6. Matriisilaskennan kertausta

Transkriptio

1 93 6 Mtriisilskennn kertust Tämän luvun sisältämät sit on pääosin käyty läpi jo kurssill Lj mtemtiikk, jost myös puuttuvi todistuksi on löydettävissä Kertmme ne kuitenkin merkintöjen yhtenäistämiseksi j smll joitkin kohti täydentäen Mtriisit Mtemtiikss yksi käytetyimmistä numeerisen tiedon esitysmuodoist on mtriisi Se on sinällään yksinkertinen tietorkenne, joss esitetään joukko dtoj tulukkomuodoss Yleisistä tulukoist poiketen mtriiseihin kuitenkin liitetään mtemttisi ominisuuksi, kuten lskutoimituksi, jotk tekevät niistä monipuolisi työkluj sovellettuun mtemtiikkn Mtriisi on m-rivinen j n-srkkeinen tulukko: A = 2 m 2 22 m2 n 2n mn Mtriisin lkiot ovt ij, i =,,m, j =,,n Siinä on m riviä eli vkriviä j n srkett eli pystyriviä Mtriisin koko on tällöin m n eli A on m n-mtriisi Erityisesti n-mtriisi on vkvektori j m - mtriisi on pystyvektori Mtriisi merkitään pitsi yllä olevn tpn luettelemll sen lkiot hk- ti krisuluill ympäröityinä, myös lyhyemmin A = ( ij ) = [ ij ] Myös käytetään merkintää ( A) ij kohdss (i,j) olev lkio on ij = kertomn, että mtriisin A ij

2 94 Mtriisi voidn jtell myös rkennetuksi vkvektoreistn A i : A = A A : 2 A m ti pystyvektoreistn j : A = [ 2 n ] Nämä ovt esimerkkitpuksi yleisemmistä lohkomtriiseist, joiss lohkot voivt oll muitkin osmtriisej kuin pysty- ti vkrivejä Mtriisit A j B ovt smt, A = B, jos ne ovt smnkokoiset j niiden kikki lkiot ovt smt: A = ( ij ), B = (b ij ), ij = b ij, kikill i,j Eri kokoisi mtriisej ei voi verrt toisiins tässä mielessä Mtriisi on neliömtriisi, jos siinä on yhtä mont vk- j pystyriviä eli m=n Neliömtriisin (pää)lävistäjä koostuu lkioist,, nn Lävistäjämtriisi on sellinen, joss kikki lävistäjälle kuulumttomt lkiot ovt = 0 Erityismtriiseist tärkeimpiä ovt yksikkömtriisi I n = I = 0 : 0 0 : : jok on in neliömtriisi koko n n (n jätetään usein merkitsemättä, jos se on siyhteydestä selvä) j

3 95 nollmtriisi O = 0 0 : : 0 0 0, : 0 jonk koko voi oll mikä hyvänsä m n Mtriiseille määritellään kolme lskutoimitust, yhteenlsku (summ), sklrill kertominen j mtriisitulo Yhteenlsku on määritelty smnkokoisille mtriiseille A = ( ij ) j B = (b ij ) : A + B = ( ij + b ij ) eli vstinlkiot lsketn yhteen Sklrill kertominen trkoitt mtriisin A kertomist reliluvull c eli sklrill: ca = (c ij ) eli jokinen A:n lkio kerrotn luvull c Sm mtriisi on myös Ac Vähennyslsku on yhdistelmä yhteenlskust j sklrill kertomisest: A B = A+ ( ) B Mtriisitulo on monimutkisempi opertio, jonk perustelun on linerikuvuksien yhdistämisen mtriisiesitys

