ELEC-C123 Säätötekniikka Luku 7: Taajuusanalyysi
Taajuusanalyysi Aikaisemmilla luennoilla on tarkasteltu systeemien käyttäytymistä aikatasossa (differentiaaliyhtälöt, herätteet ja vasteet) tai Laplace-tasossa (napa-nollakuviot, karakteristinen yhtälö, siirtofunktiomallit) Tällä luennolla tutkitaan systeemien käyttäytymistä taajuustasossa. Tämän opintojakson puitteissa keskitytään sinimuotoisen värähtelyn muuttumiseen sen kulkiessa dynaamisen systeemin läpi, mutta samat yleiset periaatteet tulevat pätemään myös muille deterministisille signaaleille ja kohinalle. Viiveiden käsittely on taajuustasossa hyvin yksinkertaista. Esimerkiksi viiveellisten systeemien stabiiliustarkastelu on helpointa tehdä taajuustasossa. Taajuusanalyysiin perustuvat säätimet (vaiheen johto- ja jättöpiirit) perustuvat avoimen silmukan taajuuskarakteristikan modifiointiin halutuilla taajuuksilla. Epälineaarisille ja MIMO-systeemeille on kehitetty taajuusanalyysiin perustuvia säätösuunnittelumenetelmiä.
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Linjalta valmistuvan tuotteen ominaisuudet (pitoisuus C (t)) vaihtelevat, joten tuotantolinjan loppuun on asennettu laaduntasaussäiliö (ideaalisekoitin), jossa parempi- ja huonompilaatuiset jakeet sekoitetaan tuotekriteerit täyttäväksi lopulliseksi tuotteeksi (pitoisuus C(t)) Tutkitaan laaduntasaussäiliön taajuusominaisuuksia Systeemin malli: VC () t FC() t FC() t Cs () 1 1 Gs () V C () s s1 s1 Heräte on nyt sinimuotoista värähtelyä: F C() t u() t Au sin( t) Au U() s Lu() t 2 2 s F C(t) V C(t) F C(t)
Vaste: Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Y() s G() s U() s Trigonometriasta tiedetään, että a b a b b a 2 2 sin cos sin arctan( ) Tällöin saadaan vasteelle: A s u ( 2 1)( 2 ) s t 1 A u Ct () yt () L Ys ( ) e sin( t) cos( t) 2 1 ( ) t Aue Au Ct ( ) y( t) sin( tarctan( )) y ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 a t y t 1 ( ) Vaste muodostuu alkutransientista (ajan funktiona eksponentiaalisesti katoava osuus) ja jatkuvuustilan vasteesta (sinimuotoista värähtelyä).
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö 1.5.1 -.5-1 U -.1 Y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Kun heräte on sinimuotoista värähtelyä, niin jatkuvuustilan vaste on myös sinimuotoista värähtelyä, jolla on sama taajuus kuin herätteellä, mutta eri amplitudi A y ja vaihesiirto. Au yt ( ) sin( tarctan( )) Asin( ) 2 y t 1 ( ) Nähdään, että vasteen amplitudi ja vaihesiirto ovat taajuuden funktioita
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Matalilla taajuuksilla vaste lähestyy herätettä ja korkeilla taajuuksilla nollaamplitudista signaalia, jonka vaihe-ero on -/2 (-9 ). A u A limay lim Au, lim Ay lim 1 ( ) 1 ( ) lim lim arctan( ), lim lim arctan( ) u 2 2 Oletetaan, että häiriöt ilmenevät taajuudella 1 (rad/s) virtauksen F ollessa 2 m 3 /s. Kuinka suuri laaduntasaussäiliö tarvitaan vaimentamaan häiriöt puoleen, kymmenesosaan tai sadasosaan? Amplitudisuhde A A A y u 2 V 2 F 3 A5., 1, F 2 V 2 3 35. ( m ) 1 1 1 ( ) 1 ( ) 3 A1., 1, F 2 V 2 99 199. ( m ) 3 A. 1, 1, F 2 V 2 9999 2. ( m ) 2
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Annetaan aikavakiolle arvo yksi ja simuloidaan säiliön käyttäytymistä eri signaaleilla. Sinimuotoisella signaalilla käyttäytyminen taajuustasossa noudattaa määritettyä vastetta, mutta muillakin signaaleilla saadaan vastaavia tuloksia 1 Laaduntasaussäiliö suodattaa.5 signaalista korkeat taajuudet. -.5-1 5 1 15 2 1.5 -.5-1 5 1 1.5 -.5-1 1 2 3 4 5 1.5 u y 1.5 u y 1.5 u y -.5 -.5 -.5-1 taajuus.1-1 taajuus 1-1 taajuus 1 5 1 5 1 15 2 1 2 3 4 5
Fourier-muunnos ja taajuusvaste Taajuusfunktio saadaan muodostettua Fourier-muunnoksen avulla, joka on hyvin samankaltainen kuin Laplace-muunnos. st Laplace-muunnos: Fs ( ) L ft ( ) fte ( ) dt jt Fourier-muunnos: F( j) F f( t) f( t) e dt Jos funktio f(t) on määritelty ainoastaan nollahetkestä eteenpäin (t ), kuten systeemi- ja säätötekniikassa tavallisesti on, niin Fourier ja Laplacemuunnokset yhtyvät. Tällöin systeemin taajuusvaste F() saadaan siirtofunktiosta yksinkertaisesti sijoittamalla Laplace-muuttujan s tilalle j (j on imaginääriyksikkö. Taajuusanalyysissä käytetään tavallisesti i:n sijasta j:tä). Y( j) Taajuusvaste: F( ) G( j) U( j)
Taajuusvaste Systeemin taajuusvaste on kompleksiluku ja se voidaan aina esittää muodossa, jossa reaali- ja imaginääriosat ovat erillään: F( ) G( j) Re G( j) jim G( j) z R j X Yleisesti kompleksiluvun itseisarvo kuvaa vektorin pituutta ja napakulma kulmaa positiivisen reaaliakselin suhteen. 2 2 z R X n, R, z arctan( X R) n n 1, R Taajuusanalyysissä systeemin amplitudisuhde A saadaan systeemiä kuvaavan taajuusvasteen itseisarvosta ja vaihe-ero napakulmasta A 2 2 y A ( ) Re ( ) Im ( ), Re ( ) A G j G j G j n G j u, G( j) arctan(im G( j) Re G( j) ) n n 1, Re G( j) Vaihe-eron laskemisessa on huomioitava, että reaali- ja imaginääriosien etumerkit saattavat kumota toisensa, joten se, missä kompleksitason neljänneksessä vektori sijaitsee, on tarkistettava erikseen.
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Lasketaan nyt taajuusvaste laaduntasaussäiliölle 1 Gs () s 1 1 j1 1 F( ) G( j) j j j j 2 2 1 ( 1)( 1) ( ) 1 ( ) 1 Laaduntasaussäiliön amplitudisuhde A ja vaihe-ero ovat: 2 A 1 ( ) 1 y A A ( ) u G j 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 G( j) arctan( ) arctan( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 1 Saadaan samat tulokset kuin laskemalla suoraan aikatason vasteesta
Taajuusvasteen graafiset esitykset Taajuusvaste voidaan määrittää teoreettisesti siirtofunktion perusteella (kuten edellisessä esimerkissä) tai kokeellisesti syöttämällä tutkittavaan systeemiin sinimuotoista herätettä ja mittaamalla vasteen amplitudisuhde sekä vaihe-ero eri taajuuksilla. Taajuusvasteelle käytetään kolmea erilaista graafista esitystapaa Boden diagrammi Amplitudisuhde (tavallisesti desibeleinä) taajuuden funktiona ja vaihe-ero (tavallisesti asteina) taajuuden funktiona eri käyrissä. Nyquistin diagrammi (polaaridiagrammi) Systeemin taajuusvaste kompleksitasossa taajuuden muuttuessa nollasta äärettömään (tai negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen). Nicholsin kartta Systeemin amplitudisuhde (tavallisesti desibeleinä) vaihe-eron (tavallisesti asteina) funktiona.
