu lopult on luettviss suorn jäljelle jääneestä muoktust ryhmästä Käytettäviin opertioihin kuului yhtälöiden kertominen ti jkminen sopivll luvull, yhtälöiden järjestysten vihtminen j muuttujien eliminoiminen lisäämällä jokin yhtälö vkioll kerrottun toiseen yhtälöön Mtriisej käytettäessä linerinen yhtälöryhmä s yksinkertisen j tiiviin muodon: Yhtälöryhmä x + x + + nxn = b x + x + + x = b x + x + + x = b n n m m on kerroinmtriisi mn n m A = m m n n mn, muuttuj x x x = xn j oike puolt b b b = b m käyttämällä esitettävissä mtriisiyhtälönä Ax = b Kikki oleellinen dt on mtriisiss A j oiken puolen vektoriss b Siksi yhtälöryhmän rtkisutoimenpiteissä voidnkin operoid pelkästään niillä, muuttujien xi symbolien kuljettminen mukn lskutoimituksiss on turh

22 Aluss minitut yhtälöryhmän lkeelliset rtkisutoimenpiteet näkyvät mtriisiss A vkriveihin (jtkoss lyhyesti "riveihin") kohdistuvin opertioin Näitä elementrisi vkrivimuunnoksi (lkeisriviopertioit, ) on kolme tyyppiä: - rivin i kertominen nollst erovll luvull c: Ei( c ) - riviin i lisätään rivi j ( i) luvull c kerrottun : Eij( c ) - rivien i j j vihto (permutointi) : E ij Yllä näille toimituksille on omt merkinnät kullekin Kun lkeisriviopertioit tehdään peräkkäin, sdn yleisesti vkrivimuunnoksi (Pystyriveillä voidn myös operoid, mutt se on pljon hrvinisemp, joten emme käsittele niitä linkn) Voidn osoitt, että kukin elementrinen vkrivimuunnos mtriisiin A sdn ikn kertomll A vsemmlt tietyllä mtriisill, muunnoksen elementrimtriisill Näille elementrimtriiseille käytetään sm merkintää kuin vstville muunnoksillekin, j ne ovt kokoluokssn yksikäsitteisiä Kukin n n-elementrimtriisi sdn tekemällä vstvnkokoiselle yksikkömtriisille kyseinen lkeisrivimuunnos All on esimerkkinä yksi jokisest ljist: I =, E3 () =, E ( 5) = 5, E3 =

23 Esim Muunnetn mtriisi M 3 = seurvsti: E( 4) E3( 7) E ( /3) E3 (6) E ( ) Eij ( c) Merkintä trkoitt, että vsemmll puolell olevn mtriisiin on sovellettu nuolen yläpuolell olev lkeisrivimuunnost j tuloksen on nuolen oikell puolell olev mtriisi Sm si mtriisikertolskull elementrimtriisien vull toteutettun on silloin: E( ) E3(6) E( /3) E3( 7) E( 4) M = Huom yllä olevss elementrimtriisien järjestys: Koko jn kerrotn vsemmlt, joten ensimmäinen muunnos on ensimmäisenä mtriisist M lukien vsemmlle, sitten siitä vsemmlle toinen muunnos eli sitä vstv elementrimtriisi, jne Kksi mtriisi A j B, jotk sdn vkrivimuunnoksill toisistn, ovt vkriviekvivlenttej, merk A B ti A B

24 3 vllisimmin vkrivimuunnoksill pyritään sttmn mtriisi redusoituun riviporrsmuotoon Se on muoto, joss: - Mhdolliset nollrivit ovt limpn ("pohjll") - Nollrivistä erovien rivien ensimmäinen nollst erov lkio on, ns rivien johtv ykkönen - Johtvt ykköset ovt porrsmisesti siten, että ylemmän rivin johtv ykkönen on srkkeell, jok on ennen lemmn rivin johtvn ykkösen srkett - Johtvn ykkösen srkkeell ovt sen yläpuolell olevt luvut nolli Kolme ensimmäistä ehto määrittelevät riviporrsmuodon j jos neljäskin ehto on voimss, kyseessä on redusoitu riviporrsmuoto eli knoninen muoto Usein mtriisin A redusoitu riviporrsmuoto merkitään rref(a) (engl reduced row echelon form), jost syystä käytetään myös puhetp "mtriisin A rref" Edellisessä esimerkissä mtriisi M muutettiin riviporrsmuodon 3 kutt redusoiduksi riviporrsmuodoksi Redusoitu riviporrsmuoto on jokiselle mtriisille olemss j se on yksikäsitteinen (Mutt pelkkä redusoimton riviporrsmuoto ei välttämättä ole yksikäsitteinen) Käytämme redusoitu riviporrsmuoto ensiksi käänteismtriisin lskemiseen odetn luksi, että kikki elementrimtriisit ovt kääntyviä j E () c E(/), c E () c E ( c), E E = = = i i ij ij ij ji ämän vull nähdään, että jos neliömtriisi A sdn muunnettu vkrivimuunnoksill yksikkömtriisiksi, A on kääntyvä: E E E E A= I A= E E E E A E E E E k k k k = k k

25 4 ässä E i merkitsee yleensä jotkin elementrimtriisi oislt jos neliömtriisi ei sd muunnettu yksikkömtriisiksi, niin rref ( A ) sisältää "pohjll" inkin yhden nollrivin, jolloin det(a)= j A on siis singulrinen eli ei-kääntyvä Siis: Mtriisi A on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se on vkriviekvivlentti yksikkömtriisin I knss Sm si toisin snoin: Mtriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se on esitettävissä elementrimtriisien tulon Käänteismtriisin lskeminen (silloin kun se lsketn vkrivimuunnoksill) on kätevintä järjestää seurvsti: [ A I] [ I B] B= A Eli jos lohkomtriisi [ A I ] sdn muunnettu vkrivimuunnoksill mtriisiksi [ I B ], niin B on A:n käänteismtriisi (Yksikkömtriisi "siirtyy oikest lohkost vsempn") ämä nähdään kertomll [ A I ] vsemmlt A : llä : A [ A I] = [ A A A I] = [ I A ] j totemll, että vsemmlt kertominen kääntyvällä mtriisill on sm kuin vkrivimuunnosten tekeminen ässä ei ole trpeen tietenkään tietää, mikä on A :nesitys elementrimtriisien tulon (silloinhn ei olisi enää mitään lskettv), vn kyseiset muunnokset tehdään skel kerrlln päämääränä sd vsempn lohkoon I Se mitä oiken lohkoon sitten ilmntuu, on A Kosk [ I B ] on ilmeisesti redusoiduss riviporrsmuodoss, voidn edellä esitetty ilmist myös muodoss rref [ A I] [ I B] B A = =