4 96 Tulo on määritelty, kun kertojn A = ( ij ) on m p-mtriisi j kerrottvn B = (b ij ) on p n-mtriisi, eli A:ss on oltv yhtä mont srkett kuin B:ssä on vkrivejä Silloin missä AB = C =(c ij ), c ij = p b ik kj k= Siis tulon C i:nnen rivin j j:nnen srkkeen lkio sdn kertomll A:n i:nnellä rivillä B:n j:s srke pistetulon mielessä eli vstinlkiot kerrotn keskenään j näin sdut tulot lsketn yhteen Kvion tulo on 3 2- j 2 2-mtriisien tpuksess: AB = b + b b + b b b b b b b b b b b = b2 b Siis tulomtriisi voidn lske rivi i kerrlln, kun A:n rivillä i kerrotn (pistetulon) B:n jokinen srke järjestyksessä ensimmäisestä viimeiseen Ti tulo sdn myös srke j kerrlln, kun B:n srke j kerrotn vuoronperään jokisell A:n rivillä järjestyksessä ensimmäisestä viimeiseen Seurvt lskusäännöt ovt voimss: A + O = A 2 0A = O 3 A + B = B + A 4 (A + B) + C = A + (B + C) 5 c(a + B) = ca + cb 6 A = A

5 97 7 A(BC) = (AB)C 8 c(ab) = (ca)b = A(cB) 9 A(B + C) = AB + AC 0 (A + B)C = AC + BC IA = AI = A 2 OA = O & AO = O Tässä on mtriisin koko in tilnteen mukn sellinen, että merkitty lskutoimitus on määritelty (c, 0 j ovt sklrej) Todistukset: Säännöt - 6, 8 j - 2 seurvt välittömästi määritelmistä j relilukujen vstvist ominisuuksist 7 Olkoot A= ( ik ), B = ( bkl ), C = ( clj ) koko m p, p q, q n vstvsti Silloin p p q p q ( ABC ( )) = ( BC) = bc = bc = ij ik kj ik kl lj ik kl lj k= k= l= k= l= q p q p q bc = ( b) c = ( AB) c = (( ABC ) ) ik kl lj ik kl lj il lj ij l= k= l= k= l= 9 p ( AB ( + C)) = ( B+ C) = ( b + c ) = ij ik kj ik kj kj k= k= p p p p ( b + c) = b + c = ( AB) + ( AC) ik kj ik kj ik kj ik kj ij ij k= k= k= 0 Menee vstvll tvll kuin 9 Usein -mtriisi pidetään sklrin: [c] korvtn sklrill c (Kertolskun kokovtimuksien tki tämä ei in ole mhdollist Esimerkiksi c(ab) = (ca)b = A(cB) pitää pikkns sklrille c, mutt ei yleensä -mtriisille [c]) Verrttun tuttuun relilukujen lgebrn todetn, että mtriisitulo ei ole vihdnninen eli yleensä AB BA

6 98 Mtriiseille omininen opertio, jok "sklrimilmss" ei näy, on trnsponointi eli vk- j pystyrivien vihtminen keskenään Koko m n olevn mtriisin A =( ij ) trnspoosi on n m-mtriisi eli jos A T = ( ji ) A = 2 m 2 22 m2 n 2n mn niin A T = 2 n n m m2 mn Nähdään siis, että (A T ) ij = ji Neliömtriisin tpuksess trnsponointi merkitsee peilust lävistäjän suhteen Usein käytetään myös merkintää A t ti A' Mtriisi, jok ei muutu trnsponoinniss, on symmetrinen Se on siis välttämättä neliömtriisi (mutt jokinen neliömtriisi ei ole symmetrinen) Symmetrisyyden ehto on siis A T = A Neliömtriisi A on vinosymmetrinen, jos lävistäjän suhteen symmetrisessä semss olevt lkiot ovt toistens vstlukuj: ji = - ij Tällöin siis lävistäjälkiot erityisesti ovt =0 Vinosymmetrisyyden ehdon voi ilmist myös muodss A T = -A

