Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita.
|
|
- Annikki Ahonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. 1. Differentiaalimuodon integraalista 1.1. Differentiaalien laskusääntöjä. Funktion f : I R, I R väli, derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona df(x) dx = lim x f(x) x, missä x = (x + h) x = h ja f(x) = f(x + x) f(x). Klassisessa kirjallisuudessa funktion arvoa on ollut tapana merkitä muuttujalla y. Koska derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo, kun vapaan muuttujan x muutos x lähestyy nollaa, on derivaattaa dy pidetty äärettömän pienten suureiden dy ja dx, infinitesimaalien dx osamääränä. Suureita dx ja dy on kutsuttu muuttujien x ja y differentiaaleiksi. 2 Varhaisina aikoina differentiaaleilla dx laskettiin varsin formaalisti niinkuin ne olisivat vain erotuksia x. Differentiaalien tulot, kuten esimerkiksi (dx) 2, jätettiin laskuissa pois, koska ne ovat äärettömän paljon pienempiä kuin differentiaalit sellaisenaan. Esimerkiksi d(x 2 ) = (x + dx) 2 x 2 = 2x dx + (dx) 2 = 2x dx, josta saadaan d(x 2 )/dx = 2x. Tämänkaltainen differentiaalien supistaminen/laventaminen toimii hyvin muistisääntönä yhden muuttujan funktioille. Esimerkiksi ketjusääntö funktioille f ja g sanoo: D(g f)(x) = Dg(f(x)) Df(x), t.s. kun z = g(y) ja y = f(x), on suureen z = g(y) = g(f(x)) derivaatta muuttujan x suhteen dz = dz. Funktion f käänteisfunktiolle f 1 on: kun y = f(x), on x = f 1 (y) ja (f 1 ) (y) = 1/f (x), dx dy josta differentiaaliosamäärille saadaan dx dy = 1/ dy dx. Muuttujanvaihto y = f(x) integraalissa g(y) dy voidaan myös tehdä saman periaatteen mukaan: kun sijoitetaan y = f(x), on g(y) dy = g(f(x)) f (x) dx. Toisaalta differentiaaleilla laskien saadaan dy = dy dx ja g(y) dy = g(y) dy dx = dx dx g(f(x)) f (x) dx. Vastaavasti, kun määrättyssä integraalissa d c y = f(x), muuttuvat integroimisrajat muuttujan x arvoja vastaaviksi: d g(y) dy sijoitetaan g(y) dy = c b dy g(y) dx, missä f(a) = c ja f(b) = d. Tästä näkyy myös syy siihen, miksi integraalissa g(y) dy integrointimuuttuja y merkitään nimenomaan differentiaalina dy. a dx Kirjan [7] ensimmäinen ja toinen luku johdattelee lukijaa yhden muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaan lähestyen asiaa historian kautta. dy dx 1 Viimeksi muutettu Differentiaalimerkintä on peräisin Gottfried Wilhelm Leibnizilta 1684; ks. Struikin kirjasta [15, luku V, 1]. Isaac Newton käytti merkintää ẏ, Joseph Louis Lagrange y ja Augustin Louis Cauchy Dy. Koukero-d,, osittaisderivaatalle on peräisin Carl Gustav Jacob Jacobilta Muut kuin Newtonin käyttämät merkinnät ovat enemmäkseen säilyneet; vrt. Newtonin korkeamman kertaluvun derivaattoihin (tai fluksioihin, kuten Newton derivaattoja kutsui): ÿ, ÿ, ÿ,... ; ks. Newtonin Two treatises on the quadrature of curves and analysis by equations of an infinite number of terms, explained, 1745; latinankielinen käsikirjoitus Tractatus de quadratura curvarum on vuodelta Integraalin merkki on myös Leibnizilta, venytetty S; integraali ajateltiin infinitesimaalien ummaksi. Nimitys integraalilaskenta on Johann ja Jacob Bernoullilta. 1
