, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download ", c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä"

Elli Virtanen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) = x = ± x = 0 tai x =. Vastaus: a) x =, b) x =, c) x = 0 tai x =.. a) (x + x ) (x x ) = x + + ( x ) (x + ( x ) ) = + = 4. b) x 9 x + = (x + )(x ) x + = x. c) ln x + ln ex x + ln = ln(x ex x ) = lnex = x. Vastaus: a) 4, b) x, c) x.. a) f (x) = D( ex (sinx + cos x)) = ex (sinx + cos x) + ex (cosx sin x) = ex ( cosx) = e x cos x. Siten f (0) = e 0 cos 0 =. π b) ( + sin x 0 ) dx = π x cos x 0 = π cos π + cos 0 = π +. Vastaus: a) f (0) =, b) π a) Kun α [π, π ], on sinα 0, joten sin α = cos α = ( 8 ) = 9 =, tan α = sin α cos α = ( ) =. b) Kosinilauseen mukaan a = + cos 0 o = Siis a = 6,6486. Vastaus: a) sin α =, tan α =, b) a = 6,6. = 6.. Polynomin f(x) = x 6x x+ derivaatta on f (x) = x x. Derivaatta häviää, kun x = ± + 4 ± 8 = eli kun x = tai x =. Näistä 6 6 vain [, 6]. Koska f() = 44, f() = 98 ja f(6) = 88, antaa f() suurimman ja f() pienimmän arvon. Vastaus: Suurin arvo on 44 ja pienin 98.

2 6. Paraabelin y = 4x akseli on positiivinen x-akseli ja sen huippu on origossa. Paraabelin ja suoran 4x y = 4 leikkauspisteiden y-koordinaatit saadaan yhtälöstä y = y + 4 y y 4 = 0. Tämän ratkaisu on y = ± eli y = tai y = 4. Vastaavat x-koordinaatit ovat x = ( ) = 4 4 Näillä tiedoilla voidaan piirtää kuvio tilanteesta. Paraabelin ja suoran väliin jäävän rajoitetun alueen pinta-ala on 4 ( 4 y + 4 y ) dy = 4 4,08. Vastaus: 4,. = ± ja x = 4 4 = 4. 8 y + y y = ( 8 + )= 7. a) Havainnoista saadaan 0 = k 0, b ja 6 = k 0,08 b. Ottamalla kummastakin logaritmit saadaan ln 0 = lnk + b ln0, ja ln 6 = lnk + b ln0,08. Vähentämällä ln 0 ln 6 yhtälöt toisistaan saadaan b = 0,8608 ja edelleen ln0, ln 0,08 k = 0 0, b,989. b) Malli antaa edellisillä arvoilla k ja b La Palman lintulajien määräksi n = k 708 b 44,07. Vastaus: a) k 0,86 ja b,0, b) 44 lintulajia. 8. a) Merkitään P(n):llä todennäköisyyttä sille, että professori pitää viikossa n luentoa. Tällöin P() = 0,8 = 0,768. ( ) b) Kysytty todennäköisyys on P(4) = 0, 0,8 4 = 0, c) Lasketaan muiden luentomäärien todennäköisyydet. ( ) P(0) = 0, = 0,000, P() = 0, 4 0,8 = 0,0064, ( ) ( ) P() = 0, 0,8 = 0,0, P() = 0, 0,8 = 0,048. Odotusarvo E = 0P(0) + P() + P() + P() + 4P(4) + P() = 4. Vastaus: a) 0,, b) 0,4, c) a) a b = (cos φ sinφ)(cos φ + sin φ) + + (sinφ + cos φ)(sinφ cos φ) = (sin φ + cos φ) = = 0. Koska pistetulo on aina nolla, ovat vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla φ IR. b) Jos φ = 0, on a = i+j+k ja b = i+j k. Nyt sa+tb = (s+t)i+(s+t)j+(s t)k. Tämä on i j vain jos s+t =, s+t = ja s t = 0. Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat ristiriitaiset, joten tällaisia kertoimia s ja t ei ole olemassa.

3 0. Yhtälön ratkaisujen määrä on sama kuin erotusfunktion f(x) = e x+a x nollakohtien määrä. Funktion derivaatta f (x) = e x+a häviää, kun e x+a = = e 0 eli kun x+a = 0 x = a. Selvästi f (x) < 0, kun x < a ja f (x) > 0, kun x > a. Näin ollen f(x) saa pienimmän arvonsa kohdassa x = a ja f( a) = e a+a ( a) = +a. Kun x < a, on f(x) aidosti vähenevä ja kun x > a on f(x) aidosti kasvava. Tämän perusteella nähdään yhtälön ratkaisujen määrä eri arvoilla a. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, jos f( a) > 0 + a > 0 a >. Yhtälöllä on yksi ratkaisu, jos f( a) = 0 + a = 0 a =. Yhtälöllä on kaksi ratkaisua, jos f( a) < 0 + a < 0 a <.. a) Tarkastellaan geometrista jonoa a 0, a, a, a,..., missä a n = aq n. Jos a m ja a m+ ovat rationaalisia, on q = aqm+ aq = a m+ rationaalilukujen osamääränä rationaalinen. Samoin q n on aina rationaalinen kaikilla n Z. Edelleen a = a m q m m a m on rationaalilukujen tulona rationaalinen. Koska a ja q ovat rationaalisia, on jonon jokainen termi rationaalilukujen tulona rationaaliluku. b) Olkoon sitten kokonaisluvut m ja n, m < n siten, että aq m ja aq n ovat rationaaliset. Niiden osamäärä on myös rationaalinen eli q n m = aqn on rationaalinen. Tällöin aqm myös q p(n m) on rationaalinen kaikilla kokonaisluvuilla p. Koska aq m ja q p(n m) ovat rationaalisia, on niiden tulo aq m+p(n m) rationaalinen kaikilla kokonaisluvuilla p. Tämä osoittaa, että jonossa on äärettömän monta rationaalista termiä a m+p(n m). 4. Puolisuunnikassäännön mukaan f(t)dt ( f(0) + f() + f(6) + f(9) + f() + f() + f(8) + f() + f(4))=, = 4,4. 8 Vastaus: 4,4 astetta.. ln(4x + ) ln(x + 4) = ln 4x + x + 4 = ln 4 + x + 4, kun x > 0. Koska lim x x x lim x (ln(4x + ) ln(x + 4)) = lim x ln 4 + x + 4 x Vastaus: ln 4. = ln = ln 4. = 0, on