7 99 Trnsponointi toteutt seurvt lskusäännöt (jtketn numerointi): 3 (A + B) T = A T + B T 4 (ca) T = ca T 5 (AB) T = B T A T 6 (A T ) T = A Tod: Kohdt 3, 4 j 6 helppoj seuruksi määritelmistä 5 p p p T T T T T T T = = ij ji = jk ki = kj ik = ik kj ij k= k= k= (( AB) ) ( AB) ( A) ( B) ( A ) ( B ) ( B ) ( A ) ( B A ) Erityisesti todetn, että trnsponointi "nost" vkvektorin pystyvektoriksi j päinvstoin: y = [y y 2 y n ], y T = y y y 2 n x = x x x 2 n, x T = [x x 2 x n ] Avruuden R n vektoreit tulln jtkoss pääsääntöisesti pitämään pystyvektorein Tällöin vektori x on n -mtriisi j vektorien lskuopertiot sdn utomttisesti mtriisien lskutoimituksist

8 00 Pistetulo s silloin muodon u T v = [u u 2 u n ] v v v 2 n = u v + u 2 v 2 + +u n v n Tästä syystä nimityskin on R n :ssä useimmiten pistetulon sijst sklriti sisätulo Mtriisikertolsku voidn nyt esittää myös muodoiss AB = A [b b 2 b n ] = [Ab Ab 2 Ab n ], missä b j on mtriisin B j:s pystyrivi j siis Ab j on tulon AB j:s pystyrivi ti AB = A A A 2 m B = A B A2 B A B m, missä A i on A:n i:s vkrivi, j siis A i B on tulon AB i:s vkrivi Lskutoimituksist puuttui yllä jkolsku Oslle mtriiseist on kuitenkin olemss käänteismtriisi, j silloin tällisill mtriiseill voidn "jk" sopivnkokoisi mtriiseit Neliömtriisi A on kääntyvä, jos on olemss sellinen smnkokoinen mtriisi B, että AB= BA= I Tällöin mtriisi B snotn mtriisin A käänteismtriisiksi j merkitään B= A (Kuten snmuodot ntvt ymmärtää, käänteismtriisi on yksikäsitteinen, mikäli se on olemss Jos nimittäin C olisi myös A:n käänteismtriisi, niin C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B)

9 0 Myöhemmin osoitetn, että yllä olevst vtimuksest AB= BA= I riittää käänteismtriisin olemssololle trkist vin toinen (AB=I ti BA=I), jolloin toinenkin ehdoist toteutuu Jos A on kääntyvä j mtriisien dimensiot ovt sopivt, niin yhtälön AX = C rtkisu on X = A C Tämä stiin kertomll yllä olev yhtälö puolittin vsemmlt Vstvsti yhtälön YA = F rtkisu on Y = FA Huomttkoon, että vikk edelliset rtkisut muistuttvtkin jkolsku, niitä ei merkitä muodoss X C F = ti Y =, A A sillä nämä ovt epämääräisiä, niistä ei käy ilmi kummlt puolelt A :lläkerrotn Käänteismtriisi noudtt seurvi lskusääntöjä: (A j B oletetn kääntyviksi smnkokoisiksi neliömtriiseiksi) 7 ( A ) = A ( AB) = B A 8 9 ( T A ) = ( A ) T Tod: 7 Jos C=A -, niin CA=AC=I, joten määritelmän nojll C - =A 8 9 ( B A )( AB) = B A AB = B IB = B B = I j vstvsti toisin päin T T T T T T T T ( ) ( ), ( ) ( ) A A = AA = I = I A A = A A = I = I Käänteismtriisin muodostmiseen j lskemiseen plmme myöhemmin

