ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

Transkriptio

1 ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviiko 7 / versio 26. lokakuuta 2016

2 Aallot ja osoittimet (Ulaby, ) Etenevät (sinimuotoiset) aallot Osoittimet ja notaatiovertailu Piirianalyysiin Siitojohtojen kertaus (Ulaby, luku 2) Siirtojohto taajuustasossa Piirimallista yleiseen ratkaisuun Häviötön TEM-siirtojohto Heijastuskerroin ja seisovat aallot Sisäänmenoimpedanssi Tehon eteneminen Impedanssisovitus 2 (27)

3 Aallot ja osoittimet Ulaby

4 Etenevät aallot Etenevä aalto siirtää energiaa ja sillä on tietty nopeus. Esim: y y u u p x x Transienttiaalto (pulssi) hetkellä t = 0 Jatkuva periodinen aalto (siniaalto) hetkellä t = 0 Lisäksi sähkömagneettiset (ja akustiset) aallot ovat lineaarisia. 4 (27)

5 Yksinkertainen prototyyppiaalto y(x, t) = A cos (ωt βx) y hetkellä t = 0 y paikassa x = 0 A λ x A T t A = amplitudi ω = 2πf = kulmataajuus, f = taajuus = 1/T = 1/jakso β = 2π λ = vaihekerroin, λ = aallonpituus Aalto etenee +x-suuntaan vaihenopeudella u p = ω/β (miksi?) 5 (27)

6 Vaimeneva aalto Yleisempi +x-suuntaan etenevä aalto: y(x, t) = A e αx cos (ωt βx + φ 0 ) α = vaimennuskerroin, φ 0 = referenssivaihe Esim: y A e αx (t = 0, φ 0 = 0) x A e αx 6 (27)

7 Sähkömagneettinen spektri 100% Atmosphere opaque Atmospheric opacity Optical window Infrared windows Radio window Ionosphere opaque 0 X-rays Medical diagnosis Gamma rays Ultraviolet Cancer therapy Sterilization Visible Infrared Heating, night vision Radio spectrum Communication, radar, radio and TV broadcasting, radio astronomy 1 fm 1 pm 1 Å 1 nm mm 1 mm 1 m 1 km 1 Mm EHz 1 PHz 1 THz 1 GHz 1 MHz 1 khz 1 Hz Wavelength (m) Frequency (Hz) Figure 1-16 The electromagnetic spectrum. (Ulaby & Ravaioli, 2015) Huom: 10 6 m = 1 µm Vapaan tilan aallonpituus λ = c/f, esim: λ = 1 m f = 300 MHz, f = 1 GHz λ = 30 cm. 7 (27)

8 Sähkömagneettinen spektri [Hz] Käyttö vielä jakamatta GHz 100 GHz 200 GHz 300 GHz FWA RLAN WLAN MVV 3500 FWA GHz 10 GHz 20 GHz 30 GHz Virve PMR GSM1800 DECT UMTS MVV 2500 RLAN MVV GSM GPS Sat. UMTS WLAN Televisio nav Blue- Tuulikeilaimet Tooth R 300 MHz 1 GHz 2 GHz 3 GHz a d 10 9 i o 10 8 s PMR PMR p FM-radio HD Televisio e 10 7 RHA68 k t MHz 100 MHz 200 MHz 300 MHz r i Ei allokoitu LA PR-27 CB khz 30 khz 300 khz 3 MHz 30 MHz Siirtyvä liikenne Kiinteä satelliittiliikenne Radionavigointisatelliittiliikenne VLF (Very Low Frequency) VHF (Very High Frequency) LF (Low Frequency) UHF (Ultra High Frequency) Siirtyvä meriradioliikenne Siirtyvä satelliittiliikenne Merenkulun radionavigointi MF (Medium Frequency) SHF (Super High Frequency) HF (High Frequency) EHF (Extremely High Frequency) Siirtyvä ilmailuradioliikenne Yleisradiosatelliittiliikenne Ilmailun radionavigointi Siirtyvä maaradioliikenne Ilmatieteen satelliittiliikenne Radionavigointi Yleisradioliikenne Kaukokartoitussatelliittiliikenne Radiopaikannus Huomautus: Kuvassa esitetty taajuuksien jako eri liikennelajeille ja käyttötavat antavat ainoastaan yleiskuvan taajuuksien Radioamatööriliikenne Satelliittien ohjausliikenne Avaruustutkimus käytöstä. Tarkemmat tiedot selviävät Viestintäviraston määräyksestä 4 ja sen liitteenä olevasta taajuusjakotaulukosta. Viestintävirasto, Radioastronomia Satelliittien välinen liikenne Kiinteä liikenne Radiotaajuuksien käyttö Suomessa Radiotaajuuksien käyttö EHF SHF UHF VHF FWA Viestintävirasto, attachments/radiotaajuuksien_ kaytto.pdf VLF LF MF HF Kiinnostuneille tarkemmat tiedot: Viestintäviraston radiotaajuusmääräys 4 ja sen liitteenä oleva taajuusjakotaulukko (9 khz 400 GHz), päivitetty : taajuusjakotaulukko.html 8 (27)