2 1.2. Differentiaaleista täsmällisemmin. Differentioituvan reaaliarvoisen kuvauksen f : G R (G R n avoin) differentiaali df on sama kuin sen derivaatta, t.s. pisteessä a G df(a) on lineaarikuvaus R n R, jolle f(a + h) f(a) = df(a)h + h ε(h), missä ε(h), kun h. Osittaisderivaattojen avulla df(a)h = n j=1 jf(a) h j. Jos f on lineaarinen, on f(a + h) f(a) = f(h), joten differentioituvuuskehitelmässä ε(h) ja siis df(a) = f. Avaruuden R n = R n x koordinaattikuvauksille x j : R n x R on x j (a) = a j kaikille a = (a 1,..., a n ) R n. Koska koordinaattikuvaukset ovat lineaarisia, on dx j (a) = x j. Differentioituvuuskehitelmä saa nyt muodon 2 df(a)h = n j f(a) h j = j=1 n j f(a) dx j (a)h. j=1 Siis df(a) = n j=1 jf(a) dx j (a) ja df = n j f(x) dx j. j=1 Tässä x = (x 1,..., x n ): R n R n on identtinen kuvaus (ja j f(x) tarkoittaa funktiota, jonka arvo pisteessä a on j f(a)). Koska a dx j (a) = x j, R n R, on vakiokuvaus, muuttuja x jätetään yleensä merkitsemättä. Toisinaan differentiaalia on käytännöllistä pitää pisteen a ja suunnan h funktiona, ja merkitä df(a; h) := df(a)h = n j f(a) h j. j=1 Usean muuttujan funktioidenkin differentiaaleilla voidaan laskea varsin formaalisti, mutta myös perustellusti, kuten edellä meneteltiin yhden muuttujan funktioille. Seuraavassa on keskeisimmät säännöt, joiden todistaminen jätetään lukijan tehtäväksi. Tärkeätä on selvittää, mitä kaavoissa esiintyvät suureet tarkoittavat. Olkoot G R n x ja G R m y avoimia, f = (f 1,..., f m ): G R m ja g, h: G R differentioituva siten, että f(g) G. (Tässä R n x = R n, jossa koordinaattikuvauksia merkikään x j, vastaavasti avaruuden R n y koordinaattikuvaukset ovat y k.) Osoita, että a) jos m = 1, niin dg(y) = g (y) dy; b) d(g h)(y) = h(y) dg(y) + g(y) dh(y); c) d(g(f 1,..., f m ))(x) = m k=1 kg(f 1 (x),..., f m (x)) df k (x), t.s. yhdistetyn funktion g f = g(f 1,..., f m ) differentiaali saadaan funktion g differentiaalista dg = m k=1 kg(y) dy k sijoittamalla y k = f k (x) ja dy k = df k (x). Malliksi kohdan a) perustelu: Yksiulotteisen euklidisen avaruuden R 1 y = R kantavektori on luku 1. Jokainen lineaarikuvaus L: R R on muotoa Lh = a h jollekin luvulle a R. Nimittäin, lineaarisuuden nojalla Lh = L(h 1) = h L1 kaikille h R. Vakio a := L1. Väitteen kumpikin puoli on lineaarikuvaus R R, joten lasketaan kummankin arvo vektoreille h R: (dg(y))(h) = y g(y) h = g (y) h (missä g (y) tarkoittaa tavanomaista erotusosamäärän avulla määrättyä derivaattaa). Toisaalta (g (y) dy)(h) = g (y) dy(h) = g (y) h, sillä dy : R R on identtinen kuvaus.
