R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ).

Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin, Lebesguen ensisijisen mielenkiinnon päämääränä oli sd ikn integrli, jok olisi määritelty kikille relikselin kompktill välillä määritellyille rjoitetuille funktioille. 1. Riemnnin integrli. Plutetn mieleen Riemnnin 2 käyttämä määritelmä integrlille: Välin [, b] merkitty jko on äärellinen joukko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}}, missä n Z +, x 0 = < x 1 <... < x n = b j t k [x k 1, x k ] kikille k {1,..., n}. Merkitty jko on siis välin [, b] jko päätepisteitä lukuunottmtt pistevierisiin suljettuihin osväleihin [x k 1, x k ], missä jokinen osväli on merkitty ntmll siltä piste t k. Snotn, että merkitty jko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}} on δ-hieno, δ > 0, jos T := mx{x k x k 1 k {1,..., n}} < δ. Rjoitetun funktion f : [, b] R merkittyyn jkoon T liittyvä Riemnnin summ on R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ). Nyt funktio f on Riemnn-integroituv, jos on olemss I R siten, että jokiselle ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että jokiselle δ-hienolle merkitylle jolle T on voimss R(f, T ) I < ε. Kurssill Anlyysi 2 funktion f Riemnn-integroituvuus määritellään funkioon f liittyvien l- j yläporrsfunktioiden vull. Perinteisempi tp olisi käyttää Drboux n 3 l- j yläsummi, jotk ovt trkoin vlittujen l- j yläporrsfunktioiden integrlit. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}} välin [, b] jko. Asetetn m k := inf{f(x) x [x k 1, x k ]} j M k := sup{f(x) x [x k 1, x k ]} sekä porrsfunktiot g, h: [, b] R, (1) (2) j (3) (4) g(x) = m k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä g(x) = m n, kun x [x n 1, x n ], h(x) = M k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä h(x) = M n, kun x [x n 1, x n ]. Näiden porrsfunktioiden integrlit ovt funktion f Drboux n l- j yläsumm, s P := g(x) dx = m k (x k x k 1 ), S P := h(x) dx = M k (x k x k 1 ). 1 Henri Léon Lebesgue (1875 1945); integrli väitöskirjss [11] vuonn 1902. 2 Bernhrd Riemnn (1826 1866); integrli 1854. 3 Jen-Gston Drboux (1842 1917); integrli 1875. 1

Funktion f Drboux n (ti Riemnnin) l- j yläintegrli ovt f(x) dx := l- f(x) dx := sup s P, P P f(x) dx := ylä- 2 f(x) dx := inf P P S P, missä P on välin [, b] kikkien jkojen joukko. Snotn, että funktio f on Drboux-integroituv (kurssill Anlyysi 2 Riemnnintegroituv), jos f(x) dx = f(x) dx. Drboux n l- j yläsummien s P j S P käytöstä kätevän tekee se, että jos jko tihennetään (eli jkopisteitä x j lisätään), niin lsummt ksvvt j yläsummt pienenevät, t.s. jos P P, niin s P s P j S P S P. Jos jkoon P liitetään porrsfunktiot (1) (4) j jkoon P vstvll tvll porrsfunktiot g j h, niin g g j h h. Kurssilt Anlyysi 2 knntt kerrt (ti todist suorn): Luse 1. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Tällöin funktio f on Riemnnintegroituv, jos j vin jos f on Drboux-integroituv. 