Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..007 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden vaimentaminen Signaalien erottaminen muista signaaleista esim. radiovastaanottimessa Halutun pulssimuodon tai -spektrin generoiminen Sovitettu suodatin signaalikohinasuhteen maksimoimiseksi näytteenottohetkellä Siirtokanavan aiheuttamien lineaaristen vääristymien korjaus Alkuperäisen signaalin rekonstruktio näytteistä Dupleksisuodattimet (ylä- ja alasuunnan liikenteen erottaminen omille kaistoilleen) Esikorostus/jälkikorjausmenetelmät Peilitaajuussignaalin vaimentaminen superheterodyneperiaatteella toimivassa radiovastaanottimessa jne 8..007
Lineaarinen suodatus Vasteen y(t) Fourier-muunnos: Y()=H()U() ut () y() t ht () U( ) Y( ) H ( ) Vasteen y(t) spektritiheys saadaan impulssivasteen ja herätteen spektritiheyksien tulona: U( ) Y( ) Y( ) = H( ) U( ) H ( ) H ( ) Tehonsiirtounktio Järjestelmä suodattaa signaalia u(t) 8..007 3 Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Ideaalinen suodatin Päästökaistalla: A()=A ja φ()=πt d => Suodin ei aiheuta amplitudi ja vaihevääristymiä Estokaistalla amplitudivaste A()=0 => Estokaistalla oleva signaali ei näy suotimen ulostulossa lainkaan H ( ) { H } arg A Päästökaista B 8..007 π td 4
Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Alipäästösuodatin H ( ) A Kaistanpäästösuodatin H ( ) A Päästökaista Päästökaista Ylipäästösuodatin H ( ) A Kaistanestosuodatin H ( ) A Estokaista Estokaista 8..007 5 Ideaalinen alipäästösuodatin Tarkastellaan ideaalista alipäästösuodinta, jonka päästökaistan leveys on B. Suodattimen siirtounktio iπ t H( ) =Π e d B Π ( ) = 0 > H ( ) Suodattimen impulssivaste ht () = F H( ) = BAsinc B t td { } ( ) B A 8..007 6 3
Ideaaliset yli- ja kaistanpäästösuodattimet Ideaalinen ylipäästösuodin H ( ) A Estokaista iπ t H( ) = e d Π B ( ) ht () = δ ( t td) BAsinc B t td Ideaalinen kaistanpäästösuodin H( ) + i t c H c π = e d Π +Π B B A ht = BAsinc( B( t t )) cos( π t) d c 8..007 7 Ideaalinen alipäästösuodin Alipäästösuodattimen impulssivaste ut () = δ () t y() t = h() t U( ) = H ( ) Y( ) = H( ).5 δ(t) t d 0.5 Impulssiheräte ajanhetkellä 0 t=0 näkyy vasteessa y(t) -0.5 myös ajanhetkinä t<0 - => Ideaalinen alipäästösuodin ei ole -.5 kausaalinen eikä sitä voida - -0-8 -6-4 - 0 4 6 8 0 realisoida käytännössä t Myös ideaaliset yli-, esto- ja kaistanpäästösuodattimet ovat epäkausaalisia. 8..007 8 h(t) t=t d +/(B) t=t d -/(B) 4