9 Osoittimet Osoitin = kompleksiluku/-vektori, jolla esitetään sinimuotoinen aikariippuvuus. Esim. jännite, virta-aalto ja sähkökenttä: v(t) = V 0 cos(ωt + φ 0 ) Ṽ = V 0 e jφ 0 = V 0 φ 0 i(x, t) = I 0 cos(ωt βx) Ĩ(x) = I 0 e jβx E(z, t) = ˆx E 0 cos(ωt kz) Ẽ(z) = ˆx E 0 e jkz Määritelmä { f (t) = Re F e +jωt} Osoittimien päälle merkitään aina mato. Käsin kirjoitettuna esim: Ẽ. (Aika- ja paikkariippuvuus jätetään usein merkitsemättä. Isojen ja pienten kirjainten osalta merkintätapa vaihtelee hieman.) 9 (27)

10 Osoittimet Määritelmästa f (t) = Re { F e +jωt} seuraa esim: A cos(ωt) A B sin(ωt) jb t f (t) jω F f (t) dt 1 jω F 2 t 2 f (t) ω2 F missä A ja B ovat reaalisia ja ajasta riippumattomia. 10 (27)

11 Notaatiovertailu Jännitesignaali piirianalyysissa ja kenttäteoriassa Piirianalyysin osoittimissa käytetään sinireferenssiä ja tehollisarvoja: u(t) = û sin(ωt + ϕ) ˆ= U = û 2 ϕ û = huippuarvo! Tällä kurssilla käytämme kosinireferenssiä ja huippuarvoja: v(t) = V 0 cos(ωt + φ 0 ) Ṽ = V 0 φ 0 ( V 0 sin(ωt + φ 0 ) V 0 φ 0 90 = jv 0 φ 0 ) 11 (27)

12 Notaatiovertailu (jatkoa) Piirianalyysiin verrattuna: Osoitin aikasignaali -muunnokset ovat hieman erilaiset. Teholausekkeisiimme lisätään kerroin 1/2, koska käytämme huippuarvoja. Muuten kaikki piirianalyysissa opittu toimii sellaisenaan. 12 (27)

13 Siirtojohtojen kertaus Ulaby 2.x

14 Siirtojohtoesimerkkejä oppikirjasta Metal 2b 2a Dielectric spacing (a) Coaxial line Metal w d h D Dielectric spacing Dielectric spacing (b) Two-wire line (c) Parallel-plate line Metal Metal strip conductor w Metal Dielectric spacing (d) Strip line h Metal ground plane Dielectric spacing (e) Microstrip line TEM Transmission Lines Metal ground plane Dielectric spacing (f) Coplanar waveguide Metal Concentric dielectric layers (g) Rectangular waveguide (h) Optical fiber Higher-Order Transmission Lines Figure 2-4 A few examples of transverse electromagnetic (TEM) and higher-order transmission lines. (Ulaby & Ravaioli, 2015)