2. Lebesguen integrli. Lebesguen oivllus integrlin käsitteen prntmiseksi oli käyttää funktion rvokselill (eli y-kselill) tihenevää jko rgumenttikselin (eli x-kselin) jon sijst. Riemnnin j Drboux n käyttämissä summiss on selvästi ongelmi epäjtkuvuspisteiden lähellä: jos funktioll f on epäjtkuvuuspiste välillä [x k 1, x k ], poikkevt tätä osväliä vstvt termit Drboux n ylä- j lsummss toisistn pljon. Jos epäjtkuvuuspiste on pljon, vikutt hyvin mhdolliselt, että Drboux n ylä- j lsummien välinen ero pysyy suuren, joten tällinen funktio ei ole Riemnn-integroituv. Kun jko tehdään y-ksellill tälliselt ongelmlt vältytään (ktso ll olevi esimerkkejä, vrsinkin Dirichlet n funktiot). Välejä [y k, y k+1 ), 0 k < n, vstviin lkukuvjoukkoihin Lebesgue liitti summt E k := f 1 ([y k, y k+1 )) = {x [, b] R y k f(x) < y k+1 } σ Π := y k m(e k ) j Σ Π := y k+1 m(e k ), missä luvut A j B vlitn niin, että A < f(x) < B kikille x [, b], j välit [y k, y k+1 ], 0 k < n muodostvt y-kselin välin [A, B] jon Π. Jott Lebesguen määrittelemät summt σ Π j Σ Π olisivt mielekkäitä, pitää joukoill E k oll hyvin määritelty (pituus-)mitt. Huom, että geometrisesti σ Π (vstvsti Σ Π ) on jon Π j lkukuvjoukkojen E k ntm lrj (vstvsti ylärj) funktion f kuvjn rjoittmn lueen pint-llle (kun f 0). Joukkojen E k määrittelyn sekä lukujen A j B vlinnn nojll joukot E k ovt preittin pistevierit j [, b] = n 1 E k. Lebesgue osoitti väitöskirjssn, että kun f on mitllinen funktio, niin joukot E k ovt mitllisi, j että tällöin jko Π tihennettäessä (eli kun y k+1 y k 0) Lebesguen

3 Kuv 1. Funtion y = f(x) kuvj, y-kselin väli y k y < y k+1 sekä sen lkukuvjoukko y k f(x) < y k+1. summt σ Π j Σ Π lähestyvät sm rvo, funktion f Lebesguen integrli yli välin [, b], jot merkitään [,b] f(x) dm(x).4 Itse siss, Lebesguen summill on vstv monotonisuusominisuus suhteess jkojen tihentämiseen kuin Riemnnin summill: kun Π Π, on σ Π σ Π j Σ Π Σ Π. Esimerkki 2. Trkstelln esimerkkinä porrsfunktiot f : [0, 3] R, { 1, kun x [0, 1), j f(x) = 2, kun x [1, 3]. Kun välin [0, 3] jkopisteiksi vlitn x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 3, j pisteiksi ξ 1 = 1/2 j ξ 2 = 2, sdn Riemnnin summien vull 2 3 S = f(ξ k ) (x k x k 1 ) = 1 1 + 2 2 = 5 = f(x) dx. Lebesguen integrli määrättäess jko suoritetn funktion rvojoukoss eli y- kselill, ei x-kselill. Tässä tpuksess funktion rvojoukko f([0, 3]) = {1, 2} =: {y 1, y 2 }. Määrätään näiden rvojen lkuvjoukot: f 1 ({y 1 }) = [0, 1) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = [2, 3] =: E 2. Lebesguen integrlille käytetään Lebesguen summi 2 Σ = y k m(e k ) = 1 1 + 2 2 = 5. Tässä m(e k ) trkoitt joukon E k pituusmitt, mikä välin [, b] tpuksess on välin pituus b. Esimerkki 3. Stndrdi esimerkki ei-riemnn-integroituvst funktiost on ns. Dirichlet n funktio f D : [0, 1] R, jolle { 1, kun x Q [0, 1], j f D (x) = 0, muuten. 0 4 Lebesguen om merkintä oli sm kuin Riemnnin integrlille, f(x) dx.

