MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee joukkoo, keskiluvut ja muut sijaitiluvut. Eite käytetty sijaitiluku o keskiarvo ja imeomaa aritmeettie keskiarvo (eglaiksi arithemetic mea tai average). Aritmeettie keskiarvo saadaa laskemalla kaikki muuttuja arvot merkkeiee yhtee ja jakamalla tämä summa yhteelaskettavie lukumäärällä. Jos joki luku esiityy useita kertoja, se lasketaa mukaa summaa juuri ii mota kertaa kui se aieistossa esiityy. Kaikki, mitä tiedät keskiarvosta eestää, o edellee voimassa. Seuraava tarkastelu eräää tavoitteea o syvetää äitä siulla eestää olevia tietoja. Ku tarkasteltavaa muuttujaa o merkitty jollai kirjaimella, se keskiarvo merkitää laittamalla vaakaviiva tämä kirjaime katoksi. Jos muuttuja o siis esimerkiksi x, se keskiarvo merkitää kirjaimella x (lue: äks viiva). Vastaavasti muuttuja y keskiarvoa merkitää y :lla. Tällä kurssilla tarvitaa vai aritmeettista keskiarvoa, mutta o olemassa myös sellaie kui geometrie keskiarvo. Esimerkiksi lukuje 3, 4, 5,, 7, geometrie keskiarvo o 3 4 5 7 5, 4. Lukuje geometrie keskiarvo määritellää siis site, että jos lukuja o kappaletta, iitte tulosta otetaa. juuri. Esimerkki 1 Vastakarvaiste hippihyppiäiste tutkimuspartio jäsete paiot ovat 0g, 92g, 7g, 0g, 84g, 84g, 0g 92g, 8g ja 84g. Laske partio jäsete keskipaio eli paioje keskiarvo. Paioje 0 + 92 + 7 + 0 + 84 + 84 + 0 + 92 + 8 + 84 keskiarvo o g = 92g. Jos jossai vaiheessa joudumme keksimää partio jäsete paiolle symboli ja valitsemme se, mitä yleisesti massa symbolia käytetää eli kirjaime m, massa keskiarvoa joka lukuarvo o siis 92 grammaa merkitää silloi kirjoittamalla m = 92g. Äskeisee partioo pyrkii jälkikätee mukaa myös yksilö, joka paiaa 9 grammaa. Hä kilpailee yksilö kassa, joka paiaa 8 grammaa. Ku partio keskipaio tulee olla vähitää 91 grammaa, voidaako tämä vaihto tehdä? Lasketaa keskipaio tämä mukaa: 0 + 92 + 7 + 0 + 84 + 84 + 0 + 92 + 9 + 84 m = g = 90, 8g. Ei käy siis! Kuika paljo pitää 8 grammaa paiava partio jäsee sijaise paiaa vähitää, jotta keskipaioehto toteutuu? Kirjoitetaa yhtälö, jossa 8 grammaa korvataa tutemattomalla x ja keskipaio vaadittavalla miimillä 91 grammaa:
josta 0 + 92 + 7 + 0 + 84 + 84 + 0 + 92 + x + 84 g = 91g, 812 + x = 91 ja siis x = 98. Vastaus: Sijaisehdokkaa täytyisi paiaa aiaki 98 grammaa. Ku symboleilla merkittäviä, samalaisia yhteelaskettavia o paljo, e umeroidaa alaidekseillä. Jos lukuja o esimerkiksi 12 kappaletta, kirjoitetaa ii, että merkitää alaideksi = 1 ja sitte kolme pistettä ja alaideksi = 12. Jos siis muuttujia a i o 12 kappaletta, ii merkitää a i, i = 1 12 ja luetaa aa ii, missä ii kulkee yhdestä 12:ee. Huomaa, että ideksi voi kulkea tapauksesta riippue vaikkapa 3 14 tai mitä tilae sitte vaatiiki. Tätä merkitätapaa käytetää varsiki yhtälöissä ja aiva erityisesti silloi, ku summaa lyheetää isolla kreikkalaisella sigmalla eli kirjaimella Σ. Esimerkki 2 Koska vastakarvaiste hippihyppiäiste tutkimuspartio umeroitii, o luoollista merkitä se paioje keskiarvo laskemista äi: mi = 1 m = i. Tämähä saoo vai se, että lasketaa yhtee jokaie massa i = 1 ja jaetaa saatu summa kymmeellä eli lasketaa summa m i, missä m 1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m + m7 + m8 + m9 + m ja jaetaa se kymmeellä, joka o yksilöitte lukumäärä. Lukuje x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ja x keskiarvo voidaa yt määritellä Yksilö Paio [g] 1 0 2 92 3 7 4 0 5 84 84 7 0 8 92 9 8 84 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x 1 lyhyellä kaavalla x = =. Jos iitte lukuje määrä, joitte keskiarvo lasketaa, ei ole kiiitetty tai tiedossa, vaa sitä merkitää vaikkapa kirjaimella, ii keskiarvo o x i x x i = 0