10 02 Esim Osoit, että kikill mtriiseill A on A T A symmetrinen M : = AA T, M T = ( AA T ) T = A T ( A T ) T = AA T = M Esim 2 Rtkise mtriisi X yhtälöstä AX A = B AX A B AX A A B A = = AX B A A AX A B A = = ( ) X = A B A X = A B A = A BA Determinntit Determinnttien määritelmä esitettiin Lm:ssä permuttioiden vull Ktsomme tässä determinntti lähinnä sen "kehittämisen" knnlt Historillisesti on yllättävää, että determinnttien oppi kehittyi pitkälle huomttvsti ennen mtriisej Leibniz oli ilmeisesti ensimmäisiä, jok käytti determinnttej yhtälöryhmän rtkisuiss Tämä tphtui ivn 600-luvun lopuss, j vst 850-luvull Jmes Sylvester otti käyttöön termin "mtriisi" erottkseen determinntin (jok on luku) siitä lukukviost, jost determinntti lsketn Neliömtriisin A determinntti det(a) on luku, jok voidn määritellä rekursiivisesti mtriisin koon n suhteen Determinntist käytetään myös merkintää det( A) = A (Tässä ei ole siis kyse itseisrvost, vn pystysuorien väliin kirjoitetn mtriisin A lkiot) Determinntti määräytyy koon n mukn lkupäästä lukien seurvsti: n=: A = [ ], det( A) = n=2: A 2 =, det( A) =

11 03 n=3: 2 3 A = , det( A) = = C 2C2 3C3 Tämä viimeisin muoto yleistyy yleiselle n:lle, jolloin kyseessä on determinntin "kehittäminen vkrivin mukn" Trkstelln mtriisi, jok on stu mtriisist A poistmll siitä rivi i j srke j (eli se rivi j srke, joll lkio ij on) Näin stu mtriisin A limtriisi A ij on A:n (i,j)-minori Esimerkiksi: A = 4 5 6, (3,2)-minori on A32 = Minorin A ij determinntti det( A ij) on mtriisin A (i,j)-lideterminntti Kun lideterminnttiin "otetn merkinvihtelu mukn", sdn mtriisin A (i,j)-kofktori eli (i,j)-komplementti: C ij i+ j = ( ) det( A ) ij Näiden vull sdn n n-mtriisin A determinntti määriteltyä yhtä pienempien eli ( n ) ( n ) -mtriisien determinnttien vull: 2 n det( ) = = n A C 2C2 ncn n n2 nn

12 04 Tämä luseke on determinntin lskeminen kehittämällä vkrivin mukn Voidn osoitt, että sm tulos sdn, jos determinntti lsketn kehittämällä minkä hyvänsä vkrivin ti minkä hyvänsä pystyrivin mukn Esim 3 A =, jost kehittämällä vkrivin mukn: = ( ) = 7 0 ( 5) + ( )3 2 ( 6) = 6 Tässä koko 3 3 olevt lideterminntit lskettiin edelleen sivun kvll Kun determinntti kehitetään i:nnen vkrivin mukn, sdn kvksi 2 n det( ) = = n A C i i C i2 i2 C in in n n2 nn j kehitettynä j:nnen pystyrivin mukn 2 n det( ) = = n A jcj 2jC2j njcnj n n2 nn

13 05 Helpoimmt mtriisit determinntin lskemisen knnlt ovt kolmiomtriisit Mtriisi U = ( u ij ) on yläkolmiomtriisi, jos sen lävistäjän lpuolell olevt lkiot ovt nolli: uij = 0, kun i> j Mtriisi L = ( l ij ) on lkolmiomtriisi, jos sen lävistäjän yläpuolell olevt lkiot ovt nolli: lij = 0, kun i< j Yläkolmiomtriisiss nollst poikkevt luvut voivt oll siis vin lävistäjällä ti sen yläpuolell, j lkolmiomtriisiss vstvsti lävistäjällä ti sen lpuolell Kun yläkolmiomtriisin determinntti kehitetään ensimmäisen pystyrivin mukn, j seurvss viheess ts smoin, huomtn, että determinntiksi sdn lävistäjälkioiden tulo Smoin lkolmiomtriisill determinntti on lävistäjälkioiden tulo Kosk lävistäjämtriisi on kumpkin yllä minittu tyyppiä, on siis erityisesti lävistäjämtriisin determinntti in lävistäjälkioiden tulo Determinntin perusominisuuksi Seurvss A j B ovt smnkokoisi neliömtriisej j c sklri (Kunkin ominisuuden kohdll on esimerkkitilnne) Jos mtriisin A jokin vk- ti pystyrivi sisältää pelkästään nolli, niin det(a)= = = Jos mtriisin A jonkin vk- ti pystyrivin kikki lkiot kerrotn luvull c, niin det(a) tulee kerrottu c:llä =