Kun edellistä ide sovelletn Dirichlet n funktioon f D, sdn f D ([0, 1]) = {0, 1} =: {y 1, y 2 } j f 1 ({y 1 }) = [0, 1] \ (Q [0, 1]) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = Q [0, 1] =: E 2. Vstv Lebesguen summ on 2 Σ = y k m(e k ) = 0 m(e 1 ) + 1 m(e 2 ). Joukon E 1 mitst ei trvitse välittää. Joukon E 2 mitksi osoittutuu noll, joten Lebesguen integrliksi sdn f D (x) dm(x) = 0. [0,1] 3. Lebesguen ulkomitt j sisämitt. Jott Lebesguen ide integrlin määräämiseksi stisiin toimivksi, pitäisi kikkien joukkojen kokoelmst void tunnist mitlliset joukot. Tätä vrten Lebesgue määritteli kikille rjoitetuille joukoille E R ulkomitn m (E) j sisämitn m (E). 5 Edelleen Lebesgue määritteli joukon E mitlliseksi, jos m (E) = m (E). Avoimen joukon A R mitn määritteleminen on helppo: Nimittäin, on olemss yksikäsitteisesti määrätyt voimet välit I j, j J N, joiden pisteviers yhdiste A on, A = j J I j. Tällöin m(a) := j J m(i j). Huom, että jos tson R 2 voimille osjoukoille tilnne on hnklmpi; tson voint osjoukko ei välttämättä voi esittää vstvll tvll. Kompktille (epätyhjälle) joukolle K R voidn menetellä seurvsti: Olkoot := inf K j b := sup K. Tällöin, b K, joten [, b] \ K on relikselin voin joukko, j luonnollisen mitn tälle joukolle nt m(k) := (b ) m([, b] \ K). Huom, että tätäkään määrittelytp ei voi yleistää kovin suorviivisesti tson kompkteille osjoukoille. Tämä määritelmä kompktin joukon mitksi on kuitenkin hnkl käyttää. Jos K on toinen kompkti joukko, niin tätä vstvt luvut j b ovt yleensä eri luvut kuin j b. Jos esimerkiksi K K, niin miten edellisen määritelmän perusteell näytetään, että m(k) m(k )? (Avoimille joukoille tämä on helppo. Osoit!) Entä, jos K j K ovt pistevierit, niin miten osoitetn, että m(k K ) = m(k) + m(k )? (Avoimille joukoille tämäkin on helppo, smoin vstv väite numeroituvlle pistevierlle yhdisteelle.) Tärkeä oivllus on osoitt seurv putulos ([15, Kp. III, 2]): kun I R on rjoitettu voin väli siten, että K I, niin m(i \ K) = m(i) m(k). Näin määriteltynä mitll on seurvt jtkuvuusominisuudet (ks. [15, Kp. III, 2, Stz 4] j [15, Kp. III, 2, Stz 5]; todistmist knntt yrittää): 5 Lebesgue ei lähtenyt mitn määrittelyyn ivn tyhjästä. (Mrie Ennemond) Cmille Jordnilt (1838 1922) oli jo peräisin joukon Jordnin sisältö 1892 (joukko on Jordn-joukko, jos sen Jordnin ulkosisältö on sm kuin sen Jordnin sisäsisältö; yhtäpitävästi: joukon reun on nollmittinen). Myös (Félix Édourd Justin) Émile Borel (1871 1956) oli trvinnut ennen Lebesgue iä relikselin Borelin joukoille määriteltyä mitt (1894 j 1898). 4

