ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten j ongelmi rtkoen. Kun olin lpsi, minä puhuin kuin lpsi, minull oli lpsen mieli j lpsen jtukset. Nyt, kun olen mies, olen jättänyt sen mikä kuuluu lpsuuteen.
ANALYYSI Sisällys Preliminäärejä. Riemnn-integrli. Derivtt 9 3. Derivtt j integrli nlyysin perusluse 47 4. Differentililskent 5 5. Integrointitekniikk 67 6. Epäoleelliset integrlit 85 Kurssi on os yhden relimuuttujn nlyysin peruskäsitteiden esittelyä. Ensimmäisessä osss tutustuttiin funktioihin j jonoihin, niiden rj-rvoihin sekä jtkuvuuden käsitteeseen. Anlyysi sisältää differentili- j integrlilskennn perusteet. Integrlin j derivtn käsitteet luovt perustn modernille mtemtiiklle j luonnontieteelle, tekniikn, tloustieteiden j tilstotieteen sovellutuksist puhumttkn. Tällä kurssill pääpino on peruskäsitteiden ymmärtämisessä, vrsinist lskutekniikk on melko vähän sen kehittäminen jää pääosin opiskelijn omn hrrstuksen vrn. Derivtt j integrli on käsitelty pinnllisesti jo koulukurssill. Tämän kurssin tvoitteen on syventää ymmärrystä niin, että kyettäisiin opettmn toisille differentili- j integrlilskennn lkeet sekä ymmärtämään, mikä on integroinnin ti derivtn merkitys mtemttisiss mlleiss, j tsoitt tietä usempiulotteisen differentili- j integrlilskennn oppimiselle. Moniss lkeisoppikirjoiss tyydytään esittelemään integrointi inostn ntiderivttn. Tällä kurssill pinotetn integrlin perimmäistä luonnett mittmiseen liittyvänä käsitteenä. Tämä uttnee premmin ymmärtämään integrlin käyttöä moiniss sovellutuksiss, kuten energin, odotusrvon ti virheen rvioinnin yhteyksissä, kuin myös integrlej usempiulotteisiss vruuksiss. Ensiksi siis määritellään integrli j esitellään sen perusominisuudet. Toisess luvuss trkstelln derivtt j siihen liittyviä perusilmiöitä. Derivtt pyritään hhmottmn pitsi käyrän tngenttin, myös hetkellisenä muutosnopeuten. Kolmnness luvuss keskitytään integroinnin j derivoinnin keskinäisiin suhteisiin j todistetn nlyysin perusluse, jonk mukn integrointi j derivointi ovt usein toistens käänteisopertioit. Neljännessä luvuss käsitellään derivtn lskusääntöjä sekä sen rooli funktioiden kulun nlysoinniss. Seurvksi esitellään perusintegrointitekniikoit, muuttujnvihto j osittisintegrointi sekä tutustutn rtionlifunktioiden integrointiin. Lopuksi käsitellän epäoleellisi integrlej. Kuten in mtemtiikn opiskeluss, määritelmät on opeteltv huolell. Niiden käyttöä j sisältöä oppii prhiten todistuksi trkstelemll j hrjoitustehtäviä (jotk sisältävät esimerkkejä) tekemällä. Anlyysi -kurssin tiedot on syytä kerrt huolell, niitä käytetään monesti jtkoss. Mitä vähemmän ihminen tietää j ymmärtää, sitä vrmemmin hän luulee tietävänsä, ettei hänen trvitsekn tietää eikä ymmärtää.
ANALYYSI Preliminäärejä Muistelln Anlyysi -kurssin tärkeitä määritelmiä: Funktio f : I R, I R, on jtkuv pisteessä x I, jos jokisell ε > on olemss δ > siten, että f(x) f(x ) < ε, kun x x < δ (x, x I). Edelleen f : I R on jtkuv välillä I, jos f on jtkuv jokisess pisteessä x I. Vielä: f : I R on tsisesti jtkuv välillä I, jos ε-δ - pri ei riipu trksteltvst pisteestä, ts. jos jos jokisell ε > on olemss δ > siten, että f(x) f(z) < ε, kikill x, z I, joiill x z < δ. Pätee luse: Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Jtkuvuus voidn krkterisoid myös rj-rvojen vull: muist, että luku R on funktion f rj-rvo pisteessä x, merkitään lim f(x) =, x x jos jokisell ε > on olemss δ > siten, että f(x) < ε in, kun < x x < δ. Nyt pätee luse: Tällöin f on jtkuv pisteessä x, jos j vin, jos f:llä on rj-rvo f(x ) pisteessä x, ts. lim x x f(x) = f(x ). Seurvt luseet on myös hyvä muist: Bolznon luse: välillä [, b] jtkuv funktio s kikki rvojen f() j f(b) väliset rvot. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuv funktio f on rjoitettu (ts on olemss M > siten, että f(x) M kikill x [, b]). Edelleen, suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuv funktio f s suurimmn j pienimmän rvons (ts on olemss x, x [, b] siten, että f(x ) f(x) f(x ) kikill x [, b]). Eräs tärkeimmistä Anlyysi -kurssin käsitteistä on supremum (j infimum). Muist, että epätyhjän joukon A R supremum sup A on joukon A pienin ylärj. Ts. sup A on sellinen luku M, jolle pätee i) M on joukon A ylärj eli M kikill A, j ii) M on joukon A ylärjoist pienin eli jos G on jokin joukon A ylärj, niin G M. Vstvsti, joukon A R infimum inf A on joukon A suurin lrj. Ts. inf A on sellinen luku m, jolle pätee i) m on joukon A lrj eli m kikill A, j ii) m on joukon A lrjoist suurin eli jos g on jokin joukon A lrj, niin g m. Relilukujen täydellisyyden nojll jokisell ylhäältä rjoitetull joukoll A on sup A R, ts. jos A:llä ylipäänsä on jokin (relinen) ylärj, niin eräs näistä ylärjoist on pienin. Smoin lhlt rjoitetull joukoll A on inf A R. Edelleen, sup A A täsmälleen silloin, kun A:ss on suurin lkio, jolloin sup A = mx A. Smoin, inf A A täsmälleen silloin, kun A:ss on pienin lkio, jolloin inf A = min A.
ANALYYSI. Riemnn-integrli Integrointi j differentiointi (derivointi) ovt kksi nlyysin keskeisintä rjprosessi. Aloitmme integrlin käsitteen esittelyllä, j hetken päästä kohtmme derivtn. Eräs merkittävimmistä tuloksist (nlyysin perusluse) ilmisee, että derivointi j integrointi ovt toistens käänteisprosessej - vikk ensi näkemältä näillä ei näyttäisi olevn pljokn tekemistä toistens knss. Monesti differentili-j integrlilskennn lkeisopetuksess tyydytään esittelemään integrli vin ntiderivttn. Tällinen menettely nt kuitenkin vin hilkn kuvn integrlin käsitteestä, jok on vrsin keskeinen nlyysissä. Siksi lähdemme liikkeelle nimenomn integrlist, jott sen itsenäinen sem korostuisi premmin. Lähinnä historillisist syistä on tpn esitellä ensimmäisenä integrlin käsitteenä ns. Riemnn-integrli, vikk nykyisin käytetään lähinnä Lebesgue-integrli, jok onkin tehokkmpi. Toislt Riemnn-integrli on helpompi määritellä ilmn esivlmisteluj j mm. jtkuville funktioille tulos on sm. Pint-lst intuition vull. Intuitiivisesti tsojokoukon pint-l on sen sisältämien yksikköneliöiden lukumäärä (trkempi lukuj sdn jkmll yksikköneliöiden sivut esim. yhtäsuureen osn, jolloin sdn sdsosn pint-loj, jne.). Pint-llt olisi hyvä vti seurvt ominisuudet: Pint-l on positiivinen luku. Suorkiteen pint-l on sen sivujen (eri) pituuksien tulo. Alueen pint-l ei s muuttu luett siirrettäessä. Koko lueen pint-l on os-lojen pint-lojen summ. Isommll joukoll on suurempi pint-l. Pint-l (ti integrli) rj rvon (intuitiivisesti). Pyritään lskemn ei-negtiivisen funktion f : [, b] R grfin lle jäävän ln pint-l pproksimoimll. Jetn väli [, b] äärellisen moneen (n kpl) osväliin, jkopisteinä = x < x < x < < x n = b
ANALYYSI 3 j piirretään grfin lle (mhdollisimmn korket) suorkiteet S j, joiden pohj on osväli [x j, x j ]. Siten S j on krteesinen tulo [x j, x j ] [, y j ], missä y j = inf{f(x): x [x j, x j ]}. Suorkiteiden S j pint-lt ostn lske, ne ovt y j (x j x j ), joten grfin lle piiretyn monikulmion M = n S j j= pint-l on suorkiteiden S j pint-lojen summ n y j (x j x j ). j= Huomtn, että grfin lle jäävän lueen pint-l A n y j (x j x j ). j= _ M M x x x 3 x 4 x b Seurvksi, tehdään smnlinen pproksimointi ulkopuolelt : Piirretään (mhdollisimmn mtlt) suorkiteet S j, joiden pohj on osväli [x j, x j ] j ktto z j f:n grfin yläpuolell. Ts. S j on krteesinen tulo [x j, x j ] [, z j ], missä z j = sup{f(x): x [x j, x j ]}.
4 ANALYYSI Suorkiteiden S j pint-lt ovt z j (x j x j ), joten monikulmion pint-l on M = n S j j= n z j (x j x j ). j= Huomtn, että grfin lle jäävän lueen pint-l A n z j (x j x j ). j= Yhdistämällä nämä rviot sdn grfin lle jäävän lueen pint-llle A rviot n inf f(x)(x j x j ) A x [x j,x j ] j= n sup j= z [x j,x j ] f(z)(x j x j ). Jtkoss näytämme, että lisäämällä jkovälien määrää tällinen pproksimointiprosessi usein joht hlutun pint-ln (integrlin) smiseen rjll. Kuitenkn mtemtiikk ei pohjudu intuitioon, vikk intuitiivinen käsitys j kuvien piirtely ovtkin erittäin tärkeä os ongelmnrtkisuprosessi. Siksi pidämme tehdyt trkstelut mielessä j pyrimme kehittämään teorin, jok on riippumton hvinnoistmm, mutt selittää niitä. Porrsfunktiot j niiden integrlit. Äsken lähdimme pint-ln intuitiivisest käsitteestä j johdimme sen vull integrlin pproksimoivn rj-prosessin. Nyt teemme päinvstoin: integrlin trkss määritelmässä lähdemme pproksimoivist (pint-lojen) summist (jotk määritellään puhtn nlyyttisesti) j myöhemmin osoitmme, että ylhäältä j lhlt pproksimoivt summt suppenevt kohti sm luku (inkin, kun funktio on sopivn siisti). Tämä yhteinen rj-rvo on integrlin (j pint-ln) täsmällinen määritelmä. Olkoon I rjoitettu väli, jonk päätepisteet ovt, b R, < b. Määritelmä. (jko, porrsfunktio) Välin I jon muodostvt luvut (äärellisen mont) = x < x < x < < x n = b. Funktio f : I R on porrsfunktio, jos on olemss välin I jko j luvut j R, j =,,..., n, joille P = (x, x, x,..., x n ) f(x) = j kikill x ]x j, x j [.
ANALYYSI 5 =x x x x 3 x 4 x 5 x 6 b=x 7 Huomutus. Porrsfunktion välijon voi tehdä monell tp. Porrsfunktion rvoille jkopisteissä x j ei setet mitään ehto. Porrsfunktion grfi muodost portikon. Määritelmä. (porrsfunktion integrli) Porrsfunktio f : [, b] R integrli (yli välin [, b]) on n f := j l(i j ), j= missä P = (x, x, x,..., x n ) on välin [, b] jko siten, että j on osvälin I j =]x j, x j [ pituus. f(x) = j kikill x I j =]x j, x j [ l(i j ) = x j x j Huomutuksi.. Porrsfunktion integrli on hyvin määritelty: se ei riipu vlitust välijost (HT).. Jos f j g ovt porrsfunktioit välillä [, b] j λ R, niin f + g j λf ovt porrsfunktioit j (f + g) = f + g j (λf) = λ f. Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus. Olkoon f : [, b] R rjoitettu (ts. on olemss M >, jolle f(x) M kikill x [, b].) Määritellään f:n lintegrli yli välin [, b] l f := sup{ g : g porrsfunktio j g f välillä [, b]}
6 ANALYYSI j f:n yläintegrli yli välin [, b] ylä f := inf{ Huomutus. Ei ole linkn selvää, onko vi ei. Kuitenkin h : g porrsfunktio j h f välillä [, b]}. l l f = ylä f ylä sillä (HT) jos g j h ovt porrsfunktioit j g h, niin Edelleen porrsfunktiolle g pätee l g h. g = ylä Määritelmä. (Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus) Rjoitettu funktio f : [, b] R on (Riemnn-)integroituv, jos l f = ylä Tällöin f:n (Riemnn-)integrli yli välin [, b] on f := f(x) := l f, f, g. f. f = ylä (Tässä ilmisee, että integrli lsketn integrndin f muuttujn x suhteen). Huomutus. Porrsfunktiot ovt Riemnn-integroituvi. Hetken päästä osoitmme, että (tsisesti) jtkuvt funktiot ovt integroituvi, mikä intuitiivisesti on melko selvää. (Pienillä osväleillä tsisesti jtkuv funktio ei juurikn heilhtele, joten ylä- j lpuolisten porrsfunktioiden väliin ei jää merkittävästi pint-l.) Aloitetn tekemällä yksinkertinen, mutt erittäin hyödyllinen hvinto. Sen jälkeen lskemme määritelmän vull esimerkkifunktioiden integrlej. Myöhemmin kehitämme teori integrlien lskemiseksi. f.
ANALYYSI 7.. Luse. (Riemnnin ehto) Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnnintegroituv, välillä [, b], jos j vin jos jokisell ε > on olemss porrsfunktiot g j h siten, että g f h välillä [, b] j h g < ε. Todistus. : Jos f on integroituv, niin ylä f = l Jos ε >, niin supremumin määritelmän nojll voidn vlit porrsfunktio h siten, että h f j h < ylä f + ε. Edelleen, infimumin määritelmän nojll voidn vlit porrsfunktio g siten, että g f j g > l f ε. Nyt kosk h g < ylä ylä f. f + ε b (l f = l f. f ε ) = ε, : Olkoon ε > mielivltinen j h j g porrsfunktioit siten, että g f h välillä [, b] j Tällöin ylä f h h < ε + g < ε. g ε + l f,
8 ANALYYSI ts. joten Siis ylä ylä f l f l ylä f + ε kikill ε >, f ylä f = l f. f. Huomutus. Riemnnin ehdon hyödyllisyys tulee ilmi sinä, ettei f:n l- j yläintegrlej trvitse ost lske nähdäkseen, että funktio on integroituv: riittää ost rvioid lporrsfunktion j yläporrsfunktion grfien väliin jäävää pintl, sillä porrsfunktioille h j g pätee h g = (h g). Esimerkkejä. Seurvksi lskemme määritelmän vull eräitä integrlej. Esimerkki. (Linerifunktion integrli) Olkoon f(x) = kx, k >. Osoitetn, että f on integroituv j lsketn f(x) = kx. f(x)=kx g h =x x x x 3 x 4 x 5 x 6 b=x 7
Jetn väli [, b] n yhtäsuureen osväliin, jkopisteinä ANALYYSI 9, + t, + t,..., + nt = b, missä t = b n. Määritellään porrsfunktiot g j h siten, että j g(x) = k( + (j )t), kun x [ + (j )t, + jt[, h(x) = k( + jt), kun x [ + (j )t, + jt[, j g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g f h. Edelleen, kun n. Smoin g = tk + tk( + t) + + tk( + (n )t) = ntk + t k( + + + + (n )) = ntk + t n(n ) k = n b (b ) k + n n k (b ) = (b )k + (b ) (b )k + k, n(n ) k n n h = tk( + t) + tk( + t) + + tk( + nt) = ntk + t k( + + + n) = ntk + t n(n + ) k = n b (b ) k + n n k (b ) = (b )k + (b ) (b )k + k, kun n. Siten f on integroituv j n(n + ) k n + n f = kx = (b )k + (b ) k = k (b ).
ANALYYSI Esimerkki. Olkoon f(x) = x. Osoitetn, että f on integroituv j lsketn x. Symmetrisyistä voimme rjoittu tilnteeseen. Muodostetn jko, kuten edellisessä esimerkissä, jkopisteinä, + t, + t,..., + nt = b, missä t = b n. Määritellään porrsfunktiot g j h siten, että j g(x) = f( + (j )t) = ( + (j )t), kun x [ + (j )t, + jt[, h(x) = f( + jt) = ( + jt), kun x [ + (j )t, + jt[, j g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g f h j g = t + ( + t) t +... ( + (n )) t = n t + t ( + + + (n )) + t 3 ( + + + + (n ) ) = n n(n ) t + t = (b ) + 3 (n )n(n ) + t 6 (b ) n(n ) n (b ) + (b ) + missä käytimme kv Kuten yllä, sdn m k = k= (b )3 3 +, m(m + )(m + ) 6 h = ( + t) t + ( + t) t +... ( + n) t (b )3 (n )n(n ) n 3 6 = n t + t ( + + + n) + t 3 ( + + + n ) = n n(n + ) t + t = (b ) + 3 n(n + )(n + ) + t 6 (b ) n(n + ) n (b ) + (b ) + (b )3 3 +.. (b )3 n(n + )(n + ) n 3 6
Siten f on integroituv (Riemnnin ehto) j ANALYYSI x = (b ) + (b ) + (b )3 3 = 3 (b3 3 ). Esimerkki 3. Olkoon f(x) = x k, k N. Osoitetn, että f on integroituv j lsketn x k. Jetn nyt väli [, b] tsvälijon sijst geometrisess suhteess (oletetn > ), jkopisteinä, q, q,..., q n, missä siis merkitään myös q = n b ; x j = q j, j =,,,..., n. Huom, että q >, joten viimeinen jkoväli on suurin j q, kun n. Jkovälin [x j, x j ] pituus on Lsketn porrsfunktion h, x j x j = qj (q ) q h(x) = f(x j ) = (q j ) k, kun x ]x j, x j [ integrli (joll rvioidn f:n yläintegrli). Nyt käyttämällä geometrisen summn kv sdn k q(q ) h = (q) + (q ) k q (q ) + + (q n ) k qn (q ) q q q = k+ q q n (q k+ ) j j= k+ q q k+ (qk+ ) n q q k+ = k+ (q )q k ( b )k+ q k+ = (b k+ k+ )q k q q k+. Hvitsemll geometrisen summn kvn vull, että q q k+ = + q + q + + q k.
ANALYYSI smme q k h = (b k+ k+ ) + q + q + + q k bk+ k+ k + kun n, sillä tällöin q. Siten, ylä f bk+ k+ k +. Smll tvoin nähdään (HT), että l f bk+ k+ k +, joten f on integroituv j x k = bk+ k+ k +. Esimerkki 4. Rjoitettu funktio, jok ei ole Riemnn-integroituv. Olkoon {, jos x Q f(x) =, jos x R \ Q. Tällöin f ei ole Riemnn-integroituv, sillä jos g on porrsfunktio j g on vkio välillä I, niin mikäli g f I:llä, on g siellä, sillä I sisältää irrtionlipisteitä. Siten l f. Toislt g on porrsfunktio j g f, joten l f =. Smoin jos g f I:llä, on g siellä, sillä väli I sisältää rtionlipisteitä. Tästä sdn, että ylä f = > = l f, joten f ei ole Riemnn-integroituv.
ANALYYSI 3 β β α φ(y) dy b f(x) α b Esimerkki 5/ ovel hvinto. Olkoon f : [, b] R idosti ksvv (jtkuv) funktio j ϕ: [α, β] R f:n käänteisfunktio. Ts. f() = α, f(b) = β j ϕ(f(x)) = x kikill x [, b]). Tällöin f(x) + β α ϕ(y) dy = bβ α. Tämän kvn hvitsee kuvst käyttämällä integrlin pint-ltulkint. Trkk todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. Esimerkiksi, jos f(x) = x /k, k N j, b >, niin integrli x /k sdn helposti lsketuksi yo. kvll: ϕ(y) = y k, α = /k, β = b /k, joten eo. kvn j esimerkin 3 nojll x /k = bβ α β α ϕ(y) dy = b +/k +/k βk+ α k+ k + = ( b +/k +/k)( ) k + = b+/k +/k. + /k.. Luse. Olkoon f : [, b] R jtkuv. Tällöin f on Riemnn-integroituv Todistus. Muist: suljetull j rjoitetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv.
4 ANALYYSI Olkoon ε >. Kosk f on tsisesti jtkuv, on olemss n N siten, että jos x y b n Otetn jko P = (x, x,..., x n ), jkopisteinä x j = + j b n Muodostetn porrsfunktiot g j h: j, niin f(x) f(y) < ε b., j =,,..., n. g(x) = min{f(z): z [x j, x j ]} =: m j h(x) = mx{f(z): z [x j, x j ]} =: M j kun z [x j, x j [ j g(b) = f(b) = h(b). Tällön g f h j kosk jtkuv funktio svutt suurimmn j pienimmän rvons suljetull välillä, on pisteet z j, z j [x j, x j ], joill f(z j ) = m j j f(z j ) = M j. Kosk on Siten z j z j x j x j = b n, M j m j = f(z j f(z j ) < ε b. h g = = n M j (x j x j ) j= n m j (x j x j ) j= n (M j m j )(x j x j ) j= < ε b n (x j x j ) j= = ε b ((x x ) + (x x ) +... (x n x n )) = ε b (x n x ) = ε, joten f on Riemnnin ehdon. nojll integroituv. Huomutus. Äärellisen mont pistettä ei vikut sitä eikä tätä integroituvuuteen eikä integrlin rvoon (kosk ne jätettiin porrsfunktioiden määrittelyssä huomioimtt).
ANALYYSI 5 Määritelmä. Funktio f : [, b] R on ploittin jtkuv välillä [, b], jos välillä [, b] on korkeintn äärellisen mont sellist pistettä, joss f ei ole jtkuv..3. Seurus. Ploittin jtkuv funktio Riemnn-integroituv. Riemnnin summt. Olkoon f : [, b] R rjoitettu j olkoon P = ( = x, x,..., x n = b) välin [, b] jko. Merkitään I k = [x j, x j ] j P = mx{l(i k ) = x k x k : k =,,..., n}, mikä on suurimmn osvälin pituus. Vlitn mielivltinen ξ k I k j merkitään S P := S P (f, ξ) := n f(ξ k )(x k x k ) = k= n f(ξ k )l(i k ) j kutsutn tätä f:n (jkoon P liittyväksi) Riemnnin summksi. Huom, että Riemnnin summ on porrsfunktion g integrli, missä g = f(ξ k ) välillä I k. Tihennetään jko niin, että P j tutkitn rj-rvo ts. lim S P (f, ξ) P lim S P (f, ξ) = L, P jos jokisell ε > on olemss δ > siten, että kikill joill P, joill P < δ pätee S P (f, ξ) L < ε k= vlittiinp pisteet ξ k miten hyvänsä. Näin sdn ekvivlentti määritelmä Riemnn-integrlille:.4. Luse. Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin, jos Riemnnin summill on rj-rvo lim S P (f, ξ). P Tällöin f = lim P S P (f, ξ). Todistus. : Olkoon f integroituv j ε >. Vlitn Riemnnin ehdon. vull porrsfunktiot g j h siten, että g f h j h g < ε.
6 ANALYYSI Olkoon P = (z, z,..., z m ) välin [, b] jko siten, että jon pisteet ovt sekä h:n että g:n porrspisteitä. Trkstelln nyt välin [, b] jko P = (x, x,..., x n ), jolle P < P. Tällöin Riemnnin summ S P (f, ξ) on erään porrsfunktion s integrli. Edelleen g s = f(ξ k ) h kikill niillä osväleillä I k = [x k, x k ], jotk eivät sisällä jon P pisteitä. Korjtn porrsfunktioit g j h niillä osväleillä, jotk sisältävät jon P pisteitä: olkoon M > siten, että f(x) M kikill x [, b] j määritellään { g(x), jos x Ik j z j I k kikill j =,,..., m g(x) = M, jos x I k j z j I k jollkin j =,,..., m j h(x) = { h(x), jos x Ik j z j I k kikill j =,,..., m M, jos x I k j z j I k jollkin j =,,..., m. Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g s h. Voidn olett, että M g h M, joten h g M. porrsfunktioiden rvo muutettiin korkeintn m välillä) Siten (kosk h Näin ollen, jos vlitn g h j vditn, että P < δ, sdn f S P = g + m P M < ε + m P M. δ = min( P, f s ε m M ) h < ε + m P M < ε + m M ε m M = ε. Siis Riemnnin summien rj-rvo on olemss j g f = lim P S P (f, ξ). : Olkoon lim S P (f, ξ) = L P
ANALYYSI 7 kikill pisteiden ξ k vlinnoill. Ts. jokisell ε > on olemss δ > siten, että kikill joill P, joill P < δ pätee S P (f, ξ) L < ε vlittiinp pisteet ξ k miten hyvänsä. Olkoon nyt P = (x, x,..., x n ) välin [, b] jko siten, että P < δ j vlitn pisteet ξ k, ξ k [x k, x k ] siten, että f(ξ k ) inf f + ε [x k,x k ] b j f(ξ k ) sup f [x k,x k ] ε b. Tällöin porrsfunktioille g j h, g(x) = f(ξ k ) ε b, kun x [x k, x k ] j pätee g f h j h(x) = f(ξ k ) + ε b, kun x [x k, x k ] h g = = S P (f, ξ) + n k= ε b (x k x k ) S P (f, ξ) + S P (f, ξ) L + ε + L S P (f, ξ) + ε < 4ε. n k= ε b (x k x k ) Näin ollen f on Riemnnin ehdon. nojll integroituv. Integrlin ominisuuksi. Integrlin ominisuuksi etsittäessä on pidettävä mielessä integrlin määrittely: ensin porrsfunktioiden integrli j sitten rjlle (ti supremumin j infimumin otto). Tästä seur, että integrlien ominisuuksien todistukset on yleensä in prst plutt porrsfunktioit koskeviksi väitteiksi (joille ne on useinmiten helppoj) j sitten vin todet, ettei rjnkäynti tuot vikeuksi..5. Luse. (dditiivisuus) Olkoon f : [, b] R rjoitettu j c ], b[. Tällöin f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos j vin, jos f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b]. Tällöin c f = f + f. c
8 ANALYYSI Todistus. Väite seur siitä, että piste c voidn ott porrsfunktioiden (uudeksi) jkopisteeksi: Jos g on porrsfunktio välillä [, b], niin rjoittumt g [,c] = p j g [c,b] = p ovt porrsfunktioit väleillä [, c] j [c, b] (vstvsti). Olkoon P = (x, x,..., x n ) tähän liittyvä jko, missä c = x k. Tällöin (tässä x j ]x j, x j [) g = = = n g(x j )(x j x j ) j= k n g(x j )(x j x j ) + g(x j )(x j x j ) j= c j=k+ g + g, c joten väite tosi porrsfunktioiden integrleille. Yleinen tpus seur ottmll sup j inf yli sopivien porrsfunktioiden. Tähän mennessä integrli määritelmää: on määritely vin, kun < b. Ljennetn Määritelmä. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Määritellään f := f b j g :=, on g mikä thns pisteessä määritelty R-rvoinen funktio. Huomutus. Integrlien dditiivuusluse säilyy voimss: kikill, b, c R c f = f + f, c kunhn f on integroituv po. väleillä.
ANALYYSI 9.6. Luse. (linerisuus) Olkoot f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ R. Tällöin λf j f + g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j (λf) = λ f j (f + g) = f + g. Todistus. Joko hvitn, että väite selvä porrsfunktioille, jost Luse seur ottmll sup j inf, ti Riemnnin summien vull: joten S P (f + g, ξ) = S P (f, ξ) + S P (g, ξ) (f + g) = lim P S P (f + g, ξ) = lim P S P (f, ξ) + lim P S P (g, ξ) = f + g. Vkioll kertominen smn tpn. Esimerkki. Olkoon p(x) = n x n + n x n +... x +. Tällöin p on jtkuvn funktion integroituv j luseen.6 vull sdn esimerkistä 3, että p(x) = n j= j x j = n j= j b j+ j+ j + = n n + (bn+ n+ ) + n n (bn n ) + + (b ) + (b ). Integrlien rviointi. Integrlej ei yleensä pystytä lskemn trksti. Usein kuitenkin sopiv rviointi riittää. Seurv hvinto (muunnelmineen) on eräs keskeisimmistä rviointikeinoist.
ANALYYSI.7. Luse. Olkoon f Riemnn-integroituv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Tällöin f. Todistus. Porrsfunktiolle g pätee g f, joten = g f..8. Seurus. Olkoot f j g integroituvi välillä [, b] siten, että f g. Tällöin f g. Todistus. Luseen.6 nojll f g on integroituv, joten (f g) = f g..9. Seurus. Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Jos M = mx f j m = min f, niin m( b) f M( b). M m b
ANALYYSI.. Luse. Olkoon f jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, b] ( < b). Jos niin f välillä [, b]. f =, Todistus. Jos on x [, b] siten, että f(x ) >, niin (voidn olett, että x ], b[ j) on δ > siten, että f(x) f(x ) > kikill x [x δ, x + δ], joten f = x δ x δ f + + x +δ x δ x +δ x δ f + f(x ) = + δ f(x ) + = δf(x ) >, x +δ f + x +δ mikä on ristiriit j väite tosi. Määritelmä. Olkoon f : A R. Määritellään f:n positiivios f + : A R j f:n negtiivios f : A R, { f(x), kun f(x) f + (x) := mx(f(x), ) =, kun f(x), j { f(x), kun f(x) f (x) := mx( f(x), ) =, kun f(x). Tällöin f:n itseisrvo on f : A R, f (x) := f(x) = f + (x) + f (x). Huomutus. Huom, että f +, f j f j f = f + f.
ANALYYSI.. Luse. Olkoon f : [, b] R rjoitettu. Tällöin f on Riemnn-integroituv, jos j vin, jos sekä f + j f ovt Riemnn-integroituvi. Tällöin f = j myös f on Riemnn-integroituv. f + Todistus. : Seur Luseest.6, kosk f = f + f. : Jos g j h ovt porrsfunktioit välillä [, b] siten, että g f h j h g < ε, niin g + j h + ovt porrsfunktioit j g + f + h + sekä Siten ε > h + (x) g + (x) h(x) g(x). h g = h + (x) g + (x) = f (h(x) g(x)) h + (x) (miksi?) g + (x), joten f + on Riemnnin ehdon. nojll integroituv. Kosk f = f + f, on myös f integroituv, j edelleen f = f + + f on myös... Luse. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Tällöin f f. Todistus. Kosk f f j f f, on mistä väite. f f j f = ( f) f, Huomutuksi. ) Epäyhtälö edellä voi oll ito. Esimerkiksi, x = < = x. b) Funktion f : [, b] R grfin j x-kselin väliin välillä [, b] olevn lueen pint-l on f = f + + f.
ANALYYSI 3.3. Luse. Olkoot f j g Riemnn-integroituvi. Tällöin tulo f g on myös Riemnn-integroituv. Vro. Yleensä (fg) ( f )( Todistus. (vrt. tulon jtkuvuuden ti rj-rvon todistus!). Oletetn ensiksi, että f, g. Olkoon M > sellinen, että f, g M. Olkoon ε >. Vlitn porrsfunktiot g f, h f j g g, h g siten, että j g f f h f M h f g f < ε M j Tällöin g f g g j h g h f ovt porrsfunktioit j g ). j g g g h g M h g g g < ε M. j (kosk h g M j g f M) g f g g fg h f h g h f h g g f g g = M (h f g f )h g + (h f g f ) + M g f (h g g g ) (h g g g ) < M ε M + M ε M = ε, joten Riemnnin ehdon. nojll f g on integroituv.. Jos f j g ovt mitä thns integroituvi funktioit, niin kosk f = f + f j g = g + g, on fg = f + g + f + g f g + + f g, jok on kohdn. nojll Riemnn-integroituvien funktioiden summn integroituv (ks..6). Huomutus. Riemnn-integroituvt funktiot voidn krkterisoid Lebesguen ehdon vull (ei tod.): Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin, jos f:n epäjtkuvuuspisteiden joukko on nollmittinen. Tässä: joukko A R on nollmittinen trkoitt, että kikill ε > on jono voimi välejä I j, j =,,..., siten, että A j l(i j ) < ε. I j j= j= Esimerkiksi Q on nollmittinen, mutt R \ Q ei ole.
