1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x 0 [ f (x) < 0, x ]x 0, b[ x 0 on lokli mksimipiste (2)
2. Derivtn Testi Jos f (x 0 ) = 0 j f (x 0 ) > 0 niin x 0 on lokli minimipiste. Jos f (x 0 ) = 0 j f (x 0 ) < 0 niin x 0 on lokli mksimipistepiste. Esimerkki 56 ) Etsi funktion g(x) = x 3 3x 2 9x + 2 äärirvot välillä [ 2, 2] b) Etsi funktion h(x) = 3x 2/3 2x äärirvot välillä [ 1, 1]. c) Etsi funktion f (x) = x 4 2x 2 3 äärirvot välillä [ 2, 2] d) Etsi funktion f (x) = x x 2/3 äärirvot välillä [ 1, 2] e) Etsi funktion f (x) = x + (4/x) äärirvot välillä ]0, [ f) Etsi funktion f (x) = xe x2 äärirvot. g) Etsi funktion f (x) = x 2 e x äärirvot.
Konkvisuus j käännepisteet Jos f > 0 välillä I niin f on konkvi ylöspäin välillä I. Jos f < 0 välillä I niin f on konkvi lspäin välillä I. Piste x 0 on käännepiste jos seurvt kksi ehto ovt voimss 1 Funktion kuvjll y = f (x) on tngentti pisteessä x = x 0 2 Funktion konkvisuus on vstkkinen pisteen x 0 vstkkisill puolill Esimerkki 57 Tutki seurvien funktioiden konkvisuutt ) x 6 10x 4 b) x 4 2x 3 + 1
Esimerkkejä derivttojen käytöstä Esimerkki 58 Määritä pisteen P 1 liikeen nopeus jn hetkellä t kun kulm θ ksv nopeudell 2π (rd/s) j θ = 0 kun t = 0. Esimerkki 59 Ajn hetkellä t piste P 1 liikkuu y-kselill nopuedell 5t j piste P 2 liikkuu x-kselill nopeudell 5t. Kun t = 0 niin P 1 on origoss j P 2 on pisteessä 10 positiivisell x-kselill. Minä jn hetkellä t [0, 5] pisteiden välimtk on suurimmilln? Pienimmillään?
Tylorin polynomi (1/2) Pisteessä muodostettu Tylorin n. steen polynomi f :lle on muoto P n (x) = f () + f ()(x ) + f () (x ) 2 +... + f (n) 2! n! (x )n. Jos f on n + 1 kert derivoituv niin tälle polynomille pätee f (x) = P n (x) + E n (x), missä E n (x) on Lgrngen jäännöstermi eli virhetermi E n (x) = f (n+1) (c x ) (n + 1)! (x )n+1. Piste c x [, x] mutt yleensä emme tunne tälle täsmällistä rvo.
Tylorin polynomi (2/2) Eräitä Tylorin polynomin käyttökohteit Teoreettiset tutkimukset Funktion pproksimointi derivttojen vull Rj-rvojen määrittäminen Srjojen tutkiminen Esimerkki 60 Ann estimtti funktion sin(x) rvolle pisteessä 0.1 käyttämällä ) 1. steen Tylorin polynomi (lineristioit), b) 2. steen Tylorin polynomi. c) Annn virheelle ylärjt ) j b) kohdiss. d) Näytä Tylorin kvn vull että lim x 0 sin(x)/x = 1. Esimerkki 61 Kuink mont termiä Tylorin polynomist trvitn, jos funktiot e x pproksimoidn pisteen 0 läheisyydessä j e:n rvo hlutn 3 desimlin trkkuudell.
L Hospitlin säännöt (1/2) Luse Oletetn, että i) g(x) 0 j f :llä sekä g:llä on jtkuvt derivtt välillä (, b) ii) f (x) j g(x) 0 (ti ), kun x (ti ) Tällöin f (x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x), jos jälkimmäinen rj-rvo on olemss. Esimerkki 62 Määritä seurvt rj-rvot L Hospitlin sääntöön perustuen ln x x ) lim x 1 b)lim 2 x 2 1 x e x
L Hospitlin säännöt (2/2) Funktiot f (x), jotk ovt muoto u(x) v(x), u(x)v(x), [u(x)]v(x) j u(x) v(x) ovt epämääräisessä muodoss pisteessä (ti ), jos f () on joku seurvist muodoist. 0 (1) 0, (2), (3) 0, (4) 00, (5) 0, 1, (6) 1, (7) Tällöin rj-rvon ( ) etsimiseen voidn käyttää l Hospitlin sääntöä kirjoittmll funktiot mm. seurvsti: (3) uv = u 1/v, (4), (5), (6) uv = e v ln u, (7) u v = ln(e u /e v ) Esimerkki 63 Määritä rj-rvot ) lim x 0+ x x b) lim x 0 1 e 3x2 x sin 2x c) lim x 0+ x sin x d) lim x 0+ (sin x) x e) lim x 0+ (cos x) 1/x
Määrätty integrli (1/2) Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Jetn väli [, b] n yhtäsuureen osn x i :n mittiseen osn: = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b Olkoon u i [x i 1, x i ] sellinen, että f (u i ) on f :n mksimirvo tällä välillä j l i [x i 1, x i ] sellnen, että f (l i ) on f :n minimirvo tällä välillä. Merkitään: S l = f (l i ) x i S l S ylä S ylä = f (u i ) x i
Määrätty integrli (2/2) Jos jokisen välin [, b] jolle pätee S l I S ylä, snotn, että se on integroituv välillä [, b] j I = b f (x) dx on f :n määrätty integrli yli välin [, b] Huom! b Huom! Merkintä I = f (x) dx ei in ilmise pint-l! b f (x) dx voidn tulkit seurvsti: di = f (x) dx on pint-l-lkio, missä dx on ääretömän ohut viiple, jonk korkeus on f (x). Kun välillä [, b] summtn pint-l-lkiot sdn b f (x) dx.