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Piirretään laaduntasaussäiliön taajuusvasteen graafiset diagrammit, kun aikavakio = 1. 1 F( ) G( j) j 2 2 1 1 1 A G( j), A 2 db 2 log 1( A) db 1 G( j) arctan( ) Boden diagrammi esitetään tavallisesti logaritmisella asteikolla, joten valitaan mielenkiintoisiksi taajuuksiksi riittävän pieniä ja suuria taajuuksia, toisaalta Nyquistin diagrammi piirretään ei-logaritmisella asteikolla, joten valitaan taajuuksia myös aikavakion (1) molemmilta puolilta eilogaritmisesti. Tulokset halutuilla taajuuksilla on esitetty oheisessa taulukossa
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Re{G(j)} Im{G(j)} A A/dB /rad /deg 1,, 1,,,,,1 1,, 1,, -, -,6,1,99 -,1 1, -,4 -,1-5,71,5,8 -,4,89 -,97 -,46-26,57 1,5 -,5,71-3,1 -,79-45, 2,2 -,4,45-6,99-1,11-63,43 5,4 -,19,2-14,15-1,37-78,69 1,1 -,1,1-2,4-1,47-84,29 1, -,1,1-4, -1,56-89,43 1,,, -6, -1,57-89,94 1,,, -8, -1,57-89,99
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Hahmotellaan Boden diagrammi Bode Diagram Magnitude (db) -1-2 -3-4 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec) Phase (deg) -2-4 -6-8 1-2 1-1 1 1 1 1 2
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Hahmotellaan Nyquistin diagrammi Nyquist Diagram -.1 Imaginary Axis -.2 -.3 -.4 -.5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Real Axis
Esimerkki: Laaduntasaussäiliö Hahmotellaan Nicholsin kartta 5 Nichols Chart -5 Open-Loop Gain (db) -1-15 -2-25 -3-9 -45 Open-Loop Phase (deg)
Taajuusvasteen graafiset esitykset Boden ja Nyquistin diagrammit sekä Nicholsin kartta kuvaavat kaikki systeemin taajuusvastetta, mutta kukin graafisista esityksistä on kehitetty erilaisiin tarpeisiin Boden diagrammi on ainoa, jossa on taajuusakseli mukana ja se soveltuu hyvin systeemin vahvistus- ja vaimennusominaisuuksien tarkasteluun mielenkiintoisilla taajuuksilla. Nyquistin diagrammista puuttuu taajuusakseli, joten siitä ei nähdä mitä tapahtuu annetuilla taajuuksilla, mutta se soveltuu erittäin hyvin säädetyn järjestelmän stabiilisuustarkasteluun - kuten myöhemmin tällä luennolla tullaan näkemään. Nicholsin kartta soveltuu säädetyn (takaisinkytketyn) järjestelmän taajuuskarakteristikan määrittämiseen - kun säätämätön prosessi tunnetaan.
Taajuusvaste MATLABissa Taajuusvasteen graafiset esitykset piirretään MATLABissa loogisesti komennoilla bode, nyquist ja nichols. sys=tf(1,[1 1]) bode(sys) grid nyquist(sys) nichols(sys) Nyquistin diagrammin toinen puolikas kuvaa taajuusvastetta, kun taajuus muuttuu neg. äärettömyydestä nollaan.
Taajuusvasteen tekijät Siirtofunktion jokainen tekijä (navat, nollat, viivetermit ja vakiot) on taajuustasossa kompleksiluku. Nämä kompleksiluvut voidaan laventaa, kertoa keskenään ja laskea yhteen siten, että saadaan lauseke, josta nähdään suoraan koko taajuusvasteen reaaliosa ja imaginääriosa ja edelleen amplitudisuhde ja vaihe-ero. Toisaalta voidaan laskea kunkin tekijän itseisarvo ja napakulma erikseen ja soveltaen kompleksilaskennan perussääntöjä muodostaa koko taajuusvasteen amplitudisuhde ja vaihe-ero tekijöiden avulla Polaarikoordinaatit: z= R+ jx r(cos( ) jsin( )) re R S T R S T R rcos( ) 2 2 r R X X rsin( ), arctan( X R) n ( n jos R, n1jos R) Polaarikoordinaateilla on helppo johtaa tekijöiden tulon ja osamäärän laskusäännöt: j z = re, z = re 1 j2 1 1 2 2 j1 j2 j( 1 2) j1 j2 j( 12) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z = re re rre, z z = re re r r e j
