Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät luseet 6 2 Integroimiskvoj 9 3 Integroimistekniikkoj 10 3.1 Rtionlifunktioiden integointi 10 3.2 Integrointi sijoituksen vull 12 4 Epäoleelliset integrlit 16 4.1 Itseinen suppeneminen 19 1
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 2 / 20 1 Määrätty integrli j integrlifunktio Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv välillä [, b], mikäli inf{s D } = sup{s D }, missä {s D } on funktion f lsummien joukko välillä [, b] j {S D } on funktion f yläsummien joukko smisell välillä. Tässä D on mielivltinen välin [, b] äärellinen jko. Integroituvuus voidn määritellä toisell tvll Riemnnin välisummien vull. Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv välillä [, b], mikäli on olemss sellinen luku I R, että δ D I 0, kun D 0 missä D on välin [, b] jko mielivltisill välipisteiden vlinnll {t i }, δ D jko D vstv ossumm j D on jon normi. on Määritelmät eivät tuot ongelmi, sillä voidn osoitt, että yllä olevt integroituvuusehdot ovt keskenään yhtäpitäviä j I = inf{s D } = sup{s D }, kun funktio on integroituv. Tässä inf j sup otetn yli kikkien välin [, b] äärellisistä joist D. Mikäli funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin funktion f määrätty integrli välillä [, b] on f(x)dx = I = inf{s D } = sup{s D } Määrätty integrli voidn siis jtell määritellyksi vstmn kummsskin tpuksess funktion lle jäävän pint-ln rj-rvon, edellyttäen että funktio s positiivisi rvoj. Alun perin Newton j Leibniz määrittelivät määrätyt integrlit integrlilskennn peruslusett vstvss muodoss f(x)dx = F (b) F (), missä F (x) = f(x) 2
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 3 / 20 Määrittelyssä oli ongelmns, joten Cuchy j Riemnn kehittelivät nykyiset rjrvoihin liittyvät määrätyn integrlin määritelmät, joill suurimmst osst ikisemmist ongelmist päästiin. Huomutus. Selvästikään kikki välillä [, b] määritellyt funktiot eivät ole Riemnnintegroituvi. Ensinnäkin funktion f täytyy oll rjoitettu välillä [, b] eli on olemss sellinen luku M, että f(x) M in, kun x [, b] (vert tyypin kksi epäoleelliset integrlit). Toislt vikk funktio olisikin rjoitettu, niin se ei ole välttämättä Riemnn-integroituv, esimerkkinä vikkp funktio 1, kun x R \ Q f(x) = 0, kun x Q ei ole Riemnn-integroituv millään välillä. Määrätty integrli välillä [, b] voidn jtell funktioksi H : {f on integroituv funktio välillä [, b]} R, H(f) = f(x)dx, sillä se liittää jokiseen välillä integroituvn funktioon f yksikäsitteisen reliluvun. Jtkoss puhuttess funktion integroituvuudest trkoitetn juuri Riemnnintegroituvuutt. Integrli voidn määritellä myös muillkin tvoill, joist tunnetuin on Lebesguen integrli. Ylläolev esimerkki Riemnn-integroimttomst funktiost on integroituv Lebesguen mielestä. Asist kerrotn enemmän kurssill Anlyysi III. 1.1 Integroituvist funktioit Kosk Riemnnin summien ti l- j yläsummien lskeminen on hyvin työlästä, niin integroituvuuden perustelemiseen on usein helpompi käyttää seurv lusett 3
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 4 / 20 Luse. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin se on integroituv välillä [, b]. Luseen todistus perustuu tulokseen, että rjoitetull j suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Täten esimerkiksi kikki jtkuvt lkeisfunktiot tulevt olemn integroituvi jokisell määrityslueens rjoitetull osvälillä. Myös epäjtkuv funktio voi oll integroituv, kunhn epäjtkuvuuskohti on esimerkiksi äärellinen määrä integroitvll välillä. Täten yhdistelemällä ikisemp tieto sdn, että derivoituvuudest seur jtkuvuus, jost seur integroituvuus. Siis f on derivoituv relifunktio f on jtkuv relifunktio f on integroituv relifunktio Lisäksi voidn osoitt muitkin ehtoj, joist integroituvuus seur. Esimerkiksi kikki välillä [, b] rjoitetut j monotoniset funktiot ovt integroituvi kyseisellä välillä. 