3 1.3. Differentiaalimuodon integraali. Olkoot G R n x avoin ja f jatkuva vektorikenttä joukossa G, t.s. f = (f 1,..., f n ) on jatkuva kuvaus G R n. Vektorikenttää f vastaa differentiaalimuoto, tarkemmin differentiaalinen 1-muoto ω = f 1 (x) dx f n (x) dx n. Differentiaalimuoto on samanlainen olio kuin funktion differentiaali, mutta tässä yleisemmässä tilanteessa komponenttien f k ei tarvitse olla reaaliarvoisen funktion osittaisderivaattoja. Differentiaalimuoto ω on siis funktio, joka riippuu kahdesta muuttujasta, pisteestä a G ja suunnasta h R n. Differentiaalimuodon ω arvolle ω(a)h = ω(a; h) on ω(a; h) = (f 1 (x) dx 1 )(a; h) + + (f n (x) dx n )(a; h) = f 1 (a) dx 1 (a; h) + + f n (a) dx n (a; h) = f 1 (a) h f n (a) h n. Kun : I G on joukon G C 1 -polku (I R kompakti väli), on differentiaalimuodon ω integraaali polun suhteen ( ω := ω((t); (t)) dt = f1 ((t)) 1(t) + + f n ((t)) n(t) ) dt. I I Differentiaalimuodon integraaalin määrittelevä kaava on helpppo muistaa seuraavasti: differentiaalimuodossa ω = f 1 (x) dx f n (x) dx n jokaisen koordinaatin x j paikalle sijoitetaan x j ((t)) = j (t), jolloin differentiaalien dx j paikalle sijoitetaan d( j (t)) = j(t) dt. Nykyaikaisessa pintojen ja käyrien käsittelyssä tätä muuttujanvaihtoa kutsutaan pullback iksi, ja merkitään (ks. esim. [13, luku 8, 2.3]): (ω)(t) := ω((t); (t)) dt = ( f 1 ((t)) 1(t) + + f n ((t)) n(t) ) dt. Kyse ei ole muuttujanvaihdosta siinä mielessä, jossa nimitys esiintyy esimerkiksi usean muuttujan funktioiden integraalilaskennassa (vrt. [1, lause 3.2.2]), vaan ennemminkin yhden muuttujan funktioiden integraalilaskennan sijoitusmenetelmästä. Käyräintegraalin laskemisesta kannattaa huomata, että jos polku kulkee jonkin matkaa pitkin koordinaattiakselin x j suuntaista janaa, on tällä osalla dx j =. Esimerkiksi, jos tasossa on laskettavana (f dx + g dy), missä polku = ( 1, 2 ) on x-akselin suuntainen janapolku pisteestä (a, b) pisteeseen (c, b) ja = ( 1, 2 ) on y-akselin suuntainen janapolku pisteestä (c, b) pisteeseen (c, d), lasketaan näin (oletetaan, että c > a ja d < b): Polulla on dy =, koska 2 on vakiofunktio. Sopiva parametrisointi on (x) := (x, b), x [a, c]. Vastaavasti polulla on dx =, koska 1 on vakio. Sopiva parametrisointi polulle saadaan sen vastapolun avulla: β(y) := (c, y), y [d, b], jolloin = β. 3 Siis (f dx + g dy) = (f dx + g dy) (f dx + g dy) = c a f(x, b) dx b d g(c, y) dy. 3 Muista: Poluille : [a, b] R n ja : [c, d] R n, joille (b) = (c), määritellään : [a, b] R n (polun vastapolku) ja : [a, b + d c] R n (polkujen ja yhdistetty polku) asettamalla {(t), kun t [a, b], ja (t) := (b (t a)) ja ( )(t) := (c + t b), kun t [b, b + d c]. 3
4 Käyräintegraalilla on siis kaksi esitystapaa, vektorikentän käyräintegraali ja differentiaalimuodon käyräintegraali, ja kumpaakin tarvitaan. Vektorikentän avulla käyräintegraalista saadaan geometrisempi kuva, kun taas differentiaalimuodoilla saadaan laskennallisesti tehokkaampi ote käyräintegraalien määräämiseen Funktion käyräintegraali. Reaaliarvoisen funktion käyräintegraalin f ds tulkitseminen differentiaalien avulla vaatii hieman enemmän tulkintaa. Katsotaan aluksi klassista esitystapaa. Polun pisteestä (t) pisteeseen (t + t) osoittava vektori (t + t) (t) (t) t. Kun t on infinitesimaalisen pieni, t = dt, voidaan sekantti korvata tangentilla (ainakin likimain). Pisteitä (t) ja (t + dt) yhdistävän kaaren pituus on siis (t) dt = (t) dt, kun dt >. Klassisesti tätä pisteitä (t) ja (t + dt) yhdistävän infinitesimaalisen kaaren pituutta, kaarialkiota, on merkitty ds. Siis ds = (t) dt. Modernimmin samaan päästään seuraavasti: Polun : [a, b] R n kaarenpituusparametri s määritellään integraalina s(t) := t a (τ) dτ, t [a, b]. Tällöin ds(t) = s (t) dt = (t) dt. Jos vasemmalla puolella muuttuja t jätetään merkitsemättä, saadaan klassinen kaarialkio. Kun polun komponentit ovat j, on (t) = 1(t) n(t) 2. Koska differentiaalista dx j saadaan sijoituksella x = (t) differentiaali j(t) dt, on (t) dt = ( 1(t) dt) ( n(t) dt) 2, joten kaarialkio ds(t) = (t) dt saadaan sijoittamalla x = (t) differentiaalilausekkeeseen ds = dx dx 2 n. Huomaa, että tämä ei ole differentiaalimuoto, koska differentiaalimuoto on differentiaalien dx j lineaarinen lauseke. (Siis differentiaalinen 1-muoto on; differentiaalinen k-muoto on differentiaalien dx j homogeeninen astetta k oleva polynomi.) Kaarialkion klassinen merkintä ds on siis varsin epäkorrekti: ds ei ole minkään funktion s: R n R differentiaali eikä se ole edes differentiaalimuoto. Kun f : G R on jatkuva ja (I) G, on funktion f integraaali polun suhteen f ds = f((t)) (t) dt. I Tämänkin integraalin määritelmä voidaan tulkita differentiaalien avulla: differentiaalissa f ds = f(x) ds muuttujan x paikalle sijoitetaan (t) ja ds tulkitaan polun kaarialkioksi kuten edellä. 2. Potentiaalin olemassaolosta 2.1. Luentomonisteen [2] potentiaalin olemassaolon karakterisoiva lause ei ole symmetrinen ( jos ja vain jos ). Seuraava versio täydentää tulosta symmetrisemmin: Lause 2.1. Olkoon f : A R n alueen A R n jatkuva vektorikenttä. Tällöin seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) vektorikentällä f on potentiaali alueessa A; 4 Viimeksi muutettu
5 (ii) vektorikentän f käyräintegraali f d s riippuu vain paloittain C1 -polun : [a, b] A päätepisteistä (a) ja (b); (iii) vektorikentän f käyräintegraali f d s häviää jokaiselle umpinaiselle paloittain C 1 -polulle. Todistus. (i) (ii) ja (i) (iii): Kuten luentomonisteessa [2, lause ja 1.3.3]. (iii) (ii): Olkoot : [a, b] A ja : [c, d] A paloittain C 1 -polkuja, joille (a) = (c) ja (b) = (d). Tällöin ϑ := on umpinainen paloittain C 1 -polku. Oletuksen (iii) nojalla f d s =. Siis ϑ = f d s = f d s f d s Kohdan (ii) väite seuraa tästä. ϑ (ii) (i): Tämä seuraa luentomonisteessa [2, lause 1.3.3] todistetusta. Jos käyräintegraali f d s riippuu vain polun päätepisteistä, voidaan potentiaali määritellä kaavalla (2.1) u(x) := f d s, x missä x : [a, b] A on yksinkertainen paloittain C 1 -polku, jolle x (b) = x (ja x (a) = x A on kiinnitetty). 5 Palautettakoon vielä mieleen, miten osoitetaan, että kaava (2.1) määrittelee vektorikentän f potentiaalin u, kun lauseen 2.1 ehto (ii) toteutuu. Kiinnitetään x A. Olkoot x, x + h A sekä x ja x+h paloittain C 1 -polkuja, jotka lähtevät pisteestä x ja päätyvät pisteisiin x ja x + h. Tällöin u(x + h) u(x) = x+h f d s x f d s = x x+h f d s. Tässä x x+h on paloittain C 1 -polku pisteestä x pisteeseen x + h. Koska oletuksen nojalla käyräintegraali f d s riippuu vain polun päätepisteistä, voidaan polku x x+h korvata pisteestä x pisteeseen x + h kulkevalla janapolulla : [, 1] A, (t) := x + t h. (Tässä pitää olettaa, että h on niin pieni, että kyseinen jana sisältyy joukkoon A; tämä onnistuu, koska A on alue.) Siis 1 u(x + h) u(x) = f d s = f(x + t h) h dt = 1 f(x) h dt + 1 (f(x + t h) f(x)) h dt. Tässä 1 f(x) h dt = f(x) h on suunnan h suhteen lineaarinen, ja jälkimmäiselle integraalille saadaan funktion f jatkuvuuden nojalla 1 1 (f(x + t h) f(x)) h dt f(x + t h) f(x) h dt ε h, kun h δ on tarpeeksi pieni. Siis u on differentioituva ja Du(x)h = f(x) h, t.s. u(x) = f(x) eli u on vektorikentän f potentiaali.