26 5 Esim 3 A = 3 3 [ A I] = E3( ) E3( ) 3 3 E3( ) E (/ ) 3 3 / / E ( ) E ( ) /3 /3 /3 / = [ I A ] 3 A = [A I] = , nollrivi vsemmll, ei 3 3 käänteismtriisi

27 6 4 Alivruudet Linerinen riippuvuus Knnt Hvinnollisen milmn geometrisin mllein voidn pitää suor, tso j kolmiulotteist vruutt, jotk ovt koordinttivruuksin R, R j R 3 Kosk sovelluksiss esiintyy muuttuji luontevsti "mielivltinen" määrä n, on huomttu edulliseksi trkstell sioit silloin "n-ulotteisess vruudess" R n ämä trjo mhdollisuuden kuvitell ilmiöitä hvinnollisin geometrisin käsittein, jotk on linttu, ti 3-ulotteisest hvintomilmst iettyjen olioiden väliset suhteet säilyvät smnkltisin kikiss ulottuvuuksiss j pystymme ymmärtämään niitä premmin hvinnollisten miellekuvien vull ästä syystä linmme j yleistämme vruuksist R, R j R 3 geometrisi käsitteitä j siirrämme ne yleiseen n-ulotteiseen vruuteen R n ällisi käsitteitä ovt piste, vektori, suor, tso, pituus, etäisyys, kulm, pistetulo, kohtisuoruus, projektio, ulottuvuus jne Kikki käsitteet eivät yleisty, esimerkiksi vektoritulo eli ristitulo on sellinen, joll ei ole vstinett yleisessä R n :ssä Algebrllisell puolell otmme mtriisit käyttöön perusolioin Avruus R n eli n-ulotteinen euklidinen vruus määritellään tässä kurssiss n -mtriisien ("vektorien") joukoksi, joss on mtriisilgebrst periytyvät lskutoimitukset: vektorien yhteenlsku j sklrill kertominen, sekä vektorien välinen sisätulo R n = { xx = [ x, x,, xn], xi R, i=,, n} Lskutoimitukset noudttvt seurvi lkej, jotk seurvt jo todennetuist mtriisilgebrn säännöistä Luettelemme ne kuitenkin uudestn tässä, kosk stujen ehtojen kokoelm määrittelee yleisemmän käsitteen vektorivruus Avruus R n on siis esimerkki vektorivruudest Muit vektorivruuksi ovt mm eriliset funktioist koostuvt funktiovruudet

28 7 Avruudess R n toteutuvt seurvt (relisen) vektorivruuden ksioomt: VA Joukoss R n on määritelty vektoreiden x, y yhteenlsku: n n x + y R x, y R n VA ( x + y) + z= x+ ( y + z), x, y R n VA3 On olemss nollvektori: x+ = + x= x, x R n VA4 Jokisell vektorill on vstvektori: x+ ( x) =, x R n VA5 x + y= y+ x, x R VA6 Joukoss R n on määritelty sklrill kertominen: n n x R, x R, R n VA7 ( x + y) = x + y, x, y R, R n VA8 ( + b) x= x+ bx, x R,, b R n VA9 b ( x) = ( b) x, x R, b, R VA x= x, x R n Nämä otetn yleisessä tpuksess siis ksioomiksi vektorivruudelle, nyt ne kuitenkin ovt seuruksi mtriisilgebrst Lisäominisuuksi (jotk sitten ovt yleisessä tpuksess lusein johdettviss yllä olevist ksioomist) ovt mm seurvt: - =, R - n x=, x R - x= = ti x=, n x R, R - n ( ) x= x, x R

29 8 Sisätulo koskevi ominisuuksi trkstelemme myöhemmin ortogonlisuuden yhteydessä Yleisesti vektorivruuksi, joiss on määritelty sisätulo, snotn sisätulovruuksiksi, joist R n on siis yksi esimerkki Kolmiulotteisess vruudess R 3 on osjoukkoin tsoj j suori, jotk muistuttvt geometrisesti hyvin pljon vruuksi R j R Jos tso kulkee origon kutt, huomtn, että sen vektoreiden yhteenlsku j sklrill kertominen joht vektoreihin, jotk edelleen ovt smll tsoll Siis nämä vektorit toteuttvt vektorivruuden ksioomt VA j VA6, j kosk vektorit ovt toislt R 3 :n vektoreit, lskulit VA-VA5, VA7-VA toteutuvt myös Siis origon kutt kulkev R 3 :n tso on itsekin vektorivruus Avruuden R n osjoukko H on livruus, jos seurvt ehdot ovt voimss kikille x, y j kikille sklreille : AA x, y H x + y H AA AA3 R& x H x H H Kksi ensimmäistä ehto vtivt, että lskutoimitusten lopputulos pysyy H:ss, eli että yhteenlsku j sklrill kertominen "eivät vie ulos H:st" Ehdot AA-AA3 voidn esittää myös tiivistetyssä muodoss ehton: xy, R,, R: xy, x+ y n b H b H j lisäksi on vdittv, että H on epätyhjä Avruus R n itse j {} ovt trivilej livruuksi puksess R ei muit livruuksi olekn soss R epätrivilej livruuksi ovt origon kutt kulkevt suort Avruudess R 3 epätrivilej livruuksi ovt origon kutt kulkevt suort j origon kutt kulkevt tsot Yleisessä R n :ssä eri tyyppisiä livruuksi on sitten enemmän

30 9 Huomttkoon, että esimerkiksi kolmiulotteisen vruuden tsot, jotk eivät kulje origon kutt, eivät voi oll livruuksi (vtimus AA3) Ne voidn jtell kuitenkin livruuksien siirtoin eli trnsltioin Esimerkki H = x R x + x = on R :n livruus { } H = x R x + x = ei ole R :n livruus { 4} H = x R x x + x = on R 3 :n livruus 3 3 { 3 3 } Khden tson leikkus on suor (kunhn tsot eivät ole yhdensuuntisi) j kulkee origon kutt, jos tsotkin tekevät niin Näyttää siis ilmeiseltä, että livruuksien yhteisistä osist muodostuu livruuksi: Alivruuksien H, H leikkus H H on livruus Edellä on ollut moness kohdin jo puhett "ulottuvuudest", mutt käsitettä ei ole vielä trksti määritelty Esimerkiksi R 3 on kolmiulotteinen, kosk sillä on kolme kntvektori i, j, k Mutt mitä trkoitetn esimerkiksi edellä olevn livruuden H 3 knnll? Knnll i, j, k on seurvt kksi ominisuutt ) Vektorit i, j, k "virittävät" koko vruuden R 3 : x 3 x= x = xi+ xj+ x3k, x R x 3 ) Vektoreiden i, j, k joukoss ei ole yhtään turh, jos yhdenkin jättää pois, niin loput eivät enää pysty virittämään koko vruutt R 3

31 3 ästä sdn mlli yleiseen tpukseen Vektori v on vektoreiden v, v,, vk linerikombintio, jos v= cv + c v + + c v k k joillkin kertoimill (reliluvuill) c, c,, c k Vektorit v, v,, vk virittävät vruuden H, jos jokinen H:n vektori v voidn esittää linerikombintion näistä vektoreist joillkin kertoimill c, c,, c k Esimerkki Vektorit i j j virittävät R :n Vektori v=[,3] on linerikombintio v=i+3j Vektorijoukko S = { v, v,, vk }, jok virittää H:n snotn vruuden H virittäjistöksi j merkitään H = spns = spn{ v, v,, v } k Ilmeisesti jokiseen virittäjistöön voidn lisätä vektoreit, j näin ljennettu joukkokin on edelleen smn ti ljemmn vruuden virittäjistö Mutt voidnko virittäjistöstä poist vektoreit, niin että joukko säilyy edelleen smn vruuden virittäjistönä? Jos voidn, niin silloin tällinen ylimääräisten vektorien krsint yleensä tehdäänkin Virittämisen knnlt trpeettomi S:n vektoreit ovt ilmeisesti selliset, jotk ovt itse joidenkin muiden S:n vektoreiden linerikombintioit Jos vektorijoukoss S on tällisi (edes yksi), niin vektorijoukko S = { v, v,, vk }snotn linerisesti riippuvksi (eli sen vektoreit v, v,, vk linerisesti riippuviksi) Jos vektorit v, v,, vk ovt linerisesti riippuvi, niin siis inkin yksi niistä, esimerkikis v m, on muiden linerikombintio: v = v + + v + v + v m m m m+ m+ k k

32 3 Siirtämällä kikki vsemmlle puolelle sdn yhtälö cv + + c v =, k k missä kertoimist c i inkin yksi on nollst erov (sillä nyt inkin c = ) ämä otetn usein linerisen riippuvuuden määritelmäksi m Edelleen voidn todet, että vektorijoukko S on linerisesti riippuv, jos j vin jos sillä on sellinen ito osjoukko S', että spn( S') = spn( S) oivottv ominisuus virittäjistölle on, että siellä ei ole turhi vektoreit mukn, eli että se ei ole linerisesti riippuv Vektorijoukko S = { v, v,, vk } on linerisesti riippumton (eli vektorit v, v,, vk linerisesti riippumttomi), jos j vin jos S ei ole linerisesti riippuv Lineriselle riippumttomuudelle sdn siis seurvi krkterisointej: Joukon S = { v, v,, v k } vektorit ovt linerisesti riippumttomi täsmälleen silloin, kun ll olevt keskenään yhtäpitävät ehdot ovt voimss: - Mikään vektoreist v, v,, vk ei ole muiden linerikombintio - Ehto c v + + c k v k = toteutuu vin kikkien kertoimien c i olless nolli - cv+ + c v = c= = c = k k k - S' S, S' S spn( S') spn( S)

33 3 Erityisesti nähdään, että -vektori ei voi oll mukn missään linerisesti riippumttomss vektorijoukoss Kosk linerist riippumttomuutt pidetään toivottun ilmiönä, on hyvä oll lskennllinen keino, joll riippumttomuus ti riippuvuus voidn selvittää ällisen trjo redusoituun riviporrsmuotoon muuntminen Ajtelln vektorit v, v,, vk litetuksi mtriisin A pystyvektoreiksi: Silloin A = v v v k [,,, ] A = v v v k, jok on muokttviss vkrivimuunnoksill Olkoon vektoreist jokin, esimerkiksi v m, muiden linerikombintio: v = v + + v + v + v m m m m+ m+ k k Silloin sdn muunnoksill Em ( ),, Emk( k ) rivi v m nollttu Kääntäen, jos rref(a ):ssä on nollrivi, se on stu ik minitun kltisill muunnoksill, joten kyseinen rivi on muiden linerikombintio Siis vektorit v, v,, vk ovt linerisesti riippumttomi täsmälleen silloin, kun mtriisin A = [ v, v,, v k ] redusoitu riviporrsmuoto rref(a ) ei sisällä nollrivejä Jos k n mtriisiss on k > n eli vkrivejä on enemmän kuin pystyrivejä, niin mtriisin redusoiduss riviporrsmuodoss on ilmeisesti porrsmisuuden tki pkko oll nollrivejä:

