Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi

Transkriptio

1 . Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi alimonistoksi; immersoitu alimonisto on eri asia; engl. submanifold). On tärkeätä huomata, että jo alkeispinnan parametriesitykseltä ϕ: U S vaaditaan homeomorfisuus. Tämä on toisinaan pinnan parametriesityksille asetetuista ehdoista vaikein tarkistaa. Homeomorfisuusvaatimus varmistaa sen, että heuristisesti ilmaistuna pinta ei leikkaa itseään eikä sileän C -pinnan tapauksessa muodosta teräviä kärkiä. Toinen tärkeä asia on huomata, että lokaalien parametriesitysten ϕ x : U x S W x määrittelyjoukon U x tulee olla avoin joukko. Heuristisesti tämä tarkoittaa, että esimerkiksi kaksiulotteisella pinnalla ei ole reunaviivaa, vaikka havaintokuva saattaisi sellaiselta näyttää. Pintaa (ja vastaavasti monistoa), jolle reunaviivan (tai reuna-alimoniston) olemassaolo sallitaan, kutsutaan reunalliseksi pinnaksi (tai reunalliseksi monistoksi). Tällaisia tulee esiin kurssilla Integraalilaskenta. Määritelmän kanssa pitää kuitenkin olla tarkkana. Parametriesityksen määrittelyjoukon avoimuudesta seuraa erityisesti se, että alkeispinta ei voi olla kompakti. Esimerkki.. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin u) on helppo todeta injektioksi välillä 0 < u < π. Kuvaus α: (0, π) α((0, π)) on siis jatkuva bijektio, mutta se ei kuitenkaan ole homeomorfismi; käänteiskuvaus on epäjatkuva pisteessä α(π) = (0, 0). Oheisessa kuvassa on parametrisarvoja 0 < u < π, π < u < 3π ja π < u < π vastaavat polun jäljet on piirretty eri värein. Huomaa: origossa polku 4 käy vain hetkellä t = π, eli käyrä ei leikkaa itseään. 0,75 0,5 0,5 0-0,5-0,5-0, ,75-0,5-0,5 0 0,5 0,5 0,75 Kuva.. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin u), 0 < u < π, ja sen avulla muodostettu pinta (u, v) (sin u, sin u, v), 0 < u < π, < v <. Viimeksi muutettu

2 Esimerkki.. Pallo S := {(x, y, z) R 3 x + y + z = } voidaan käsitellä funktioiden kuvaajien avulla seuraavasti: Asetetaan U := {(u, v) R u + v < } ja f z,± : U R, f z,± (x, y) := ± (x + y ), f y,± : U R, f y,± (x, z) := ± (x + z ), f x,± : U R, f x,± (y, z) := ± (y + z ). Tässä pallon S peittämiseen tarvitaan kuusi joukkoa V z,± := {(x, y, z) R 3 ±z > 0}, V y,± := {(x, y, z) R 3 ±y > 0}, V x,± := {(x, y, z) R 3 ±x > 0}. Puolipallo {(x, y, z) R 3 x + y + z =, z 0} ei ole määritelmän mukainen sileä pinta. Toinen luonnollinen pallon parametrisointi saadaan pallokoordinaattien avulla: ϕ: ( π, π) ( π, π ) S, ϕ(θ, φ) := (cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ). Pallokoordinaattienkaan tapauksessa yksi parametriesitys ei riitä. Toiseksi parametriesitykseksi voidaan valita ψ : ( π, π) ( π, π ) S, ψ(θ, φ) := ( cos θ cos φ, sin φ, sin θ cos φ). Kuva.. Koko pallo S peitettynä kahden pallokoordinaattiesityksen avulla. Kolmas tärkeä pallon parametrisointitapa on käyttää stereografista projektiota. Määrätään kuvaus ϕ: R S geometrisesti seuraavalla tavalla. Olkoon p := (0, 0, ) = pohjoisnapa. Olkoot u = (u, u ) R ja α: R R 3, α u (t) := t (u, u, 0)+ ( t) p, t.s. α u on pisteitä (u, u, 0) ja p yhdistävä janapolku. On helppo todeta, että α u (t) osuu pallonkuoreen S, jos ja vain jos t = 0 tai t = /(u + u + ) =: t u. Asetetaan ϕ(u, u ) := α u (t u ) (pohjoisnapa p vastaa arvoa t = 0). Yksinkertaisella laskulla saadaan ϕ(u, u ) = (u, u, u + u ). u + u + On helppo todeta, että ϕ on sileä, injektiivinen tilkku, jolle ϕ(r ) = S \ {p}. Harjoitustehtäväksi jätetään määrätä karttakuvaukselle ϕ : S \{p} R lauseke. Tätä karttakuvausta ϕ kutsutaan stereografiseksi projektioksi (pohjoisnavalta).

