Scanned by CamScanner
ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä käytetty väliaineimpedanssi, joka taas on riippuvainen aineen materiaaliparametreista. Ominaisimpedanssi on siirtojohdolla etenevän jännite- ja virtaaallon suhde: Z = V + /I + ja sen avulla voi laskea siirtojohdossa etenevän tehon V + 2 /(2Z ). (b) Johtavuus voidaan ottaa huomioon yleistämällä aineen permittiivisyys kompleksiluvuksi (ks. luento 8): ε c = ε j ε = ε j σ ω Ideaalieristeessä imaginaariosa häviää, ja aine on sitä parempi eriste, mitä pienempi imaginaariosa on reaaliosaan verrattuna. Jos on annettu kiinteä johtavuuden arvo σ, on aine hyvä eriste riittävän suurilla taajuuksilla (koska ω on imaginaariosan nimittäjässä.) Oppikirjan nyrkkisääntö antaa hyvälle eristeelle ehdon ε < ε /1, eli kulmataajuuden olisi oltava suurempi kuin 1ε/σ. (c) Tarkastellaan aikariippuvaa sähkökenttävektoria: { } E(t) = Re (ˆx ŷ)e (2 + j )e j kz e j ωt = (ˆx ŷ)e [2cos(ωt kz) sin(ωt kz)] Toisin sanoen kyseessä on lineaarinen polarisaatio (sähkökenttävektori värähtelee edestakaisin x y-tasossa 45 asteen kulmassa akseleihin nähden.) Kätisyydestä ei voi puhua. (Tässä oletettiin E reaaliseksi, mutta sen mahdollinen kompleksisuus ei vaikuta millään tavalla polarisaatioon.) (d) Ei mitenkään. Kokonaisheijastuksen rajakulma määräytyy materiaaliparametrien kontrastista rajapinnalla. Kokonaisheijastus tapahtuu, kun aine tulee taitekertoimeltaan suuremmasta aineesta (1) pienempään (2) riittävän loivassa kulmassa. Rajakulma θ c vastaa tapausta, jossa Snellin laki ennustaa taitekulmaksi 9, eli ε2 µ 2 θ c = arcsin ε1 µ 1 (e) Katkotaajuus f c on olennainen käsite aaltoputkissa, joissa matalataajuiset kentät eivät voi edetä. Katkotaajuus on tietylle aaltomuodolle ominainen taajuus: se rajataajuus, jota pienemmät taajuudet hiipuvat putkessa, mutta jota suuremmat taajuudet etenevät ja kuljettavat tehoa. Katkotaajuuden yläpuolella etenemiskerroin β riippuu epälineaarisesti värähtelytaajuudesta ω ja katkoaaltoluvusta k c : β = k 2 kc 2 = ω 2 µε (2πf c ) 2 µε (f) Määritelmän mukaan antennin säteilytehon ja lähetystehon suhde on säteilyhyötysuhde. Siksi 8 prosentin säteilyhyötysuhteella saadaan 1 watin lähetystehosta säteilemään 8 wattia. (Vahvistus G ei vaikuta tähän laskelmaan.) 5. Heijastuskertoimet ovat yhdensuuntais- ja kohtisuorapolarisaatioille: Γ = η 2 cosθ t η 1 cosθ i η 2 cosθ t + η 1 cosθ i, Γ = η 2/cosθ t η 1 /cosθ i η 2 /cosθ t + η 1 /cosθ i Tulokulma on θ i ja läpäisykulma θ t saadaan Snellin laista n 1 sinθ i = n 2 sinθ t
missä n 1 = ε r1 µ r1 = 1 ja n 2 = ε r2 µ r2 = 2. Koska θ i = 45, saadaan θ t 2,. Ja sen kosini (jota tarvitaan heijastuskertoimissa) Nyt on cosθ t = ( ) 1 2 ( ) 1 2 1 sin 2 θ t = 1 2 sinθ i = 1 2 sin45 = 1 1 8 = 8 η 1 = µ1 µ µ2 2µ µ =, η 2 = = = ε 1 ε ε 2 2ε ε joten η 2 = η 1 ja heijastuskertoimet yksinkertaistuvat. (a) Γ = cosθ t cosθ i cosθ t + cosθ i = = 1 3 ( 11 4 ),139 8 1 2 = 8 + 1 2 4 + 4 = ( 2 2 ( + 2)( 2) = + 4 4 4 (b) Γ = 1/cosθ t 1/cosθ i = cosθ i cosθ t = Γ = 1 ( 11 + 4 ),139 1/cosθ t + 1/cosθ i cosθ i + cosθ t 3 (c) Tuleva aalto on ympyräpolarisoitunut, joten sen sähkökentän kaksi kohtisuoraa komponenttia ovat yhtäsuuret ja 9 asteen vaihesiirrossa. Heijastuksen jälkeen komponenttien amplitudit ovat yhä yhtäsuuret (koska Γ = Γ ) ja heijastunut aalto on yhä ympyräpolarisoitunut, mutta koska heijastuskertoimet ovat erimerkkiset, on toisen komponentin suunta vaihtunut. Siksi pyörimissuunta vaihtuu heijastuksessa. Mutta koska samalla aallon etenemissuunta vaihtuu, kätisyys säilyy. Eli heijastunut aalto on oikeakätisesti ympyräpolarisoitunut. 6. TE 1 -aaltomuodon sähkökenttäosoitin on (a) Faradayn laista Ẽ = j ωµ H saadaan Ẽ = ŷe sin βz e j a H = 1 j ωµ Ẽ = j Ẽ = j ( ) = j = ẑ j πe a ẑ Ẽ y x ˆx Ẽ y z ˆx ŷ ẑ x z Ẽ y cos a e j βz ˆx βe βz sin e j a
(b) 1 2Ẽ H = 1 2ŷE sin = 1 2 [ ˆx j π E 2 a = ˆx j π E 2 2a [ a e j βz ẑ j πe a sin cos a a + ẑ β E 2 cos a e+j βz ˆx βe ] sin2 a sin cos a a + ẑ β E 2 sin2 2 a sin a ] βz e+j (c) Vektorilauseke 1 2Ẽ H sisältää siis kaksi komponenttia x- ja z-suuntaiset. Näistä z-suuntainen komponentti kertoo etenevästä tehotiheyden, koska se on reaalinen ja keskimääräinen etenevä tehotiheys on ko. vektorin reaaliosa. (Huomaa myös, että x-suuntainen ristitulon komponentti on puhtaasti imaginaarinen, joten senkään takia se ei osallistu tehon kuljetukseen.) Keskimääräinen etenevä teho (+z-suuntaan) saadaan integroimalla aaltoputken poikkipinnan yli: P = 1 2 Re { = βb E 2 2 } Ẽ H ẑ ds = 1 2 s a sin 2 a dx } {{ } a/2 a b β E 2 sin2 dy dx a = ab 4 β E 2 = ab 4 β ωµ E 2