Moissa tilastotieteellisissä laskuissa käsitellää luokiteltuja mittaustuloksia. Silloi varsiaie, tarkka lukuarvo korvataa luokkakeskukse arvolla. Ku lasketaa tällaise materiaali keskiarvo, täytyy ottaa huomioo, kuika mota mittaustulosta o kussaki luokassa. Tämä hoidetaa site, että luokkakeskus lasketaa summaa mukaa ii mota kertaa kui siiä o mittaustuloksia. Huomaa, että muuttuja keskiarvo laskemie edellyttää, että muuttuja o välimatka- tai suhdelukuasteiko muuttuja. Esimerkki 3 Käytetää Esimerki 2 taulukkoa. Koska taulukossa o koko hippihyppiäiste kasasta vai muutama yksilö paio, suhtaudutaa iihi kuhuki kute luokkakeskuksee. Silloi luokkaa, joka luokkakeskus o 0 grammaa, kuuluu 3 yksilöä. Keskiarvoa laskettaessa siis summa 0 + 0 tulolla 2 0. Toimitaa samoi muitteki luokkakeskuste kassa. Näi keskiarvo laskemie muuttuu laskutehtävä 7 + 3 84 + 2 92 + 2 0 + 8 suorittamiseksi. Näihä aluperiki laskettii! Yksilö Paio [g] 1 0 2 92 3 7 4 0 5 84 84 7 0 8 92 9 8 84 Yleistetää Esimerki 3 meetelmä. Ajatellaa, että koko aieisto o jaettu k kappaleesee luokkia, joitte luokkakeskuksia merkitää x i :llä, missä i = 1... k. Nyt meillä o siis luokat,x,x,...,x x1 2 3 k. Oletetaa vielä, että jokaisessa luokassa o vastaavasti mittaustuloste kokoaismäärää merkitää :llä, ii ilmeisesti = f f i alkiota kussaki. Jos aieisto k 1 + f1 +... + fk 1 + fk = fi, 1 koska mittaustuloksia o kaikkiaa yhtä mota kui kaikissa luokissa yhteesä. Vastaavasti kaikkie mittaustuloste summa saadaa laskemalla yhtee kaikki e tulot, joissa kussaki luokassa olevie mittaustuloste lukumäärä kerrotaa vastaavalla luokkakeskuksella. Keskiarvo kaava saadaa äi muotoo k fi xi x = 1, joka sopii luokitellu aieisto keskiarvo laskemisee.
Tiivistetää keskiarvo kaavat vielä yhtee ryhmää: Luokittelemattoma aieisto keskiarvo x määritellää kaavalla xi x = 1 Jos aieisto o luokiteltu k kappaleesee luokkia ja jokaisessa luokassa i o f i x k = 1 alkiota, luokitellu aieisto keskiarvo x määritellää kaavalla f x i i Huomaa, että tässä ei ole mitää oleaista uutta siihe, mitä siä jo peruskoulussa opit. Tämä esitys aioastaa saoo se kaike tiiviimmi. Seuraava asia se sijaa varmaa oki siulle uusi. Mediaaista ja moodista Kute keskiarvo, myös mediaai ja moodi tehtävä o kertoa, millaisista suuruusluokista tilastossa o kysymys. Mediaai ja moodi täydetävät sitä tietoa, mitä keskiarvo avulla saadaa. O jopa tilateita, joitte kuvaamisee keskiarvo ei sovi. Ajatellaa vaikkapa feodaalivaltiota, joka väestöstä 2,7 miljooaa asaitsee vuodessa 200 euroa per capita ja 300 000 asaitsee vuodessa 0 miljooaa per capita. Tämä maa asukkaa keskiasio asukasta kohti o tällöi 5 8 2, 7 200 + 3 7 3 Keskimääri siis kymmee miljooaa per uppi! Tämä luku ei selvästikää aa todemukaista kuvaa tavallise kasalaise asiotasosta tuossa maassa. Keskiarvo ei siis kuvaa ii saottua vioa jakaumaa