1. Käyrän kierrosluvust Kompleksinlyysin tärkeimpiä tuloksi on pri Cuchyn luse j Cuchyn integrlikv. Näistä jälkimmäinen on seurv (useimmt käsitteet knntt nyt sivuutt; vin kierrosluku on tärkeä): Olkoot f lueess A C holomorfinen (ti nlyyttinen) funktio, : I A lueen A nollhomologinen polku j z 0 A \ (I). Tällöin missä 1 2πi f(z) z z 0 dz = W (, z 0 ) f(z 0 ), W (, z 0 ) := 1 2πi dz z z 0 on polun kierrosluku pisteen z 0 suhteen. Ks. [10, luku IV, 2]. Tässä esiintyvä kompleksinen käyräintegrli on helposti plutettviss relisiksi käyräintegrleiksi (poimimll reli- j imginrios). Useimmiss kompleksinlyysin esityksissä polun kierrosluvun käsittely jää (kompleksi-)nlyyttiseksi eikä kierrosluvun hyvin yksinkertinen (relinen) geometrinen puoli s pljo snn sij. Seurvss on trkoitus trttu kierrosluvun tähän puoleen j selvittää, miten se voidn lske geometrisesti. 1.1. Eksktit differentilimuodot. Avoimen joukon G R n x jtkuv differentilimuoto ω = f 1 (x) dx 1 + + f n (x) dx n on ekskti joukoss G, jos on olemss C 1 -funktio u: G R siten, että j u = f j, 1 j n, t.s. jos du = ω. Tälle yhtäpitävää on, että u = (f 1,..., f n ). 2 Välttämätön ehto C 1 -differentilimuodon ω eksktiudelle on seurv osittisderivttehto: j f k = k f j, 1 j, k n (ks. [2, luse 1.3.4]). Ekstille differentilimuodolle ω j joukon G C 1 -polulle on ω = u((b)) u(()), kun funktiolle u on du = ω j polun määrittelyväli on [, b]. Nimittäin, funktion u derivtt on ketjusäännön nojll du((t))( (t)) = ω((t); (t)). Siis ω = b (u ) (t) dt = b (u )(t). Erityisesti siis jokiselle joukon G umpiniselle C1 -polulle (jolle (b) = ()) on ω = 0. 1.2. Npkoordinttikuvuksen kulmfunktio. Tson origon komplementiss R 2 \ {(0, 0)} määritelty differentilimuoto ω := y dx + x dy x 2 + y 2 1 Viimeksi muutettu 30.3.2016. 2 Tämä vektorimuotoinen ehto trkoitt, että funktio u on vektorikentän (f 1,..., f n ) potentili. Differentilimuodoille nimitystä ei käytetä, kosk ylempisteisen eksktin differentilimuodon potentili vstv olio ei ole relirvoinen funktio, vn stett lempi differentilimuoto. Vektorikentille ts nimityksen ekskti vstinett ei ole, ellei sitä lint kolmiulotteisest tpuksest: vektorikenttä f on pyörteetön, jos rot f = f = 0. 1
j sitä vstv vektorikenttä f = (f 1, f 2 ), ( y f(x, y) := x 2 + y, x ), 2 x 2 + y 2 toteuttvt integroituvuusehdon 2 f 1 = 1 f 2 (tote suorll lskull), mutt differentilimuoto ω ei ole ekskti (eli vektorikentällä f ei ole potentili) lueess R 2 \{(0, 0)} (tote tämä lskemll ω, kun (t) := (cos t, sin t), 0 t 2π). Mutt jos tsost jätetään pois negtiivinen x-kseli X := {(x, y) R 2 y = 0, x 0}, on differentilimuoto ω ekskti lueess