14 06 3 Jos mtriisiss A vihdetn keskenään khden vkrivin ti khden pystyrivin pikk, niin det(a):n merkki vihtuu = Jos mtriisiss A on kksi smnlist vkriviä ti kksi smnlist pystyriviä, niin det(a)= = Jos mtriisin A vk(pysty)rivi on vkio kert toinen vk(pysty)rivi, niin det(a)= = Olkoon mtriiseill A j B on ero vin yhden vk- ti pystyrivin lkioiss Silloin determinnttien summ det( A) + det( B) = det( C), missä C:n lkiot ovt smt kuin A:n j B:n, pitsi minituss erovss rivissä, jonk lkiot ovt nyt A:n j B:n vstinlkioiden summt =

15 07 7 Determinntin rvo ei muutu, jos mtriisin johonkin (vk- ti pystyriviin) lisätään toinen (smnsuuntinen) rivi jollkin vkioll kerrottun = 4 + ( 4) 5 + ( 4) ( 4) 3 = = = = Mtriisin A trnspoosin A T determinntti on sm kuin A:n: T det( A ) = det( A) = Tulon determinntti on determinnttien tulo: det( AB) = det( A)det( B) = = Jos mtriisist muodostetn jonkin vk- ti pystyrivin mukn kehitelmä kuten determinntti lskettess, mutt kofktorit

16 08 poimitn joltin toiselt (smnsuuntiselt) riviltä, niin tulos on in noll: C + C C in jn = δij det( ) i j i j A C + 2C2 + + nicnj = δij det( ) i j i j A missä δ ij, i= = 0, i j j 2 A = , 2 2 ( ) ( )( ) = Ominisuuksist voidn useimmt todist määritelmien perusteell "suorll lskull" Vikeimpi ovt kohdt 8 (induktioll koon n suhteen) j 9, mutt sivuutmme niiden todistukset tässä kurssiss Seurvss trkstelemme determinnttien yhteyttä käänteismtriiseihin Aluksi nähdään perusyhteys: Jos A on kääntyvä, niin det( A ) = det( A) ) Tämä seur yhtälöstä det( I ) det( AA = = ) = det( A)det( A ) Erityisesti nähdään siis, että ollkseen kääntyvä, mtriisill on determinntin oltv nollst erov Koht nähdään, että tämä ehto on myös riittävä mtriisin kääntyvyydelle Muodostetn kofktoreist C ij mtriisi ( C ij) Sdun mtriisin trnspoosi on mtriisin A djungoitu mtriisi 9

17 09 T dj( A) = ( C ) = ij C C C C C C Cn C2n C 2 n 2 22 n2 nn Käyttämällä ominisuutt 0 sdn nyt käänteismtriisin luseke determinnttien vull: A = dj( A) det( A) Tämä seur suorll kertolskull: C C C 2 n 2 n n C2 C22 C n2 Adj( A) = n n2 nn C C Cnn n 2n = C + C + + C C + C + + C C + C + + C 2 2 n n n 2n n 2 n2 n nn C + C + + C C + C + + C C + C + + C n n n 2n 2 n 22 n2 2n nn C + C + + C C + C + + C C + C + + n n2 2 nn n n 2 n2 22 nn 2n n n n2 n2 nn C nn det( A) det( A) = = det( A) = det( A) I 0 0 det( A) 0 0 Siis A( dj( A)) = I, j smll tvll nähdään tulo toisess järjestyksessä det( A)