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi Määritellään integrlille seurvt ominisuudet f(x)dx = b f(x)dx j f(x)dx = 0. Ominisuudet ovt tutut j intuitiivisest selvät. Luse. Jos funktio f on integroituv välillä [, b] j c [, b], niin se on integoituv välin [, b] jokisell osvälillä j f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Toisin snoen integrointi voidn suoritt osväleittäin. Mikäli f on integroituv kullkin osvälillä, on yllä olev kv voimss myös kun c [, b]. 4
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 5 / 20 Luse. Jos funktiot f j g ovt integroituvi välillä [, b] j f(x) g(x) in, kun x [, b], niin f(x)dx g(x)dx. Tämän luseen seuruksen sdn krke rvio määrätyn integrlin rvolle. Luse. Jos funktio f on integroituv välillä [, b] j m f(x) M in, kun x [, b], niin m(b ) f(x)dx M(b ). Luse. Jos funktio f on integroituv välillä [, b], niin funktio f on integroituv välillä [, b] j f(x)dx f(x) dx. Edellisen luseen rvion voidn jtell olevn eräällä tvll nloginen kolmioepäyhtälön yleistetyn muodon n i i=1 n i knss. Integrlihn määriteltiin summien rj-rvoksi tiettyjen ehtojen vllitess. i=1 1.3 Integrlifunktio Olkoon f :], b[ R funktio. Funktio F :], b[ R on funktion f integrlifunktio välillä ], b[, jos f(x) = F (x) in, kun x ], b[. Tällöin merkitään f(x)dx = F (x) + C. Tehtyä opertiot eli integrlifunktion etsimistä kutsutn integroimiseksi j funktiot f snotn integrndiksi eli integroitvksi funktioksi. Funktiot F kutsutn myös funktion f primitiivifunktioksi ti ntiderivtksi. 5
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 6 / 20 Integrlifunkio ei ole yksikäsitteinen, sillä jos F (x) = f(x), niin D(F (x) + C) = F (x) = f(x) kikille C R. Toislt integrlilskennn perusluseen nojll funktion f kikki primitiivifunktiot ovt muoto F (x) + C, missä luku C kutsutn integroimisvkioksi. Huomutus. Kikkien funktioiden integrlifunktioit ei void esittää lkeisfunktioiden vull. Tälläisiä funktioit on esimerkiksi e x2 j sin x. Tällöin määrätyn x integrlin rvo lskettess täytyy turvutu muihin menetelmiin, esimerkiksi Tylorin srjoihin. Huomutus. Integrlifunktion olemss olo j integroituvuus eivät ole sm si. Funktio voi oll integroituv eräällä välillä ilmn, että sillä olisi integrlifunktiot tällä välillä. Vstvsti funktioll voi oll integrlifunktio ilmn, että se olisi integroituv tällä välillä. Esimerkit näistä tilnteist löytyvät hrjoitustehtävistä. 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät luseet Yleistetty integrlilskennn välirvoluse. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b] j funktio g on integroituv välillä [, b]. Jos lisäksi joko g(x) 0 ti g(x) 0 kikill x [, b], niin tällöin on olemss sellinen t [, b], että f(x)g(x)dx = f(t) g(x)dx. Vlitsemll g(x) 1 sdn tutumpi muoto luseelle. Integrlilskennn välirvoluse. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin on olemss sellinen t [, b], että f(x)dx = f(t)(b ). 6