Määrättyn integrlin lskeminen (1/3) Määrätty integrli voidn lske mm. summmll suorkiteiden pint-loj yhteen. Tämä lähestymistp on myös useiden numeeristen integrointimenetelmien tustll. Summmerkinnästä j summsäännöistä: i = 1 + 2 +... + n 0 i = 0, i=0 1 i = 1, b i = ( i + b i ) = 2 i = 1 + 2 jne b i i + ( vkio) b i
Määrättyn integrlin lskeminen (2/3) Eräitä summkvoj (voidn todist mm. mtemttisell induktioll) 1 = 1 + 1 + 1 +... + 1 = n i = 1 + 2 +... + n = i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = Esimerkki 64 n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 r i 1 = 1 + r + r 2 +... + r n 1 = r n 1 r 1, r 1 Esimerkki: Lske prbelin y = x 2, suorn x = b j x-kselin välinen pint-l j määrätty integrli b 0 x 2 dx.
Määrättyn integrlin lskeminen (3/3) Kuink lske määrätty integrli jos ei tunnet sopivi summkvoj, esim. tpus f (x) = cos(x)? Luse Anlyysin perusluse Olkoon f jtkuv välillä [, b] j F jokin funktion f integrlifunktio (F (x) = f (x)) välillä (, b). Tällöin b f (x) dx = / b F (x) = F (b) F () j d x f (t) dt = f (x). dx Edellisessä myös äärettömät integroimisrjt j epäjtkuvt funktiot kelpisivt tietyin reunehdoin. Tällöin puhutn epäoleellisist integrleist. Näihin pltn A2:ss.
Esimerkkejä määrätyistä integrleist Esimerkki 65 Määritä seurvt integrlit. ) 2 2 (1 + x) dx, b) 1 3 1 (1 + x) dx, c) 2 x dx. 1 1 2 d) 0 Esimerkki 66 dx 3π/2, e) cos x dx, f ) 1 x 2 0 π/2 π/4 4 (sin x(1 + sin(x)) 1 dx. ) Mitä on f (2) kun f (x) = 1 x 0 f (t)dt? b) Mitä on H (2) kun H(x) = 3x x 2 4 e t dt? c) Määritä funktion f (x) = ( ) 2x x 2 0 cos 1 dt minimi- j 1+t 2 mksimikohdt.
Pint-lojen lskent (1/2) Funktion j x-kselin rjoittm pint-l: Jos f (x) 0 niin x-kselin j suorien x = j x = b väliin jäävä pint-l on b f (x)dx Jos f (x) 0 niin x-kselin j suorien x = j x = b väliin jäävä pint-l on b f (x)dx. Jos f (x) viht merkkiä trksteluvälillä, niin pint-l on b f (x) dx. Siis integrli jk osiin. Esim. jos f (x) > 0 kun x < c j f (x) 0 kun x c niin pint-l on c f (x)dx b c f (x)dx. Khden funktion rjoittm pint-l: Jos f (x) g(x) niin pint-l on b (f (x) g(x))dx. Jos f (x) g(x) ei päde koko välille [, b] niin pint-l on b f (x) g(x) dx. Siis integrli täytyy jk osiin sen mukn onko f (x) g(x) positiivinen vin negtiivinen kyseisillä väleillä.
Pint-lojen lskent (2/2) Esimerkki 67 ) Lske suorien x = 1, x = 2, x-kselin j käyrän y = x 3 rjoittm pint-l. b) Lske käyrän y = x 3 j tämän pisteeseen (1, 1) setetun tngentin rjoittm pint-l c) Lske funktioiden f (x) = sin(x) j g(x) = cos(x) väliin jäävä pint-l kun x [0, 2π] rjoittm pint-l. d) Lske käyrien x = y 2 j x = 2y 2 y 2 rjoittm pint-l.
Integroimisrjojen kääntäminen Kun määrittelimme integrli niin oletimme että b. Tämä ei kuitenkn ole välttämätöntä. Jos b niin x i = (b )/n < 0 j oltv S yl < I < S l kikille joille (eli e.y. pätee kun n ). Kikki lskent (j pint-l tulkinnt) voidn tehdä näille rjoille smoin kuin edellä käyttämällä yhteyttä b f (x)dx = b f (x)dx Esimerkki 68 Määritä siten että välillä [0, 1] funktioiden f (x) = x 3 j g(x) = x 2 väliin jäävä pint-l olisi mhdollisimmn pieni.