18 0 Todettkoon, että yllä olev kv ei ole numeerisesti sovelis tp lske käänteismtriisi Myöhemmin esitetään muit, lskennllisesti prempi keinoj Käänteismtriisin kvst nähdään, että käänteismtriisi on olemss, jos det(a) 0 Näin stiin perustulos: Mtriisi A on kääntyvä det(a) 0 Mtriisi A, jolle det(a) = 0, snotn singulriseksi Tästä syystä kääntyvää mtriisi hyvin usein kutsutn ei-singulriseksi Siis: Mtriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se on ei-singulrinen Redusoitu riviporrsmuoto Lineristen yhtälöiden ryhmiä rtkistess on jo kouluss opittu muokkmn yhtälöitä niin, että yhtälöryhmän rtkisu lopult on luettviss suorn jäljelle jääneestä muoktust ryhmästä Käytettäviin opertioihin kuului yhtälöiden kertominen ti jkminen sopivll luvull, yhtälöiden järjestysten vihtminen j muuttujien eliminoiminen lisäämällä jokin yhtälö vkioll kerrottun toiseen yhtälöön Mtriisej käytettäessä linerinen yhtälöryhmä s yksinkertisen j tiiviin muodon:

19 Yhtälöryhmä x + 2x2 + + nxn = b x + x + + x = b n n 2 x + x + + x = b m m2 2 on kerroinmtriisi mn n m A = m m2 2 n n mn, muuttuj x x2 x = xn j oike puolt b b2 b = b m käyttämällä esitettävissä mtriisiyhtälönä Ax = b Kikki oleellinen dt on mtriisiss A j oiken puolen vektoriss b Siksi yhtälöryhmän rtkisutoimenpiteissä voidnkin operoid pelkästään niillä, muuttujien xi symbolien kuljettminen mukn lskutoimituksiss on turh Aluss minitut yhtälöryhmän lkeelliset rtkisutoimenpiteet näkyvät mtriisiss A vkriveihin (jtkoss lyhyesti "riveihin") kohdistuvin opertioin Näitä elementrisi vkrivimuunnoksi (lkeisriviopertioit, yksinkertisi riviopertioit, ) on kolme tyyppiä: - rivin i kertominen nollst erovll luvull c: Ei( c ) - riviin i lisätään rivi j ( i) luvull c kerrottun : Eij() c - rivien i j j vihto (permutointi) : E ij Yllä näille toimituksille on omt merkinnät kullekin Kun lkeisriviopertioit tehdään peräkkäin, sdn yleisesti vkrivimuunnoksi (Pystyriveillä voidn myös operoid, mutt se on pljon hrvinisemp, joten emme käsittele niitä linkn)

20 2 Voidn osoitt (Lm), että kukin elementrinen vkrivimuunnos mtriisiin A sdn ikn kertomll A vsemmlt tietyllä mtriisill, muunnoksen elementrimtriisill eli yksinkertisell mtriisill Näille elementrimtriiseille käytetään sm merkintää kuin vstville muunnoksillekin, j ne ovt kokoluokssn yksikäsitteisiä Kukin n n-elementrimtriisi sdn tekemällä vstvnkokoiselle yksikkömtriisille kyseinen lkeisrivimuunnos All on esimerkkinä yksi jokisest ljist: I 0 0 = , E3 0 0 (2) = , E2 0 0 ( 5) = , E3 0 0 = Esim 4 Muunnetn mtriisi M 2 3 = seurvsti: E2( 4) E3( 7) E2 ( /3) E32 (6) E2 ( 2) Eij ( c) Merkintä trkoitt, että vsemmll puolell olevn mtriisiin on sovellettu nuolen yläpuolell olev lkeisrivimuunnost j tuloksen on nuolen oikell puolell olev mtriisi