Aika- ja taajuustason rajoitukset Aikarajoitettu (Time limited signal) vt () = 0, t< t t> t 0 t t 0 Kaistarajoitettu signaali (Bandlimited signal) V( ) = 0, > W W W c c c + Signaali ei voi olla rajoitettu sekä aika- että taajuustasossa. => Ei ole mahdollista tehdä suodatinta, jonka impulssivaste olisi aikatasossa rajattu ja jonka päästökaista olisi taajuustasossa rajattu t 8..007 9 Käytännön suodattimet Käytännön suodattimessa Päästökaistan (passband) amplitudivaste ei ole vakio vaan sillä sallitaan ΔA p suuruisia amplitudieroja. Päästökaistaa seuraa ylimenokaista (transition region), jolla amplitudivaste laskee nopeasti Estokaistalla (stopband) amplitudivaste valitaan sovelluksen kannalta riittävän pieneksi. ΔA e kuvaa estokaistalle vaadittua vaimennusta päästökaistan maksimiin nähden KÄYTÄNNÖN SUODATIN 0log A() ΔA p -0 db -0 db ΔA e -30 db -40 db päästökaista 8..007 ylimenokaista 0 estokaista 5
Päästökaista Puolentehon kaistanleveys kertoo taajuuskaistan, missä signaalin amplitudi erot ΔA on pienempi kuin Δ A = Erot tehonsiirrossa kaistalla on tällöin enintään 3dB H( ) max H( ) H() -3 db B -3 db 8..007 Selektiivisyys Useissa käytännön sovelluksissa tavoitteena on mahdollisimman kapea ylimenokaista. Suodattimen selektiivisyys kertoo ylimenokaistan koosta Määritellään selektiivisyyssuhde r sel suodattimen 3dB ja -60 db kaistanleveyksien suhteena B 0log 3dB 0 A() rsel = päästökaista B 60dB -3 db -60 db estokaista B 3dB 8..007 B 60dB 6
Selektiivisyys Oktaaviselektiivisyys A( ) ( 0 A min 0log 0,0log0 ) ( 0 OS = A 0,5 0 A 0) 0log 0 A( 0 ) 0log0 A 0 ( ) 0log0 A 0 0 0 0 8..007 3 RC-suodatin Siirtounktio -3 db päästökaista AB ( 3) H( ) =, τ = RC = = iπ τ + A(0) ( πb ) 3 τ + Amplitudiunktio ( πb 3 τ ) + = A( ) = πb 3 τ = ( π τ) + B 3 = πτ maksimi löytyy taajuudelta -60 db kaista =0 Hz 60 AB ( 60) 0 A(0)= = = 0 = A(0) 6 ( πb 60τ) 0 + 6 ( πb 60τ) + = 0 6 πb 60τ = 0 000 6 0 B 60 = 8..007 πτ 4 7
RC-suotimen selektiivisyys B RC-suodatin 3 6 sel = = πτ = 0 000 B 6 60 r 0 πτ 8..007 5 Kaksi RC-suodatinta sarjassa Siirtounktio ja amplitudiunktio H ( ) =, τ = RC ( iπ τ + ) Valitaan aikavakio τ siten, että päästökaista on sama kuin edellä B 3 = πτ A = = πτ π τ + πτ τ = τ τ = τ 0.64τ 8..007 6 8
Kaksi RC-suodatinta sarjassa -60 db:n kaista 60 0 AB 60 = = 0 = ( πb 60 ) 000 τ + ( πb 60τ ) + = 000 999 B 60 = 999 = πτ πτ 999 = B 3 τ = τ 0.64τ r 3 999 rsel = = 49, r 60 Toisen asteen suodattimella saadaan huomattavasti parempi selektiivisyys 8..007 7 K. ja. kertaluvun RC suotimet Boden amplitudikäyrän approksimaationt -3dB kaista -3dB kaista /τ -0 db/dec -40 db/dec -60 db => 3 dec => ω 000/τ ω -60 db =>.5 dec => ω 3.6/τ /τ 8..007 8 ω 9
. ja. kertaluvun RC suotimet RC-suodatin ja kaksi RC-suodatinta sarjassa τ = τ 0.64τ 0 Bode Diagram. asteen RC-suodatin Magnitude (db) -0-40 -60-80 -00-0 0. asteen RC-suodatin Phase (deg) -45-90 -35-80 0-0 - 0 0 0 0 0 3 8..007 Frequency (rad/sec) 9 Käytännön suodattimet Käytännölliset lineaariset suodattimet ovat kausaalisia, ja ne esitetään usein siirtounktion avulla M M M M() s s z s z...( s z ) m m H() s = = N() s N N N s p s p...( s p ) n Suodattimet valitaan stabiileiksi, jolloin siirtounktion navat N(s)=0 ovat kompleksitason vasemmassa puolitasossa. N Jotta impulssivaste olisi reaalinen, pitää taajuustason siirtounktion on hermiittinen = * ( ), and H( ) = * H H H H s = iπ 8..007 0 0