34 33 ästä nähdään, että R n :ssä jokinen vektorijoukko, joss on enemmän kuin n vektori, on linerisesti riippuv Esimerkiksi R 3 :ss jokinen neljän vektorin joukko on linerisesti riippuv Esimerkki utkitn, ovtko R 4 :n vektorit u=, v=, w = linerisesti riippuvi vi riippumttomi A =, A = Kosk mtriisiss rref ( A ) on nollrivi, vektorit ovt siis linerisesti riippuvi J todell näin on, sillä w= u v

35 34 n Huomttkoon vielä, että kksi nollst erov vektori uv, R ovt linerisesti riippuvi täsmälleen silloin, kun toinen sdn toisest vkioll kertomll: uv, linerisesti riippuvi c R: u= cv Vektorijoukko S on vruuden H knt, jos S on H:n linerisesti riippumton virittäjistö Silloin siis H = spn(s) j S:n vektorit ovt linerisesti riippumttomi eli siellä ei ole trpeettomi vektoreit mukn Jokisell vruuden H vektorill v on silloin yksikäsitteinen esitysmuoto knnss S= { v, v,, vk }: v = c v + + c k v k Jos nimittäin olisi v = cv+ + ckvk = c' v+ + c' k vk, niin siirtämällä kikki vsemmlle puolelle stisiin ( c c' ) v+ + ( ck c ' k) vk =, jost seur vektoreiden linerisen riippumttomuuden nojll ( c c' ) = = ( ck c ' k) = eli c = c ',, c = c ' k k Nämä yksikäsitteiset luvut c i ovt vektorin v koordintit knnss S Silloin vektori v voidn esittää koordinttivektorin c c v= v S = ck S, missä S korost, että on kyse knnst S Kosk vektori v on tässä kurssiss in myös jonkin R n :n vektori, sillä on oletusrvon esitys R n :n luonnollisess knnss { e,, e n }:

36 35 v v v ve v e vn = = + n n missä e =,, en = Avruuden H jokisess knnss on yhtä mont vektori ämä seur siitä, että jos josskin knnss on k vektori, niin jokinen joukko, joss on enemmän kuin k vektori, on linerisesti riippuv Päättely on sm kuin R n :n yhteydessä tehtiin redusoidun riviporrsmuodon vull Nyt mtriisi rkennetn kyseisen knnn koordinttivektoreist Knnn lkioiden lukumäärä on siis vruudelle omininen vkio Avruuden H ulottuvuus eli dimensio dim(h) on knnn vektorien lukumäärä Avruuden R n dimensio on siis n rivilin vruuden {} dimensioksi sovitn (Se on sikäli luontev, että {} on ino vruus, joll ei ole knt, kosk -vektori on linerisesti riippuv Siis kntvektoreiden lukumäärä on ) sot vruudess R 3 ovt -ulotteisi j suort -ulotteisi livruuksi (silloin kun kulkevt :n kutt) Oheisess kuvss tson knnn muodostvt vektorit v, v j niiden vull tsolle muodostuu koordintisto

37 36 Kntoj on vruudell erilisi, ääretön määrä Jokinen linerisesti riippumton vektorijoukko, joss on dimension ilmoittm määrä vektoreit, käy knnksi: Jos dimh = k, niin jokinen k:n vektorin linerisesti riippumton H:n osjoukko kelp H:n knnksi ämän todistmiseksi oletetn, että U = { u,, u k } on H:n linerisesti riippumton osjoukko Knnn vtimuksist linerinen riippumttomuus on siis jo kunnoss, joten on näytettävä vielä, että U virittää H:n Olkoon v mielivltinen H:n vektori Silloin joukko {, vu,, u k } on linerisesti riippuv, kosk siinä on lkioit enemmän kuin k kpplett Siis on olemss selliset kertoimet c, c,, ck, että c v+ cu + + c u =, j kertoimet eivät kikki ole nolli Myöskään ei voi oll k k c =, kosk vektorit ui ovt linerisesti riippumttomi Siis c ck v = u uk, joten v on esitettävissä U:n vektoreiden c c linerikombintion

38 37 5 Lineriset yhtälöryhmät Mtriisilskennn keskeisimpiä käyttökohteit ovt lineriset yhtälöryhmät Sellisi esiintyy sovelluksiss runssti, esimerkiksi elementtimenetelmä (FEM) j reunelementtimenetelmä (BEM) lujuus-, virtus-, kustiikk- j mgneettikenttälskennss pluttvt lskentongelmt lopult suurten lineristen yhtälöryhmien numeeriseen rtkisemiseen Myös tilstotieteessä j optimoinniss käytetään pljon linerisi yhtälöryhmiä Jop epälineristen yhtälöryhmien numeerinen rtkisu perustuu lineristen yhtälöryhmien iterointiin Linerisen yhtälöryhmän yleinen muoto on x + x + + nxn = b x + x + + x = b n n x + x + + x = b m m mn n m missä muuttujt ovt x,, xn j kertoimet,, mn j sekä oiken puolen luvut b,, b m Muuttujien lukumäärällä n j yhtälöiden lukumäärällä m osoittutuu jtkoss olevn tärkeä rooli Mtriisimuodoss linerinen yhtälöryhmä on Ax = b,, missä kerroinmtriisi on A = m m n n mn,

39 38 muuttujvektori x = x b x, j oike puoli b = b xn bm Yhtälöryhmä Ax = b on homogeeninen, jos b = j epähomogeeninen, jos b rkstelln ensin lineristen yhtälöryhmien geometri Aluksi todetn, että homogeenisen yhtälöryhmän rtkisujen joukko V={ x R n Ax= } on vruuden R n livruus: AA x, y V A( x + y) = Ax + Ay = + = x+ y V AA R& x V A( x) = A( x) = = x V AA3 V ätä livruutt snotn mtriisin A noll-vruudeksi j merkitään N(A) ti N A : N(A) = { x R n Ax= } Voidn osoitt, että muit livruuksi ei sitten olekn: Avruuden R n livruuksi ovt m n-mtriisien noll-vruudet (m=,, 3, ) j vin ne Epähomogeenisen yhtälön Ax = b, missä siis b, rtkisujoukko ei ole livruus, kosk ei kuulu siihen Mutt se voidn jtell nollvruuden N(A) siirroksi eli trnsltioksi vektorin x verrn: { x R Ax= b} = N( A) + x p, p