21 3 Sm si mtriisikertolskull elementrimtriisien vull toteutettun on silloin: 0 E2( 2) E32(6) E2( /3) E3( 7) E2( 4) M = Huom yllä olevss elementrimtriisien järjestys: Koko jn kerrotn vsemmlt, joten ensimmäinen muunnos on ensimmäisenä mtriisist M lukien vsemmlle, sitten siitä vsemmlle toinen muunnos eli sitä vstv elementrimtriisi, jne Kksi mtriisi A j B, jotk sdn vkrivimuunnoksill toisistn, ovt vkriviekvivlenttej, merk A B ti A B Tvllisimmin vkrivimuunnoksill pyritään sttmn mtriisi redusoituun riviporrsmuotoon Se on muoto, joss: - Mhdolliset nollrivit ovt limpn ("pohjll") - Nollrivistä erovien rivien ensimmäinen nollst erov lkio on, ns rivien johtv ykkönen - Johtvt ykköset ovt porrsmisesti siten, että ylemmän rivin johtv ykkönen on srkkeell, jok on ennen lemmn rivin johtvn ykkösen srkett - Johtvn ykkösen srkkeell ovt sen yläpuolell olevt luvut nolli Kolme ensimmäistä ehto määrittelevät riviporrsmuodon (ref) j jos neljäskin ehto on voimss, kyseessä on redusoitu riviporrsmuoto eli knoninen muoto Usein mtriisin A redusoitu riviporrsmuoto merkitään rref(a) (engl reduced row echelon form), jost syystä käytetään myös puhetp "mtriisin A rref"

22 4 Edellisessä esimerkissä mtriisi M muutettiin riviporrsmuodon kutt redusoiduksi riviporrsmuodoksi Redusoitu riviporrsmuoto on jokiselle mtriisille olemss j se on yksikäsitteinen (Mutt pelkkä (redusoimton) riviporrsmuoto ei välttämättä ole yksikäsitteinen) Käytämme redusoitu riviporrsmuoto ensiksi käänteismtriisin lskemiseen Todetn luksi, että kikki elementrimtriisit ovt kääntyviä j E () c E(/), c E () c E ( c), E E = = = i i ij ij ij ji Tämän vull nähdään, että jos neliömtriisi A sdn muunnettu vkrivimuunnoksill yksikkömtriisiksi, A on kääntyvä: E E E E A= I A= E E E E A E E E E k k 2 2 k k = k k 2 Tässä E i merkitsee yleensä jotkin elementrimtriisi Toislt jos neliömtriisi ei sd muunnettu yksikkömtriisiksi, niin rref ( A ) sisältää "pohjll" inkin yhden nollrivin, jolloin det(a)=0 j A on siis singulrinen eli ei-kääntyvä Siis: Mtriisi A on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se on vkriviekvivlentti yksikkömtriisin I knss Sm si toisin snoin: Mtriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se on esitettävissä elementrimtriisien tulon

23 5 Käänteismtriisin lskeminen (silloin kun se lsketn vkrivimuunnoksill) on kätevintä järjestää seurvsti: [ A I] [ I B] B= A Eli jos lohkomtriisi [ A I ] sdn muunnettu vkrivimuunnoksill mtriisiksi [ I B ], niin B on A:n käänteismtriisi (Yksikkömtriisi "siirtyy oikest lohkost vsempn") Tämä nähdään kertomll [ A I ] vsemmlt A : llä : A [ A I] = [ A A A I] = [ I A ] j totemll, että vsemmlt kertominen kääntyvällä mtriisill on sm kuin vkrivimuunnosten tekeminen Tässä ei ole trpeen tietenkään tietää, mikä on A :n esitys elementrimtriisien tulon (silloinhn ei olisi enää mitään lskettv), vn kyseiset muunnokset tehdään skel kerrlln päämääränä sd vsempn lohkoon I Se mitä oiken lohkoon sitten ilmntuu, on A Kosk [ I B ] on ilmeisesti redusoiduss riviporrsmuodoss, voidn edellä esitetty ilmist myös muodoss rref [ A I] [ I B] B A = = Esim A = [ A I] = E3( ) E23( 2)

24 E3( ) E2 (/ 2) / / E2 ( 2) E2 ( 2) 0 0 /3 /3 / /2 = [ I A ] Esim A = [A I] = , nollrivi vsemmll, ei käänteismtriisi