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 7 / 20 Oletus funktion f jtkuvuudest on välttämätön khdess edellisessä luseess. Vstesimerkiksi käy funktio 1, kun x 0 f(x) = 1, kun x < 0 välillä [ 1, 1], kun g(x) 1. Normlin välirvoluseen vull sdn Integrlilskennn perusluse. Jos f jtkuv välillä [, b], derivoituv väillä ], b[ j f (x) = 0 kikill x ], b[, niin funktio f on vkiofunktio välillä [, b]. Integrlilskennn käyttökelpoisuus on puhtsti integrlilskennn pääluseen nsiot. Se yhdistää derivoinnin j integroinnin j trjo näppärän tvn lske määrättyjen integrlien rvoj. Integrlilskennn pääluse. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Tällöin 1. Funktio G : [, b] R G(x) = x f(t)dt on derivoituv välillä [, b] j G (x) = f(x). 2. Jos F on funktion f eräs integrlifunktio, niin f(x)dx = F (b) F (). Huomutus. Päälusett voidn yleistää vielä edellä olleest muodost. Jos oletukseksi ott, että funktio f on integroituv välillä [, b], niin silloin kertymäfunktio G(x) = x f(t)dt tulee olemn jtkuv välillä [, b] j dierentioituv niissä välin [, b] pisteissä joiss funktio f on jtkuv. Huomutus. Kohdss 2. ei oletet integrlifunktion F olemss olo. Siinä vin todetn, että mikäli integrlifunktio on olemss, niin se tulee toteuttmn 7
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 8 / 20 esitellyn ehdon. Myöskään integrlifunktion vlinnll ei ole väliä, sillä vkio C tulee supistumn erotuksess pois. Integrointilskennn pääluseen nojll integrointi j derivointi voidn jtell käänteiseksi opertioiksi tietyillä rjoituksill. Jos f on jtkuv välillä [, b], niin d x f(t) dt = f(x) dx kikille x [, b]. Jos funktio F (t) on integroituv välillä [, b], niin x F (t) dt = F (x) F () kikille x [, b]. Pääluse siis kytkee yhteen integrlifunktiot F (x) + C = b f(x) dx j määrätyn integrlin f(x) dx, joill ei määritelmien perusteell näyttäisi olevn mitään yhteyttä lukuunottmtt smnlist merkintää. 8
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 9 / 20 2 Integroimiskvoj Luse. Olkoon f j g integroituvi funktioit j k R vkio. Tällöin 1. k dx = kx + C 2. kf(x) dx = k f(x) dx 3. (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx 4. f (x)f n (x) dx = f n+1 (x) n+1 + C, kun n 1 5. f (x) f(x) dx = ln f(x) + C, mikäli integrlit ovt olemss. Funktioiden derivoimiskvoist sdn suorn seurvt integroimiskvt: Integroimiskvoj. 1. 0 dx = C 2. x n dx = xn+1 + C, kun n 1 n+1 3. 1 dx = ln x + C x 4. e x dx = e x + C 5. sin x dx = cos x + C 6. cos x dx = sin x + C 7. tn x dx = ln cos x + C 8. dx = rctn x + C 1+x 2 9. dx 1 x 2 = rcsin x + C Funktioiden tulon derivtn perusteell D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Integoimll tämä puolittin sdn Osittisintegrointi. Jos f j g ovt derivoituvi funktioit, niin f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx (1) 9
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 10 / 20 3 Integroimistekniikkoj 3.1 Rtionlifunktioiden integointi Rtionlifunktio R(x) on muoto R(x) = P (x) Q(x), missä P (x) j Q(x) ovt polynomifunktioit. Jos deg P (x) deg Q(x) eli polynomin P ste on suurempi kuin polynomin Q, niin esimerkiksi jkokulmss lskemll sdn esitys R(x) = P 0 (x) + P 1(x) Q(x), missä deg P 1 (x) < deg Q(x) (todistus Algebr I:ssä). Polynomi P 0 (x) on helposti integoitviss, joten rtionlifunktioiden integroinnin ongelmn on selvittää miten integrointi suoritetn, kun deg P (x) < deg Q(x). Tpus: P (x) = kq (x) Jos osoittjss olev polynomifunktio on P (x) = kq (x), missä k R vkio, niin integrointikvojen perusteell kq (x) Q Q(x) dx = k (x) dx = k ln Q(x) + C. Q(x) Muiss tpuksiss täytyy tutki trkemmin polynomin Q(x) nollkohti, joiden vull polynomi voidn jk tekijöihin. Relikertoimisen polynomin Q(x) lgebrllisten ominisuuksien perusteell sillä on n = deg Q(x) kpplett kompleksisi nollkohti. Lisäksi jos kompleksiluku c = +bi on polynomin Q nollkoht, niin myös sen konjugtti c = bi on polynomin Q nollkoht. Täten relilukukunnss polynomi voidn in esittää ensimmäisen j toisen steen tekijöiden tulon. 10