40 39 missä x p on jokin epähomogeenisen yhtälön rtkisujoukon piste eli jokin yksityisrtkisu Jos siis x h on homogeenisen yhtälön yleinen rtkisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen rtkisu x on x= x + x h p Esimerkki Linerisen yhtälön x x = rtkisujoukko eli mtriisin A=[ -] noll-vruus on R :n suor x = x Epähomogeenisen yhtälön x x = rtkisujoukko on suor x = + x Vektorimuodoss esitettynä: xh = t, p, t x = = + x oinen mtriisiin A liittyvä vruus on sen rvovruus eli srkevruus R(A): m n RA ( ) = { y R y = Ax, x R } Se koostuu siis nimensä mukisesti rvoist Ax kun x käy läpi kikki R n :n vektorit Arvovruus on vruuden R m livruus, kuten helposti todetn Nimitys srkevruus selittyy yhteydellä x x y = Ax y = [,,, ] = x + x + + x x n n n n ästä näkyy, että mtriisin A srkkeet virittävät rvovruuden R(A): R( A ) = spn{,,, n} Linerisell yhtälöllä Ax = b on siis olemss rtkisuj täsmälleen silloin, kun b R( A) eli kun on olemss selliset luvut x i, että x + x + + x b= n n

41 4 Srkevruuden dimensio on tärkeä mtriisiin liittyvä luku: Mtriisin A ste eli rngi on rnk( A) = dim RA ( ) Mtriisin ste rnk(a) kertoo sen, kuink mont linerisesti riippumtont srkett A:ll on Jos esimerkiksi rnk(a)=k<n, niin joukost {,,, n} löytyy k:n vektorin osjoukko, jok riittää virittämään R(A):n j käy siis sen knnksi Voidn osoitt, että ste ilmoitt myös linerisesti riippumttomien vkrivien lukumäärän Siis m n-mtriisin A steelle pätee rnk(a) m j rnk(a) n Esimerkiksi 3 5-mtriisin ste voi oll korkeintn 3 Mtriisin ste rnk(a) nähdään redusoidust riviporrsmuodost rref(a) nollst erovien rivien lukumääränä eli siis johtvien ykkösten lukumääränä Esimerkki Mtriisin M 3 = ks7, s3 ste rnk(m)= Jos A on neliömtriisi koko n n, niin sen rngi on täysi eli n täsmälleen silloin, kun deta eli kun se on kääntyvä Linerisen yhtälöryhmän Ax=b rtkiseminen perustuu kokonismtriisin [A b] käsittelyyn Kuten yllä todettiin, yhtälöllä on olemss rtkisu(j) täsmälleen silloin, kun oike puoli b kuuluu srkevruuteen Kokonismtriisi on srkkeittin esitettynä [ A b] = [,,, n b] Jos siis b kuuluu srkevruuteen, se on vektoreiden,,, n linerikombintio, eikä linerisesti riippumttomien

42 4 srkkeiden lukumäärä ksv siitä, mitä se on A:ss Siis rnk[a b]=rnka Jos ts b ei kuluu srkevruuteen, se on linerisesti riippumton A:n srkkeist, j rngi ksv yhdellä Linerisell yhtälöryhmällä Ax = b on olemss rtkisuj, jos j vin jos rnk[a b]=rnka ätä ehto snotn myös lyhyesti "rngiehdoksi" rkstelln sitten rtkisujen hkemist, homogeeninen j epähomogeeninen tpus erikseen Homogeenisen yhtälön rtkiseminen Rngiehdost nähdään heti, että homogeenisell yhtälöryhmällä on in rtkisu, sillä ei pysty muuttmn rngi ämä on tietysti itsestään selvää, kosk trivili rtkisu eli on in homogeenisen yhtälön rtkisu Vkrivimuunnokset kokonismtriisiin [A ] eivät ilmeisesti muut yhtälöryhmän rtkisujen joukko, toisin snoen yhtälöryhmillä Ax= j (rrefa)x= on smt rtkisut Jos rnka=n, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on vin trivili rtkisu ämä seur siitä, että silloin A:n srkkeet ovt linerisesti riippumttomi, joten yhtälö Ax= eli x+ x+ + xnn= ei voi toteutu kuin muuttujien xi olless= Redusoidust riviporrsmuodost ktsomll si on myös selvä: rref [A ]=, jok vst yhtälöä x = x = x3 =

43 4 Kosk neliömtriisin tpuksess täyden rngin tilnne voidn ilmist determinntill, sdn: Jos A on neliömtriisi j deta, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on vin trivili rtkisu ämä nähdään myös käänteismtriisill kertomll: x= & kääntyvä x= x= = A A A A A Redusoitu riviporrsmuoto on nyt seurvnnäköinen: Jos sitten rnka <n, niin mtriisin A srkkeet ovt linerisesti riippuvi, joten yhtälö x+ x+ + xnn= toteutuu nollst erovillkin kertoimill Kosk yhtälö voidn kerto mielivltisell luvull, rtkisuj on siis ääretön määrä Kosk redusoiduss riviporrsmuodoss on johtvi ykkösiä rnka=k kpplett, voidn niitä vstvt muuttujt rtkist muiden olless prmetrein Näitä vpit prmetrej on silloin n-k kpplett Jos rnka=k<n, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on äärettömän mont rtkisu Rtkisujoukoss on n-k vpt prmetri Erityisesti näin käy in, kun m<n Jos m<n eli yhtälöitä on vähemmän kuin muuttuji, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on äärettömän mont rtkisu