A := R 2 \ X (eli vektorikentällä f on potentili joukoss A). Joukko A on nimittäin tähtimäinen minkä thns positiivisell x-kselill sijitsevn pisteen suhteen. (Ks. [2, luse 1.3.4/huomutus]). Vektorikentän f potentilill θ on selkeä geometrinen merkitys: lueess A funktio θ on npkoordinttikuvuksen käänteiskuvuksen (x, y) (r, θ) kulmfunktio. Tämä nähdään helpoiten seurvsti: Alueess A = R 2 \X pisteen (x, y) kulmfunktio θ = θ(x, y) on jtkuvsti differentioituv j kulm θ määräytyy yksikäsitteisesti ehdoist (r cos θ, r sin θ) = (x, y), r = x 2 + y 2 j π < θ < π. Differentioimll npkoordintit määrittelevät yhtälöt x = r cos θ, y = r sin θ, puolittin sdn jost dx = dr cos θ r sin θ dθ, dy = dr sin θ + r cos θ dθ, y dx + x dy = r sin θ (dr cos θ r sin θ dθ) + r cos θ (dr sin θ + r cos θ dθ) = r 2 dθ. (Näissä lskuiss r j θ tulkitn muuttujien x j y funktioiksi sekä x j y xy-tson koordinttikuvuksiksi, x(, b) = j y(, b) = b. Smn tulokseen päästäisiin tietysti myös lskemll yhtälöistä puolittin osittisderivtt x j y j rtkisemll sduist yhtälöistä x θ j y θ.) Kosk r 2 = x 2 + y 2, lueess A on voimss ω = y dx + x dy x 2 + y 2 = dθ eli θ = f. 1.3. Origon kiertäminen. Olkoon : I = [, b] R 2 \ {(0, 0)} ploittin sileä polku. Jos polun käyrä sijitsee lueess A, (I) A, on f d s = ω = dθ = θ((b)) θ(()). Alueen A polulle, jollinen ei siis leikk negtiivist x-kseli, käyräintegrli ω nt polun päätepisteisiin piirrettyjen säteiden välisen kulmn. Mitä tphtuu, jos käyrä (I) leikk negtiivisen x-kselin? Differentilimuodon ω luseekkeen nojll integrli ω on olemss jokiselle ploittin jtkuvsti differentioituvlle polulle, jok ei kulje origon kutt. Oletetn luksi, että polku on sileä j käyrä (I) leikk negtiivisen x-kselin täsmälleen kerrn. Leikkuspiste olkoon p 1 = (t 1 ), < t 1 < b. Jetn integrointiväli 2
osiin [, t 1 ] j [t 1, b] j käytetään integrlin jtkuvuutt integrointirjn suhteen: t1 b ω = ω((t); (t)) dt + ω((t); (t)) dt = lim t1 δ t 1 ω((t); (t)) dt + lim b t 1 +δ ω((t); (t)) dt. Jälkimmäiset integrlit voidn lske potentilin θ vull, kosk (t) A kikille t [, t 1 ] [t 1, b] (mieti, mitä leikk trkoitt; määrittele oikein). Siis t1 δ b ω = lim ω((t); (t)) dt + lim ω((t); (t)) dt t 1 +δ = lim (θ((t 1 δ)) θ(()) + lim (θ((b)) θ((t 1 + δ)) = θ((t 1 )) θ((t 1 +)) + θ((b)) θ(()). Kun t t 1, on θ((t)) ±π, missä merkki määäytyy sen mukn, lähestyykö piste (t) negtiivist x-kseli ylemmästä vi lemmst puolitsost (mieti npkoordinttikulmn geometri huolellisesti). Siis sdn ω = ±2π + θ((b)) θ(()), missä merkki on +, jos polku kulkee ylemmästä puolitsost lempn, j vstkkisess tpuksess. Merkitään (i = lgebrllinen