15 Siirtojohdon malli taajuustasossa Z g Ĩ(z) + Ṽ g Ṽ (z) Z 0, γ Z L generaattori siirtojohto kuorma l 0 z Z 0 = ominaisimpedanssi, γ = (kompleksinen) etenemiskerroin Pituus l ei ole häviävän pieni aallonpituuteen verrattuna. Huomaa jännitteen ja virran referenssisuunnat. 15 (27)

16 Siirtojohdonpätkän piirimalli taajuustasossa Oletetaan sinimuotoinen heräte ja käytetään osoittimia Ĩ Z dz Ĩ + dĩ Z = R + jωl = sarjaimpedanssi pituusyksikköä kohti Ṽ z Y dz z + dz Ṽ + dṽ Y = G + jωc = rinnakkaisadmittanssi pituusyksikköä kohti lennätinyhtälöt aaltoyhtälöt dṽ dz = Z Ĩ dĩ dz = Y Ṽ ( ) (Ṽ ) d 2 dz 2 γ2 = 0 γ 2 = Z Y Ĩ yleinen ratkaisu muotoa e ±γz 16 (27)

17 Kompleksinen etenemiskerroin γ Merkitään γ = α + jβ ja oletetaan, että α, β 0. Tällöin jänniteaalto Ṽ = V 0 e γz = V 0 e }{{ αz e }} jβz {{} amplitudi vaihe kuvaa +z-suuntaan etenevää ja vaimenevaa aaltoa. α = vaimennuskerroin β = vaihekerroin [α] = Np/m [β] = rad/m Huom: Kun α = 0 käytetään usein myös nimitystä β = (reaalinen) etenemiskerroin. 17 (27)

18 Yleinen sinimuotoinen ratkaisu siirtojohdossa Aaltoyhtälöiden yleinen ratkaisu jännite- ja virtaosoittimille on Kertoimet V ± 0, I± 0 joten dṽ dz = Z Ĩ dĩ dz = Y Ṽ Ṽ (z) = V + 0 e γz + V 0 e+γz, Ĩ(z) = I + 0 e γz + I 0 e+γz. eivät kuitenkaan ole riippumattomia V + 0 I + 0 = V 0 I 0 = Ĩ(z) = V + 0 Z 0 e γz V 0 Z 0 e +γz. Z Y = Z 0, Huomaa miinusmerkki! 18 (27)

19 Aallot häviöttömässä TEM-siirtojohdossa Häviötön α = 0, TEM L C = εµ Ṽ (z) Ĩ(z) Z 0, β β = ω L C = ω µε L Z 0 = C u p = ω β λ = 2π β Yleinen ratkaisu koostuu tulevasta (+) ja palaavasta ( ) aallosta Ṽ (z) = V + 0 e jβz + V 0 e+jβz, Ĩ(z) = V + 0 Z 0 e jβz V 0 Z 0 e +jβz. Tulevan ja palaavan aallon kompleksiset amplitudikertoimet V 0 + ja V0 määräytyvät generaattorin ja kuorman perusteella. (Kaksi kerrointa ja kaksi reunaehtoa.) 19 (27)

20 Heijastuskerroin Γ Z 0 Γ 0 Z L z Notaatiosta: Γ on (jännitteen) heijastuskerroin kuorman kohdalla (z = 0), ellei toisin selvästi mainita. Kuormaimpedanssi toimii reunaehtona kohdassa z = 0: Z L = Ṽ (0) Ĩ(0) = + V 0 + V 0 ( V + 0 V 0 ) /Z 0 Ratkaisemalla V 0 /V + 0 saadaan heijastuskerroin Γ = Z L Z 0 Z L + Z 0 = V 0 V + 0 = I 0 I (27)

21 Seisovat aallot Tuleva ja heijastunut aalto yhdessä muodostavat seisovan aallon (kun Γ 0): Ṽ Seisovan aallon suhde λ/2 V max S = V max = 1 + Γ V min 1 Γ d Ĩ I min I min λ λ/2 d min λ/4 d max 0 V 0 V min Jännitemaksimi vastaa virtaminimiä ja päinvastoin. (d = z on etäisyys kuormasta) 21 (27)