6 Tässä päättelyssä on tärkeä huomata, että ilman lauseen 2.1 ehtoa (ii) käyräintegraali x f d s määrittelee kyllä reaaliarvoisen funktion, mutta ei sellaista, joka riippuisi vain pisteestä x, vaan koko polusta x riippuvan suureen. Oletus (ii) tarvitaan siis siihen, että käyräintegraali määrittelisi alueessa A määritellyn eli vain pisteestä x A riippuvan funktion u: A R Polun kierroslukua käsiteltäessä tärkeä vektorikenttä on origon komplementissa määritelty ( y g(x, y) := x 2 + y, x ). 2 x 2 + y 2 Tämä vektorikenttä on tyyppiesimerkki osoittamaan, että vektorikentän f = (f 1, f 2 ) potentiaalin olemassaololle välttämätön integroituvuusehto (IE) 2 f 1 = 1 f 2 ei ole riittävä, koska edellisen lauseen 2.1 kohdan (iii) ehto ei toteudu esimerkiksi origon kiertävälle ympyrän kehälle. Edellistä tarkastelua voidaan kuitenkin käyttää apuna osoittamaan, että vektorikenttä g onkin jossakin mielessä ainoa ongelmia aiheuttava vektorikenttä. Tarkemmin: Olkoon f origon komplementissa R 2 \ {(, )} määritelty C 1 -vektorikenttä, joka toteuttaa integroituvuusehdon (IE). Tällöin on olemassa vakio r R siten, että vektorikentällä f r g on potentiaali joukossa R 2 \ {(, )}. Vakion r arvo on helppo selvittää. Jos vektorikentällä f r g on potentiaali u, on edellisen lauseen 2.1 kohdan (iii) nojalla (f r g) d s = jokaiselle umpinaisella paloittain C 1 -polulle. Erityisesti siis r = 1 f d s, 2π kun on origokeskisen yksikköympyrän parametriesitys, (t) := (cos t, sin t), π t π. Valitaan r nyt yllä olevan kaavan mukaisesti. Määritellään nyt u(x) := (f r g) d s, x missä polku x := x j x, ja (i) x on pisteestä (1, ) lähtevä yksikköympyrän kehää pitkin kulkeva polku, joka päättyy pisteeseen x/ x ; ja (ii) j x on janapolku, joka yhdistää pisteen x/ x pisteeseen x. (Piirrä kuva.) Ympyrän kehää pitkin kuljettaessa voidaan vielä vaatia, että kuljetaan pitkin ylempää puolikaarta, jos x on ylemmässä puolitasossa, ja vastaavasti pitkin alempaa puolikaarta, jos x on alemmassa puolitasossa. Ongelmia voi syntyä, kun piste x on negatiivisella x 1 -akselilla. Merkitään hetkeksi pitkin yksikköympyrän alempaa puolikaarta kulkevaa 6
7 polkua x := x j x ; x = x j x olkoon pitkin ylempää puolikaarta kulkeva polku. Näiden kahden polun avulla määritellyn funktion erotus on (f r g) d s (f r g) d s = (f r g) d s (f r g) d s x x x x = (f r g) d s =, koska janapolku j x on sama molemmille poluille, x x on yksikköympyrän standardiparametriesitys, ja f d s = 2π r = r g d s. Koska u(x):n määrittelevä kaava määrittelee funktion R 2 \{(, )} R, on lauseen 2.1 jälkeisten tarkastelujen nojalla u = f r g. Tälle tulokselle löytyy huomattava yleistys Langin kirjasta [9, luku XVI] (ks. erityisesti [9, luku XVI, lause 2.7]). Vastaavaa asiaa kompleksianalyyttisille (tai holomorfisille) funktioille on käsitelty kirjassa [1, luku IV]. Varoitus: Langin kirjassa [9, luku XVI] integraalia r = 1 f d s merkitään 2π res (,) (f) (vektorikentän f residy pisteessä (, )), jollainen esiintyy myös kompleksianalyysissä. Jos kompleksiarvoinen funktio f = u + iv samaistetaan vektorikentän (u, v) kanssa, ovat reaalinen käyräintegraali (u, v) d s = (u dx + v dy) ja kompleksinen käyräintegraali f dz = (u dx v dy)+i (v dx+u dy) eri asioita. Komplek- sianalyysissä residy origossa