4 *4. a) Jotta tehtävässä määritelty funktio f(x) olisi tiheysfunktio, on oltava f(x) 0 ja sen integraali f(x) dx =. Kuvauksen perusteella f(x) 0. Funktion integraalin arvo on sen kolmion ala, jonka kanta on väli [,0;,0] ja jonka korkeus h on kohdassa x = 0,0. Näin ollen f(x) dx = (,0,0)h = h. Korkeudelle h saadaan ehto h =, josta h =. 0, 0 Välillä [,0; 0,0] on f(x) suora, jonka kulmakerroin k = 0,0,0 =. Välillä [0,0;,0] on f(x) suora, jonka kulmakerroin k = Nyt voidaan muodostaa tiheysfunktion f(x) lauseke. 0, kun x ] ;,0] f(x) = x, kun x ],0; 0,0] 0 x +, kun x ]0,0;,0] 0 0, kun x ],0; [. 0 0,,0 0,0 =. b) Kysytty todennäköisyys P(x 9) = 9 f(x) dx = 9, ( x 0 ) dx = 9, 0 x 0 x = 0,4. c) Jotta muutettu funktio g(x) olisi tiheysfunktio, on oltava g(x) 0 ja g(x) dx =. Selvästi g(x) 0. Funktion integraalin arvo on sen kolmion ala, jonka kanta on väli [,0; 0,0] ja jonka korkeus h on kohdassa x = 0,0. Näin ollen f(x) dx = (0,0,0)h = 7,h. On oltava 7,h =, josta h =. 0 Välillä [,0; 0,0] on g(x) suora, jonka kulmakerroin k = 0,0,0 = 7. Välillä [0,0; 0,0] on g(x) suora, jonka kulmakerroin k 4 = 0 0,0 0,0 = 7. Nyt voidaan muodostaa tiheysfunktion g(x) lauseke. 0, kun x ] ;,0] g(x) = 7 x, kun x ],0; 0,0] 7 7 x + 6, kun x ]0,0; 0,0] 0 0, kun x ]0,0; [. Uuden jakauman odotusarvo E(X) = xg(x) dx = 0,, ( 7 x 7 x)dx + 0,, x 0 x + 0, 0, 0, 0, x x = = 6 ( 7 x x)dx =,7 (euroa). 4

5 *. a) Olkoon lieriön pohjan säde r ja lieriön korkeuden suhde pohjan säteeseen x, missä x > 0. Tällöin lieriön korkeus on xr. Pallon säteelle s saadaan nyt lauseke s = r + ( xr) = r + 4 x. Pallon pinta-ala on A P = 4πs = 4πr ( + 4 x ) ja lieriön koko pinta-ala A L = πr(xr)+πr = πr (+x). Siis t = A P = ( + 4 x ). A L + x Tästä saadaan x:lle yhtälö t( + x) = ( + 4 x ) x tx + t = 0, jonka ratkaisu on x = t ± t ( t) = t ± t + t 4. b) Koska t on pinta-alojen suhde, on t > 0. Jos t +t 4 < 0, ei x IR, eikä tällaista lieriötä voi olla olemassa. Ylöspäin aukeavan paraabelin y = t + t 4 nollakohdat ovat t = ± = ±, joten t +t 4 < 0, kun < t < +. Tällaista lieriötä ei voi olla olemassa, kun 0 < t < +. c) Jos t =, on x = t + 0 = eli on täsmälleen yksi tällainen lieriö. Tasan yksi ratkaisu voi tulla myös sellaisilla arvoilla t, joilla x = t t + t 4 ei toteuta ehtoa x > 0. Näin käy, jos t t + t 4 t t + t 4 t. d) Edellisen kohdan mukaan sekä x = t + t + t 4 että x = t t + t 4 kelpaavat ratkaisuiksi, jos < t <. Vastaus: a) Suhde on t ± t + t 4, b) tällaista lieriötä ei voi olla olemassa, kun 0 < t <, c) on tasan yksi lieriö, kun t = tai t, d) on kaksi lieriötä, kun < t <.

Samankaltaiset tiedostot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa