Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Transkriptio

1 Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole vielä kuolla halliassa, ii iihi voi perehtä lukemalla moistetta ja tätä tukimateriaalia ja kertaamalla koulukirjoista Seuraavassa tekstissä o luvu osalta pari todistustaki Niitä ei tulla tetissä ksmää, vaa e ovat mukaa asiasta kiiostueita varte Se sijaa kaikki laskumeetelmät o hallittava, että selviäisi laskutehtävistä R: järjestsrelaatio Lasketaa esimerkkiä seuraava tehtävä Moistee sivulla 4 o vastaavalaie Esimerkki Ratkaise epähtälö < + Suositeltava meetelmä: Viedää kaikki samalle puolelle ja samalle murtoviivalle ja suoritetaa merkkitarkastelu (Lueolla esitettäee kaksi muutaki meetelmää) Merkkitarkastelu: < + ( + ) < 0 ( + )( ) < 0 + < 0 > Vastaus < < tai > + + Varoitus: Vääri olisi kertoa oi vai imittäjällä, koska se merkkiä ei tueta Oha ii, että jos epähtälö kerrotaa egatiivisella luvulla, ii epähtälömerkki pitää käätää, siis esimerkiksi merkki < pitää vaihtaa merkiksi >

2 Itseisarvot Sivulla 7 o reaalilukuje itseisarvo omiaisuuksia, mm a b b a b, a b a b tai a b Esimerkki 3 Ratkaistaa epähtälö > Em omiaisuude ojalla > > tai < 3 < tai < < 3 < 3 tai < Ratkaistaa sama epähtälö toisellaki tavalla, kättämällä kuvaajia Tämä tapa o hödllie mös tarkistuskeioa Piirretää samaa kuvioo fuktioide = ja = kuvaajat = = 3 Ratkaisemalla leikkauspiste ( 3, 3 ) ähdää kuviosta vastaus < 3 Leikkauspistee taas saa suorie = ja = leikkauspisteeä Esimerkki Jos edellisessä esimerkissä olisiki ollut epähtälö <, lasku olisi lähtet omiaisuude avulla äi: < < < < ja <

3 Biomikaava Moistee sivu 9 alalaida kaavat o stä muistaa Kaavat ii) ja iii) tosi ovat erikoistapauksia biomikaavasta ( ) (a + b) = a i b i ( 0) i i=0 Jos sijoitetaa a = ja b =, kaava saa muodo ( ) ( + ) = i i i=0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = , 0 ku muistetaa, että ( ( 0) = ja ) ( = = ), ii ( ) ( ) ( + ) = Esimerkiksi lisäämällä Pascali kolmioo vielä ksi rivi, 6, 5, 0, 5, 6, osataa heti kirjoittaa ( + ) 6 = Biomikaavaa ei tällä kurssilla todisteta, mutta se olisi todistettavissa kohtuullisella töllä pkälä iduktiomeettelllä Ratkaisukaava astee htälölle Sivu kaava johto tulee selvemmäksi jos se esi tekee tapauksessa a = Olkoo siis ratkaistavaa htälö + b + c = 0 Nöksi tädetämällä saadaa Siis + b + c = 0 + b = ( + b ) b 4 ( + b ) b ( + b 4 + c = 0 ) = b 4 c + b = ± b 4 c = b b ± 4 c = ( b ± ) b 4c Tätä keioa voi kättää laskuissaki kaava sijasta 3

4 Ellipsi Seuraavassa ellipsi kaava johto o auki kirjoitettua Moisteessa o vai pari sttävää riviä, koska tämä oikeastaa kuuluisi koulukurssii Sivulla 8 määritellää ellipsi iide pisteide joukkoa, joide etäisksie summa kahdesta aetusta pisteestä o vakio Ajatellaa, että ko kaksi pistettä ovat ( c, 0) ja (c, 0) missä c > 0 (valitsemalla koordiaatisto sopivasti) Silloi mivaltaise pistee (, ) etäisdet äistä pisteistä ovat ( + c) + ( 0) ja ( c) + ( 0) ( + c) + ja ( c) + Siis piste (, ) o ko ellipsillä jos ja vai jos äide etäisksie summa o aettu vakio, jota merkitsemme a:lla (a > 0), siis jos ja vai jos ( + c) + + ( c) + = a ( + c) + = a ( c) + Korottamalla toisee tästä tulee ( + c) + = (a) + ( c) + 4a ( c) + Kirjoittamalla biomie öt auki ja hiuka hdistämällä ja kumoamalla termejä saadaa 4c = 4a 4a ( c) + c a = a ( c) + Korottamalla taas toisee tästä tulee joka saadaa muotoo c + a 4 a c = a ( ( c) + ) (a c ) + a = a (a c ) Merkitää a c = b (pitäisi perustella että a c), jolloi b + a = a b Jakamalla tulolla a b saadaa ellipsi htälöksi a + b = 4