5 Luse 4. Kun A R on rjoitettu j voin, on m(a) = sup{m(k) K on kompkti j K A}. Luse 5. Kun K R on kompkti, on m(k) = inf{m(a) A on vion j K A}. Lebesgue määritteli ulkomitn m (E) j sisämitn m (E) jokiselle rjoitetulle joukolle E R settmll m (E) = inf{m(a) A on voin j A E}, m (E) = sup{m(k) K on kompkti j K E}. Edelleen Lebesgue määritteli joukon E mitlliseksi, jos m (E) = m (E). Mitlliselle joukolle E setetn m(e) = m (E) = m (E), joukon E mitt. Mitt- j integrliteorin kurssill käytetty mitllisuuden määritelmä on peräisin Crthéodoryltä. 6 Crthéodoryn määritelmä mitllisuudelle on osoittutunut hyväksi vrsinkin khdest syystä: Ensinnäkin, siinä mitllisuus määritellään vin ulkomitn vull; ei trvit kht erilist puvälinettä. Toisekseen, se toimii yhtä hyvin btrktin ulkomitn tilnteess. Edellisten luseiden nojll rjoitetulle, voimelle joukoll A R j kompktille joukolle K R on m (A) = m(a) j m (K) = m(k). Kosk trivilisti m (A) = m(a) j m (K) = m(k), ovt relikselin rjoitetut, voimet joukot j kompktit joukot mitllisi. Ulkomitn subdditiivisuus on melko helppo todist (kuten kurssill on tehty): kun E j, j N, j E := j N E j ovt rjoitettuj, niin m (E) j N m (E j ). j Sisämitlle vstv ominisuus on mutkikkmpi ([15, Kp. III, 3, Stz 6]): kun E j, j N, j E := j N E j ovt rjoitettuj j joukot E j ovt prittin pisteviert (E j E k =, kun j k), niin m (E) j N m (E j ). Edellisestä epäyhtälöprist seur, että jos E j, j N, ovt mitllisi j prittin pistevierit j E := j N E j on rjoitettu, niin E on mitllinen j m(e) = j N m(e j ). Burkillin kirjss [3, Ch. II] mitn ominisuuksiin liittyvät trkstelut ovt huomttvsti suppemmt kuin Ntnsonin kirjss [15, Kp. III], j moness kohdin käsittely on myös puutteellist. Myös Lebesguen lkuperäinen mitn j mitllisuuden käsittely [11, Ch. I] on vrsin kursorinen. Hyvä kirjllisuustutkimuksen ihe olisi selvittää, missä määrin puutteelisi Burkillin j Lebesguen lkuperäinen esitys ovt, j 6 Constntin Crthéodory (1873 1950). Määritelmä (j yhteys Leebesguen lkupeäräiseen mitllisuuteen) löytyy inkin Crthéodoryn 1918 julkistust oppikirjst [4, n 257, Stz 6]. Crthéodoryltä on peräisin myös bstrktin ulkomitn käsite.

miksi Ntnsonin kirjss todistukset ovt niin mutkikkit (Burkillin j Ntnsonin kirjt ovt smlt jlt, 1940- j 1950-lukujen vihteest). Lebesguen vuonn 1904 julkistut luennot [12] olisi myös hyvä ott vertiluun mukn. Crthéodoryn kirj [4] on selvästi vnhempi, mutt silti modernimpi. Helppolukuinen, vikkkn ei lyhyt lähestyminen Lebesguen mittn Lebesguen lkuperäistä lähestymistp (j siis myös sisämitt, tosin yleisemmässä usempiulotteisess tpuksess) käyttäen löytyy Jonesin kirjst [9, Ch. 2]. 4. Lebesguen l- j yläintegrlit. Oletetn nyt, että f : [, b] R on rjoitettu mitllinen funktio. Olkoot A j B siten, että A < f(x) < B Vlitn y-kselin välille [A, B] jko Π kikille x [, b]. A = y 0 < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = B. Olkoon E k välin [y k, y k+1 ) lkukuv (huom puolivoin väli) E k = {x [, b] y k f(x) < y k+1 }. Funktion f mitllisuuden nojll joukot E k ovt mitllisi. Lisäksi joukot E k ovt preittin pistevierit j [, b] = n 1 E k. Olkoot σ Π j Σ Π jkoon Π liittyvät Lebesguen summt σ Π = y k m(e k ) j Σ Π = y k+1 m(e k ). Lebesguen summt vstvt Drboux n summi, joiss