Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1 of 25

2 Kertausta Määritelmä Jos A on tyyppiä r s ja B tyyppiä s t, on matriisien A ja B tulo r t-matriisi AB, missä (AB) ij = s A ik B kj k=1 Esimerkki ( ) ( ) = ( 5 1 ) M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 2 of 25

3 Matriisikertolasku lohkomuodossa Huomautus Matriisitulo voidaan laskea lohkomuodossa: ( ) ( ) ( A1 A 2 B1 B 2 A1 B = 1 + A 2 B 3 A 1 B 2 + A 2 B 4 A 3 A 4 B 3 B 4 A 3 B 1 + A 4 B 3 A 3 B 2 + A 4 B 4 ) Esimerkki Olkoot x 1,, x n R n pystyvektoreita ja A n n-matriisi Silloin A ( x 1 x 2 x n ) = ( Ax1 Ax 2 Ax n ) M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 3 of 25

4 Kertausta Matriisitulon merkitys Kun merkitään y i = a i1 x 1 + a i2 x a in x n, saadaan y 1 a 11 a 12 a 1n x 1 y 2 = a 21 a 22 a 2n x 2 y m a m1 a m2 a mn x n Lause Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f (x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi, nk lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisten kantojen suhteen M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 4 of 25

5 Kertausta Lineaarikuvausten yhdistäminen Olkoot f : R n R m ja g : R m R k lineaarikuvauksia, joiden matriisit ovat A f ja A g Yhdistetty kuvaus g f : R n R k voidaan esittää muodossa (g f )(x) = g(f (x)) = A g (A f x) = (A g A f )x Täten A g f = A g A f M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 5 of 25

6 Matriisitulo Esimerkki 48 (F 0, F 1,, F N 1 ) = DFT (f 0, f 1,, f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N = 1 N 1 f k ρ kl N N k=0 k=0 kun merkitään ρ = e 2πi N Tämä voidaan kirjoittaa matriisimuodossa F 0 F 1 F 2 F N 1 = 1 N ρ ρ 2 ρ N 1 1 ρ ρ 4 ρ (N 1)2 1 ρ N 1 ρ 2(N 1) ρ (N 1)(N 1) f 0 f 1 f 2 f N 1 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 6 of 25

7 Matriisitulo Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m voidaan kirjoittaa matriisimuodossa a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Kompaktimpi esitys: Ax = b x 1 x 2 x n = b 1 b 2 b m M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 7 of 25

8 Käänteismatriisi Määritelmä Olkoon A n n-matriisi Jos on olemassa sellainen n n-matriisi B, että AB = BA = I n, sanotaan, että B on A:n käänteismatriisi ja merkitään B = A 1 Jos A:lla on käänteismatriisi, sanotaan että A on säännöllinen Muutoin A on singulaarinen Huomautus Voidaan todistaa: Neliömatriiseille AB = I BA = I n n matriisi A on säännöllinen tarkalleen silloin kun r(a) = n (Eli A:n redusoidussa porrasmuodossa on tarkalleen n porrasta ) A on säännöllinen tarkalleen silloin kun A:n rivit ovat lineaarisesti riippumattomat M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 8 of 25

9 Käänteismatriisi Esimerkki Olkoon A = Huomataan, että = ja = M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 9 of 25

10 Käänteismatriisi Esimerkki Olkoon Joten A = A 1 = M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 10 of 25

11 Käänteismatriisi Esimerkki 52 Olkoon Silloin A = 1 N A 1 = 1 N ρ ρ 2 ρ N 1 1 ρ ρ 4 ρ (N 1)2 1 ρ N 1 ρ 2(N 1) ρ (N 1)(N 1) ρ 1 ρ 2 ρ (N 1) 1 ρ 1 ρ 4 ρ (N 1)2 1 ρ (N 1) ρ 2(N 1) ρ (N 1)(N 1) M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 11 of 25

12 Käänteismatriisi Esimerkki 52 Todellakin A 1 = 1 N ρ 1 ρ 2 ρ (N 1) 1 ρ 1 ρ 4 ρ (N 1)2, 1 ρ (N 1) ρ 2(N 1) ρ (N 1)(N 1) sillä matriisissa AA 1 kohdassa rs oleva alkio on N 1 1 ρ rk ρ ks = 1 N N k=0 N 1 k=0 e 2πi N k(r s), joka edelleen on Insinöörimatematiikka C:n mukaan 1, jos r = s, ja muuten 0; siis AA 1 = I N M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 12 of 25