todemukaisesti. Toie tilae, josta keskiarvo avulla ei yleesä saada käyttökelpoista tietoa, o sellaie, joka muuttuja arvot jakautuvat voimakkaasti kahtee ryhmää. Ajatellaa vaikka maaliskuise iltapäivä ja aamuyö lämpötiloja. Jos aamuyöllä kello 3 lämpötila o esimerkiksi kaksi viikkoa peräkkäi 20 C ja iltapäivä lämpötila sama kahde viiko jakso aikaa o +4 C joka päivä, ei aiakaa vuorokaude pelkä keskiarvo laskemie äistä luvuista aa kuvaa oikeasta tilateesta. Keskiarvo o siis tärkeä luku, mutta ei sovi joka tilateesee. Luokittelemattoma aieisto mediaai o aieisto keskimmäie arvo. Se etsitää laittamalla aieisto esi suuruusjärjestyksee ja etsimällä luettelo keskimmäie arvo. Jos arvoja o parito määrä, asia o selvä. Jos arvoja o parillie määrä, otetaa kaksi keskimmäistä ja lasketaa äitte keskiarvo. Mediaaista käytetää lyheystä Md. Luokitellu aieisto mediaai etsitää etsimällä esi aieisto mediaailuokka. Mediaailuokka o se luokka, jossa suhteellie summafrekvessi saavuttaa esimmäise kerra 50 proseti arvo. Mediaai o mediaailuoka luokkakeskus. luokittelemattoma aieisto mediaai o aieisto keskimmäie arvo luokitellu aieisto mediaai o mediaailuoka luokkakeskus mediaai lyhee o Md
Mediaai o erityise käyttökelpoie sellaisissa tilateissa, missä muuttuja arvot eivät ole symmetrisesti keskiarvo kahde puole. Huomaa, että koska mediaaia etsittäessä aieisto laitetaa suuruusjärjestyksee, mediaai voidaa määrätä vai vähitää järjestysasteiko muuttujalle. Moodi määritelmä muistuttaa mediaai määritelmää. Luokittelemattoma aieisto moodi o se muuttuja arvo, jolla o suuri frekvessi. Luokitellu aieisto moodi o se luoka luokkakeskus, jolla o suuri frekvessi. luokittelemattoma aieisto moodi o aieisto se arvo, jota o eite luokitellu aieisto moodi o se luoka luokkakeskus, jossa o eite mittausarvoja moodi lyhee o Mo Moodista käytetää lyheystä Mo. Esimerkki 4 Edellä oleva feodaalivaltio kasalaiste vuosiasio mediaai ja moodi ovat 200 euroa. Esimerkki 5 Etsitää seuraava aieisto moodi ja mediaai, ku muuttujaa o asuo huoetyyppi. Asuot talotyypi ja huoeistotyypi mukaa 31.12.2005 Asutokata 2005 Asuikerrostalo Alueet 491 Mikkeli Tilastokeskus 7/3/2007 Huoeistotyyppi 1h+kk/kt 2049 1h+k 534 2h+kk/kt 1870 2h+k 3919 3h+k/kk/kt 244 4h+k/kk/kt 22 5h+k/kk/kt 80 h+k/kk/kt 1 7h+k/kk/kt - 0 Aieisto o jo valmiiksi suuruusjärjestyksessä, jote emme joudu lajittelemaa sitä. Se o myös luokiteltu ii, että kuki huoeistotyyppi o yksi luokka sikäli kui luokittelussa o mieltä tällaise epäjatkuva muuttuja tapauksessa. Frekvessie summa o 11719. Mediaailuokka o 2h + k, koska tämä luoka suhteellie summafrekvessi o oi 74 prosettia ja tätä ee 38 prosettia.
Moodiluokka puolestaa o se luokka, jossa o alkioita eite eli joka frekvessi o suuri. Tämäki luokka o 2h + k. Vastaus: Aieisto moodi ja mediaai ovat 2h + k. Huomaa, että moodi voi saada samoje mittausarvoje joukossa useampia kui yhde arvo. Seuraavassa o esimerkki tästä. Esimerkki Olkoo meillä seuraava tauluko kaltaie koetulostilasto. Se alarivillä o arvosaa ja ylärivillä o arvosaa frekvessi. Frekvessi 03 07 11 11 07 03 Arvosaa 4 eli hylätty 5 7 8 9 Kokeesee osallistui 52 hekilöä, joista arvosaa 7 sai 11 kokelasta, samoi arvosaa 8. Näitä kahta arvosaaa o myös suuri määrä. Moodilla o siis kaksi arvo: 7 ja 8.