MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi Harjoitustehtäviä, syksy 00. Määrää kompleksiluvun a) = 3 j + 3j, b) = j, + j c) = ( j)( j) itseisarvo ja argumentti.. Määrää sellaiset reaaliluvut x ja y, että 3 = 8j kun = x+jy. 3. Määrää kompleksiluvun ( j) (+j) 3 reaaliosa, imaginaariosa, itseisarvo ja argumentin pääarvo sekä esitä muodossa a + bj. 4. Määrää kompleksiluvun = 3 j itseisarvo ja argumentti sekä kirjoita napakoordinaattiesitys. 5. Olkoon = ( + j) ( j), missä =, = 3, Arg = π ja Arg = π. Laske :n itseisarvo ja argumentti Määrää Im ( j) +j. 7. Päättele w:n lausekkeesta mikä on kompleksiluvun w = reaaliosa. 8. Piirrä joukko Im. 9. Ratkaise yhtälö 4 = 8 j Osoita, että N e πjrk/n = N k=0 {, r = 0 0, r =,...,N.. Laske allaolevan piirin jännite. I(t)=I cos(wt) o R L

2 . Esitä kompleksiluku a) = 0 j 3+j, b) = 5 j +3j eksponenttimuodossa = re jϕ. 3. Laske ja piirrä systeemin amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste θ(ω) = argh(ω), kun impulssivaste on h(n) = {,,}. 4. Diskreetin LTI-systeemin impulssivaste on h(n) = u(n) missä u(n) on yksikköaskelfunktio { n! 0, n < 0 u(n) =, n 0. Laske systeemin siirtofunktio ja taajuusvastefunktio. Mieti, mikä mahtaisi olla taajuusvasteen logaritmin itseisarvo log H(ω). (Kompleksinen logaritmi määritellään myöhemmin) 5. Laske ja piirrä amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste θ(ω) = argh(ω) suodattimelle, joka määritellään differenssiyhtälöllä y(n) = 4 x(n)+ 4 x(n )+ 4 x(n ), missä x(n) on heräte ja y(n) on vaste. Kirjoita taajuusvastefunktiolle H(ω) esitys H(ω) = R(ω)e jφ(ω), missä R(ω) ja φ(ω) ovat reaalisia. 6. Laske ja piirrä amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste θ(ω) = argh(ω) suodattimelle, joka määritellään differenssiyhtälöllä y(n) = x(n)+ x(n ) x(n 3) x(n 4), missä x(n) on heräte ja y(n) on vaste. Kirjoita taajuusvastefunktiolle H(ω) esitys H(ω) = R(ω)e jφ(ω), missä R(ω) ja φ(ω) ovat reaalisia. 7. Miksi käyräksi kompleksifunktio f() = + cosh kuvaa imaginaariakselin x = 0? Piirrä ko. käyrän kuvaaja. 8. Miksi käyräksi kompleksifunktio f() = + kuvaa a) suoran y = x, b) yksikköympyrän =? 9. Miksi käyräksi kompleksifunktio f() = sin+ π kuvaa imaginaariakselin suuntaisen suoran x = π? 0. Ratkaise yhtälö e j = +j 3.. Ratkaise yhtälö e +4e +8 = 0.. Määrää kaikki arvot ja pääarvo luvuille a) log(+ 3j), b) ( j) j, c) j

3 3. Määrää yhtälön cos = j ratkaisut. 4. Pitääkö väite a) e = e, b) sin = sin, c) tan = tan, d) f() = f(), kun f() = e j, paikkansa? 5. Tutki miksi käyriksi cos kuvaa reaaliakselin suuntaiset suorat y = y 0 0 ja miksi käyriksi kuvautuvat imaginaariakselin suuntaiset suorat x = x Laske raja-arvot a) lim +j b) lim. 0 ++, j 7. Tutki jonojen a) (+j) n n, b) (+j) n n n suppenemista. 8. Tutki seuraavien funktioiden paikallista käyttäytymistä annetussa pisteessä (laske derivaatta f ( 0 ) ja määrää kiertokulma ja venytyskerroin). a) f() = 4 4, 0 = j, b) f() = ++3 +, 0 = +j. 9. Mitkä seuraavista funktioista ovat analyyttisiä kompleksitasossa? Laske derivaatta annetussa pisteessä, jos se on olemassa, ja esitä geometrinen tulkinta arvolle f ( 0 ). a) f() = f(x+jy) = x y +x+j(xy +y), 0 = j, b) f() =, 0 =, c) f() = x +y 4y +j(4x y) 30. Määrää kaikki analyyttiset funktiot f(), joiden reaaliosa onref() = x 3 3xy +x. 3. Tarkastele analyyttistä funktiota f() = = u + jv. Määrää u:n ja v:n tasaarvokäyrät u(x,y) = ja v(x,y) =. 3. Määrää käyräparven x 3 y xy 3 = c kohtisuorat leikkaajat. 33. Laske ( )n cos(nθ). n=0 34. Määrää seuraavien sarjojen suppenemissäteet ja suppenemisalueet: a) n=0 n n +4 b) Laske seuraavat käyräintegraalit 35. n= e jnπ n n. d, kun on ympyrän = kaari pisteestä = j pisteeseen = j a) vastapäivään, b) myötäpäivään.