13 Käänteismatriisi Koska AB = I BA = I, niin käänteismatriisin määritelmässä riittää tarkastella ehtoa AB = I Saadaan b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n A = b n1 b n2 b nn ja edelleen b 11 b 21 A b n1 b 12 b 1n A b 22 A b 2n = b n2 b nn M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 13 of 25

14 Käänteismatriisi Tämä voidaan edelleen jakaa n:ksi yhtälöryhmäksi: b 11 1 b 12 0 b 21 A = 0, A b 22 = 1,, A 0 0 b n1 b n2 b 1n b 2n b nn 0 = 0 1 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 14 of 25

15 Käänteismatriisi Gaussin-Jordanin menetelmä Muodostetaan edellisistä yhtälöryhmistä (useampikertaisesti) augmentoitu matriisi ja saatetaan se redusoituun porrasmuotoon: ( A I ) ( I A 1 ) Huomautus Jos Gaussin-Jordanin menetelmä ei muuta lohkomuodon (A I ) vasemmanpuoleista matriisia A identiteettimatriisiksi, voidaan todeta että A:lla ei ole käänteismatriisia Esimerkkejä Lasketaan esimerkkinä käänteismatriisi matriisille A = M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 15 of 25

16 Determinantti Esimerkki 55 Matriisilla ( ) a b A = c d on käänteismatriisi tarkalleen silloin kun ad bc 0 Jos ad bc 0, niin ( ) A 1 1 d b = ad bc c a Määritelmä det(a) Merk = a c b d = ad bc M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 16 of 25

17 Determinantti Determinantti n n-matriisille Yleistetään 2 2-matriisin determinantti suuremmille neliömatriiseille Tässä kurssissa ei varsinaista määritelmää, vaan ainoastaan kerrotaan, miten niitä lasketaan Yleiselle determinantille seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: Determinantin ominaisuuksia det(a) 0 tarkalleen silloin kun A 1 on olemassa det(ab) = det(a) det(b) M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 17 of 25

18 Determinantti Rivikehitelmät 3-rivinen determinantti voidaan laskea seuraavasti: a b c d e f g h i = a e f h i b d f g i + c d g e h Sääntö: Alkion a alideterminantti saadaan poistamalla rivi ja sarake, jolle a kuuluu Merkkisääntö: vasen ylänurkka +1, sitten vuorotellen M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 18 of 25

19 Determinantti 4-rivinen determinantti +c a b c d e f g h i j k l m n o p e f h i j l m n p = a d f g h j k l n o p e f g i j k m n o b e g h i k l m o p M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 19 of 25

20 Determinantti Lause Neliömatriisin A determinantti ei muutu, mikäli Matriisin A rivi lisätään toiseen vakiolla kerrottuna tai Matriisi A transponoidaan Sen sijaan: Jos matriisin A kahden rivin järjestys vaihdetaan, muuttuu determinantin merkki Mille tahansa vakiolle c pätee a 11 a 12 a 1n ca i1 ca i2 ca in = c a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 20 of 25

21 Determinantti Lause Jos matriisissa on nollarivi, on sen determinantti nolla Jos matriisissa on kaksi samaa riviä, on sen determinantti nolla Summahajotelma: a 11 a 12 a 1n b i1 + c i1 b i2 + c i2 b in + c in a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n = b i1 b i2 b in + c i1 c i2 c in a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 21 of 25

22 Determinantti Huomautus 3- ja 4-rivinen determinantti laskettiin kehittämällä ensimmäisen vaakarivin suhteen Edellisten tulosten perusteella ne voidaan kehittää myös ensimmäisen sarakkeen suhteen (Tai myös minkä tahansa muun rivin tai sarakkeen suhteen) Esimerkkejä Lasketaan joitakin esimerkkejä M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 22 of 25

23 Determinantti Huomautus Olkoon A n n-matriisi Jos det(a) 0, niin A 1 on olemassa ja homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 tarkalleen yksi ratkaisu x = A 1 0 = 0 Jos det(a) = 0, on yhtälöllä aina muitakin ratkaisuja x 0 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 23 of 25

24 Ominaisarvot ja -vektorit Matriisitulo n n-matriisien A ja B tulo on yleensä työläs laskea: (AB) ij = n A ik B kj k=1 n 2 alkiota, n kertolaskua ja n 1 yhteenlaskua kutakin kohti O(n 3 ) operaatiota O(n 237 ) operaatiota paras tunnettu menetelmä M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 24 of 25

25 Ominaisarvot ja -vektorit Matriisitulo Diagonaalimatriiseille helppo: a b a b a n 0 0 b n a 1 b a 2 b 2 0 = 0 0 a n b n M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 25 of 25