3 3 Kuva.3. Pallo S ja stereografinen projektio (projisiointitasona etelänavalle piirretty tangenttitaso kuvan paremman luettavuuden takia). Kuvan punainen jana on α u (t), 0 t t u. Vihreät käyrät ovat jana tasossa ja sen kuvajoukko parametriesityksessä ϕ. Kuten edellä, nytkään yksi parametriesitys ei riitä; etelänavan ympäristö voidaan käsitellä vastaavanlaisella stereografisella projektiolla etelänavalta (korvaa edellä ollut piste p pisteellä (0, 0, ))... Pinnan eri karakterisoinnit. Monisteessa [, esim. 4.3.c] funktion f : U R p, U R k, graafiksi kutsutaan vain muotoa {(u, f(u)) u G} olevaa joukkoa. Edellä pallopinnan S kohdalla tarkkaan ottaen vain funktiot f z,± kelpaisivat antamaan joukoille S V z,± parametriesitykset (x, y) (x, y, f z,± (x, y)) graafeina. Seuraavassa funktion kuvaaja pitää tulkita väljemmin. Sanotaan, että joukko G R n on k muuttujan funktion kuvaaja, jos on olemassa indeksit i < i < < i k n ja kuvaus ϕ: U R n siten, että U R k, ϕ(u) = G, ja ϕ ij (u) = u ij, j k. Kun {j,..., j p } := {,..., n}\{i,..., i k } (jolloin p = n k), niin (ϕ j,..., ϕ jp ): U R p on kuvaajan G määrittelevä funktio. Lukijan tehtäväksi jätetään selvittää edellisen pallopintaesimerkin joukkojen S V y,± ja S V x,± esittäminen tässä esitetyn mukaisina funktion kuvaajina. Vaikka monisteen [] (tai kirjan [, 3]) pinnan määritelmässä etusija annetaan parametriehdolle, voitaisiin yhtä hyvin vaatia, että pinta on lokaalisti esitettävissä funktion kuvaajana (tässä esitetyssä yleisemmässä muodossa) tai sileänä tasaarvopintana (lokaalisti). Lause.3. Epätyhjälle joukolle S R n seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (P) (Määritelmän [, 4.] parametriehto) S on sileä pinta, t.s. jokaiselle x S on olemassa avoin ympäristö W x R n, avoin joukko U x R k ja C -kuvaus ϕ x : U x R n siten, että (a) ϕ x on homeomorfismi kuvauksena U x S W x ; ja (b) Jacobin matriisin mat Dϕ x (u) aste on k kaikille u U x.

