DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen tapa differenssiyhtälön irjoittamisesi on laittaa ajanheteä ilmaisevat termit suleisiin: y y y 0 Yllä olevat asi differenssiyhtälöä ovat siis ysi ja sama yhtälö Sitten siirrytään tämän harjoitusen varsinaisiin aihepiireihin Impulssivaste h() on järjestelmän ulostulo, un sisäänmenona on impulssi () Impulssivaste uvaa siis sitä, miten järjestelmä vastaa impulssiin Kun järjestelmän impulssivaste tunnetaan, ulostulo saadaan selville onvoluutiosumman avulla mille tahansa sisäänmenolle Tarastellaan ennen tilamuuttujaesitystä sitä, mitä taroittaa differenssiyhtälön ertaluoa Differenssiyhtälön ertaluoa on aina sama uin differenssiyhtälön arateristisen yhtälön aste Täten differenssiyhtälö y y y 0 on toista ertaluoaa, osa sijoitusella y() = r sille saadaan arateristinen yhtälö r r 0 Tilamuuttujaesitysen eseisin idea on mahdollisuus palauttaa oreampaa ertaluoaa oleva differenssiyhtälö ensimmäisen ertaluoan differenssiyhtälöryhmäsi Tarvittavien tilamuuttujien luumäärä täsmää aina differenssiyhtälön ertaluoaan Eli jos differenssiyhtälö on toista ertaluoaa, tarvitaan asi tilamuuttujaa, jotta toisen ertaluoan differenssiyhtälö saadaan palautettua ensimmäisen ertaluoan differenssiyhtälöisi Tilamuuttujaesitystä voidaan tarvita myös silloin, un tarastellaan järjestelmän toimintaa jonin tietooneohjelman avulla Kun ohjelmalle (esimerisi Matlabille) pitää uvata, millainen järjestelmä on yseessä, tämä tehdään syöttämällä ohjelmalle tilamuuttujaesitysen matriisit A, B, C ja D
Tehtävä (tämä yhtälö on rataistu jo edellisissä harjoitusissa) y y y u u() = () y() = h() hh h Tarastellaan tilannetta, un > 0: hh h 0 h() = r r r r 0 :r - r r 0 r Karateristinen yhtälö on toista astetta, mutta sille löytyy vain ysi juuri Täten yseinen juuri on asinertainen, jolloin homogeenisen yhtälön rataisu on: hc C Vielä tarvitaan asi aluehtoa vaioiden C ja C rataisemiseen: h h h : h h0 h 0: 0 0 h 0, hh0 0 h 0 0 h0c C0 h C C C C C C C Järjestelmän impulssivaste on siis h Rataistaan järjestelmää uvaavasta yhtälöstä y(), jotta saadaan piirrettyä lohoaavio: y y y u y() u()
Disreetti asel taroittaa luujonoa, jossa on ensin ääretön määrä nollia (:n negatiivisilla arvoilla), ja sen jäleen peliä yösiä (un 0) Lasetaan onvoluutiosummalla, mitä tällainen sisäänmeno tuottaa ulostulosi Konvoluutiosumman yleinen muoto on j y u h, j j joa tällä urssilla uitenin poieusetta sievenee muotoon y j0 u j h j Jotta ulostulon saa ätevästi lasettua yllä olevasta yhtälöstä, summalausee on pystyttävä sieventämään Tässä tapausessa se ei (ainaaan helposti) onnistu, joten lasetaan ulostulon arvoja tauluomenetelmän avulla h() \ u() / / / / / / / / / / Ulostulosi saadaan nyt y,,,,,,,, Tehtävä Muodostetaan impulssivaste luentomonisteen tehtävän 5 järjestelmälle Impulssivasteen muodostamiseen tarvitaan aina järjestelmää uvaava yhtälö Nyt yseinen differenssiyhtälö on y y y u 6 Järjestelmän impulssivaste saadaan järjestelmää uvaavasta differenssiyhtälöstä aina siten, että sisäänmenon u() paialle sijoitetaan disreetti impulssi (), ja ulostulon y() paialle sijoitetaan impulssivaste h(): h h h 6 ():lle pätee:, 0 0, 0