4 ANALYYSI Integrlit keskirvoin. Äärellisen monen pisteen x, x,..., x n ritmeettinen keskirvo on x + x + + x n. n Jos hlutn lske funktion f keskirvo välillä [, b], on luonnollist lske ensin f:n rvojen keskirvo äärellisen moness pisteessä, k = f(x ) + f(x ) + + f(x n ), n j nt sitten pisteiden määrän n ksv, n. Kun väli [, b] jetn tsvälein, jkopisteinä x,x, x,..., x n, on j f(x ) + f(x ) + + f(x n ) n x j x j = b n = b n j= f(x j )(x j x j ) n f(x), b jos f on Riemnn-integroituv (Riemnnin summt!). Toisin snoen, f:n äärellisen monen pisteen rvojen keskirvo lähestyy kohti rvo µ = f(x) = b f(x) jot kutsutn f:n keskirvoksi välillä [, b]. Jtkuv funktio s keskirvons välillä [, b]: =: f(x),.4. Luse. (Integrlilskennn välirvoluse (IVAL)/ men vlue thm) Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Tällöin on olemss ξ [, b], jolle ( ) f(x) = f(ξ)(b ). Todistus. Olkoon m = min f j M = mx f, jolloin m(b ) f M(b ), joten m µ := f M. Kosk f s rvot m j M, niin Bolznon luseen nojll f s myös niiden välissä olevn rvon µ, ts. on olemss ξ [, b], jolle f(ξ) = f(x). b
ANALYYSI 5 Huomutus. IVALin.4 kvss (*) voi oll myös b ξ. Integrlilskennn välirvoluseest on myös pinotettujen keskirvojen muoto:.5. Luse. Olkoot f j p Riemnn-integroituvi j p. Tällöin m p fp M p, missä m = inf f j M = sup f, ts. f:n pinotettu keskirvo µ = fp p (mikäli p > ) on f:n supremumin j infimumin välissä. Todistus. Kosk mp fp Mp, on m p = mp fp Mp = M p. Kosk jtkuv funktio svutt suurimmn j pienimmän rvons välisetkin rvot (Bolznon luse), sdn.6. Luse. (Yleistetty integrlilskennn välirvoluse) Olkoon f jtkuv j p ei-negtiivinen, Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin on olemss ξ [, b], jolle fp = f(ξ) p. Integrli ylärjns funktion. Määritelmä. (integrlifunktio) Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Funktio F : [, b] R on f:n (eräs) integrlifunktio, jos on olemss α [, b], jolle F (x) = x α f(y) dy kikill x [, b]. Myöhemmin, Luseen 3.3 jälkeen ljennmme integrlifunktion käsitettä niin, että myös F + vkio on in integrlifunktio, jos F on. Ole trkkn, mitä kukin integrlifunktioll trkoitt!
6 ANALYYSI Huomutus. Vihtmll lrj α α sdn uusi integrlifunktio. Huomutus. Määrätty integrli (eli Riemnnin integrli) sdn integrlifunktiost: jos F on f:n integrlifunktio, niin f(y) dy = α f(y) dy + f(y) dy α = f(y) dy + f(y) dy = F () + F (b) =: α / b α F (y) =: F (b) F (). Huomutus. Kksi f:n integrlifunktiot erovt toisistn vkioll: x α f(y) dy x α α f(y) dy = x α f(y) dy + α x f(y) dy = f(y) dy = vkio kikill x [, b]. α.7. Luse. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Tällöin f:n integrlifunktio on jtkuv. Todistus. Kikill x, y [, b] x F (x) F (y) = = = α x α x y f(t) dt f(t) dt + y α α y f(t) dt sup f x y < ε, y x f(t) dt f(t) dt f(t) dt kun x y < ε sup f + := δ. (Erityisesti F on Lipschitz-jtkuv.) Huomutus. Ei-negtiivisen integroituvn funktion integrlifunktio on ksvv (j ei-positiivisen vähenevä).
ANALYYSI 7 Logritmin määrittely integrlin vull. Anlyysi -kurssill määrittelimme logritmifunktion eksponenttifunktion käänteisfunktion eksponenttifunktio ts määriteltiin rjprosessin vull. Nyt näytämme, että logritmi voitisiin yhtä hyvin määritellä integrlin vull (j käänteisfunktion eksponenttifunktio). Vihtoehtoisesti, ll olevn voi käsittää funktion x integrlifunktion määräämiseksi. Olkoon x >. Merkitään z :n integrlifunktiot f(x) = x z dz. (Kosk z on rjoitettu j jtkuv kikill väleillä [, b], kun, b >, on integrli hyvin määritelty. Osoitmme, että f(x) = log x.) Integrlifunktion ominisuuksien perusteell f : ], [ R on ksvv j jtkuv. Edelleen, f() =, f(x) <, kun < x < j f(x) >, kun x >..8. Luse. Integrlifunktiolle f : ], [ R, pätee kikill x, y >. f(x) = x z dz, x >, f(xy) = f(x) + f(y) Todistus. Olkoon ensin x >. Tällöin yhteenlskuluse on ekvivlentti lusekkeen f(xy) f(y) = f(x) xy y z dz = x s ds knss (missä - selvyyden vuoksi - nimettiin integroimismuuttuj uudelleen). Näiden lusekkeiden yhtäsuuruus nähdään helposti Riemnnin summn vull. Jetn väli [, x] n (yhtäsuureen) osväliin, jkopisteinä = x, x, x,..., x n = x, jolloin x ds = lim s n n j= s j (x j x j ) = lim n n j= x s j n, missä s j ]x j, x j [ on mv. Nyt pisteet y = yx, yx, yx,..., yx n = yx muodostvt välin [y, yx] jon j ys j ]yx j, yx j [, joten xy y z dz = lim n n j= = lim = n n j= x s ds. ys j (yx j yx j ) x s j n
8 ANALYYSI Väite on siten todistettu, jos x >. Jos x =, on f(x) =, joten f(xy) = f(y) = f(x) + f(y). Tpus < x < sdn hoidelluksi, kun hvitn, että silloin x f(x) + f(y) = f(x) + f( x xy) = f(x) + f( x ) + f(xy) = f(x x ) + f(xy) = f() + f(xy) = f(xy). >, joten Nyt induktioll nähdään, että j edelleen kikill n N j x > f(x n ) = nf(x) kikill n N j x >, f(x n ) = f(( x )n ) = nf( x ) = n (f(x x ) ) f(x) = n (f() f(x)) = nf(x). Siten rtionlisill q = n m pätee ( ) f(x q ) = m f((xq ) m ) = m f(xn ) = n f(x) = qf(x). m Seurvksi muistmme, että e = lim n ( + n )n, joten integrlifunktion jtkuvuuden nojll f(e) = f( lim ( + n n )n ) = lim f(( + n n )n ) = lim nf( + n n ). Edelleen integrlilskennn välirvoluseen.4 nojll missä ξ + n. Siten + f( + n n ) = s ds = ξ n, f(e) = lim n nf( + n ) =. Nyt kvn (*) nojll smme kikill rtionlisill q: f(e q ) = qf(e) = q, joten, kosk f on jtkuv, pätee kikill y R: f(e y ) = y. Siten f on eksponenttifunktion käänteisfunktio, eli log x = f(x) = x ds kikill x >. s
ANALYYSI 9. Derivtt Derivtn määrittäminen on intuitiivisesti yhtä hvinnollist kuin integrlin tulkint pint-ln. Trkstelln sileää käyrää y = f(x) j määritetään sen tngentti pisteessä P = (x, f(x )). Geometrisen intuition mukn tngentti sdn kun piirretään suor L (sekntti), jok kulkee pisteiden P j P = (x, f(x )) kutt j viedään x lähemmäksi j lähemmäksi pistettä x, jolloin piste P liukuu kohti pistettä P pitkin käyrää y = f(x). Lopult L lähestyy tngenttisuor L, jok kulkee pisteen P kutt. f(x ) P L L P f(x ) α x x Suorn L krkterisoi se kulm α, jonk L muodost positiiviseen x-kseliin nähden. Anlyyttisesti tämä kulm α voidn määrittää seurvsti: Olkoon α sekntin L j positiivisen x-kselin välinen kulm, jolloin tn α = f(x ) f(x ) x x, jolloin rjkulm α (pitsi, jos α = π rj-rvon j L pystysuor tngentti) sdn f(x ) f(x ) lim = lim tn α = tn α. x x x x x x Tätä tngentin kulmkerroint tn α kutsutn f:n derivtksi pisteessä x. Trkkvinen lukij tietysti kysyy yllä kuvtun päättelyn pätevyyttä: ei ole mitenkään selvää, että seknttien kulmkertoimill edellä on rj-rvo, kun x x. On äärimmäisen tärkeätä, että nnmme derivtlle trkn nlyyttisen merkityksen, jok selittää geometrist intuitiomme, eikä päinvstoin. Määritelmä. (derivtt, derivoituv) Olkoon f : ], b[ R j x ], b[ (huom: voin väli!). Snotn, että f on derivoituv pisteeessä x, jos rj-rvo (.) lim h f(x + h) f(x) h
3 ANALYYSI on olemss (j reliluku!). Tällöin po. rj-rvo snotn f:n derivtksi pisteessä x j merkitään Osmäärää f f(x + h) f(x) (x) := lim. h h f(x + h) f(x) h, h, kutsutn f:n erotusosmääräksi pisteessä x. Jos f on derivoituv jokisess pisteessä x ], b[, niin snotn että f on derivoituv välillä ], b[; tällöin derivtt f määrittelee funktion f : ], b[ R. Jos f on lisäksi jtkuv funktio, niin snotn, että f on jtkuvsti derivoituv välillä ], b[. Huom, että derivtt eli erotusosmäärän rj-rvo ei voi lske vin sijoittmll h = siihen lusekkeeseen, kosk se joht merkityksettömään tulokseen. Siksi on käytettävä Anlyysi -kurssill opittu teori. Huom edelleen, että rj-rvoss (.) h:n pitää slli lähestyä noll miten hyvänsä. Esimerkkejä. i) (Linerisen funktion derivtt) Olkoon f(x) = cx + d. Tällöin f(x + h) f(x) h = c(x + h) + d cx d h = ch h = c, joten f on derivoituv j f (x) = c, eli linerifunktion derivtt on vkio. Erityisesti, jos f itse on vkiofunktio ts. kun c =, on f (x), ts. vkiofunktion derivtt häviää. ii) (Monomin derivtt) Olkoon f(x) = x n, missä n N. Tällöin x n x n lim x x x x = nx n, kosk (induktio) kikill x x x n x n x x = x n + x n x +... xx n + x n x n + x n x +... x x n + x n = nx n. muit käytössä olevi merkintöjä ovt mm. f (x) = df (x) = Df(x)....
ANALYYSI 3 Siis f (x) = nx n. iii) (Sinin derivtt) Ensiksi sin x lim x x =, kosk melkein suorn sinin määrittelystä seur, että cos x < sin x x < cos x, kun < x < π j (muist suppiloperite). Edelleen, kosk cos x x lim cos x = cos = ; x cos x lim x x = cos x x(cos x + ) =, = sin x x(cos x + ) = sin x x cos x + sin x =. Näistä seur, että sin(x + h) sin x h sin x cos h + cos x sin h sin x = h = cos x sin h h + sin xcos h h cos x, kun h. Siis d sin x = cos x. Muistmll, että cos x = sin(x π ) sdn helposti (HT), että d cos x = sin x. Luvun luss lähdimme niivist geometrisest tngentin mielikuvst, mikä ohjsi meitä määrittelemään derivtn käsitteen trksti. Nyt määritellään, mitä käyrän tngentill trkkn otten trkoitetn määritelmä vst geometrist mielikuvmme.
3 ANALYYSI Määritelmä. (käyrän tngentti) Olkoon f derivoituv pisteessä x. Käyrän y = f(x) tngentti pisteessä (x, f(x )) on se pisteen (x, f(x )) kutt kulkev suor L, jonk kulmkerroin on f (x ), ts. tngenttisuorn L yhtälö on y = f(x ) + f (x )(x x ). Vikk tngentti j derivtt on määriteltävä nlyyttisen täsmällisesti, jott niitä todell voitisiin käyttää mtemtiikss, niiden visulinen tulkint äärimmäisen tärkeä pukeino. Esimerkiksi, intuitiivisesti väittämä Funktio f on ksvv (f(x) f(y), kun x < y), kun f j vähenevä (f(x) f(y), kun x < y), kun f. on ilmeinen, kosk mikäli derivtt f (x), osoitt käyrän tngentti yläviistoon (j jos f (x), osoitt käyrän tngentti lviistoon). Anlyyttisen trksti tämä todistetn myöhemmin (ks..). Esimerkki. (Derivtt nopeuten) Trve korvt intuitiivinen käsitys nopeudest ti vuhdist joht myös smn derivtn käsitteeseen. Trkstelln suorll liikkuv kpplett (pistettä) (ykoordintti mittkoon etäisyyttä suunnn huomioiden). Pisteen liike sdn jn funktion lusekkeest y = f(t). Jos tämä on linerinen funktio, f(t) = ct + b, on liike tsist, nopeudell c. Tällöin nopeus on c = f(t ) f(t) t t kunhn t t. Jos ts liike ei ole tsist, niin erotusosmäärä f(t ) f(t) t t ilmiseekin vin keskimääräisen nopeuden t:n j t :n välillä. Hetkellinen nopeus jnhetkellä t sdn keskimääräisen nopeuden rj-rvon, kun t t, eli se on f:n derivtt (mikäli olemss) t:n suhteen pisteessä t: f f(t ) f(t) (t) = lim. t t t t Esimerkiksi vpsti putovn kppleen putomismtk y jn t funktion on (kokemusperäisesti) verrnnnollinen putomisjn neliöön, vkio, jost hetkellinen nopeus on y = f(t) = t, f (t) = t. Siis: putomisnopeus on verrnnolinen putomisikn.,
ANALYYSI 33.. Luse. (Derivoinnin linerisuus) Olkoot f j g derivoituvi pisteessä x ], b[ j c R. Tällöin f + g j cf ovt derivoituvi j (f + g) (x) = f (x) + g (x) j (cf) (x) = cf (x). Todistus. Väite seur, kosk (f + g)(x + h) (f + g)(x) h = f(x + h) f(x) h + g(x + h) g(x) h f (x) + g (x) j (cf)(x + h) (cf)(x) h f(x + h) f(x) = c h cf (x)..3. Seurus. n. steen polynomi p(x) = n x n + n x n +... x + on (jtkuvsti) derivoituv j sen derivtt on (n ). steen polynomi p (x) = n n x n + (n ) n x n +... x +. Derivoituvuus j jtkuvuus. Derivoituvuus on vhvempi ominisuus kuin jtkuvuus:.4. Luse. Jos f on derivoituv pisteessä x, niin f on jtkuv pisteessä x. Todistus. Kosk f(x + h) f(x) = f(x + h) f(x) h h f (x) =, kun h, on lim f(y) = f(x) y x j f on siten jtkuv pisteessä x. Luseen.4 käänteinen väite ei ole tosi: on olemss jtkuvi funktioit, jotk eivät ole derivoituvi. Weierstrss jop konstruoi funktion, jok on kikkill jtkuv, mutt ei ole missään pisteessä derivoituv. Seurvss pri helppo esimerkkiä.
34 ANALYYSI Esimerkkejä. x i) (Kulmpiste) Jos funktion grfiss on terävä kulm ti kärki, ei funktio ole vstvss pisteessä derivoituv. Esim. f(x) = x on kikkill jtkuv. Sillä ei ole derivtt pisteessä x =, sillä f( + h) f() h = h {, jos h > h =, jos h <, joten toispuoleiset rj-rvot, kun h + j h eivät ole smt, eikä rjrvo näin ole olemss. Intuitiivisesti funktion sileys vst sen derivoituvuutt. 3 x.5 ii) (Pystysuor tngentti) Olkoon f(x) = x 3 = 3 x. Tällöin f on määritelty kikill x R j f( + h) f() h = 3 h h = h 3, kun h. Siten f ei ole derivoituv origoss. Geometrisesti tämä trkoitt tngentin olevn pystysuor origoss.
ANALYYSI 35 Korkemmt derivtt. Jos f on derivoituv välillä ], b[, niin sen derivtt f määrittelee myös funktion f : ], b[ R, jolloin voidn kysyä, onko derivttfunktio f derivoituv. Jos se on, niin snotn, että derivtn derivtt on f:n toinen derivtt, f (x) = (f ) (x), ts. f f (x + h) f (x) (x) = lim, h h jos ko. rj-rvo on (relilukun) olemss. Edelleen voidn kysyä, onko toinen derivttfunktio f derivoituv (mikäli se on jollin voimell välillä olemss), tämän derivtt, mikäli olemss on f:n kolms derivtt f = f (3) jne. Rekursiivisesti, olkoon f:n n. derivtt f (n) olemss välillä ], b[. Funktion f (n + ). derivtt pisteessä x on luku f (n+) f (n) (x + h) f (n) (x) (x) = lim, h h mikäli ko. rj-rvo on (relilukun) olemss 3. Huomutus. Usein snotn, että funktio f itse on. derivtt, f = f (). Edelleen f () = f, f () = f. Jos kppleen liikettä tulkitn fysiklisesti, kuten iemmin, on toinen derivtt nopeuden muutoksen mittri eli kppleen kiihtyvyys. Vpsti putovn kpplen esimerkkitpuksess, putomismtk oli hetkellä t y = f(t) = t, jolloin nopeus oli f (t) = t j kiihtyvyys f (t) =, toisin snoen putomiskiihtyvyys on vkio (grvittio). Negtiivinen toinen derivtt trkoitt siten nopeuden hiipumist, positiivinen nopeuden ksvu. Derivtn ominisuuksi. Anlyysi -kurssilt muistmme, että suljetull välillä [, b] jtkuv funktio svutt tällä välillä suurimmn j pienimmän rvons. Derivoituvlle funktiolle nämä mksimi- j minimipisteet ovt joko derivtn nollkohdiss ti välin päätepisteissä: 3 Käytetään myös merkintöjä f (n) = dn n f = Dn f.