4 (K) (Kuvaajaehto) Jokaiselle x S on olemassa avoin ympäristö W x R n, avoin joukko U x R k ja C -kuvaus f x : U x R n k siten, että S W x on funktion f x kuvaaja. (T) (Sileä tasa-arvopintaehto; vrt. [, 4.6]) Jokaiselle x S on olemassa avoin ympäristö W x R n ja C -kuvaus F x : U x R n k siten, että (a) S W x = F x { } (0); ja (b) Jacobin matriisin mat DF x (z) aste on n k kaikille z W x. Todistus. (K) = (P): Vrt. monisteeseen [, esimerkki 4.3.c]. (T) = (K): Sileä tasa-arvopinta -lauseen [, lause 4.6]) todistus antaa itse asiassa hieman enemmän kuin mitä monisteessa väitetään (nimittäin (T) = (P)). Kun funktion kuvaaja tulkitaan väljemmin, niin lauseen todistuksen mukaan sileä tasaarvopinta on lokaalisti funktion kuvaaja. (P) = (T): Oletetaan, että ϕ x : U x S W x on kuten ehdossa (P). Olkoon u 0 U x siten, että ϕ x (u 0 ) = x. Yhdistämällä kuvaukseen ϕ x siirto u u + u 0, voidaan olettaa, että u 0 = 0 = 0 k (= R k :n origo). Koska Jacobin matriisin mat Dϕ x (0) aste on k, on jonkin k k-alimatriisin determinantti nollasta eroava. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että kyseinen alimatriisi on [ j ϕ i (0)] k i,j=. Asetetaan H : U x R n k R n, H(u, v) := ϕ x (u)+(0 k, v). Tällöin det(dh(u, v)) = det( j ϕ i (u)) k i,j=, joten erityisesti det(dh(0 k, 0 n k )) 0. Käänteiskuvauslauseen [, lause 3.] nojalla on olemassa avoimet joukot W U x R n k ja W R n siten, että (0 k, 0 n k ) W, x = H(0 k, 0 n k ) W ja H W : W W on diffeomorfismi. Tarvittaessa joukkoja pienennetään niin, että W W x ja että W on muotoa V V. Olkoon h := (H W ) : W W = V V. Jaetaan h komponentteihin h = (h, h ), missä h : W V R k ja h : W V R n k. Olkoon F := h. Jos nyt z W ja F (z) = 0, pisteelle (u, v) := h(z) on (u, v) V V ja H(u, v) = z. Tällöin v = h (H(u, v)) = h (z) = F (z), joten v = 0. Toisaalta, jos v = 0 ja u V, on H(u, 0) = ϕ x (u) S W. Siis F { } (0) = S W. Ehdosta h (H(u, v)) = v kaikille u V ja v V saadaan ketjusäännön avulla Dh (H(u, v)) DH(u, v) = identtinen: R n k R n k Tästä seuraa, että Dh (H(u, v)): R n R n k on injektio kaikille (u, v) V V, t.s. matriisin mat DF (z) aste on n k kaikille z W. 4 On tärkeätä huomata, että edellisen lauseen yhtäpitävyys koskee vain lokaalia karakterisointia ( jokaiselle pinnan pisteellä on ympäristö... ). Esimerkiksi, jos F : G R (G R 3 avoin) on C -funktio, jolle S := F { } (0) ja F (z) 0 kaikille z S, niin S on sileä pinta, jolla lisäksi on kaikkialla määritelty ja kaikkialla nollasta eroava normaalivektori F (z). Voidaan ajatella, että vektori F (z) määrittelee pinnalle S ulkopuolen ja vastaavasti F (z) määrittelee sisäpuolen. Sileällä tasa-arvopinnalla on siis kaksi puolta. Sama pätee myös sileään alkeispintaan. Yleisemmälle sileälle pinnalle S R 3 tilanne on mutkikkaampi. Jokaista lokaalia parametriesitystä ϕ x : U x S W x vastaavalla pinnan osalla S W x on kaksi puolta, mutta ongelmia voi syntyä kahden eri parametriesityksen välille: parametriesitysten

5 ϕ x ja ψ x : U x S W x määräämät normaalivektorit voivat olla vastakkaiset osassa leikkausjoukkoa ϕ x (U x ) ψ x (U x ), osassa samansuuntaiset. Seuraavan esimerkin Möbiuksen nauha valottaa tilannetta. Esimerkki.4. Möbiuksen nauha on sileä pinta ϕ((, ) R), missä ϕ: (, ) R R 3, ( ϕ(t, θ) := (cos θ, sin θ, 0) + t cos θ cos θ, cos θ sin θ, sin θ ) (( = + t cos θ ) ( cos θ, + t cos θ ) sin θ, t sin θ ). 5 Kuva.4. Möbiuksen nauha voidaan leikata kahteen osaan, joista kummallakin on jatkuva yksikkönormaalivektorikenttä. Osien leikkausjoukossa normaalit kuitenkin törmäävät vastakkaissuuntaisina. Lausetta.3 voidaan täydentää osoittamalla, että kukin kolmesta ehdosta on yhtäpitävä seuraavan määritelmän ehdon (M) kanssa (todistus menee samaa rataa kuin edellisten yhtäpitävyyksien osoittaminen; katso pikku-spivakista [4, luku 5]): Määritelmä.5. Osajoukko S R n on k-ulotteinen reunaton (ali-)monisto, jos se toteuttaa seuraavan alimonistoehdon (M) jokaiselle x S on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko W x R n, avoin joukko V x R n ja C -diffeomorfismi ψ x : W x V x siten, että ψ x (W x S) = V x (R k {0 n k }) = {y V x y k+ = = y n = 0}. Kirjallisuutta [] James R. Munkres: Analysis on manifolds, Advanced Book Classics, Westview Press, 99. [] Veikko T. Purmonen: Differentiaalilaskentaa, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Luentomoniste 54, 007. [3] Theodore Shifrin: Multivariable mathematics. Linear algebra, multivariable calculus, and manifolds, John Wiley & Sons, 005. [4] Michael Spivak: Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus, Addison-Wesley, 965; korjattu painos, 968.