4 36. y d, kun on ympyrän = 3 kehän yksi kierros positiiviseen suuntaan. 37. Laske integraali d pitkin käyrää =, missä : (t) = t+j, 0 t : (s) = +sj, s 38. Laske käyräintegraali d kun on paraabelin osa (t) = t+jt, 0 t. 39. Laske integraalifunktion avulla cosh d, missä on origokeskisen ellipsin kaari pisteestä = j pisteeseen = j vastapäivään. Anna vastaus muodossa a+bj. 40. Laske f()d, kun f() = f(x+jy) = y +jx 3 ja on paraabelin (t) = t jt kaari pisteestä = 0 pisteeseen = 4j. 4. Laske =4 d +9 (yksi kierros positiiviseen suuntaan). 4. Laske (yksi kierros positiiviseen suuntaan) j +4sin 4 +3 d. Anna vastaus muodossa a+bj. = Laske seuraavat integraalit e 43. d, on positiivisesti suunnistettu yksikköneliön kehä (kärkipisteinä j, j,+j, +j). cosh d, on positiivisesti suunnistettu yksikköympyrän = kehä. 3 e sin π d, on positiivisesti suunnistettu ympyrän = kehä. 46. Määrää funktion e j ääriarvot ja ääriarvokohdat yksikkökiekossa.

5 Määrää seuraavien funktioiden Laurent in kehitelmät pisteen 0 = 0 suhteen. 47. (+) sinh 50. Määrää funktion f() = 3 5. Määrää funktion f() = ( )( +) Laurent in sarja alueessa { < < 3}. Laurent in sarja alueessa < <. 5. Määrää funktion f() = +j Laurent in kehitelmä pisteen a) 0 = j, b) 0 = 3 suhteen. 53. Diskreetin kausaalisen LTI-systeemin siirtofunktio on H() =, > Määrää systeemin impulssivaste h(k) Laurentin kehitelmän avulla. 54. Määrää funktion = = 57. Laske sin d =? ( +4) d =? 4 +4 ( +) ( +4) navat ja residyt niissä. d, missä on ympyrän = kaari pisteestä pisteeseen ja 4 +4 x-akseli pisteestä pisteeseen. 58. Laske residylaskun avulla x x 4 +4 dx. 59. Laske residylaskun avulla analogisen suodattimen H(f), jolle H(f) = 6 f 4 +7f +6, ekvivalentti kaistanleveys W eq = 6 f 4 +7f +6 df.

6 60. Laske residylaskun avulla P = x x 4 +6x +64 dx. P on sellaisen satunnaissignaalin keskimääräinen teho, jonka tehotiheysspektri on f S(f) =. f 4 +6f +64 cos 6. Laske d (yksi kierros positiiviseen suuntaan). sin =4 6. Osoita, että funktion navat ovat alueessa <. 63. Määrää Möbiusmuunnos (bilineaarikuvaus), joka kuvaa alemman puolitason A = { Im 0} yksikkökiekoksi B = { }. 64. Määrää Möbius-muunnos, joka kuvaa puolitason A = { Im Re } kiekoksi B = { +j } eli ympyrän x +(y +) = kehäksi ja sisäalueeksi. 65. Lineaarista aikainvarianttia kausaalista nolla-alkutilaehtoista systeemiä kuvaa differenssiyhtälö y(n) = 5 4 y(n ) 3 8 y(n )+x(n )+x(n ). Määrää systeemin siirtofunktio ja tutki, onko systeemi stabiili. 66. Diskreetin kausaalisen LTI-systeemin siirtofunktio on H() =. 6 6 Määrää impulssivaste h(k) kompleksisen käyräintegraalin avulla. 67. Diskreetin kausaalisen LTI-systeemin siirtofunktio on + H() = , > Määrää systeemin impulssivaste h(k) kompleksisen käyräintegraalin avulla. Tutki ovatko seuraavat systeemit stabiileja. Ennen stabiilisuuden tutkimista tarkista että osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä H() = H() = H() = Tutki onko B() = Schurin polynomi ja jos on, laske vastaava aito Hurwitin polynomi käyttämällä bilineaarikuvausta = (s + )/(s ). 7. Diskreetin kausaalisen LTI-systeemin siirtofunktio on H() = Tutki, onko systeemi stabiili.