44 43 Redusoidust riviporrsmuodost ktsottun (rnka==k<n=3, n-k=) b, eli x x x =, jost + bx = 3 3 x = t x = bt x3 = t eli x = t b, t R pus m<n (m=, n=3): b, eli sm rtkisu kuin yllä Edellä minittu prmetrien lukumäärä trkoitt myös sitä, että yhtälöryhmän kerroinmtriisin A noll-vruuden dimensio on n-k ämä tosisi tunnetn nimellä Dimensioluse: Jos A on m n-mtriisi, niin sen noll-vruuden dimension j steen summ on n: dim N( A) + rnk( A) = n Epähomogeenisen yhtälöryhmän rtkiseminen Nytkin rtkiseminen perustuu kokonismtriisin [A b] käsittelyyn Vkrivimuunnokset eivät muut rtkisujoukko, joten yhtälöillä Ax=b j (rrefa)x=b on smt rtkisut ässä b on kokonismtriisin redusoidun riviporrsmuodon rref[a b] viimeinen srke eli se vektori, joksi b on muuttunut (ässä koht on ero homogeeniseen yhtälöön, siellähän oike puoli on eikä muutu vkrivimuunnoksiss) Rngiehdon mukisesti sdn: Jos rnka<rnk[a b], niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b ei ole rtkisu

45 44 Redusoidun riviporrsmuodon kutt tilnne on esimerkiksi seurv: b rref[a b]=[rrefa b ]= c d, eli näkyy x x3 = b x + cx3 = d x3 = jost ristiriit = Geometrisesti tilnne on oheisen kuvn kltinen Kukin tso edust yhtä ryhmän yhtälöä, j tsoill ei ole yhteistä pistettä oinen mhdollisuus on, että b ei nost rngi, eli että rnka=rnk[a b] Silloin rtkisuj siis on olemss, j tilnne jkntuu khteen eri tpukseen: rtkisuj on tsn yksi ti sitten rtkisuj on äärettömän mont (Linerisill yhtälöryhmillä ei siis voi esiintyä tilnteit, joiss rtkisuj olisi esimerkiksi ti 3 ämä on yksi huomttv ero lineristen j epälineristen yhtälöiden välillä) Jos rnka=rnk[a b]=n, niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b on täsmälleen yksi rtkisu

46 45 Sillä A:n pystyrivit ovt nyt kikki linerisesti riippumttomi, joten ne muodostvt R n :n knnn, joss b:n esitys x+ x+ + xnn=b on yksikäsitteinen Redusoidun riviporrsmuodon vull: pus, joss m>n: b rref[a b]=[rrefa b ]=, eli c x = x = b x3 = c pus, joss m=n: rref[a b]=[rrefa b ]= b, eli c x = x = b x3 = c Geometrisesti: sot leikkvt yhdessä pisteessä:

47 46 Jos A on neliömtriisi eli m=n, niin silloin rnka=n merkitsee, että deta eli mtriisi on kääntyvä Silloin yllä olev luse voidn ilmist myös seurvsti: Jos A on neliömtriisi j deta, niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b on täsmälleen yksi rtkisu x= A b Jäljellä on tpus, joss rnka=rnk[a b]<n Silloin b on mtriisin A srkkeist linerisesti riippuv, mutt nämä srkkeet,,, n eivät ole linerisesti riippumttomi Siis esitys b= x + x + + x n n ei ole yksikäsitteinen Jos rnka=k<n, niin A:ll on k linerisesti riippumtont srkett, jolloin loput ovt näiden linerikombintioit Esimerkiksi jos A=[,, 3 ] j 3 = +, niin b= x+ x + x3( + ) = ( x+ x3) + ( x+ x3) = b + b ässä b j b ovt yksikäsitteisiä Siis jos x3 otetn prmetriksi t, niin yhtälön rtkisuj ovt kikki vektorit x, joill x = b t, x = b t, t R Helpommin rtkisujen äärettömän määrän näkee homogeenisen yhtälön kutt puksess rnka<n homogeenisell yhtälöryhmällä on äärettömän mont rtkisu Silloin myös vstvll epähomogeenisell on, kosk x= xh + x p on epähomogeenisen yhtälön rtkisu in, kun x h on homogeenisen yhtälön rtkisu j x p on epähomogeenisen yhtälön rtkisu: Ax= A( x + x ) = A( x ) + A( x ) = + b= b h p h h On siis voimss: Jos rnka=rnk[a b]=k<n, niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b on äärettömän mont rtkisu Rtkisujoukoss on n-k vpt prmetri

48 47 Prmetrien lukumäärä j rtkisun rkenne selviää redusoidust riviporrsmuodost: b c d rref[a b ]=, eli x + x3 = b x + cx3 = d eli x = b t x = c dt, jost sdn x3 = t b x = c + t d, t R (Kyseessä on siis suor vruudess R 3 ) Geometrisesti tilnne näyttää seurvnkltiselt: soill on yhteisenä leikkuksen suor Esim Yhtälöryhmä on x+ x = x+ x = 3x+ 3x =

49 48 Viimeisestä mtriisist nähdään jo, että yhtälöryhmä on ristiriitinen, kosk toinen j kolms rivi vstvt yhtälöitä -3x = j -3x = Siis rtkisu ei ole (Redusoituun riviporrsmuotoon littminen voitiin myös keskeyttää) Esim x+ y = x + y + z = 3x y+ z = 3 /3 / /3 /3 /3 /3 3/ /3 /3 /3 /3 3/ /3 /3 / / Siis yksikäsitteinen rtkisu on x=-3/, y=3/, z=/ Esim 3 x x3 = x 3x3 = x 3x3 = 3 3, jot vst yhtälöryhmä 3 x x3 = x 3x3 = x = + t Siis rtkisu on x = + 3t x3 = t Kyseessä suor eli vektorimuodoss x = + t 3, t prmetri

50 49 Esim Ax = b, A= 3, b = =rref[a b] 3 3 ästä nähdään, että yhtälö voidn esittää muodoss x - x3 x5 = x + x3 x5 = 4 x4 + x5 = 3 Siis x 3 j x 5 voidn ott prmetreiksi j loput rtkevt niiden vull Siitä nähdään rtkisu myös vektorimuodoss x = + s -t x = -4 - s + t x3 = s x4 = 3 - t x5 = t x = s + t, s,t R