Tämän jäleen impulssivasteen rataiseminen etenee siten, että tarastellaan tilannetta positiivisilla :n arvoilla: > 0 Tällöin saadaan homogeeninen differenssiyhtälö: hh h 0 6 Nyt tämä homogeeninen differenssiyhtälö rataistaan täysin normaalisti Sijoitetaan siis rataistavan muuttujan h() paialle yrite r Saadaan: r r r 0 :r - 6 r r 0 6 r Täten differenssiyhtälön yleisesi rataisusi saadaan: hc C, > 0 Huomaa, että impulssivasteen rataisu saadaan aina suoraan homogeenisen yhtälön rataisusta Ysityisrataisua ei siis tarvita impulssivastetta haettaessa Homogeenisen yhtälön rataisu on samalla impulssivasteen yleinen rataisu, ja tehtäväsi jääin enää haea yleisen rataisun tuntemattomat vaioertoimet siten, että muodostettu lausee ottaa huomioon nollasta poieavan sisäänmenon ajanhetellä nolla Kosa yllä olevassa impulssivasteen lauseeessa on asi tuntematonta termiä (vaiot C ja C ), niiden rataisemiseen tarvitaan asi aluehtoa Huomaa, että aluehdot määritetään aina aluperäisestä yhtälöstä, joa saadaan, un sisäänmenon paialle syötetään impulssi ja ulostulon paialle impulssivaste Impulssivaste h() on siis järjestelmän ulostulo, un järjestelmän sisäänmenosi syötetään impulssi () Impulssi on luujono, joa sisältää muuten peliä nollia, mutta termi (0) saa arvon ysi Sisäänmeno () on siis nolla, un on negatiivinen Sisi myös ulostulo h() on nolla, un on negatiivinen, osa järjestelmään ei ole tullut vielä tähän ajanheteen mennessä mitään nollasta poieavaa Täten saadaan: h h h 6 : h h0 h 6 0 0: 0 0 h 0, h h 0 Huom! Äiä ajatellen saattaisi luulla, ettei aluarvoa h(0) = voi äyttää vaioiden C ja C rataisemiseen, osa differenssiyhtälön yleiseen rataisuun päädyttiin oletusella, että on positiivinen Kyse on nyt uitenin siitä, että homogeenisen yhtälön rataisun
ertoimet määritetään siten, että homogeenisen yhtälön rataisu toteuttaa "impulssin asettamat" aluehdot, ja sisi aluarvoa h(0) voidaan äyttää Edellä olleessa aluehtoselitysessä on yse hieman samasta asiasta uin sähöpiirien ytentätilanteissa Kun ytin siirtyy piirissä asennosta A asentoon B, ja un differentiaaliyhtälö irjoitetaan ytimen ollessa asennossa B, yhtälön on silti toteutettava se aluehto, joa määräytyy tilanteesta, jolloin ytin oli vielä asennossa A Eli sama asia hieman ysinertaisemmin: vaia differentiaaliyhtälö on voimassa vain ajanhetillä t > 0, sen on silti toteutettava aluehto ajanhetellä t = 0 Täten impulssivasteelle saadaan: 0 0 h0c C h C C C C Impulssivasteen lausee on siis h, 0 Lasetaan ulostulo onvoluutiosummaan perustuvalla tauluomenetelmällä Idea on, että tauluon ensimmäiselle riville tai ensimmäiseen saraeeseen lasetaan sisäänmenon tai impulssivasteen arvoja lähtien liieelle arvosta = 0 Sillä ei siis ole väliä, umpi sisäänmenosta ja impulssivasteesta sijoitetaan ensimmäiselle riville ja ensimmäiseen saraeeseen Alla olevassa tauluossa sisäänmeno on sijoitettu ensimmäiselle riville ja impulssivaste ensimmäiseen saraeeseen Tämän jäleen tauluo täytetään ertomalla vastaavat sisäänmenon ja impulssivasteen aliot esenään h() \ u() 8 8 8 /6 /6 /8 / / 5/8 5/8 5/ 5/ 5 Ulostulo y() saadaan, un summataan lävistäjän alioita yllä olevasta tauluosta y(0) =, y() = + =, y() = + + /6 = 09/6, y() = 8 + + /8 + 5/8 = 5 5