määritellään integraalina 1 f dz. Toinen oleellinen 2π i ero on: Tässä tarkasteltiin integroituvuusehdon y u = x v toteuttaneita vektorikenttiä (u, v). Kompleksianalyyttinen funktio u + iv toteuttaa Cauchyn ja Riemannin yhtälöt x u = y v ja y u = x v. 3. Polkujen homotopiasta 3.1. Homotopia. Olkoot G R n alue (myöhemmin n = 2) ja, : [a, b] G C 1 -polkuja. Sanotaan, että polut ja ovat differentioituvasti homotooppiset, jos on olemassa jatkuva kuvaus H : [a, b] [, 1] G siten, että ja H(t, ) = (t) ja H(t, 1) = (t) kaikille t [a, b], t H(t, s) on jatkuvasti differentioituva kaikille s [, 1]. Jos tällainen homotopia H on olemassa, merkitään s (t) := H(t, s), jolloin siis = ja 1 =. Oletetaan nyt, että poluilla ja 1 on sama lähtöpiste ja sama päätepiste, (a) = 1 (a) ja (b) = 1 (b). Sanotaan, että polkujen ja 1 välinen homotopia H säilyttää päätepisteet (tai H on homotopia kiintein päätepistein), jos H(a, s) = (a) kaikille s [, 1] ja H(b, s) = (b) kaikille s [, 1]. 5 Viimeksi muutettu
8 Oletetaan nyt, että polut ja 1 ovat umpinaisia, (a) = (b) ja 1 (a) = 1 (b). Sanotaan, että polkujen ja 1 välinen homotopia H on silmukkahomotopia (tai ja 1 ovat homotooppiset silmukoina), jos jokainen s on silmukka, t.s. H(a, s) = H(b, s) kaikille s [, 1]. Olkoon : [a, b] G umpinainen C 1 -polku. Sanotaan, että on nollahomotooppinen, jos on olemassa p G siten, että on silmukkahomotooppinen vakiopolun 1 : [a, b] G, 1 (t) := p kaikille t [a, b], kanssa. Kommentteja: Annettu polku : [a, b] G on aina homotooppinen vakiopolun kanssa, sillä kuvaus H : [a, b] [, 1] G, H(t, s) := ((1 s) t + s a), on jatkuva, kuvaus t H(t, s), on jatkuvasti differentioituva (jos on), ja H(t, ) = (t) ja H(t, 1) = (a). Käsite nollahomotooppisuus ei siis ole mielenkiintoinen yleisen homotopian tapauksessa. Toisaalta, koska vakiopolun lähtö- ja päätepiste ovat samat, ei nollahomotooppisuus myöskään sovi homotopiaan kiintein päätepistein. Heuristisesti homotopia tarkoittaa, että polku voidaan jatkuvasti muuttaa poluksi 1. Muuttumisen välittävät polut s, s 1. Useimmissa topologisissa tarkasteluissa polkujen s halutaan olevan vain jatkuvia. Tämä kuitenkin aiheuttaa ongelmia käyräintegraalien s f s määrittelemisessä. Tämän vuoksi tässä rajoitutaan differentioituvaan homotopiaan. Yleistys paloittain jatkuvasti differentioituville poluille jätetään lukijan tehtäväksi. Vihje: välin [a, b] jako differentioituvuusosaväleiksi saa olla sama jokaiselle parametrille s [, 1] Potentiaalin olemassaolo. Seuraavassa n = 2 ja f = (f 1, f 2 ): G R 2 on jatkuvasti differentioituva vektorikenttä, joka toteuttaa integroituvuusehdon (IE) 2 f 1 = 1 f 2 Lause 3.1. Olkoot p, q G ja, : [a, b] G paloittain C 1 -polkuja pisteestä p pisteeseen q. Jos ja ovat homotooppiset kiintein päätepistein, on f d s = f d s. Lause 3.2. Olkoot, : [a, b] G umpinaisia paloittain C 1 -polkuja. Jos ja ovat silmukkahomotooppiset, on f d s = f d s. Erityisesti, jos on nollahomotooppinen, on f d s =. Seuraavassa esitetään vain lauseen 3.1 todistus; lauseen 3.2 todistus on oleellisesti samanlainen. Lauseen 3.1 todistus. Olkoon H : [a, b] [, 1] G polkujen ja välinen homotopia, joka säilyttää päätepisteet. Koska H on jatkuva, on sen kuvajoukko K := H([a, b] [, 1]) kompakti. Koska K G on kompakti ja R 2 \ G suljettu, on etäisyys d(k, R 2 \ G) >. Olkoon ε > pienempi kuin tämä etäisyys. 8