jko kuitenkin tehdään x-kselill. Lebesguen summist on helppo todet seurv Drboux n summille nloginen ominisuus: kun jko Π tihennetään, lsummt σ Π ksvvt j yläsummt Σ Π vähenevät. Tämän totemisess lkukuvjoukkojen mitllisuus j mitn dditiivisuus ovt tärkeitä. Lisäksi lsummien joukko on ylhäältä rjoitettu, yläsummien joukko on lhlt rjoitettu, j kikki lsummt ovt yläsummi pienempiä. Al- j yläsummien erotukselle on Σ Π σ Π = (y k+1 y k ) m(e k ) λ (y k+1 y k ) m(e k ) = λ m([, b]), missä λ := mx{y k+1 y k k = 0, 1,..., n 1}. Tästä seur, että kun jko Π on riittävän tiheä (eli λ on riittävän pieni), erovt Σ Π j σ Π toisistn mielivltisen vähän. Siis sup σ Π = inf Σ Π. Π Π Tämä yhteinen rvo on Lebesguen määritelmän mukn funktion f (Lebesguen) integrli. Tästä päättelystä seur myös, että rjoitettu mitllinen funktio on integroituv. Edellä funktiost f tehty mitllisuusoletus ei Lebesgue-integroituvuudelle ole vin riittävä ehto, se on myös välttämätön. Tämän näkemiseksi määritellään integrli hiemn yleisemmin. Snotn, että mitllisten joukkojen kokoelm D = {E 1,..., E n } on välin [, b] mitllinen jko, jos (i) joukot E k ovt mitllisi; 6

(ii) joukot E k ovt preittin pistevierit; j (iii) E 1 E n = [, b]. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Mitlliseen jkoon D liittyen määritellään m k := inf{f(x) x E k } j M k := sup{f(x) x E k }, kun 1 k n. Vstvn tpn kuin Drboux n summt määritellään Lebesguen l- j yläsummt σ D = m k m(e k ) j Σ D = M k m(e k ). Tvnomiseen tpn on osoitettviss, että kun jko D tihennetään, lsummt σ D ksvvt j yläsummt Σ D vähenevät. Lisäksi lsummien joukko on ylhäältä rjoitettu, yläsummien joukko on lhlt rjoitettu, j kikki lsummt ovt yläsummi pienempiä. (Näitä päättelyitä vrten, smoinkuin l- j yläsummien määrittelyn mielekkyyden tki, jon joukkojen E j pitää oll mitllisi; sen sijn trksteltvn funktion f ei trvitse oll mitllinen.) Asetetn (sup j inf yli kikkien välin [, b] mitllisten jkojen D) [,b] f(x) dm(x) = sup σ D D j [,b] f(x) dm(x) = inf D Σ D. Näitä lukuj kutsutn funktion f Lebesguen lintegrliksi j vstvsti yläintegrliksi yli välin [, b]. Näille on siis f(x) dm(x) f(x) dm(x). Jos [,b] [,b] f(x) dm(x) = [,b] [,b] f(x) dm(x), snotn, että f on Lebesgue-integroituv. Integrlien yhteistä rvo kutsutn funktion f Lebesguen integrliksi j merkitään f(x) dm(x). [,b] Hiemn edellä ollutt Lebesguen esitystä mukillen nähdään, että jokinen rjoitettu (Lebesguen mielessä) mitllinen funktio on Lebesgue-integroituv välillä [, b] myös tässä yleisemmäkin mielessä. Myös käänteinen tulos pätee: jos rjoitettu funktio f on Lebesgue-integroituv (tässä yleisemmä mielessä) välillä [, b], niin f on mitllinen (Lebesguen mielessä). Tämän (iden) selvittämiseksi olkoon D n, n Z +, jono välin [, b] mitllisi jkoj siten, että vstville l- j yläsummille on Σ Dn σ Dn < ε n. Olkoot jkoon D n liittyvät joukot E k = E n,k, luvut m k = m n,k, M k = M n,k sekä g n := m n,k χ En,k j h n := M n,k χ En,k. Tällöin g n j h n ovt mitllisi funktioit, joille g n f h n. Kun jkojono (D n ) n=1 vlitn ksvvksi (miten?), on jono (g n ) n=1 ksvv j (h n ) n=1 vähenevä. Näiden 7