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 11 / 20 Tpus: Polynomi Q(x) = (x x 1 ) n, missä x 1 R Tällöin osmurtokehitelmä kirjoitetn muotoon P (x) (x x 1 ) = A 1 A 2 + n x x 1 (x x 1 ) +... + A n 2 (x x 1 ), n missä kertoimet A 1, A 2,..., A n on vielä määrättävä. Esimerkiksi polynomin Q(x) = (x 2) 3 osmurtokehitelmä on P (x) Q(x) = A x 2 + Tpus: Polynomill Q(x) on reliset juuret Nyt polynomi voidn esittää tulon B (x 2) + C 2 (x 2). 3 Q(x) = (x x 1 ) n 1 (x x 2 ) n2 (x x k ) n k. Tällöin osmurtokehitelmäss jokist termiä (x x i ) n i kohti otetn, kuten edellisessä kohdss osmurto A i1 + A i2 x x i (x x i ) +... + A in i 2 (x x i ). n i Osmurtokehitelmäksi tulee siten näiden summ P (x) k ( Q(x) = Ai1 + x x i i=1 A i2 (x x i ) 2 +... + A in i (x x i ) n i Esimerkiksi jos Q(x) = x 2 (x + 1)(x 3) 3, niin osmurtokehitelmäksi tulee P (x) Q(x) = A x + 1 + B x + C x 2 + D x 2 + Tpus: Polynomill Q(x) on kompleksisi juuri ). E (x 2) + F 2 (x 2). 3 Jos polynomill Q(x) on myös imginäärisiä juuri, niin ne esiintyvät in preittin c = + bi j c = bi. Tällöin polynomin erääksi tekijäksi tulee toisen sten polynomi (x c)(x c) = x 2 cx cx + c c = x 2 }{{} 2 x + ( 2 + b 2 ). } {{ } r t 11
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 12 / 20 Tällöin osmurtokehitelmään otetn termi Ax + B x 2 + rx + t. Mikäli kompleksinen juuri c j esiintyy k > 1 kert polynomiss, niin myös termi (x + rx + t) jk polynomin k kert. Tällöin osmurtoon tulee summ A 1 x + B 1 x 2 + rx + t + A 2x + B 2 (x 2 + rx + t) 2 +... + A kx + B k (x 2 + rx + t) k. Reliset juuret käsitellään kuten edellisessä tpuksess. Esimerkiksi jos Q(x) = (x + i) 2 (x i) 2 (x 2) 3 = (x 2 + 1) 2 (x 2) 3, niin osmurtokehitelmäksi tulee P (x) Q(x) = A x 2 + B (x 2) + C 2 (x 2) + Dx + E 3 x 2 + 1 + F x + G (x 2 + 1). 2 Osmurtokehitelmissä esiintyvät kertoimet sdn rtkistuiksi, kun kerrotn molemmt puolet polynomill Q(x). Asettmll syntyneiden polynomien muuttujn x smojen potenssien kertoimet yhtäsuuriksi sdn yhtälöryhmä, jost kertoimet ovt rtkistviss. 3.2 Integrointi sijoituksen vull Luse. Jos funktio g : [, b] R on jtkuvsti derivoituv j funktio f on jtkuv kuvjoukoss g([, b]), niin f (g(x)) g (x)dx = g(b) g() f(t)dt Käytännössä lusett sovelletn usein, niin että lskettess integrli I = f (g(x)) g (x)dx vlitn t = g(x). Tästä lsketn dierentiliksi dt = g (x)dx j integroimisrjoiksi lkuperäisiä rvoj j b vstvt t:n rvot t 1 = g() j t 2 = g(b). Sijoittmll nämä sdn integrli I = g(b) g() 12 f(t)dt.
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 13 / 20 Toinen tp, mikäli integrli I = d c f(x)dx on hnkl lske, on vlit x = g(t) j lske dx = g (t)dt. Sijoittmll nämä sdn I = f (g(t)) g (t)dt, missä c = g() j d = g(b) ovt uudet integroimisrjt. Määrättyihin integrleihin sijoitettess funktion g ei trvitse oll bijektio, riittää vin, että on olemss selliset rvot j b, että ehdot = g(c) j b = g(d) toteutuvt. Tietenkin, jos g on bijektio, niin on olemss käänteisfunktio g 1, joilloin = g 1 (c) j b = g 1 (d). Sijoitettess määräämättömään integrliin funktion g täytyy oll bijektio. Tämä siksi, että integroinnin onnistuttu voidn lkuperäinen muuttuj plutt käänteisfunktion vull stuun integrlifunktioon. Mikäli sijoitus joht helpompn integrointiin j siten sdn lskettu integrlifunktio, niin sen oikeellisuus voidn in trkist derivoimll se j ktsomll sdnko tulokseksi integroitv funktio. Täten integoimistekniikn muodollinen pätevyys ei ole niin tärkeä, kosk määräämättömän integroinnin tuloksen voi in trkist derivtn vull. Sijoitus x = sin t, > 0. Jos integroitvss funktiot ovt 2 x 2 ti 1 2 x 2, niin voidn käyttää sijoitust x = sin t. Nyt x, joten sijoitus on järkevä, kun t [ π 2, π 2 ]. Tällöin 2 x 2 = 2 2 sin 2 t = 1 sin 2 t = cos 2 t. Kosk t [ π, π ], niin cos t 0 j 2 2 cos2 t = cos t = cos t. 13