Käytännön suodattimet Valitsemalla s-tasossa sopivat nolla- ja napayhdistelmät saadaan haluttuja ominaisuuksia omaavat suodattimet, esim. päästökaistan amplitudivääristymän suhteen (laakalatvaisuus, aaltoilu), päästökaistan kulkuaikavääristymän suhteen, estokaistan vaimennuksen suhteen, ylimenokaistan jyrkkyyden suhteen. Erilaisia suodatinperheitä, jotka määrittelevät navat ja nollat halutulle asteluvulle, on esitetty useita. Butterworth Bessel Tšebyshev (Chebyshev) Bessel (Bessel-Thomson) Cauer 8..007 Butterworth suodartinperhe Butterworh suodattimen navat ovat :n juuria ja ne saadaan ratkaistuksi DeMoivren teoreemasta jπ k m m jk π m m = e = e k = 0,,,3, 4,, m- juuret ovat tasajakautuneita yksikköympyrän kehälle ω ω taajuustasossa. N = N =3 Jotta suodatin olisi stabiili σ valtaan vain navat, jotka ovat vasemmassa puolitasossa ω N = 4 N = 8 ω σ σ σ 8..007
3. Asteen Butterworth suodin Suunnitellaan n=3 asteen Butterworth suodin, jonka kaistanleveys on W Jos m=6 saadaan, löydetään DeMoivren teoreemalla kuusi juurta jπ k m m jπ k m m = e = e k = 0,,,3, 4,, m- 3 3 s = 0 =, s = 60 = + j, s3 = 0 = + j 3 3 s4 = 80 =, s5 = 40 = j, s6 = 300 = j Joista valitaan kolme vasemmassa puolitasossa olevaa: 3 3 p = s3 = + j, p = s4 =, p3 = s5 = j 8..007 3 3. Asteen Butterworth suodin Siirtounktioksi tulee H s = = s p s p s p s + s + s+ Taajuustasossa Amplitudi unktio 3 3 H = H H = A( ) = * s= iπ ( π ) 6 + ( π ) 6 + 8..007 4
3. Asteen Butterworth suodin Puolentehon kaistanleveys A( ) = = 6 π + ( π ) + = 6 = π Haluttu puolentehon kaistanleveys W saadaan valitsemalla s=s/πw s H = 3 πw 3 s + s + s+ πw πw πw 3 πw = 3 3 s + ( πw) s + ( πw) s+ ( πw) 8..007 5 3. Asteen Butterworth Siirtounktioksi saadaan siis 3 s ( πw ) H = 3 πw s + ( πw) s + ( πw) s+ ( πw) Tätä vastaa amplitudi unktio A( ) = 6 + W 3 8..007 6 3
Butterworth suodartinperhe Suodattimen amplitudiunktio on A( ) = n + W jossa W on suodattimen puolen tehon kaistanleveys ja n suodattimen aste-luku. Amplitudiunktio on laakalatvainen, siinä ei ole aaltoilua. Laakalatvaisuus merkitsee sitä, että amplitudiunktion n ensimmäistä derivaatta saa arvon nolla taajudella = 0. 8..007 7 Butterworth suotimet Matalilla taajuuksilla ryhmäkulkuaika on vakio, joten taajuusvääristymää ei Butterwoth suotimessa synny, jos sisäänmeno signaalin taajuuskaista << W Boden amplitudikäyrä Ryhmäkulkuaikaviive 8..007 8 4