jonojen rjfunktiot g j h ovt mitllisi j g f h. Väite seur, kun osoitetn, että g = h melkein kikkill. Mutt, jos F j := {x [, b] h(x) g(x) > 1/j}, on {x [, b] h(x) g(x)} = F j. Toislt ε n > Σ D n σ Dn = (M n,k m n,k ) m(e n,k ) (M n,k m n,k ) m(e n,k F n ) 1 n j=1 m(e n,k F n ) = 1 n m(f n). Tästä seur, että m(f n ) = 0, joten myös yhdiste on nollmittinen. Tässä lyhyessä trksteluss ei ole kiinnitetty huomiot siihen, onko Lebesguen l- j yläsummien vull määritelty integrli sm kuin Lebesguen lkuperäinen integrli. Trkoitus on vlott erilisi tpoj määritellä integrli. 5. Integrlej moneen lähtöön. Lebesguen lkuperäistä, ulko- j sisämittn perustuv esitystp noudttvt Lebesguen [11] j [12] lisäksi [3] (käsittely kursorist), [15] (käsittely trkk) j uudempn [9] (myös n-ulotteinen tpus). Frigyes Riesziltä [16] on peräisin menetelmä, joss lähdetään liikkeelle tutuist porrsfunktioist, j lähes välittömästi päästään Lebesguen integrliin. Rieszin om oppikirjesitys löytyy kirjst [17]. Uudempi esityksiä ovt [1], [19] (*****) j [20]. Vstv esitystp hiemn yleisemmältä knnlt ktsottun (ns. Dniellin integrli 7 ) löytyy kirjst [18]. Mitt- j integrliteorin kurssin [10] kltinen, Constntin Crthéodoryltä peräisin olev ulkomittn j yleiseen mittn perustuv esitys löytyy esimerkiksi kirjoist [4], [2] j [8] ( Hence we hve presented very generl nd complete versions of number of importnt theorems nd constructions. ). Niin snottuun Rieszin esitysluseeseen perustuv esitystp liitettään joskus Nicols Bourbkiin; vrt. [6] ti[8]. Usein nsio ensimmäisestä todistuksest jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle nnetn Cuchylle 8, mutt Cuchyll ei ollut vielä käytössään tulost, että suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Cuchyn todistus kuitenkin perustui funktion tsiseen jtkuvuuteen. Tämän tärkeän tuloksen todisti 9 vuonn 1872. Drboux n 10 esitys jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle lienee ensimmäinen kunnollinen todistus väitteelle vuodelt 1875. Riemnnin integrli yksinkertisempi käsite, Dieudonnélt 11 peräisin olev Cuchyn integrli liittyy nimenomn tsisuuteeen. Säännelty funktio 12 on tsisesti suppenevn porrsfunktiojonon rjfunktio. Yhtäpitävästi f : [, b] R on säännelty, 7 Percy J. Dniell (1889 1946): A generl form of integrl (Ann. of Mth, 19, 279), 1918. 8 Augustin-Louis Cuchy (1789 1857); integrli 1823. 9 (Heinrich) Edurd Heine (1821 1881). 10 Jen-Gston Drboux (1842 1917). 11 Jen (Alexndre Eugène) Dieudonné (1906 1992). 12 Rnsk. fonction réglée, engl. regulted function. 8