Tehtävä Konvoluutiosumma voitaisiin lasea uten edellisessä tehtävässä, jossa äytettiin ns tauluomenetelmää Tauluomenetelmällä saadaan yllä ulostulon alioita selville, mutta ulostulon lausee saattaa olla hanala päätellä noista alioista Tässä tehtävässä nimenomaan ysytään ulostulon y lauseetta, joten yritetään vääntää onvoluutiosumma aui ilman tauluomenetelmää Taroitus on siis hyödyntää onvoluutiosumman aavaa: y uh j j j Huomaa, että sisäänmenon u paialle syötetään nyt siis u j, eli indesi on orvattu indesillä j Tehtävänannon perusteella huomataan uitenin, että sisäänmeno saa nollasta poieavia arvoja vain silloin, un j 0 Vastaavasti impulssivasteen h paialle syötetään nyt h -j, eli indesi on orvattu indesillä j Tehtävänannon perusteella huomataan, että impulssivaste saa nollasta poieavia arvoja vain silloin, un j 0 Kosa onvoluutiosumman lauseeessa juoseva indesi on j, ja osa sisäänmeno menee nollasi nollaa pienemmillä j:n arvoilla, summan alaraja saadaan muutettua :stä nollasi Vastaavasti impulssivaste menee nollasi, un j > Täten onvoluutiosumman ylärajasi saadaan : j j j j a y a b b a b b j0 j0 j0b Summalausee on geometrinen sarja, osa ahden perääisen termin osamäärä (utsutaan myös suhdeluvusi) on vaio, tässä tapausessa a/b Geometrinen sarja on suppeneva, jos suhdeluu on itseisarvoltaan yöstä pienempi Nyt suppenemisesta ei uitenaan pystytä sanomaan mitään, joten irjoitetaan yseinen summa yleisesi geometrisen sarjan summasi, jolloin saadaan 0 a/ b a/ b a/ b y b b, a b a/ b a/ b, 0 b, ab Tuohon lauseeeseen päädytään, osa yleisessä muodossa geometrisen sarjan summa voidaan irjoittaa muodossa a aq aq aq aq n un suhdeluu q a q q n j, 6
Tehtävä Disreettiaiaisen tilamuuttujaesitysen muodostaminen taroittaa sitä, että tarasteltavalle järjestelmälle irjoitetaan oheinen yhtälöpari: x Ax Bu y CxDu, (lausee ) jossa x on tilamuuttujista oostuva vetori, u on järjestelmän sisäänmenoista oostuva vetori, ja y on järjestelmän ulostuloista oostuva vetori Kosa tarasteltavalla järjestelmällä on vain ysi sisäänmeno ja ysi ulostulo, tässä tehtävässä u orvautuu u:lla ja y y:llä Disreettiaiaisen järjestelmän tilamuuttujaesitysen muodostaminen annattaa aina aloittaa siten, että viive-elementtien jäleiset tilat valitaan tilamuuttujisi Kosa tarasteltavassa järjestelmässä on asi viive-elementtiä, tilamuuttujia tulee asi appaletta: x () ja x () Oloon x () vasemmanpuoleisen viive-elementin jäleinen tila ja x () oieanpuoleisen viive-elementin jäleinen tila Kirjoitetaan sitten järjestelmää uvaava differenssiyhtälö lohoaavion perusteella: y y y u 6 Nyt tehtävä etenee siten, että y :n paialle sijoitetaan tilamuuttuja x y :n paialle tilamuuttuja x ja Kun sitten vielä irjoitetaan tilamuuttujien lauseeet ajanhetellä +, aluperäinen toista ertaluoaa oleva differenssiyhtälö tulee orvatusi ensimmäistä ertaluoaa olevalla differenssiyhtälöparilla Kosa tilamuuttuja x on vasemmanpuoleisen viive-elementin jäleinen tila, vasemmanpuoleista viive-elementtiä edeltävä tila on x Täten saadaan x y Vastaavasti x on oieanpuoleisen viive-elementin jäleinen tila, ja x oieanpuoleista viive-elementtiä edeltävä tila, joten saadaan x x Nyt voidaan irjoittaa tilamuuttujaesitysen (eli lauseeen ) ylempi yhtälö (tässä tapausessa yhtälöpari), josi saadaan: x y y y u x x u, 6 6 x x Tilamuuttujaesitysesi saadaan: 7