Butterworth alipäästösuodattimen suunnittelu Päästökaista 0 p Vaadittu vahvistus δ p A( ) + δ p Estokaista s Vaadittu vaimennus A( ) δs. Ratkaistaan vaadittu asteluku n A( p) = = δ p ( p W) = G p n + ( p W δ p ) n A( s) = = δs ( s W) = G s n + ( s W) ( δs ) Gp n n log ( p W) Gp p G p Gs = n n = = ( ) Gs s Gs s W p log pyöristetään n ylöspäin s 8..007 9 Butterworth alipäästösuodattimen suunnittelu. Ratkaistaan normalisoitu suodattimen H(s) siirtounktio (käytännössä taulukosta tai tietokoneohjelman avulla) 3. Ratkaistaan rajataajuus W. Joko niin, että päästökaistan ehto toteutuu tarkkaan n p A( p) = δ p ( p W) = Gp W = ( G n p ). Tai niin, että estokaistan ehto toteutuu tarkkaan n A( ) s s = δs ( s W) = Gs W = n ( Gs ) 3. Suodattimen siirtounktio saadaan kun sijoitetaan skaalaamalla s: s H πw 8..007 30 5
Esimerkki Päästökaista 0 50 Hz, vahvistus päästökaistalla > -3 db 3 0log 0 0 A( ) 3 A( ) 0 0.7079=-δp 6 G 0 p = = = 0 0.9953 3 ( δ p ) 0 0 Estokaista 00 Hz, vahvistus estokaistalla -30 db 30 0log 0 0 A( ) 30 A( ) = 0 0.036= δs 60 G 0 s = = = 0 = 000 ( δs ) 30 0 8..007 0 3 Asteluku Esimerkki Gp log 0.9953 log G s 000 n =.493 n=3 p 50 log log 50 s Jos halutaan asettaa päästökaista tarkasti p 50 W = = 50.0393 G n 0.9953 6 p Jos halutaan asettaa estokaista tarkasti 00 W = s = 63.456 6 ( G n ) ( 000) s 8..007 3 6
Esimerkki 0-5 0log 0 A() (db) -0-5 -0-5 Päästökaista asetettu tarkkaan Estokaista asetettu tarkkaan -30-35 -40 0 0 0 0 0 3 (Hz) 8..007 33 Tšebyshevin suodatinperhe Tšebyshev Type I -suodattimen navat saadaan kun Butterworth-suodattimen navat liikkuvat vaakasuoraan ympyrään sisäiänkirjoitetun ellipsin kehälle. ω N = 4 Amplitudiunktio on s=iω+σ A( ) = + ε Tn ( W) σ jossa ε on ellipsin eksentrisyys, ja on n:nnen kertaluvun tyypin I Tšebyshevin polynomi. Tn( x) = xtn ( x) Tn ( x) T 0 ( x ) = T ( x) = x Amplitudiunktio sisältää aaltoilun (ripple), jonka maksimi- ja minimiamplitudin suhde päästökaistalla on ra = + ε 8..007 34 7
Tšebyshevin suodatinperhe N kertaluvum Tšebyshevin tyypin I polynomi cos( Ncos ( x) ) x Tn ( x) = cosh ( Ncosh ( x) ) x > ± N parillinen Tn(0) =, Tn() = 0 N pariton Amplitudi unktio N parillinen A(0) = + ε N pariton AW = + ε 8..007 35 Tšebyshevin suodatinperhe Mitä suurempi aaltoilu sallitaan sitä kapeampi on ylimenokaista + ε T ( 0) A( ) = n + ε Tn ( W) 8..007 36 8
Tšebyshevin alipäästösuodattimen suunnittelu Päästökaista 0 p Vaadittu vahvistus δ p A( ) + Estokaista s Vaadittu vaimennus A( ) δs. Aaltoilu päästökaistalla δ p AW = + ε = δp ε = = + ε Gp = ( δ p ) ( δ p ) Gp 8..007 37 Tšebyshevin alipäästösuodattimen suunnittelu. Asteluku A( s) = = δ s + ε Tn ( s W) G T s n s W = = ε ( δs ) G p G cosh s Gp N = Asteluku määrätään estokaistan perusteella cosh ( s W) Gs =, G p = ε = ( δ ) s ( δ p ) 8..007 38 9