36 ANALYYSI.5. Luse. Olkoon f derivoituv pisteessä x. Jos on olemss sellinen x :n sisältävä voin väli I, joll f(x ) f(x) kikill x I, niin f (x ) =. Todistus. Jos x I, x < x, niin f(x) f(x ) x x f (x ), kun x x, joten f (x ). Edelleen, kun z I, z > x, niin f(z) f(x ) z x f (x ), kun z x +, joten f (x ). Siis f (x ) =. Derivtt ilmisee hetkellisen muutoksen suunnn:.6. Luse. Olkoon f derivoituv pisteessä x. i) Jos f (x ) >, niin on olemss δ > siten, että f(x) < f(x ) < f(t) kikill x δ < x < x < t < x + δ. ii) Jos f (x ) <, niin on olemss δ > siten, että f(x) > f(x ) > f(t) kikill x δ < x < x < t < x + δ. Todistus. Kosk i) ii) selvästi, niin todistmme vin kohdn i). Vlitn luku ε = f (x ) vstv δ > siten, että f(x + h) f(x ) f (x ) h < ε = f (x ) in, kun < h < δ. Siten kikill h, joill h ], δ[ f(x + h) f(x ) h f (x ) ε = f (x ) >. Erityisesti, jos x δ < x < x < t < x + δ, on kosk x x <, j kosk t x >. f(x) f(x ) = (x x ) f(x + x x ) f(x ) x x <, f(t) f(x ) = (t x ) f(x + t x ) f(x ) t x >,
ANALYYSI 37 Huomutus. Ehdost f (x ) > ei voi päätellä, että f olisi ksvv x :n missään ympäristössä. Tutki esimerkiksi funktiot { x sin x f(x) = + x, kun x, kun x =, mikä ei ole ksvv missään origon ympäristössä, vikk f () = >. Seurvksi trkstelln erotusosmäärää f(b) f() b j oletetn, että f on derivoituv välillä [, b], joten funktion grfill on tngentti koko välillä. Yo. erotusosmäärä on pisteiden (, f()) j (b, f(b)) kutt kulkevn sekntin L kulmkerroin. L ξ ξ b Jos trkstelln tämän sekntin L knss yhdensuuntisi suori, niin inkin yksi niistä näyttäisi olevn grfin tngentti välillä [, b], ts. on piste ξ ], b[, jolle f(b) f() b = f (ξ).
38 ANALYYSI Tämä ilmiö todistetn välirvoluseess, jok on lkeisdifferentililskennn ehkä tärkein j hyödyllisin luse..7. Luse. (Välirvoluse, VAL) Olkoon f : [, b] R jtkuv suljetull välillä [, b] j derivoituv voimell välillä ], b[. Tällöin on olemss ξ ], b[ siten, että f (ξ) = f(b) f() b. Jos derivtt ei ole olemss jokisess välin ], b[ pisteessä, ei VALin väite enää päde, esim. f(x) = x (HT). Yleensä välirvoluseen todistus on tpn plutt erääseen sen erikoistpukseen, jonk todistmme ensiksi..8. Luse. (Rolle) Olkoon f : [, b] R jtkuv välillä [, b] j derivoituv voimell välillä ], b[ j olkoon lisäksi f() = = f(b). Tällöin on olemss ξ ], b[ siten, että f (ξ) =. M ξ ξ b m Todistus. Jtkuvn funktion f svutt suurimmn rvons M j pienimmän rvons m välillä [, b]. Kosk f() = = f(b), on m M. Jos m = j M =, niin f j f (x) = kikill x ], b[, jolloin mikä hyvänsä ξ ], b[ kelp. Oletetn sitten, että inkin toinen luvuist m j M on nollst poikkev. Silloin joko minimi ti mksimi svutetn josskin pisteessä ξ voimell välillä ], b[. Luseen.5 nojll f (ξ) =, j luse on todistettu. Esimerkki. Olkoon P (x) = x 3 + 7x. Tällöin x = on P :n ino relinen nollkoht, kosk jos olisi x R, jolle P (x ) =, niin Rollen luseen nojll jollkin x :n j x :n välillä, x, mikä on bsurdi. = P (x) = 3x >, kun x,
Välirvoluseen.7 todistus. Tutkitn pufunktiot ANALYYSI 39 ϕ(x) = f(x) f() f(b) f() (x ), x [, b], b mikä geometrisesti trkoitt grfin pisteen (x, f(x)) pystysuor etäisyyttä sekntist. Kosk ϕ on linerifunktion j f:n summ on se derivoituv j ϕ (x) = f (x) f(b) f() b. Kosk lisäksi ϕ() = = ϕ(b), seur Rollen luseest, että on olemss ξ ], b[, jolle = ϕ (ξ) = f f(b) f() (ξ). b (x,f()+ f(b) f() b (x ) ) φ( x) x ξ b Välirvoluseen sovellutuksi. Kirjtn muutmi välirvoluseen lukuisist sovellutuksist. Esimerkki. Kuink suuri virhe tehdään, kun :lle käytetään likirvo.4? Olkoon f(x) = x, jolloin Huomtn, että f on vähenevä. Kosk f (x) =, kun x >. (HT) x.4 =.96 <,
4 ANALYYSI on.4 <. Välirvoluseen nojll on ξ ].4, [, jolle.4 = f() f(.96) = f (ξ)(.96) f (.96)(.96) =.4.4 = 7.4857.9. Luse. Olkoon f derivoituv voimell välillä ], b[. Jos (jollin M R) f (x) M kikill x ], b[, niin f(x) f(y) M x y kikill x, y ], b[, eli f on Lipschitz-jtkuv. Todistus. Välirvoluseen nojll on ξ x:n j y:n välissä siten, että f(x) f(y) = f (ξ)(x y) M x y. Seurv sovellus on hvinnon mukn ilmeinen, mutt sen todistminen käyttämättä välirvolusett olisi hiemn tuskllist... Luse. Olkoon f : [, b] R jtkuv suljetull välillä [, b] j derivoituv voimell välillä ], b[. i) Jos f (x) kikill x ], b[, on f ksvv välillä [, b]. ii) Jos f (x) kikill x ], b[ j jos f jokisell osvälillä ]c, d[ ], b[, on f idosti ksvv. iii) Jos f (x) kikill x ], b[, on f vähenevä välillä [, b]. iv) Jos f (x) kikill x ], b[ j jos f jokisell osvälillä ]c, d[ ], b[, on f idosti vähenevä. Todistus. Olkoot x, x [, b], x < x. Tällöin on ξ ]x, x [, jolle f(x ) f(x ) = f (ξ)(x x ), joten f(x ) f(x ):llä j f (ξ):llä on sm merkki. Kohdt i) j iii) seurvt. Kohdt ii) j iv). Yllä osoitetun nojll f on monotoninen. Siten, jos f(x ) = f(x ), on f(x) = f(x ) kikill x ]x, x [. Siispä mikä on ristiriidss oletuksen knss. f (x) = kikill x ]x, x [,.. Seurus. Olkoon f derivoituv välillä I. Jos f (x) = kikill x I, on f vkio. Todistus. Luseen. nojll f on sekä ksvv että vähenevä, siis vkio.
ANALYYSI 4.. Seurus. Välillä I derivoituville funktioille f j g pätee f (x) = g (x) kikill x I täsmälleen silloin, kun on olemss vkio c R, jolle f(x) = g(x) + c kikill x I Todistus. Sovell Seurust. funktioon f g..3. Luse. (Yleistetty välirvoluse) Olkoon f j g jtkuvi suljetull välillä [, b] j derivoituvi voimell välillä ], b[. Jos niin on olemss ξ ], b[ siten, että g (x) kikill x ], b[, f(b) f() g(b) g() = f (ξ) g (ξ). Todistus. Hvitn ensin, että välirvoluseen nojll on x ], b[ siten, että joten funktio g(b) g() = g (x )(b ), F (x) = f(x) f() f(b) f() (g(x) g()) g(b) g() on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[ (vert VALin todistus). Sovelletn Rollen lusett tähän: kosk F () = j F (b) = f(b) f() f(b) f() (g(b) g()) =, g(b) g() niin Rollen luseen.8 nojll on ξ ], b[ siten, että jok onkin hluttu tulos. = F (ξ) = f (ξ) f(b) f() g(b) g() g (ξ), Yleistettyä välirvolusett käytetään todistettess seurv, vrsin näppärä keino rj-rvojen lskemiseksi, l Hospitlin sääntö..4. Luse. (l Hospitlin sääntö) Olkoot f j g derivoituvi voimell välillä ], b[ siten, että g (x) kikill x ], b[. Jos lim f(x) = j lim x + g(x) = x +
4 ANALYYSI j jos niin osmäärällä f(x) g(x) on rj-rvo j f (x) lim x + g (x) = L, f(x) lim x + g(x) = L. Todistus. Määrittelemällä f() = = g() sdn f j g jtkuviksi suljetull välillä [, x], on x ], b[ mikä hyvänsä. Siten yleistettyä välirvolusett.3 voidn sovelt välillä [, x]. (Smll hvitn, että g(x) kikill x [, b[.) Olkoon ε > j vlitn δ > siten, että f (x) g (x) L < ε, kun < x + δ. Jos z ], + δ[, niin yleistetyn välirvoluseen nojll on ξ z ], z[, jolle f(x) g(x) kosk f() = = g(). Esimerkki. l Hospitlin säännön vull L = f(x) f() g(x) g() L = f (ξ z ) g (ξ z ) L < ε, x 4 lim x x 39 = lim 4x 39 4 = x 39x38 39. Huomutuksi.. Vstv tulos pätee tietysti myös vsemmnpuoleisille rjrvoille, j siten myös vrsinisille rj-rvoille. Muist in trkist, että kikki l Hospitlin luseen oletukset ovt voimss!. Olkoon f j g derivoituvi j Jos rj-rvot ovt olemss, niin lim f(x) = j x x lim f (x) = F j x x joten l Hospitlin luseen mukn lim g(x) =. x x lim g (x) = G x x f (x) lim x x g (x) = F G, lim x x f(x) g(x) = F G.