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 14 / 20 Lisäksi t = rcsin x j dx = cos tdt, missä t = rcsin x on päährn rvo. Sijoitus t = x + x 2 +, > 0. Jos integroitvss on termi x 2 +, niin sijoitus t = x + x 2 + voi joht rtionlifunktion integoitiin. Tällöin lskemll sdn, että t x = x 2 + t 2 2tx + x 2 = x 2 + x = t2. 2t Derivoimll tämä sdn dierentiliksi dx = t2 dt. 2t 2 Sijoitus t = n x+b cx+b. stt joht rtionli- Jos integrliss on n x+b, niin sijoitus t = n cx+b funktion integrointiin. x+b cx+b Sijoitus x = tn t 2. Jos x = tn t, niin piirtämällä suorkulminen kolmio, jonk kteetit ovt x j 2 1 sekä toinen terävä kulm t. Tällöin kolmion hypotenuus on 1 + x 2 2, sin t = 2 x 1+x 2 j cos t = 1 2 1+x 2. Trigonometristen funktioiden kksinkertisten kulmien kvoist sdn, että sin t = 2x 1 x2, cos t = j dt = 2 1 + x2 1 + x 2 1 + x dx 2 14
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 15 / 20 Tämä sijoitus stt sieventää sopivsti integroitvi funktioit, joiden osoittjss j nimittäjässä on sini- j kosinifunktioit. Tässä esitellyt sijoitukset eivät ole inoit mhdollisi sijoituksi, vn esimerkkejä sijoitustekniikoist. Virllisesti oiket sijoitust ei ole olemss, vn mikä thns sijoitus käy kunhn integrli vin rtke. Jotkut tekniikoist voivt tosin joht huomttvsti helpompiin integrleihin kuin toiset. Usein knntt kokeill eri tyyppisiä sijoituksi, kunnes sopiv löytyy. 15
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 16 / 20 4 Epäoleelliset integrlit Nimestään huolimtt epäoleelliset integrlit (englnniksi improper integrls) ovt tärkeitä. Ne määritellään tvllisen määrätyn integrlin rj-rvoiksi. Integroituv funktiot määriteltäessä oletettiin, että funktio f : [, b] R on rjoitettu eli on olemss sellinen vkio K > 0, että f(x) K. Epäoleellisten integrlien vull voidn ljent trksteltviss olevien määrättyjen integrlien tpuksi tilnteisiin, joiss funktio f ei välttämättä olekn rjoitettu integrointivälillä ti integrointiväli ei olekn rjoitettu. Ensimmäisen tyypin epäoleellisiss integrleiss integroimisväliä ei ole rjoitettu toisest päistä. Olkoon funktio f integroituv jokisell välillä [, c], missä on kiinteä j c > (vstvsti väleillä [c, ], missä c < ). Määritetään, että epäoleellinen integrli trkoitt rj-rvo c lim c mikäli se on olemss. f(x)dx f(x)dx ( vstvsti ( vstvsti lim c ) f(x)dx c ) f(x)dx, Toisen tyypin epäoleellisiss integrleiss integroitv funktio ei ole rjoitettu integroitumisvälillä. Olkoon funktio f integroituv jokisell välillä [, t], missä < t < c (vstvsti väleillä [t, ], missä c < t < ). Määritetään, että epäoleellinen integrli c f(x)dx tulee trkoittmn rj-rvo lim t c t f(x)dx ( vstvsti ( vstvsti lim t c + c ) f(x)dx t ) f(x)dx. Epäoleellisen integrlin snotn suppenevn, mikäli rj-rvo on olemss äärellisenä. Muutoin epäoleellinen integrli hjntuu. 16