51 5 Lopuksi yhteenveto, joss eri tpukset on luokiteltu muuttujien lukumäärän n j yhtälöiden lukumäärän m mukisesti: Linerisen yhtälöryhmän rtkisujen lukumäärä: yhteenveto Linerinen yhtälöryhmä Ax = b, A = m m n n mn x b x b, x =, b = x n b m on homogeeninen, jos b = j epähomogeeninen, jos b Rtkisujen lukumäärät määräytyvät silloin oheisen tulukon mukisesti muuttujien lukumäärän n j yhtälöiden lukumäärän m perusteell Neliömtriisin tpuksess (n = m) ehto rnk(a) =n voidn ilmist determinnttiehdoll det(a) j vstvsti rnk(a) < n ehdoll det(a) = Kun rtkisuj on määrä, ne riippuvt vpist muuttujist (prmetreist), joiden lukumäärä on n - rnk(a) Homogeeninen yhtälöryhmä Muuttujt yhtälöt Rngiehto Rtkisujen lukumäärä n < m rnk(a) = n n < m rnk(a) < n 3 n = m rnk(a) = n 4 n = m rnk(a) < n 5 n > m (ei ehto) Yllä rtkisujen lukumäärä trkoitt, että yhtälöllä on vin trivili rtkisu x =

52 5 Epähomogeeninen yhtälöryhmä Muuttujt yhtälöt Rngiehto Rtkisujen lukumäärä 6 n < m rnk(a) < rnk[a b] 7 n < m rnk(a) = rnk[a b] = n 8 n < m rnk(a) = rnk[a b] < n 9 n = m rnk(a) = rnk[a b] = n n = m rnk(a) = rnk[a b] < n n = m rnk(a) < rnk[a b] n > m rnk(a) = rnk[a b] 3 n > m rnk(a) < rnk[a b] Yllä rtkisujen lukumäärä trkoitt, että yhtälöllä on täsmälleen yksi eli yksikäsitteinen rtkisu Hrjoitustehtävä Mihin tpuksiin sivuill -3 lsketut esimerkit -4 kuuluvt?

53 5 Esimerkit jokisest tpuksest -3: Homogeenisen yhtälön tpuksiss oletetn knoninen muoto rref(a) lsketuksi (oiken puolen nollsrkett ei ole merkitty) Epähomogeenisen yhtälön tpuksiss oletetn rref [A b] lsketuksi:

54 53 6 Ortogonliprojektiot Avruus R n on enemmänkin kuin pelkkä vektorivruus, kosk siinä on mhdollisuus määritellä vektoreiden pituus, välinen kulm j erityisesti kohtisuoruus ähän päästään ottmll käyttöön vektoreiden välinen sisätulo (pistetulo, sklritulo) xy = xy i = x y + x y n n Sisätulo toteutt seurvt lskusäännöt, jotk nyt ovt seuruksi n mtriisilgebrst: Kikill x, y R j kikill c R on voimss S xy= yx S ( x+ y) z= x z+ y z S3 ( cx) y= c( x y ) S4 xx, j xx= x= Yleisesti, jos vektorivruudess on määriteltynä yo ehdot toteuttv sisätulo, niin vruutt kutsutn sisätulovruudeksi Avruus R n on siis eräs sisätulovruus, j sitä snotn usein myös n- ulotteiseksi euklidiseksi vruudeksi Neljäs ominisuus nt mhdollisuuden määritellä käsitteen vektorin x pituus eli normi: x x x =+ =+ x + x n Normin neliö on siis x = x x, jok on usein hyödyllinen lähtökoht normilusekkeiden "purkuun" (ks ll olevi epäyhtälöiden todistuksi)

55 54 Vektorin x suuntinen yksikkövektori on u = x x, jolloin snotn myös, että vektori x on normeerttu n Normille on voimss seurvt ominisuudet: Kikill x, y R j kikill c R N x, j x = x= N cx = c x N3 x+ y x + y (kolmioepäyhtälö) Näistä kksi ensimmäistä seurvt suorn sisätulon ominisuuksist Kolmioepäyhtälön todistmiseksi trvitsemme toist nimeltä tunnettu epäyhtälöä: n Cuchy-Schwrzin epäyhtälö Kikill x, y R on voimss x y x y j yhtäsuuruus pätee, jos j vin jos x= ti y = cx, jollkin c R Cuchy-Schwrzin epäyhtälön todistus: Osoitetn väite oikeksi ensin yksikkövektoreille u, v: ( ) ( ) u± v = u± v u± v = u u± u v+ v v = u ± u v+ v eli ± uv +, jost seur uv eli uv Yhtäsuuruus on täsmälleen tpuksess u± v = eli kun u= ± v Yleinen tpus: Olkoot x = u, y = bv, = x, b= y Silloin x y = ( u) ( bv) = b u v b = x y Yhtäsuuruus on voimss, kun b= ti (jkmll b:llä) kun uv = eli kun u= ± v Silloin x = ti y = ( = x) ti y= ± b x Kolmioepäyhtälön todistus: x + y = ( x + y) ( x + y) = xx+ xy+ y y = x + x y+ y x + x y + y x + x y + y = ( x + y ) ässä käytettiin epäyhtälöä, R j Cuchy-Schwrzin epäyhtälöä

56 55 Sisätulon vull voidn nyt määritellä nollst erovien vektorien x j y välinen kulm: θ = rccos x y x y Kun kulm on π /, niin vektorit x j y ovt kohtisuorss toisin vstn eli ortogonliset, merkitään x y Ortogonlisuusehto on siis y x y x y x = i = Jos vektorien välinen kulm on, vektorit ovt smnsuuntiset j jos se on π, vektorit ovt vstkkissuuntiset Yhteisnimitys näille on yhdensuuntiset Merkinnät ovt x y, x y, x y Ortogonlisille vektoreille pätee (yleistetty) Pythgorn luse: x y x + y = x + y ämä seur kolmioepäyhtälön todistuksest, kun huomtn, että nyt x y = Jos vektorijoukon { u,, u k } vektorit ovt keskenään kikki ortogonlisi eli ui uj = i j, niin vektorijoukko on ortogonlinen Jos lisäksi kikki vektorit ovt yksikkövektoreit, niin vektorijoukko on ortonormli eli ortonormeerttu Smoin snotn, että vektorit u, u ovt silloin ortonormlej eli ortonormeerttuj, k Ortonormlisuusehto voidn siis esittää muodoss, i= j { u,, uk} on ortonormli ui uj = δij =, i j Huomtn, että tunnetut knnt {i, j} j {i, j, k} ovt ortonormlej Yleisemminkin tämä on knnoille toivottv ominisuus