ANALYYSI 43 3. l Hospitlin lusett vstv tulos pätee myös rj-rvoille x j x (muotoilu j tod. HT). 4. l Hospitlin lusett vstv tulos pätee myös muoto oleville rjrvoille (HT): Olkoot f j g derivoituvi voimell välillä ], b[ siten, että Jos j jos niin osmäärällä f(x) g(x) g (x) kikill x ], b[. lim f(x) = j lim x + g(x) = x + f (x) lim x + g (x) = L R, on rj-rvo j f(x) lim x + g(x) = L. Esimerkki. Mikä on rj-rvo vi onko sitä? Määritellään jolloin f j g derivoituvi sekä j + x e x lim x x, f(x) = + x e x j g(x) = x, lim f(x) = = lim g(x) x x g (x) = 4x, kun x. Siten l Hospitlin säännön oletukset ovt voimss j smme (f (x) = e x ) + x e x lim x x f (x) = lim x g (x) = lim e x x 4x, mikäli oikenpuoleiset rj-rvot ovt olemss. Kosk derivttojenkin osmäärän rj-rvo on muoto, sovellmme l Hospitlin sääntöä derivttfunktioihin f j g (oletukset ovt voimss!). Smme f (x) lim x g (x) = lim f (x) x g (x) = lim e x x 4 = 4. Siis + x e x lim x x = 4.
44 ANALYYSI Funktion pproksimointi linerifunktioill. Differentilit. Olkoon f derivoituv pisteessä x, ts. f:n erotusosmäärällä pisteessä x on olemss rj-rvo f(x + h) f(x) lim = f (x). h h Jos (kiinteällä h) merkitsemme f(x + h) f(x) ɛ(h) := f (x) h näemme, että derivtn määrittelevä rj-rvoehto tk, että lim ɛ(h) =. h Kääntäen, jos funktion f muutos ti lisäys pisteessä x voidn kirjoitt muotoon f(x + h) f(x) = Lh + hɛ(h) pienillä h (tässä, trkkn otten, sekä L että ɛ(h) riippuvt myös pisteestä x) j mikäli virhetermille hɛ(h) pätee lim h ɛ(h) =, on f:n erotusosmäärällä pisteessä x rj-rvo = L, ts. f on derivoituv pisteessä x j f (x) = L. Olemme siis sneet luseen:.5. Luse. (differentioituvuus) Funktio f : ], b[ R on derivoituv pisteessä x ], b[, jos j vin jos, on olemss luku L R j funktio ɛ siten, että j Tällöin f(x + h) f(x ) = Lh + hɛ(h), kun x + h ], b[, lim ɛ(h) =. h f (x ) = L. Luseess.5 funktion ε pitää oll määritelty :n ympäristössä; se voidn kuitenkin in määritellä välillä ] x, b x [ luseen kvll. Luseess.5 olevn ehdon toteutumist snotn usein f:n differentioituvuudeksi pisteessä x. Edelleen, lisäyksen linerist os kutsutn f:n differentiliksi pisteessä x j sitä merkitään df(x, h) := f (x )h. Siten f:n muutos voidn kirjoitt muodoss 4 y = f(x + h) f(x ) = df(x, h) + hɛ(h). 4 Moniss yhteyksissä käytetään merkintöjä (kirjoitetn h = ) dy = df(x, ) = f (x ), jolloin muutos s muodon y = dy + ɛ.
ANALYYSI 45 Kirjoitetn seurvksi differentilin j muutoksen suhde muodoss f(x + h) = f(x ) + f (x )h + ɛ(h)h, mistä nähdään, että f(x + h) on sm kuin (muutujn h suhteen) linerisen funktion f(x ) + f (x )h rvo virheellä hɛ(h). Differentioituvuusehto tk sen, että pienillä h tämä pproksimointivirhe on äärimmäisen pieni. y=f(x )+L(x x ) ε( h) h x x +h Arvoidn seurvss trkemmin tätä virhettä: Jos f on derivoituv pisteen x ympäristössä, on välirvoluseen nojll f(x + h) f(x ) = f (ξ)h jollkin ξ pisteiden x j x + h välissä, joten ɛ(h) = f(x + h) f(x ) h f (x ) = f (ξ) f (x ). Jos myös f on derivoituv (eli f khdesti derivoituv), voimme sovelt välirvolusett uudelleen (funktioon f ) j smme f (ξ) f (x ) = f (η)(ξ x ) jollkin η pisteiden x j ξ välissä, erityisesti η on pisteiden x j x + h välissä. Siten ɛ(h) = f (η)(ξ x ) = f (η) ξ x Mh, missä Siten lineripproksimoinnin virheelle M = sup{f (t): t x h }. ɛ(h)h = f(x + h) ( f(x ) + f (x )h) ) pätee ɛ(h)h Mh,
46 ANALYYSI mikä on kovin pieni, kun h on lähellä noll. Siis, kun f on rjoitettu f M, niin f(x + h) ( f(x ) + f (x )h ) Mh. Funktion pproksimointi linerisell funktioll on äärimmäisen hyödyllistä moniss sovellutuksiss. Huomutus. Joskus myös toispuoleisist derivtoist voi oll ilo (esimerkiksi välin päätepisteissä). Ne määritellään erotusosmäärän toispuoleisin rj-rvoin D + f(x + h) f(x ) f(x ) := lim h + h (oikenpuoleinen derivtt) j D f(x + h) f(x ) f(x ) := lim, (vsemmnpuoleinen derivtt) h h mikäli ko. rj-rvo on olemss. Tässä f:n ei trvitse oll määritelty kuin kyseisellä puolell pistettä x. Pätee: f on derivoituv pisteessä x, jos j vin, jos f:llä on toispuoleiset derivtt D + f(x ) j D f(x ) sekä mikä on tällöin myös derivtn rvo. D + f(x ) = D f(x ),
ANALYYSI 47 3. Derivtt j integrli - nlyysin perusluse Tutkitnp derivoinnin j integroinnin välistä yhteyttä: Integrlin derivtt. Muistetn, että integroituvn funktion f integrlifunktio on muoto olev funktio. F (x) = x α f(t) dt 3.. Luse. (Anlyysin perusluse (os )) Olkoon f : [, b] R Riemnnintegroituv. Jos f on jtkuv pisteessä x ], b[, niin f:n integrlifunktio F, F (x) = on derivoituv pisteessä x j F (x ) = f(x ). x α f(t) dt, Todistus. Seur integrlilskennn välirvoluseen.4 todistuksest: Jokisell h > sdn rviot F (x + h) F (x ) = x +h x { h sup{f(x): x [x, x + h]} f(t) dt h inf{f(x): x [x, x + h]}, joten { F (x + h) F (x ) sup{f(x): x [x, x + h]} f(x ) h inf{f(x): x [x, x + h]} f(x ), kun h, kosk f on jtkuvuv pisteessä x. Smoin negtiivisille h <. Siis F on derivoituv pisteessä x j F (x ) = f(x ). Huomutus. Perusluseen 3. mukn siis derivointi plutt jtkuvn funktion integrlin tkisin lkuperäiseksi funktioksi, mikä voidn kirjoitt muotoon: jtkuvlle funktiolle f d x f(t) dt = f(x). α Esimerkkejä. Perusluseen 3. nojll voidn lske eräiden funktioiden derivttoj. Kosk log x = x t dt,