x x /6x 0 x u 0, /6 x y u x Huomaa, että nyt aluperäinen toista astetta ollut differenssiyhtälö on saatu orvattua ahdella ensimmäisen ertaluoan differenssiyhtälöllä Opiselijoille voisi antaa tämän tehtävän teemiseen esimerisi seuraavat ohjeet: ) Valitse viive-elementtien jäleiset tilat tilamuuttujisi ) Kirjoita järjestelmän ulostulo y() tilamuuttujien avulla ) Kirjoita tilamuuttujien lauseeet ajanhetellä + ) Kooa tilamuuttujaesitys matriisimuotoon Yhteenveto oloon, että disreettiaiaisen järjestelmän tilamuuttujaesitysen muodostaminen on aina erittäin ysinertaista, unhan saa ensin äsitysen siitä, mitä ihmettä tällä esitysellä tehdään, ja mihin sillä pyritään Tarastellaan vielä lopusi järjestelmän stabiilisuutta tilamatriisin A ominaisarvojen perusteella Disreettiaiajärjestelmä on stabiili, un A:n aii ominaisarvot i ovat itseisarvoiltaan yöstä pienempiä Lasetaan A:n ominaisarvot: /6 0 i /6 A i I 0 0 0 i 0 0 i / i i /6 0 i i /6 0 i / stabiili! [lisätietoa disreettiaiaisten järjestelmien stabiilisuusehdosta] Tilamatriisin ominaisarvot vastaavat aina järjestelmää uvaavan differenssiyhtälön homogeenisen yhtälön arateristisen yhtälön juuria Toisin sanoen yllä oleva toisen asteen yhtälö :lle on sama uin arateristinen yhtälö (KY) KY:lle tulee asi erisuurta reaalijuurta, joten homogeenisen yhtälön rataisu on tässä tapausessa muotoa: h y C C A B C D Disreettiaiainen järjestelmä on stabiili, jos homogeenisen yhtälön rataisu menee nollaan :n lähestyessä ääretöntä Tästä seuraa ehto, että KY:n juurien, ja samalla A:n ominaisarvojen, on oltava itseisarvoiltaan yöstä pienempiä [/lisätietoa disreettiaiaisten järjestelmien stabiilisuusehdosta] 8
Tehtävä 5 Lähdetään liieelle siitä, että valitaan viive-elementtien jäleiset tilat tilamuuttujisi Kosa viive-elementtejä on olme appaletta, myös tilamuuttujia tulee olme appaletta Kosa ulostuloja ja sisäänmenoja on vain ysi appale, lausee () saa nyt muodon x a a a x b x a a a x b u x a a a x b x yc c c x d u x Järjestelmää uvaavasta lohoaaviosta voidaan ulostulolle irjoittaa y u y y y Toisaalta tilamuuttujille voidaan irjoittaa x y x y x x y x Kun edellisen yhtälöryhmän ylin yhtälö irjoitetaan uudelleen tilamuuttujien avulla, saadaan x x x u x y y y y u Nyt aii tilamuuttujaesityseen tarvittavat yhtälöt ovat oossa Oleellista on huomata, että tilamuuttujaesitysessä tilamuuttujat ajanhetellä + ja ulostulo ajanhetellä lausutaan äyttäen tilamuuttujia ja sisäänmenoa ajanhetellä Tällöin aluperäinen differenssiyhtälö, joa oli olmatta astetta (olme viive-elementtiä), tulee orvattua olmella ensimmäisen asteen differenssiyhtälöllä Saadaan siis 9
x x x 0 0 x 0 u x 0 0 x 0 x y x u x Selvitetään vielä stabiilisuus lasemalla tilamatriisin A ominaisarvot Kosa yseessä on x-matriisi, determinantti annattaa ehittää sellaisen rivin tai saraeen avulla, jossa on mahdollisimman paljon nollia Jos ehittäminen tehdään alimman rivin avulla, saadaan 0 0 det A I det 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Huomataan, että = on ysi olmannen asteen yhtälön juurista Tämän avulla polynomi saadaan jaettua teijöihinsä - +- - - + -+ - + - - -+ 0 Kuten tästä äärimmäisen hienosta jaoulmaesitysestä havaitaan, polynomin toisesi teijäsi tulee - +- Kun tälle haetaan nollaohdat, saadaan 0
Täten havaitaan, että = on tilamatriisin A olminertainen ominaisarvo Eli jos aluperäisestä differenssiyhtälöstä rataistaisiin homogeeninen yhtälö, arateristisen yhtälön juuresi tulisi yönen, joa olisi samalla siis olminertainen juuri, uten ävi olmannessa ennaotehtävässä Disreettiaiajärjestelmä on stabiili, un A:n aii ominaisarvot i ovat itseisarvoiltaan yöstä pienempiä Toisaalta järjestelmä on epästabiili, un A:n aii ominaisarvot i ovat itseisarvoiltaan yöstä suurempia Nyt A:n aii ominaisarvot i ovat täsmälleen yösen suuruisia, joten järjestelmä ei ole stabiili eiä epästabiili Tällaisesta järjestelmästä äytetään nimitystä asymptoottisesti stabiili