Taajuusvasteen tekijät Taajuustasossa osoittajan tekijöiden itseisarvot kerrotaan keskenään ja ne jaetaan nimittäjän tekijöiden itseisarvoilla. Osoittajan tekijöiden napakulmat lasketaan yhteen ja niistä vähennetään nimittäjän tekijöiden napakulmat. Gs () s a ( sb)( sc) G( j ) j a ( j b)( j c) 2 2 j a a G( j ) j b j c 2 2 2 2 b c G( j) j a j b j c l q l q l q l q Mikäli amplitudisuhteet esitetään desibeleinä, niin logaritmin laskusäännöistä saadaan F log HG pp KJ 1 2 log p1 log p2 log p3 2log 1 G( j ) p 3 I F b g b g b g c h I j a 2log HG KJ 1 2 log1 j a log1 j b log1 j c j b j c c h
Taajuusvasteen tekijät: Vakiokerroin Vakiokerroin on puhtaasti reaalinen komponentti, joten sen napakulma on joko nolla (positiivinen vakio) tai ±18º (negatiivinen vakio). R S T G1 () s K G () s K 2 K Polaarikoordinaateilla:, R S T G ( j) G ( j) K 1 2 l q l q 1 2 G ( j), G ( j) 18 Im K Re -K Im Re Boden diagrammi G 1 :lle 2lgK Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä G 2 :lle 2lgK Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä -18
Integraattori ja derivaattori Integraattori ja derivaattori ovat puhtaasti kompleksisia komponentteja, joten niiden napakulma on joko +9º (derivaattori) tai -9º (integraattori). R S T R G s s G j j 1() S 1( ) 1 1 1 G s G j j 2() 2( ) s j T j Im Re R S T 1 G1( j), G2( j) G ( j) 9, G ( j) 9 l q l q 1 2 l q l q 1 2 lim G ( j) j, lim G ( j) j lim G ( j) j, lim G ( j) j l q l q 1 2 -j Im Re
Integraattori ja derivaattori Derivaattorin Boden vahvistuskäyrä nousee 2 desibeliä dekadia kohden ja se leikkaa -tason kulmataajuudella yksi. Integraattorin Boden vahvistuskäyrä laskee 2 desibeliä dekadia kohden ja se leikkaa -tason kulmataajuudella yksi. Boden diagrammi Boden vahvistuskäyrä Boden vaihekäyrä derivaattori G 1 :lle deg 2dB/dek 9 1 integraattori G 2 :lle Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä 1-2dB/dek -9
Viivetermi Viiveen käsittely on hyvin helppoa taajuustasossa. Viive voidaan muuttaa kompleksiluvuksi Eulerin kaavoilla: st jt Gs () e G( j) e cos( T) jsin( T) 2 2 G( j) cos ( T) sin ( T) 11 F l q sin( T) G( j ) arctanhg KJ b g arctan tan( T) cos( T) T Viive ei vaikuta amplitudisuhteeseen (ei vahvista eikä vaimenna), mutta sillä on huomattava vaikutus vaihe-eroon (viivästyttää signaalia ja lisää vaiheeroa) Boden vahvistuskäyrä deg I Boden vaihekäyrä 1 Im Re
R Ensimmäisen kertaluvun termi Ensimmäisen kertaluvun termi eli reaalinen napa tai nolla käsiteltiin laaduntasaussäiliöesimerkissä S G1 () s Ts1 1, T T G2 () s Ts 1 lim G ( j) lim G ( j) l q l q 1 2 R S T G1 ( j) Tj 1 1, T G2 ( j ) Tj 1 1 l q l q l q R U ST VW R ST U VW 1 1 lim G1( j) lim Tj j, lim G2( j) lim lim j Tj T Pienillä taajuuksilla ensimmäisen kertaluvun termi lähestyy vakiokerrointa 1 ja suurilla taajuuksilla derivaattoria (nolla) tai integraattoria (napa). j
Ensimmäisen kertaluvun termi Approksimatiiviseen Boden diagrammiin saadaan käännepisteet (vahvistuskäyrään taajuudelle 1/T ja vaihekäyrään taajuuksille.1/t ja 1/T. Boden diagrammi: G 1 :lle G 2 :lle Boden vahvistuskäyrä 2dB/dek deg 9 1/T Boden vahvistuskäyrä deg 1/T -2dB/dek Boden vaihekäyrä.1/t 1/T Boden vaihekäyrä.1/t 1/T Todellisuudessa Boden diagrammissa ei ole derivaatan epäjatkuvuuskohtia. Approksimatiiviseen vahvistuskäyrään tulee 3 db ja vaihekäyrään 6 virhe käännepisteissä. -9
Toisen kertaluvun värähtelevä dynamiikka Toisen kertaluvun värähtelevä dynamiikka eli kompleksinen napapari aiheuttaa taajuustasoon resonanssitaajuuden ja Boden diagrammiin resonanssipiikin. 2 2 n n Gs () G( j ) 2 2 2 2 s 2 ns n ( n ) 2n j 1 2 Resonanssitaajuus: r n 12 2 1 ( ) 2 ( ) j n n
Toisen kertaluvun värähtelevä dynamiikka Boden vahvistuskäyräksi saadaan:
Yksinkertaisia taajuusvasteita Muodostetaan MATLABilla edellä esitettyjen yksinkertaisten systeemien taajuusvasteita: värähtelyt: sys=tf(1,[1.1 1]) bode(sys) sys=tf(1,[1.1 1]) sys=tf(1,[1.3 1]) sys=tf(1,[1.7 1]) sys=tf(1,[1 2 1])...