22 Seisovat aallot: minimien ja maksimien paikat Merkitään Γ = Γ e jθ r ja kirjoitetaan jänniteosoitin kuormasta mitatun etäisyyden d = z funktiona [ ] Ṽ (d) = V 0 + ejβd + V0 e jβd = V 0 + e jβd + Γ e j(θ r βd). Jänniteosoittimen itseisarvon maksimin paikka d max löytyy kun tuleva ja heijastunut aalto on samassa vaiheessa: βd max = θ r βd max + n2π d max = θ rλ 4π + nλ 2, n = 0, 1, 2,... θ r 0 n = 1, 2,... θ r < 0 Minimin paikka d min löytyy vastaavasti kun aaltojen vaihe-ero on ±π, ±3π,... d min = d max ± λ (27)

23 Sisäänmenoimpedanssi Z in Z in Z 0, β Z L Z in l 0 z Yleisen ratkaisun ja Γ = V 0 /V + 0 avulla saadaan Z in = Ṽ ( l) Ĩ( l) = V + 0 e jβ( l) + V0 e+jβ( l) V 0 + Z 0 e jβ( l) V 0 = Z 0 e +jβ( l) joka sievenee Piirianalyysi II:sta tuttuun muotoon: Z in = Z 0 Z L + jz 0 tan(βl) Z 0 + jz L tan(βl) e +jβl + Γ e jβl e +jβl Γ e jβl Z 0, 23 (27)

24 Tärkeitä erikoistapauksia Oikosuljettu johto (Z L = 0) Avoin johto (Z L = ) Z in = Z 0 Z L + jz 0 tan(βl) Z 0 + jz L tan(βl) Z in = jz 0 tan(βl) Z in = jz 0 cot(βl) Lyhyt (l < λ/4) oikosuljettu johto on induktiivinen kuorma ja avoin on kapasitiivinen. Neljännesaaltomuuntaja (l = λ/4 βl = π/2) Z in = Z2 0 Z L 24 (27)

25 Tehon eteneminen Hetkellinen teho joka siirtyy +z-suuntaan siirtojohdossa on P(z, t) = v(z, t)i(z, t) = Re [Ṽ (z)e jωt ] Re [Ĩ(z)e jωt ]. Kompleksiluvun reaaliosa saadaan ovelasti kompleksikonjugoinnin avulla, Re [γ] = 1 2 [γ + γ ], joten P(z, t) = 1 [Ṽ e jωt + Ṽ e jωt] 1 [Ĩe jωt + Ĩ e jωt] 2 2 = 1 [Ṽ Ĩ + Ṽ Ĩ] + 1 [Ṽ Ĩe j2ωt + Ṽ Ĩ e j2ωt] 4 4 = 1 [Ṽ 2 Re Ĩ ] + 1 [Ṽ }{{} 2 Re Ĩe j2ωt]. }{{} ajasta riippumaton tuplataajuus Tämän tehon aikakeskiarvo on siis P av = 1 2 Re [Ṽ Ĩ ]

26 Keskimääräinen etenevä teho johdossa Sijottamalla jännite- ja virtaosoittimet Ṽ = V + 0 saadaan: ( e jβz + Γ e +jβz), Ĩ = V + 0 Z 0 ( e jβz Γ e +jβz), P av = 1 [Ṽ 2 Re Ĩ ] = 1 [Ṽ Ĩ + Ṽ Ĩ] 4 V [( = e jβz + Γ e +jβz) ( e +jβz Γ e jβz) 4Z 0 (e +jβz + Γ e jβz) ( e jβz Γ e +jβz)] = V [ 2Z 0 + V Γ 2] = Γ 2 2Z }{{ 0 } tuleva Tehon heijastuskerroin on siis Γ 2. V Z }{{ 0 } heijastunut

27 Impedanssisovitus Idea on hyvin yksinkertainen Heijastuskerroin Γ = 0 jos ja vain jos Z L = Z 0. Ellei näin ole, lisätään väliin sovituspiiri, joka voi sisältää sekä siirtojohtoja että (häviöttömiä) keskitettyjä komponentteja. (Vastaavasti generaattori on sovitettu siirtojohtoon jos ja vain jos Z g = Z 0.) 27 (27)