5 Hperb Hperb käsitellää samoi kui ellipsi Moisteessa o s 9 kuvat hperbeleistä, joilla o htälöt a b = ja a b = Huomataa eritisesti, että äillä hperbeleillä o viot asmptootit; itse asiassa asmptootit ovat suorat = ± Tällä kurssilla tulee kättöö pikemmiki hperbt, jotka sijaitsevat site, että asmptootit ovat koordiaattiakse suutaisia Perusesimerkki o hperb = =, ja leisempi tapaus o = a + b = = a + b = a = b Oikeapuoleisesta kuvasta äk, että kärällä = a + b o vaakasuora asmptootti = a ja pstsuora asmptootti = b Tämä tarkoittaa, jos kätämme möhemmi esiteltävää raja-arvo käsitettä, että () : rajaarvo o a ku läheee ääretötä (tai miius ääretötä), ja () : rajaarvo o ääretö ku läheee b:tä oikealta, ja miius ääretö ku läheee b:tä vasemmalta puolelta Möhemmi opimme, että äille raja-arvoille o kätevät merkitätavat: lim = a, ± lim =, b+ lim = b Kaattaa samalla paa merkille seuraava hödllie seikka, jota tulemme möhemmi kättämääki Ku kärästä = siirrtää kärää = a + b, ii tuo : korvaamie ( b):llä aiheuttaa kärä siirtmise oikealle b: verra ja : kasvattamie a:lla ostaa kärää a: verra Tätä havaiollistaa seuraava paraabkuvio = + ( 5) = = ( 5) (0, 0) (5, ) (5, 0) 5

6 Iduktio Esimerkki 8 Kuika mota osajoukkoa äärellisellä joukolla o? Tämä ksms o moisteessa jätett lukija ratkaistavaksi Tässä o eräs ratkaisu Kokeillaa pieiä joukkoja O huomattava, että thjä joukko ja koko joukko ovat aia osajoukkoja Yhde alkio joukko {a}: osajoukot ovat ja {a}, siis osajoukkoa Kahde alkio joukko {a, b}: osajoukot ovat, {a}, {b} ja {a, b}, siis 4 osajoukkoa Kolme alkio joukko {a, b, c}: osajoukot ovat, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} ja {a, b, c}, siis 8 osajoukkoa Nättää, että jos joukossa o alkiota, ii osajoukkoja o kappaletta Todistetaa tämä arvaus iduktiolla oikeaksi Väite Jos joukossa o alkiota,, ii se osajoukkoja o kappaletta Todistus Todistetaa iduktiolla : suhtee Iduktio lähtökohta: Väite o tosi ku =, koska osajoukkoja o = kappaletta, kute llä todettii Iduktio-oletus: Väite o tosi ku = k Iduktioväite: Väite o tosi ku = k + Iduktioväittee todistus: Olkoo X joukko, jossa o k + alkiota Valitaa X: alkio a ja merkitää X = X \{a}; siis X o joukko, joka saadaa jättämällä X:stä pois alkio a Silloi X :ssä o k alkiota, jote siihe voidaa soveltaa iduktio-oletusta: jouko X osajoukkoja o k kappaletta Jouko X osajoukkoja o kahdelaisia: o sellaisia, joihi a kuuluu, ja o sellaisia, joihi a ei kuulu Edelliset ovat samat kui X : osajoukot, ja jälkimmäiset ovat samat kui X : osajoukot, joihi o lisätt alkio a Kumpiaki o k kappaletta, jote X: osajoukkoja o kaikkiaa k + k = k = k+ kappaletta Näi iduktioväite tuli todistettua 6

7 Esimerkki Iduktio o siis todistusmeetelmä, mutta sillä voi olla kättöä kaavoje tai muide tuloste johtamisessaki Ajatellaa esimerkkiä, että meidä pitäisi lötää suljettu lauseke öide summalle summalle i Mite sellaie kaava johdettaisii? Voisimme aloittaa vertaamalla tuttuu kaavaa (aritmeettie summa, esimerkki 6) Vasemmalla puolella o = ( + ) i = ( + ) i, missä i esiit esimmäisessä potessissa, ja oikealla puolella o : lauseke, missä esiit toisessa potessissa Siis summaamie ättäisi ostava astelukua hdellä Teemme tästä luova arvaukse, että koska kstssä summassa i esiit i toisessa potessissa, ii voisikoha etsitt summa lauseke olla kolmatta astetta : suhtee? Meillä ei ole t parempaa perustetta tälle arvaukselle, mutta voiha sitä kokeilla Jos arvaus o oikei, ii i = a + b + c + d 3 joillai kertoimilla a, b, c, d joita emme vielä tue Sijoittamalla tähä vuoro perää arvot =,, 3, 4 saamme eljä htälö rhmä = a + b + c + d, 5 = a + b + 4c + 8d, 4 = a + 3b + 9c + 7d, 30 = a + 4b + 6c + 64d, josta voimme ratkaista a = 0, b = 6, c =, d = 3 Siis arvauksemme johtaa lausekkeesee i = i = 6( + )( + ) Näi olemme saaeet summalle lausekkee, josta valitettavasti emme tiedä muuta, kui että se pätee : arvoilla,, 3, 4 Etä voitaisiiko toivoa, että se olisi voimassa suuremmillaki : arvoilla? Ilma muutaha se ei ole selvä Seuraava vaihe olisi ottaa tämä lödett kaava ja rittää todistaa se oikeaksi iduktiolla Jos iduktiotodistus oistuu, ii tiedämme, että lauseke o leisesti oikea Tämä vaihe ehkä suoritetaa demoissa 7