jos j vin jos funktioll f on enintään numeroituvsti ääretön määrä epäjtkuvuuskohti, jokisess pisteessä x (, b] funktioll f on vsemmnpuoleinen rj-rvo j jokisess pisteessä x [, b) funktioll f on oikenpuoleinen rj-rvo. Tätä Cuchyn integrli käytetään kirjss [5]; vrt. [14]. Viitteet [1] Tom M. Apostol, Mthemticl Anlysis, 2nd edition, 5th printing, Addison Wesley, 1981. [2] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner j Brin S. Thomson, Rel Anlysis, second edition, ClssiclRelAnlysis.com, 2008. [3] J. C. Burkill, The Lebesgue Integrl, Cmbridge trcts in mthemtics nd physics No. 40, First pperbck edition, Cmbridge University Press, 2004; lunperin julkistu 1951. [4] Constntin Crthéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, kolms (korjttu) litos, Chelse Publishing, 1968; lunperin Leipzig, 1918. [5] Jen Dieudonné, Foundtions of Modern Anlysis, Third (enlrged nd corrected) printing, Acdemic Press, 1969; lunperin Fondements de l Anlyse Moderne, Guthier Villrs, 1960. [6] Jen Dieudonné, Tretise on Anlysis II, Acdemic Press, 1970 (lunperin Elements d nlyse. Tome 2, Guthier-Villrs, 1969). [7] Thoms Hwkins, Lebesgue s Theory of Integrtion. Its Origin nd Development, 2nd edition, AMS Chelse Publishing, 1975 (reprinted 2002). [8] Edwin Hewitt j Krl Stromberg, Rel nd Abstrct Anlysis. A Modern Tretment of the Theory of Functions of Rel Vrible, Third printing, Grdute Texts in Mthemtics 25, Springer-Verlg, 1975. [9] Frnk Jones, Lebesgue integrtion on Eucliden spces, revised edition, Jones nd Brtett Publishers, 2001. [10] Tero Kilpeläinen, Mitt- j integrliteori 2003 04, pdf-dokumentti osoitteess http://www.mth.jyu.fi/ terok/opetus/mitt/ (luettu kesäkuuss 2007). [11] H. Lebesgue, Intégrle, Longueur, Aire, Annli di Mtemtic, (3) 7 (1902), 231 359. [12] H. Lebesgue, Leçons sur l intégrtion et l recherche des fonctions primitives, Guthier-Villrs, 1904. [13] H. Lebesgue, Sur l recherche des fonctions primitives pr l intégrtion, R. Acc. Lincei Rend., (5), 16 1 (1907), 92 100. [14] J. Lelong-Ferrnd, J. M. Arnudiès, Cours de mthémtiques. Tome 2. Anlyse, 4 e édition, Dunod, 1977. [15] I. P. Ntnson, Theorie der Funktionen Einer Reellen Veränderlichen, Zweite ergänzte und überrbeitete Auflge, Akdemie-Verlg, 1961; Theory of Functions of Rel Vrible, Volume I, New York, Rederick Ungr, 1955; Volume II, 1960; lunperin venäjänkielisenä 1949 (1. litos) j 1956 (2. litos). [16] Frigyes Riesz, Sur l intégrle de Lebesgue, Act Mth. 42:3, (1919), 191 205. [17] Frigyes Riesz nd Bél Sz.-Ngy, Functionl Anlysis, Dover Publictions, Inc, 1990; lunperin Leçons d nlyse fonctionelle, Acdémii Kidó, 1952; 2 e ed. 1953; engl. käännös Functionl Anlysis, Frederick Ungr Publishing Co., 1955. [18] G. E. Shilov nd B. L. Gurevich, Integrl, Mesure & Derivtive: A unified pproch, Dover Publictions, Inc, 1977; lunperin Prentice-Hll, Inc., 1966. [19] Krl Stromberg, An Introduction to Clssicl Rel Anlysis, Wdsworth Interntionl Mthemtics Series, 1981. [20] Aln J. Weir, Lebesgue integrtion nd mesure, London, 1973. 9