Esimerkki Päästökaista 0 50 Hz, vahvistus päästökaistalla > -3 db 3 0log 0 0 AW = 3 A W = 0 = δ p 3 G 00 p = = 0.45 Aaltoilu ( δ p ) ε = G p 0.643 ra = + ε.885 0log 0 ( ra) =0.75 db 8..007 39 Esimerkki Estokaista 00 Hz, vahvistus estokaistalla -30 db 30 0log 0 0 A( s ) = 30 A( s) = 0 = δs Gs = = = 000 60 ( δs ) 0 0 Gp cosh Gs N =.43 cos ( s W) 8..007 40 0
Esimerkki 0-5 -0 0log 0 A() (db) -5-0 -5-30 Tšebyshev Butterworth -35-40 0 0 0 0 0 3 (Hz) 8..007 4 Transversaalisuodattimet Approksimoidaan suodatinta suoraan sen impulssivasteesta lähtien. Näytteistetään impulssivaste N:llä näytteellä N hs () t = h( kt) t kt k= 0 Taajuusvaste δ N iπ kt Hs ( ) = h( kt) e k= 0 8..007 4
Transversaalisuodattimet Suodatinta vastaa viivästysalkioista koostuva viivelinja ja jokaisen viivealkion jälkeen on väliulosotto, jossa viivästetty tulosignaali kerrotaan kertoimella h k. Väliulosottoja kutsutaan tapeiksi ja kertoimia kutsutaan tappikertoimiki. Kun tappikertoimet ovat riittävän tiheästi (näytteenottoteoreema) ja riittävän monta voidaan approksimoida mitä tahansa impulssivaste. Koska suuria tappimääriä on vaikea rakentaa, on käytettävä sopivia ikkunaunktioita katkaisun aiheuttaman spektri levenemisen lieventämiseksi. Käytännön toteutus esim. käyttäen digitaalista FIR-suodinta 8..007 43 Transversaalisuodattimet 8..007 44
Pulssin suodattaminen Pulssi-muotoinen signaali sisältää korkeita taajuuksia, jotka suodattuvat alipäästösuodattimessa. Pulssin kulkua suodattimen läpi kuvaa nousuaika (rise time) ja ylitys (overshoot) ja asettumisaika (settiling time) H() 8..007 45 Askelvaste Askelvaste kertoo järjestelmän vasteen askelmaiselle herätteelle x x(t) y(t) 8..007 46 3
Askelvaste Askelvasteen käyttäytymistä kuvataan seuraavilla suureilla t d = kuollut aika, viive y = lopputila x = askeleen korkeus e = pysyvä poikkeama (e = x y ) t r = nousuaika (tavallisimmin määritetty ajaksi, joka kuluu, kun vaste nousee arvosta 0.y arvoon 0.9y ). t ω = värähtelyn jaksonaika t s = asettumisaika (tavallisimmin määritetty ajaksi, jonka jälkeen vaste pysyy putken y ± % tai y ± 5% sisällä vastaavat termit ovat kahden ja viiden prosentin asettumisajat) t p = vastehuipun aika (peak time) o = ylitys (overshoot) d = vaimennuskerroin 8..007 47 Pulssin suodattaminen Jotta pulssi perättäiset pulssit voitaisiin erottaa toisistaan, pitää suodattimen kaistanleveys olla selvästi suurempi kuin pulssin puolentehon kaistanleveys B >> /T Jos pelkkä pulssin amplitudin havaitseminen riittää, selvitään pienemmällä kaistanleveydellä B /(T) Jos pulssille halutaan tietty nousuaika, vaaditaan B /(t r ) 8..007 48 4
3. Asteen Butterworth Tarkastellaan T= pituisen pulssin suodatusta. W=5 0.8 W= W=0.5 0.6 0.4 0. W=0. 0-0. 0 3 4 5 6 7 8 9 0 8..007 49 Nousuaika 3. Asteen Butterworth 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8..4 W=/T W=5/T W=/(T) 8..007 50 5