Yksinkertaisia taajuusvasteita Nyquistin diagrammissa resonanssi näkyy siinä, että käyrän etäisyys origosta kasvaa suuremmaksi kuin nollataajuudella.
Approksimatiivinen taajuusvaste Kaikki lineaaristen systeemien taajuusvasteet koostuvat edellä esitetyistä tekijöistä Vaiheominaisuudet lasketaan yhteen ja vahvistusominaisuudet kerrotaan keskenään paitsi jos vahvistus esitetään desibeleinä (logaritminen suure), jolloin nekin lasketaan yhteen. Yhdistämällä näitä komponentteja keskenään saadaan haluttu taajuusvaste. Esimerkiksi: G Koostuu tekijöistä: tot () s 2 s 3s 1 (2), ( s) ja (3s1) Kullekin tekijälle voidaan erikseen piirtää taajuusvaste ja summata ne graafisesti. Tämä on erittäin käytännöllistä, kun kokeillaan säädetylle järjestelmälle erilaisia säätimiä. Piirretään systeemin taajuusvaste ja lisätään siihen vuorollaan erilaisia säätimiä, jonka jälkeen säädetyn järjestelmän suorituskykyä arvioidaan.
Approksimatiivinen taajuusvaste
Nyquistin stabiilisuuskriteeri Klassinen ( täydellinen ) Nyquistin kriteeri: Takaisinkytketty järjestelmä on stabiili, jos avoimen silmukan Nyquistin diagrammi kiertää pisteen -1 (-1+j) vastapäivään täsmälleen yhtä monta kertaa kuin avoimen silmukan siirtofunktiolla on napoja oikeassa puolitasossa. Erikoistapaus Nyquistin kriteeristä: Jos avoimen silmukan siirtofunktiolla ei ole lainkaan napoja oikeassa puolitasossa, niin takaisinkytketty järjestelmä on stabiili, jos avoimen silmukan Nyquistin diagrammi ei kierrä pistettä -1 (-1+j) lainkaan. Otetaan muutama esimerkki Nyquistin stabiilisuuskriteeristä
Nyquistin stabiilisuuskriteeri, esimerkki Systeemiä, jonka siirtofunktio on G(s) = (s -1)/(s 2-2s + 5) säädetään P- säätimellä. Onko säädetty järjestelmä stabiili K P :n arvoilla 1, 4 ja 7. s 1 Gs () 2 s 2s5 G () s K c G OL P () s KP ( s1) 2 s 2s 5 Y ref (s) + _ Avoimen silmukan siirtofunktiolla on kaksi napaa oikeassa puolitasossa, joten Nyquistin diagrammin olisi kierrettävä piste -1 kaksi kertaa vastapäivään, jotta säädetty järjestelmä olisi stabiili. Piirretään Nyquistin diagrammi kullakin säätimen vahvistuksella. sys1=tf([1-1],[1-2 5]) sys2=tf(4*[1-1],[1-2 5]) sys3=tf(7*[1-1],[1-2 5]) nyquist(sys1)... E(s) G c (s) Säädin U(s) G(s) Prosessi Y(s)
Nyquistin stabiilisuuskriteeri, esimerkki Saadaan diagrammit K P :n arvolla 1 Nyquistin diagrammi ei kierrä pistettä -1 lainkaan, joten säädetty järjestelmä on epästabiili. K P :n arvolla 4 Nyquistin diagrammi kiertää pisteen -1 kaksi kertaa vastapäivään, joten säädetty järjestelmä on stabiili. K P :n arvolla 7 Nyquistin diagrammi kiertää pisteen -1 kerran, joten säädetty järjestelmä on epästabiili.
Nyquistin stabiilisuuskriteeri, esimerkki Systeemiä, jonka siirtofunktio on G(s) = 1/(s + 1) 3 säädetään P-säätimellä. Onko säädetty järjestelmä stabiili K P :n arvoilla 6, 8 ja 1. 1 Gs () 3 2 s 3s 3s1 G () s K c G OL P () s KP 3 2 s 3s 3s 1 Avoimen silmukan siirtofunktiolla ei ole lainkaan napoja oikeassa puolitasossa, joten Nyquistin diagrammi ei saa kiertää pistettä -1 lainkaan, jotta säädetty järjestelmä olisi stabiili. Piirretään Nyquistin diagrammi kullakin säätimen vahvistuksella. sys1=tf(6,[1 3 3 1]) sys2=tf(8,[1 3 3 1]) sys3=tf(1,[1 3 3 1]) nyquist(sys1)... Y ref (s) + _ E(s) G c (s) Säädin U(s) G(s) Prosessi Y(s)
Nyquistin stabiilisuuskriteeri, esimerkki Saadaan diagrammit K P :n arvolla 6 säädetty järjestelmä on stabiili, arvolla 8 marginaalisesti stabiili ja arvolla 1 epästabiili.
Stabiilisuuskriteeri Nyquistin stabiilisuuskriteeri voidaan yksinkertaisissa tapauksissa esittää myös Boden diagrammissa ja Nicholsin kartassa. Tällöin stabiilisuuskriteeri (erikoistapaus, avoimen silmukan siirtofunktiolla ei ole napoja oikeassa puolitasossa) saa muodon: Säädetty järjestelmä on stabiili, jos G ( j) 1 ( db), samalla taajuudella, jolla G ( j) 18 OL Tarkastellaan edellistä esimerkkiä. K P :n arvolla 1 säädetty järjestelmä on stabiili, arvolla 8 marginaalisesti stabiili ja arvolla 15 epästabiili. OL
Stabiilisuuskriteeri Jos piirretään Boden diagrammi ensimmäiselle esimerkille (avoimen silmukan siirtofunktiossa kaksi napaa oikeassa puolitasossa), niin saadut käyrät eivät kerro mitään stabiilisuudesta (eivätkä itse asiassa mitään avoimen silmukan amplitudisuhteesta tai muista värähtelyominaisuuksista. Säätämätön systeemi on epästabiili, joten sen vaste menee jatkuvuustilassa äärettömään.
Stabiilisuuskriteeri Tarkastellaan vielä stabiilisuuskriteeriä Nicholsin kartassa erikoistapauksessa, jossa avoimen silmukan siirtofunktiolla ei ollut napoja oikeassa puolitasossa. G ( j) 1 ( db), samalla taajuudella, jolla G ( j) 18 OL Ensimmäisessä kuvassa systeemi on stabiili, toisessa marginaalisesti stabiili ja kolmannessa epästabiili. Nicholsin kartassa säädetty järjestelmä on stabiili, jos avoimen silmukan siirtofunktio kiertää pisteen -1 ( db, -18º) oikealta puolelta (ylhäältä alas). OL
Vahvistus- ja vaihevarat Vahvistus- ja vaihevarat kertovat kuinka kaukana säädetty järjestelmä on epästabiilisuudesta ja kuinka paljon avoimen silmukan vahvistusta voidaan vielä kasvattaa ilman että säädetystä järjestelmästä tulee epästabiili. Sekä vahvistus- että vaihevarassa tutkitaan kuinka kaukana avoimen silmukan taajuusfunktio on kriittisestä pisteestä -1 (eli kuinka kaukana ollaan stabiilisuusrajoista) Vahvistusvarassa määritetään kuinka kaukana systeemin amplitudisuhde on kriittisestä amplitudisuhteesta 1 (eli db) - silloin kun napakulma saa kriittisen arvon -18º. Vaihevarassa määritetään kuinka kaukana systeemin napakulma on kriittisestä napakulmasta -18º - silloin kun amplitudisuhde saa kriittisen arvon 1 ( db). Vahvistus- ja vaihevarat voidaan määrittää Nyquistin diagrammista (tai erikoistapauksessa myös Boden diagrammista tai Nicholsin kartasta) Ehdollisesti stabiileilla järjestelmillä (useita peräkkäisiä stabiilisuuden ja epästabiilisuuden jaksoja eri vahvistuksen arvoilla) saadaan useita samanaikaisia vahvistus- ja vaihevaroja.
Vahvistus- ja vaihevarat Nyquistin diagrammissa vaihevarat saadaan yksikköympyrän ja Nyquistin diagrammin leikkauspisteistä ja vahvistusvarat negatiivisen reaaliakselin ja Nyquistin diagrammin leikkauspisteistä. Nyquistin diagrammi leikkaa negatiivisen reaaliakselin pisteessä -a Vahvistusvara on 1/a Negatiivisesta reaaliakselista on g:n suuruinen kulma Nyquistin diagrammin ja yksikköympyrän leikkauspisteeseen Vaihevara on g
Vahvistus- ja vaihevarat Boden diagrammissa vaihevarat saadaan etäisyyksinä kriittisestä taajuudesta ja vahvistusvarat etäisyyksinä kriittisestä vahvistuksesta Määritetään kulmataajuus, jolla vaihekäyrä leikkaa kriittisen napakulman -18º. ( G ) ja kulmataajuus, jolla vahvistuskäyrä leikkaa kriittisen vahvistuksen db ( P ) Vahvistusvara on db 2log 1 GOL ( j G ) db Vaihevara on l 18 G ( j ) OL P q
Vahvistus- ja vaihevarat Nicholsin kartassa vahvistus- ja vaihevarat saadaan etäisyyksinä kriittisestä pisteestä -1 ( db, 18º)
Vahvistus- ja vaihevarat MATLABissa MATLABissa vahvistus ja vaihevarat saadaan komennolla margin esim: sys=tf(2,[1 3 3 1]) Transfer function: 2 --------------------- s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1 [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys) Gm = 4.6 Pm = 67.658 Wcg = 1.7322 Wcp =.7663
Avoimen silmukan vahvistus Vahvistusvara kertoo kuinka paljon avoimen silmukan vahvistusta voi vielä kasvattaa ilman että säädetty järjestelmä muuttuisi epästabiiliksi. Miten avoimen silmukan vahvistuksen muuttaminen sitten vaikuttaa taajuusvasteeseen? Mikäli vahvistus säilyy samanmerkkisenä, napakulma pysyy ennallaan (tämän opintojakson puitteissa tarkastellaan lähinnä positiivista vahvistusta). Taajuusvasteen kertominen vakiolla K ei vaikuta mitenkään vaihe-eroon, mutta amplitudisuhde kasvaa K-kertaiseksi. Nyquistin diagrammissa jokainen diagrammin piste siirtyy K-kertaa kauemmas origosta Boden diagrammissa vahvistuskäyrä nousee 2lgK :n verran ylös (tai alas, jos K on ykköstä pienempi) Nicholsin kartassa taajuusvaste nousee 2lgK :n verran ylös (tai alas, jos K on ykköstä pienempi) Vahvistusvara kertoo suoraan kuinka monikertaiseksi vahvistusta voidaan kasvattaa.
Stabiilisuusrajat Palataan edelliseen esimerkkiin, jossa oli hankala epästabiili ja eiminimivaiheinen systeemi, jota säädettiin P-säätimellä. Esimerkissä todettiin, että säädetty järjestelmä on epästabiili K P :n arvoilla 1 ja 7, mutta stabiili arvolla 4. Määritetään nyt säädetyn järjestelmän stabiilisuusalue (K P :n suhteen). Kun piirretään avoimen silmukan siirtofunktion Nyquistin diagrammi K P :n arvolla 1, niin negatiivisen reaaliakselin leikkauspisteet ovat -.2 ja -.5 eli vastaavat vahvistusvarat ovat 1/.2 = 5 ja 1/.5 = 2. Nyquistin käyrä on saatava kiertämään piste -1 kahdesti vastapäivään, jotta säädetty järjestelmä olisi stabiili, joten vahvistus on kerrottava vähintään kaksinkertaiseksi, jotta päästään pisteeseen -1. Toisaalta, jos vahvistus kerrotaan yli viisinkertaiseksi, niin saadaan vain yksi kierros vastapäivään ja säädetystä järjestelmästä tulee jälleen epästabiili. Saadaan stabiilisuusrajat: 2 5 K P
Stabiilisuus taajuustasossa Edellinen esimerkki olisi voitu aivan yhtä hyvin ratkaista Routhin kaaviolla Voidaanko taajuustason stabiilisuusanalyysillä tehdä jotain, mihin Routhin kaavio ei taivu? Myöhemmillä opintojaksoilla tullaan tutustumaan Nyquistin stabiilisuuskriteerin modifikaatioihin, joita voidaan soveltaa esimerkiksi epälineaarisille ja monimuuttujasysteemeille (tämän opintojakson aihepiirin ulkopuolella). Taajuusvasteeseen perustuvalla stabiilisuustarkastelulla on se etu, että taajuusvaste voidaan määrittää tuntemattomasta systeemistä kokeellisesti. On yksi sovellusalue, jossa stabiilisuustarkastelu taajuusvasteen avulla vie voiton kaikista muista menetelmistä... viiveellisten säädettyjen järjestelmien analyysi.
Viiveellisen systeemin säätö Lähes kaikissa todellisissa systeemeissä on kuollutta aikaa, mutta usein se oletetaan merkityksettömäksi ja jätetään tarkastelun ulkopuolelle. On kuitenkin varsin selvää, että viiveellä on huomattava vaikutus säädetyn järjestelmän käyttäytymiseen ja erityisesti stabiilisuuteen Otetaan esimerkiksi auton ohjaaminen mutkaisella tiellä: Jos ratin kääntämisen seurauksena pyörät välittömästi kääntyvät, niin auton hallinta on helppoa ja tiellä voidaan edetä reipasta vauhtia. Entä jos ratin kääntämisen seurauksena pyörät kääntyisivät vasta kolmen sekunnin viiveellä? Suurilla nopeuksilla auto muuttuisi epästabiiliksi ja päätyisi ojaan, joten ainoa ratkaisu on madella eteenpäin hyvin hitaasti (tai käyttää kehittyneitä prediktiivisiä hallintastrategioita...). Tarkastellaan samaa läpivirtausprosessia, joka esiteltiin luennon alussa. Nyt ei tyydytä pelkästään suodattamaan häiriöitä vaan ne pyritään säätämään pois syöttämällä säiliöön erilaisia pitoisuuksia. Tutkitaan stabiilius ensin olettaen, että systeemi on viiveetön ja katsotaan, miten tilanne muuttuu jos ohjausvirtaus syötetään putken (tulppavirtaus) kautta jolloin systeemin tulee kuollutta aikaa.
Viiveellisen systeemin säätö Viiveetön systeemi: Viiveellinen systeemi: 1 G1 () s s 1 G2( s) Ts d e s 1 Viiveettömän systeemin säätö P-säätimellä: () s s Viiveetön järjestelmä on stabiili kaikilla positiivisilla K P :n arvoilla Viiveellinen systeemi: G TOT KP 1 K P Ts d Ke K 1 P P KP G2, OL () s G2, OL ( j) s1 j1 j1 T d j ( ) 1 1 G j K e j j T OL P d Ratkaistaan esim. Nyquistin diagrammilla MATLABissa (viive T d = 1, piirretään diagrammi K P :n arvolla 1)
Viiveellisen systeemin säätö sys=tf(1,[1 1]).4 Nyquist Diagram sys.inputdelay=1.2 w=logspace(-1,1,1)'; sys2=tf(1,[1 1]) nyquist(sys,sys2,w) Saadaan Nyquistin diagrammit: Imaginary Axis -.2 -.4 -.6 Viiveetön systeemi Viiveettömän järjestelmän vahvistusvara on ääretön Real Axis Viiveellisen järjestelmän vahvistusvara on 1/.4421 = 2.26 Eli viiveetön järjestelmä on stabiili kaikilla positiivisilla K P :n arvoilla ja viiveellinen järjestelmä on stabiili, kun K P < 2.26. Simuloidaan kumpaakin järjestelmää -.8 Viiveellinen systeemi -.5.5 1
Viiveellisen systeemin säätö Säädetyn, viiveellisen systeemin stabiisuus noudattaa Nyquistin kriteerillä määritetty stabiilisuusrajaa. 1.5 1.4.3 Kp =.4.5 Säätämättömät systeemit 5 1 15 2.2.1 5 1 15 2 4 3 2 Kp = 2 4 2 1 5 1 15 2 Kp = 2.3 5 1 15 2