9 Jatkuvana funktiona H on tasaisesti jatkuva kompaktissa joukossa [a, b] [, 1]. Olkoon δ > siten, että H(t, s) H(t, s ) < ε, kun t t δ ja s s δ. Valitaan väleille [a, b] ja [, 1] jaot (vaikka tasaväliset) a = t < t 1 < < t n = b, = s < s 1 < < s m = 1, siten, että t j+1 t j δ, s k+1 t k δ ja H(t, s) H(t j, s k ) < ε, kun t t j δ ja s s k δ. Olkoot T j,k := [t j, t j+1 ] [s k, s k+1 ] ja D j,k := B(H(t j, s k ); ε). Tällöin D j,k G. Tasaisen jatkuvuuden epäyhtälöstä ja pisteiden (t j, s k ) valinnasta seuraa, että H(T j,k ) D j,k, H(T j 1,k ) D j,k, H(T j 1,k 1 ) D j,k ja H(T j,k 1 ) D j,k. Koska ympyrä D j,k on konveksina joukkona tähtimäinen, on vektorikentällä f potentiaali u j,k joukossa D j,k. Olkoon k (t) := H(t, s k ), k m. Kiinnitetään nyt k ja tarkastellaan vierekkäisiä polkuja k ja k+1. Osoitetaan, että k f d s = k+1 f d s. Väite seuraa tästä, koska f d s = f d s = f d s = = f d s = f d s. 1 m Koska vektorikentällä f on potentiaali u j,k joukossa D j,k ja k ([t j+1, t j ]) D j,k, on ( f d s = f d s = uj,k ( k (t j+1 )) u j,k ( k (t j )) ). k k [tj+1,t j ] Vastaavasti, koska k+1 ([t j+1, t j ]) D j,k, on ( f d s = uj,k ( k+1 (t j+1 )) u j,k ( k+1 (t j )) ). k+1 Koska u j,k ja u j+1,k ovat vektorikentän f potentiaaleja joukoissa D j,k ja D j+1,k, ja ympyröiden D j,k ja D j+1,k leikkaus D j,k D j+1,k on yhtenäinen joukko, on erotus u j,k u j+1,k = c j,k = vakio joukossa D j,k D j+1,k. Kun p, q D j,k D j+1,k, on siis u j,k (p) u j,k (q) = u j+1,k (p) + c j,k (u j+1,k (q) + c j,k ) = u j+1,k (p) u j+1,k (q). Kun tätä sovelletaan pisteisiin p = k (t j+1 ) ja q = k+1 (t j+1 ), saadaan ( (uj,k f d s f d s = ( k (t j+1 )) u j,k ( k (t j )) ) k k+1 ( u j,k ( k+1 (t j+1 )) u j,k ( k+1 (t j )) )) ( (uj,k = ( k (t j+1 )) u j,k ( k+1 (t j+1 )) ) ( u j,k ( k (t j )) u j,k ( k+1 (t j )) )) ( (uj+1,k = ( k (t j+1 )) u j+1,k ( k+1 (t j+1 )) ) ( u j,k ( k (t j )) u j,k ( k+1 (t j )) )) ( (uj+1,k = ( k (t j+1 )) u j,k ( k (t j )) ) ( u j+1,k ( k+1 (t j+1 )) u j,k ( k+1 (t j )) )) = ( u n,k ( k (t n )) u,k ( k (t )) ) ( u n,k ( k+1 (t n )) u,k ( k+1 (t )) ) =. 9
10 Tässä viimeinen summa n 1... on teleskooppinen, t.s. muotoa n 1 (a j+1 a j ) oleva summa, joten sen arvo on a n a. Summasta jäävät termit häviävät, koska poluilla k ja k+1 on sama lähtö- ja sama päätepiste. Sanotaan, että avoin joukko G R 2 on yhdesti yhtenäinen, jos se on yhtenäinen ja jokainen (differentioituva) silmukka on nollahomotooppinen. Seuraus 3.3. Yhdesti yhtenäisessä alueessa G jatkuvasti differentioituvalla vektorikentällä f on potentiaali, jos se toteuttaa integroituvuusehdon (IE). Todistus. Yhdesti yhtenäisessä alueessa G käyräintegraali f d s häviää jokaiselle umpinaiselle C 1 -polulle lauseen 3.2 nojalla. Aiemmin todetun nojalla potentiaa- lin olemassaolo seuraa tästä. Kirjallisuutta [1] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden analyysi 2A, luentomuistiinpanoja keväältä 215. [2] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden analyysi 2B, luentomuistiinpanoja keväältä 215. [3] Tom M. Apostol: Mathematical analysis. A modern approach to advanced calculus, Addison Wesley, ensimmäinen laitos, viides painos, 1971 (alunperin 