57 56 Ortogonlisuus pitää sisällään jo linerisen riippumttomuuden, sillä jokinen ortogonlinen joukko on utomttisesti linerisesti riippumton (odistus hrjoitustehtäväksi) Ortonormliss knnss kntvektorit ovt lisäksi yksikkövektoreit, jok helpott koordinttien tulkint Vektorin koordintit on helppo selvittää ortonormlin knnn olless kyseessä Jos W on vruuden R n livruus j { u,, u k } niin vektorin v W esitys tässä knnss on sen ortonormli knt, v= ( v u ) u + + ( v u ) u k k ämä seur siitä, että vektorill on yksikäsitteinen esitys v = cu+ + ckuk, jost vu= ( cu+ + c u) u= cu u+ c u u= cu u= c Näin tuli käyttöön i k k i i k k i i i i i sekä ortogonlisuus u j u i =, j i että normeerus ui u i = Alivruuden W ortogonlinen komplementti W on niiden vektoreiden joukko R n :ssä, jotk ovt kohtisuorss jokist W:n vektori vstn: n W = { x R x w=, w W} Silloin myös W on R n :n livruus, W W = { } j dimw = n dimw Avruus R n voidn nyt hjott livruuden W knnlt khteen osn siinä mielessä, että jokinen vektori v on esitettävissä yksikäsitteisesti summn v= w+ p, w W, p W ässä esityksessä w on vektorin v ortogonliprojektio (lyh projektio) livruudelle W j p vstvsti v:n projektio livruudelle W

58 57 Vektorin v ortogonliprojektiost livruudelle W käytetään merkintää vˆ = proj W v Projektiost ortogonliselle komplementille W käytetään myös merkintää proj v perp W v j yllä minittu hjotelm s muodon W = v= proj v+ proj v= proj v+ perp v W W W W Jos livruudess W on ortonormli knt { u,, u k } projektiolle sdn esitys, niin vektorin y proj y= ( y u u + + ( y u u W ) k) k ämä nähdään suorll lskull: Jos u = ( y u) u+ + ( y uk) uk j w = u+ + kuk, niin ( y u) w = ( y ( y u) u+ + ( y u ) ) k uk ( u+ + kuk) = ( yu + + ) ( kyuk yu+ + kyuk) = Siis y u w w W, joten y u W eli u=proj W y

59 58 Yllä on siis edellytyksenä, että { u,, u k } on livruuden W ortonormli knt Jos knt on ortogonlinen, mutt ei välttämättä ortonormli, projektion kv s muodon proj W = u u + + yuk uk uk yu y u u k Usein puhumme jtkoss ortogonliprojektion sijn lyhyesti projektiost Oheisiss kuviss si on hvinnollistettu kolmeulotteisess vruudess:

60 59 Erityisesti, jos W on yksiulotteinen livruus, W = spn{ u }, missä u on yksikkövektori, niin käytetään snont vektorin y ortogonliprojektio yksikkövektorille u j merkitään proj u y : proj uy= ( y uu ) Jos vektori v, jolle projisioidn, ei ole yksikkövektori, niin se on normeerttv, jolloin kvksi sdn sijoittmll u:n piklle v/ v : Vektorin y ortogonliprojektio vektorille v on proj v y = y v v vv Kun u on yksikkövektori, pätee vektorien y j u väliselle kulmlle cosθ = y u y, jost seur projuy= y cosθu ästä nähdään yhteys lkeisgeometrin projektioon, kun trkstelln suorkulmist (vektori)kolmiot, joss vektori y on hypotenuusn j proj u y kulmn θ viereisenä kteettin Korostettkoon vielä, että projektio yllä määritellyssä mielessä on vektori Joskus sitä pinotetn puhumll "ortogonlisest vektoriprojektiost" Silloin sklriprojektio on vektoriprojektion pituus eli normi proj u y Esim Projisioidn piste [,, 3] suorlle x = t Nyt y =, suorn 3 yksikkösuuntvektori (eli vstvn livruuden ortonormlin knnn ino

61 6 vektori) on u = Siis 6 proj ( ) [ 3] = = = = 6 6 ½ uy y u u 6 3 ½ Esim Projisioidn piste y=[,, 3] tsolle H: x x x3 + = son ½ ästä ½ normli on siis edellisen esimerkin vektori [, -, ], joten perp H y = sdn projhy = y perphy = ½ = ½ 3 ½ ½ Ortogonliprojektion proj W y tärkeimpiin ominisuuksiin kuuluu, että se on projisioitv vektori y lähinnä olev W:n vektori (miniminormiluse): y proj y = min y v W v W Jos nimittäin v W, yˆ = proj W y, niin y v = y yˆ + yˆ v j y yˆ W, yˆ v W Kohtisuoruuden j Pythgorn luseen mukn sdn siis y v = y yˆ + yˆ v y y ˆ

62 6 ällä seikll on pljon käyttöä mm numeerisess pproksimoinniss j tilstotieteessä Vektorin y projektio nnetulle livruudelle W voidn siis lske kvll proj y= ( y u u + + ( y u u, W ) k) k jos W:n ortonormli knt tunnetn Jos yleisemmin vruudelle W tunnetn knt {,, k }, jok ei välttämättä ole ortonormli, niin projektio voidn lske seurvsti: Avruus W on silloin mtriisin A = [,, k ] srkevruus eli rvovruus R( A ) Olkoon vektorin y projektio knnss {,, k } lusuttun yˆ = c + + ckk = Ac Silloin kohtisuoruusvtimuksest seur ( A ) A, n y c x x R eli ( A ) ( A ) =, x y c x R n eli ( ) A A A =, y c x R n, jost seur x A Ac= A y ( "normliryhmä"),