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 17 / 20 Huomutus. Jos funktion f integrlifunktio on F, niin esimerkisi ensimmäisen tyypin epäoleellinen integrli on rj-rvo f(x)dx = lim c F (c) F (). Vstvsti kikki muutkin tpukset voidn plutt integrlifunktion rjrvoon. Yleisessä tpuksess epäoleellisess integrliss voi oll usempi pisteitä, joiss funktion rvo ei ole rjoitettu tikk integroimisväliä ei ole rjoitettu kummsskn päässä. Tällöin integoimisväli jetn pienempiin osväleihin, niin että jokiselle osvälille tulee vin yksi epäoleellinen integrli. Tällöin epäoleellinen integrli suppenee vin jos kikki rj-rvot ovt olemss. Huomutus. Mikäli funktio F on funktion f integrlifunktio j pisteet x = j x = b ovt funktion f integroinnin ongelmkohdt, niin määrätyn integrlin ominisuuksien perusteell f(x)dx = lim t 1 + c t 1 t2 f(x)dx + lim f(x)dx t 2 b c = lim t 1 + F (t 1) F (c) + F (c) lim t 2 b F (t 2) = lim t 1 + F (t 1) lim t 2 b F (t 2) Tutkittess yleistä tpust epäoleellisest integrlist välin jkopiste c ], b[ voidn vlit vpsti, kosk se ei tule vikuttmn tulokseen. Kosk joidenkin funktioiden integrlifunktion keksiminen on erittäin hnkl, suppenemistestejä trvitn, että epäoleellisten integrlien trkstelut voidn plutt tuttuihin funktioihin. Kun tiedetään, että epäoleellinen integrli suppenee, voidn sen rvo määritellä numeerisillä menetelmillä. Mjorntti- j minornttiperite. Olkoon f j g integroitovi funktioit, joille 0 f(x) g(x) in, kun x. Jos epäoleellinen integrli g(x)dx suppenee, niin myös epäoleellinen integrli 17
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 18 / 20 f(x)dx suppenee j f(x)dx g(x)dx. Jos epäoleellinen integrli f(x)dx hjntuu, niin myös epäoleellinen integrli g(x)dx hjntuu. Vstv luse toisen tyypin epäoleellisille integrleille on: Mjorntti- j minornttiperite. Olkoon f j g jokisell välillä [, c], < c < b, integroituvi funktioit, joille 0 f(x) g(x) in, kun x < b ( vstvsti < x b). Jos epäoleellinen integrli f(x)dx suppenee j Jos epäoleellinen integrli g(x)dx hjntuu. g(x)dx suppenee, niin myös epäoleellinen integrli f(x)dx g(x)dx. f(x)dx hjntuu, niin myös epäoleellinen integrli Suorn lskemll sdn seurv tulos, jost sdn suppenemistrksteluj vrten minorntti- j mjornttifunktioit. Luse. Epäoleellinen integrli 1 1 x s dx suppenee jos j vin jos s > 1. Epäoleellinen integrli suppenee jos j vin jos s < 1. 1 0 1 x s dx 18
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 19 / 20 Ensimmäisen tyypin integrleille vertiluperite on: Vertiluperite. Olkoon f j g ovt positiivisi jtkuvi funktioit jokisell välillä [, x], missä < x. Jos niin integrlit f(x)dx j f(x) lim x g(x) = c > 0, g(x)dx joko suppenevt ti hjntuvt kumpikin. Vstvll tvll luse voidn muotoill kun integroimisväliä ei ole lhlt rjoitettu. Toisen tyypin integrleille vertiluperite on: Vertiluperite. Olkoon f j g ovt positiivisi jtkuvi funktioit jokisell välillä [, x], missä x < b. Jos niin integrlit f(x)dx j 4.1 Itseinen suppeneminen f(x) lim x b g(x) = c > 0, g(x)dx joko suppenevt ti hjntuvt kumpikin. Edellä minitut suppenemistestit trkstelivt vin positiivisi funktioit. Negtiivisten funktioiden epäoleellisi integrlej voidn trkstell, kun sovelletn suppenemistestejä funktioon f(x). Yleisessä tpuksess epäoleellisen integrlin suppeneminen voidn todet joissin tpuksiss trkstelemmll itseistä suppenemist. Olkoon f(x)dx mielivltinen epäoleellinen integrli (täten voi oll myös = j/ti b = ). Sen snotn suppenevn itseisesti, mikäli epäoleellinen integrli f(x) dx 19
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 20 / 20 suppenee. Luse. Jos epäoleellinen integrli suppenee itseisesti, niin se myös suppenee. Luse ei päde toiseen suuntn. Esimerkiksi epäoleellinen integrli 1 sin x x dx suppenee, mutt ei itseisesti. Täten epäoleellisen integrlin itseinen hjntuminen ei nn suor tieto normlist suppenemisest. 20