1957). [4] Richard Courant ja Fritz John: Introduction to calculus and analysis, Volume I, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, [5] Richard Courant ja Fritz John: Introduction to calculus and analysis, Volume II/1 ja II/2, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, 2. [6] Jean Dieudonné: Infinitesimal Calculus, Hermann, Paris [7] Ernst Hairer ja Gerhard Wanner: Analysis by its history, Undergraduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, kolmas korjattu painos, Springer, 2. [8] Victor J. Katz: The history of Stokes theorem, Mathematics Magazine 52 (1979), no. 3, [9] Serge Lang: Undergraduate analysis, toinen laitos, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1997 (korjattu neljäs painos 25). [1] Serge Lang: Complex analysis, neljäs laitos, Graduate Texts in Mathematics 13, Springer, [11] Jacqueline Lelong-Ferrand ja Jean-Marie Arnaudiès : Cours de mathématiques 1 4. Dunod. 1. Algèbre, 3 e édition, 1978 ; 2. Analyse, 4 e édition, 1977 ; 3. Géométrie et cinématique, 2 e édition, Equations différentielles, intégrales multiples, fonctions holomorphes, 2 e édition, [12] James R. Munkres: Analysis on manifolds, Advanced Book Classics, Westview Press, [13] Theodore Shifrin: Multivariable mathematics. Linear algebra, multivariable calculus, and manifolds, John Wiley & Sons, 25. [14] Michael Spivak: Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus, Addison-Wesley, 1965; korjattu painos, [15] Dirk J. Struik (toim.): A source book in mathematics, 12 18, Princeton University Press, [16] John A. Thorpe: Elementary topics in differential geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag,
Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Integraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita.
Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin ntegraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. 1. Differentiaalimuodon integraalista 1.1. Differentiaalien laskusääntöjä.
LisätiedotOlkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on
1. Differentiaalimuodon integraalista II 1.1. ektorikentän pintaintegraali. (Ks. [2, 2.1] ja [2, 2.2.2] Olkoot S R 3 sileä alkeispinta ja ϕ: U S sen parametriesitys. Pinnan suunnistukseksi valitaan seuraavassa
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotEsimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi
. Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotLUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2
LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on
1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2
Differentiaaliyhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Olkoot D R 2 alue ja r, f, g : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälön y r(x, y) suuntaelementtikenttä on kuvaus D R 2, (x, y) (, r(x, y)). Suuntaelementtikenttä
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
Lisätiedotf(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].
Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 2. luento 10.11.2017 Keinotekoiset neuroverkot Neuroverkko koostuu syöte- ja ulostulokerroksesta
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.
LisätiedotTRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
Lisätiedot