leikkusindeksi; lgebrllinen: ei lsket vin lukumäärää, vn otetn huomioon kulkusuunt) { +1, jos hetkellä t 1 polku kulkee ylemmästä puolitsost lempn, j i(, t 1 ) := 1, jos hetkellä t 1 polku kulkee lemmst puolitsost ylempään. Siis i(, t 1 ) = 1 (θ((t 2π 1 )) θ((t 1 +))). Umpiniselle polulle sdn siis ω = 2π i(, t 1 ). On helppo trkist, että edelliset päättelyt käyvät myös ploittin sileälle polulle, j että leikkuspiste p 1 voi oll ei-sileä ( ei ole jtkuv hetkellä t 1 ). Erityisesti umpiniselle polulle voi oll t 1 = ti t 1 = b, t.s. käyrä voi leikt negtiivisen x-kselin lku- ti päätepisteessään. Jos polku ei leikk negtiivist x hetkellä t 1, vn vin heijstuu tkisin (eli (t 1 ) X, mutt (t 1 δ) j (t 1 + δ) sijitsevt smss puolitsoss kikille riittävän pienille δ > 0), niin θ((t 1 )) θ((t 1 +)) = 0. Tälliselle heijstumispisteelle on luonnollist sett i(, t 1 ) := 0. 1.4. Polun kierrosluku. Oletetn seurvksi, että polku leikk negtiivisen x-kselin k kert. Leikkuspisteet olkoot p j = (t j ), < t 1 < < t k < b. Olkoot t 0 := j t k+1 := b. Jetn integrointiväli osiin [t 0, t 1 ], [t 1, t 2 ],..., [t k 1, t k ], [t k, t k+1 ] j integrli vstvsti summksi k tj+1 ω = ω((t); (t)) dt j=0 t j 3
Edellisestä yhden leikkuspisteen trkstelust sdn ω = θ((t 1 )) θ((t 0 )) + θ((t 2 )) θ((t 1 +)) +... + θ((t k )) θ((t k 1 +)) + θ((t k+1 )) θ((t k +)) = 2π i(, t 1 ) + 2π i(, t 2 ) + + 2π i(, t k ) + θ((t k+1 )) θ((t 0 )) Erityisesti siis umpiniselle polulle ω = 2π i(, t 1 ) + 2π i(, t 2 ) + + 2π i(, t k ) Asetetn Määritelmä 1.1. Ploittin sileän umpinisen polun : I R 2 \ {(0, 0)} kierrosluku origon suhteen on W (, (0, 0)) := 1 ω. 2π Pisteelle (, b) R 2 j ploittin sileälle umpiniselle polulle : I R 2 \ {(, b)} kierrosluku pisteen (, b) suhteen määritellään integrlin W (, (, b)) := 1 (y b) dx + (x ) dy. 2π (x ) 2 + (y b) 2 Pltn luss minittuun kompleksisen käyräintegrlin vull määriteltyyn kierroslukuun. Kun merkitään z = x + i y, dz = dx + i dy j lsketn normlisti, sdn (yksinkertisuuden vuoksi z 0 := 0) 1 2πi dz z = 1 2πi x dx + y dy x 2 + y 2 + 1 2π y dx + x dy x 2 + y 2. Tässä relios on W (, (0, 0)) j imginriosss esiintyvä differentilimuoto on helppo todet eksktiksi. Umpiniselle käyrälle kompleksinen käyräintegrli nt siis tässä trkstellun, relisesti määritellyn polun kierrosluvun. Ploittin sileän umpinisen polun : I R 2 \{(0, 0)} kierrosluku origon suhteen voidn siis lske leikkusindeksien vull W (, (0, 0)) = i(, t 1 ) + i(, t 2 ) + + i(, t k ), kun polku leikk negtiivisen x-kselin hetkillä t 1,..., t k. Kv pätee myös silloin, kun jokin pisteistä (t j ) ei ole leikkuspiste, vn heijstumispiste. Edelliset trkstelut on helppo muutt tilnteeseen, missä negtiivisen x-kselin sijst trkstelln polun j origost lähtevän, kiinnitetyn säteen leikkuksi. Olkoot θ 0 [ π, π), S := {r (cos θ 0, sin θ 0 ) r [0, )} (kulmn θ 0 suuntn origost lähtevä säde) j A := R 2 \ S. Tällöin A on tähtimäinen minkä thns säteen S jtkeell olevn pisteen suhteen, joten ω on ekskti lueess A. Alueeseen A liittyvä npkoordinttikuvuksen kulmfunktio θ on luonnollist määritellä niin, että (cos θ, sin θ) = (x, y)/ (x, y) j θ 0 < θ < θ 0 +2π. Kulmfunktioll θ on siis jokisess säteen S pisteessä vstvnlinen epäjtkuvuuskäyttäytyminen kuin tpuksess S = X. Jos polku leikk säteen S hetkellä t 1, on θ((t 1 )) θ((t 1 +)) = ±2π, missä etumerkki määräytyy sen mukn, tphtuuko leikkus vst- vi myötäpäivään. Jos 4
polku heijstuu tkisin smlle puolelle sädettä S, on θ((t 1 )) θ((t 1 +)) = 0, Kun leikkusindeksi määritellään oikein, pätevät edelliset trkstelut, kun negtiivinen x-kseli korvtn säteellä S. Kun trkstelln polun kierrosluku pisteen (, b) suhteen, pitää negtiivinen x-kseli korvt pisteestä (, b) negtiivisen x-kselin suuntn lähtevällä säteellä. Vstvsti suuntn θ 0 lähtevä säde pitää siirtää lkmn pisteestä (, b). 2. Greenin luseest 2.1. Muuttujnvihdost. Kertust kurssist Vektorifunktioiden nlyysi 2A ([1, 3.2]): Olkoot W j W tsolueit j g : W W diffeomorfismi (t.s. g on bijektiivinen C 1 -kuvus, jonk käänteiskuvus on myös C 1 ). Olkoon U W rjoitettu Jordn-joukko, jolle U W, j f : g(u) R integroituv. Tällöin (f g) J g on integroituv joukoss U j (MVK) f(y) dy = f(g(x)) J g (x) dx. g(u) Tässä J g on kuvuksen g Jcobin determinntti, J g (x) = det Dg(x) = 1g 1 (x) 2 g 1 (x) 1 g 2 (x) 2 g 2 (x) = 1g 1 (x) 2 g 2 (x) 2 g 1 (x) 1 g 2 (x). U Yksiulotteisess tpuksess muuttujnvhto integrliin d f(y) dy voidn jtell tehtäväksi seurvsti: sijoitetn y = g(x), jolloin dy = g (x) dx j integroimis- c rjt c = g() j d = g(b) korvtn vstvill rvoill: d c f(y) dy = b f(g(x)) g (x) dx. Onko muuttujnvihtokv (MVK) tulkittviss vstvnlisell tvll? Ongelmi tuott lähinnä Jcobin determinntin muknolo. Yksinkertisuuden vuoksi oletetn, että J g (x) > 0 (diffeomorfismille on jok tpuksess J g (x) 0 kikkill j yhtenäisessä joukoss on joko J g (x) > 0 ti J g (x) < 0). Snotn, että diffeomorfismi g on suunnistuksen säilyttävä. (Jos J g (x) < 0, snottisiin, että g on suunnistuksen kääntävä.) Integrointimuuttujn merkintä dy on lyhenne Riemnnin summiss esiintyvistä y 1 - j y 2 -kselien suuntisten välien pituuksien tulost, f(y) dy f(η α ) y 1,α y 2,α. g(u) α Kvn (MVK) vsemmn puolen dy = dy 1 dy 2 korvutuu sijoituksess y = g(x) lusekkeell (2.1) J g (x) dx 1 dx 2 = ( 1 g 1 (x) 2 g 2 (x) 2 g 1 (x) 1 g 2 (x)) dx 1 dx 2. Jos korvtn y 1 = g 1 (x) j y 2 = g 2 (x), niin tulo dy 1 dy 2 muuttuu lusekkeeksi (2.2) dy 1 dy 2 = ( 1 g 1 (x) dx 1 + 2 g 1 (x) dx 2 ) ( 1 g 2 (x) dx 1 + 2 g 2 (x) dx 2 ). Sdut lusekkeet J g (x) dx 1 dx 2 j dy 1 dy 2 ovt smoj, jos kvn (2.2) oiken puolen differentilien dx 1 j dx 2 kertolsku tulkitn lternoivksi (eli vuorottelevksi ti 3 Viimeksi muutettu 30.3.2016. 5
ntikommuttiivikseksi). Merkitään tällist tulo symbolill ; stv tulo kutsutn (differentilisten 1-muotojen) väkätuloksi. Vditn siis, että relirvoisten funktioiden differentileille on voimss du dv = dv du. Erityisesti siis dx 1 dx 1 = dx 2 dx 2 = 0. Differentilisten 1-muotojen väkätuloj kutsutn differentilisiksi 2-muodoiksi. Kun differentilien tulo tulkitn väkätuloksi, sdn (järjestyksen suhteen pitää oll huolellinen) dy 1 dy 2 = ( 1 g 1 (x) dx 1 + 2 g 1 (x) dx 2 ) ( 1 g 2 (x) dx 1 + 2 g 2 (x) dx 2 ) = 1 g 1 (x) dx 1 1 g 2 (x) dx 1 + 1 g 1 (x) dx 1 2 g 2 (x) dx 2 + 2 g 1 (x) dx 2 1 g 2 (x) dx 1 + 2 g 1 (x) dx 2 2 g 2 (x) dx 2 = 1 g 1 (x) 2 g 2 (x) dx 1 dx 2 + 2 g 1 (x) 1 g 2 (x) dx 2 dx 1 = 1 g 1 (x) 2 g 2 (x) dx 1 dx 2 2 g 1 (x) 1 g 2 (x) dx 1 dx 2 = J g (x) dx 1 dx 2. Riittää siis sopi, että f(y) dy 1 dy 2 := f(y) dy 1 dy 2. U U Tässä muuttujien järjestyksen pitää oike. Vkiofunktiolle f = 1 oiken puolen integrli nt joukon U pint-ln; vsemmn puolen integrli dy U 1 dy 2 nt pint-ln, mutt dy U 2 dy 1 pint-ln vstluvun. Mikä on muuttujien oike järjestys? Tämä ei in ihn selvää; mieti esimerkiksi npkoordinttej r j θ. Muuttujille x 1 j x 2 järjestys sovitn, jonk jälkeen muuttujien y 1 = g 1 (x) j y 2 = g 2 (x) järjestys määräytyy suunnistuksen säilymisvtimuksest (Jcobin determinntin J g (x) merkki vihtuu, jos sen rivit vihdetn keskenään). Kun siis muuttujnvihtokvss (MVK) differentilien tulo dy 1 dy 2 tulkitn lternoivksi, voidn muuttujnvihto tehdä vstvll tvll kuin yksiulotteisess tpuksess (kunhn muuttujnvihtokuvus g on suunnistuksen säilyttävä). Seurvss esiintyvien kksiulotteisten integrlien integrointidifferentilit merkitään väkätuloin. 2.2. Greenin luseest. Luentomonisteen [2, luse 1.4.3] Greenin luseen mukn on (f 1 dx 1 + f 2 dx 2 ) = ( 1 f 2 2 f 1 ) dx 1 dx 2, A+ kun A on positiivisesti suunnistetun umpinisen ploittin sileän Jordn käyrän A+ sisäpuoli j f on josskin joukon A ympäristössä määritelty C 1 -kuvus. Kvn oiken puolell esiintyvä integroitv voidn sellisennkin tulkit kuvuksen f (ei-tvlliseksi) derivtksi, mutt kuniimpi versio sdn seurvsti. Lsketn luksi df 1 = 1 f 1 dx 1 + 2 f 1 dx 2, jost df 1 dx 1 = 1 f 1 dx 1 dx 1 + 2 f 1 dx 2 dx 1 = 2 f 1 dx 2 dx 1 = 2 f 1 dx 1 dx 2. Vstvsti sdn df 2 dx 2 = 1 f 2 dx 1 dx 2 + 2 f 2 dx 2 dx 2 = 1 f 2 dx 1 dx 2. A 6
Siis df 1 dx 1 + df 2 dx 2 = ( 1 f 2 2 f 1 ) dx 1 dx 2. Differentiliselle 1-muodolle ω = f 1 dx 1 + f 2 dx 2 määritellään ulkoinen derivtt dω settmll (järjestyksen suhteen pitää jälleen oll huolellinen) dω := df 1 dx 1 + df 2 dx 2. Näillä merkinnöillä Greenin luseen kv s vrsin yksinkertisen muodon ω = dω A+ Greenin luseen kvn esittäminen tässä muodoss s lisämerkitystä, kun nähdään, että myös Stokesin luseen j (Gussin) divergenssiluseen kvt voidn esittää smss muodoss. A Kirjllisuutt [1] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden nlyysi 2A, luentomuistiinpnoj keväältä 2015. [2] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden nlyysi 2B, luentomuistiinpnoj keväältä 2015. [3] Tom M. Apostol: Mthemticl nlysis. A modern pproch to dvnced clculus, Addison Wesley, ensimmäinen litos, viides pinos, 1971 (lunperin 1957). [4] Richrd Cournt j Fritz John: Introduction to clculus nd nlysis, Volume I, uusintpinos vuoden 1989 litoksest, Clssics in Mthemtics, Springer, 1999. [5] Richrd Cournt j Fritz John: Introduction to clculus nd nlysis, Volume II/1 j II/2, uusintpinos vuoden 1989 litoksest, Clssics in Mthemtics, Springer, 2000. [6] Jen Dieudonné: Infinitesiml Clculus, Hermnn, Pris 1971. [7] Ernst Hirer j Gerhrd Wnner: Anlysis by its history, Undergrdute Texts in Mthemtics, Redings in Mthemtics, kolms korjttu pinos, Springer, 2000. [8] Victor J. Ktz: The history of Stokes theorem, Mthemtics Mgzine 52 (1979), no. 3, 146 156. [9] Serge Lng: Undergrdute nlysis, toinen litos, Undergrdute Texts in Mthemtics, Springer, 1997 (korjttu neljäs pinos 2005). [10] Serge Lng: Complex nlysis, neljäs litos, Grdute Texts in Mthemtics 103, Springer, 1999. [11] Jcqueline Lelong-Ferrnd j Jen-Mrie Arnudiès : Cours de mthémtiques 1 4. Dunod. 1. Algèbre, 3 e édition, 1978 ; 2. Anlyse, 4 e édition, 1977 ; 3. Géométrie et cinémtique, 2 e édition, 1977. 4. Equtions différentielles, intégrles multiples, fonctions holomorphes, 2 e édition, 1977. [12] Jmes R. Munkres: Anlysis on mnifolds, Advnced Book Clssics, Westview Press, 1991. [13] Theodore Shifrin: Multivrible mthemtics. Liner lgebr, multivrible clculus, nd mnifolds, John Wiley & Sons, 2005. [14] Michel Spivk: Clculus on mnifolds. A modern pproch to clssicl theorems of dvnced clculus, Addison-Wesley, 1965; korjttu pinos, 1968. [15] Dirk J. Struik (toim.): A source book in mthemtics, 1200 1800, Princeton University Press, 1969. [16] John A. Thorpe: Elementry topics in differentil geometry, Undergrdute Texts in Mthemtics, Springer-Verlg, 1979. 7