n = 100 x = %:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

Transkriptio

1 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%: luottamusvälit tiivisterekaide halkaisija odotusarvolle. x=tiivisterekaa halkaisija x ( µ, σ 2) σ = 0.04 = 100 x = %: luottamusväli µ:lle x ± Z σ/ = 0.6 ± / 100 = 0.6 ± eli väli [0.592, 0.608] 99%: luottamusväli µ:lle x ± Z σ/ = 0.6 ± / 100 = 0.6 ± eli väli [0.590, 0.610] [0.592, 0.608] ja [0.590, 0.610] 2. Kuika suuri otos vähitää tarvitaa, jos halutaa, että edellise tehtävä tiivisterekaide halkaisija odotusarvo 99%: luottamusväli pituus o korkeitaa 0.02 tuumaa? 99%: lv: pituus σ/ 0.02 (2 2.58σ/0.02) 2 = Otoskoko 107 Otoskoko 107 kpl 3. Erää paperilaadu eliöpaio vaihtelee ormaalijakauma mukaa ja hajoa tiedetää oleva σ = 1.3 g/m 2. Ku halutaa estimoida odotusarvoa, ii kuika suuri otos tarvitaa, jotta odotusarvo 99%: luottamusväli pituus olisi alle 1 g/m 2? Paperi eliöpaio X N(µ, σ 2 ), missä σ = 1.3 g/m 2 Odotusarvo 99%: luottamusväli (α = 0.01) o µ = x ± z σ/ Väli pituus (yläraja - alaraja): 2 z σ/ = / < 1

2 => > => > eli otoskoko Estimoidaa ormaalijakautuee satuaismuuttuja X odotusarvoa µ tilateessa, jossa hajota σ tuetaa. Kuika suuri otos tarvittaisii, jotta odotusarvo 99%: luottamusväli pituus olisi alle a) σ, b) 0, 1σ? Ku σ tuetaa, ii µ: (1 α)100%: luottamusväli o σ x z 1 α/2 σ µ x + z 1 α/2 σ Luottamusväli pituus o 2z 1 α/2 α = 0, 01 z 1 α/2 = z 0,995 = 2, 5758 a) 2 2, 5758 σ σ (2 2, 5758) 2 = 26, 5 27 b) 2 2, 5758 σ 0, 1σ = σ 10 (10 2 2, 5758)2 = 2653, a) 27 b) Pakkauskoeella pakatuista laatikoista otettii 8 kappalee äyte, jossa paiot (kg) olivat a) Estimoi paio odotusarvo ja variassi. b) Määrää odotusarvo 99% : luottamusväli. = 8 Σx i = 40.2 Σx 2 i = a) ˆµ = x = 1 Σx i = 40.2/8 = ˆσ 2 = s 2 = 1 1 [Σx2 i 1 (Σx i) 2 ] = 1 7 [ ] = (s = ) b) Piei otos, σ tutemato => luottamusväli perustuu otossuureesee T = x µ s/ t( 1) 99%: varmuudella (α = 0.01, 1 α 2 = 0.995) t ( 1) x µ s/ t 0.995( 1) josta 99%: luottamusväliksi µ = x ± t ( 1)s/

3 Taul.arvo t ( 1) = t (7) = µ = ± / 8 = ± b) ± Jauhime toimia valvoassa tarkkaillaa jauhetu massa raekoo vaihtelua. Suoritetussa rutiiimittauksessa saatii =25 rakee otoksesta hajoaksi s=0.75 kg. Mitä arvoa pieempi raekoo todellie hajota σ o 95%: varmuudella? Oletetaa, että raekoko o ormaalijakautuut. Raekoko x N ( µ, σ 2) χ 2 = ( 1)s2 σ χ 2 ( 1) 2 P ( χ 2 χ ( 1) ) ( = 0.95 ) P ( 1)s 2 σ χ ( 1) = 0.95 =25 s=0.75 χ ( 1) = χ (24) = 13.8 ( 1)s 2 (24)0.752 = χ ( 1) 13.8 = %: varmuudella variassi σ 2 = eli hajota σ = σ = Mediatutkimuksessa poimittii suomalaisista 150 hege otos ja kysyttii mm. kuika moi katsoi sääöllisesti erästä uutta televisiosarjaa. 57 hekeä ilmoitti katsovasa kyseistä sarjaa. Laske tämä perusteella 95%: luottamusväli katsojie suhteelliselle osuudelle koko väestössä. = 150 x = 57 => ˆp = x/ = 0.38 ˆp(1 ˆp) = > 9 => orm. approksimoiti ok Z = ˆp p N(0.1) ˆp(1 ˆp) 95% varmuudella (α = 0.05, 1 α/z = 0.975) z ˆp p z ˆp(1 ˆp) josta luottamusväliksi

4 ˆp(1 ˆp) p = ˆp ± z ± = 0.38 ± 0.08 eli 38 ± 8% 38 ± 8% 8. Tutkitaa suhteellise osuude, esim. puoluekaatukse väliestimoitia 95%: varmuudella: mite suuri otoskoo olisi oltava, jotta saavutettaisii a) 5, b) 1 prosettiyksikö tarkkuus kaatusosuude p estimoiissa, ku ˆp = Kuika väliestimaatti muuttuu ˆp: muuttuessa? ˆp = % : lv. ˆp(1 ˆp) ˆp ± Z ˆp(1 ˆp) Tarkkuus Z ρ ( virhemargiaali ) ρ = 1, vast. 5%-yks = eli , vast. 1%-yks = eli 7203 Koska tarvittava verraollie termii ˆp(1 ˆp) ja termi arvo vaihtelee kuva mukaisesti, ii tarvittava otoskoko o sitä suurempi mitä lähempää ˆp o arvoa 0.5. Jos taas o kiiteä, ii lv. o laaji, ku ˆp = 0.5. a) 289 b) 7203

5 9. Halutaa selvittää, oko virvoitusjuomie pullottamoo aseettu uusi kuljetirata lyhetäyt läpimeoaikaa. Läpimeoajat (ee ja jälkee) voidaa olettaa ormaalijakautueiksi ja variassit yhtäsuuriksi. Estimoi keskimääräise läpimeoaja lyheemie µ 1 µ 2 ja määritä se 95%: luottamusväli seuraavasta koeaieistosta: ee 1 = 12 x 1 = 35.2 s 2 1 = 24.4 jälkee 2 = 10 x 2 = 31.5 s 2 2 = 20.0 Läpimeoaika ee X 1 N(µ 1, σ 2 1) jälkee X 2 N(µ 2, σ 2 2) (σ 2 1 = σ 2 2) Lyheemie ˆµ 1 ˆµ 2 = x 1 x 2 = = 3.7 Koska pieet otokset, luott.väli perustuu otossuureesee T = x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) t( ) 1 s p josta (1 α) 100%: luottamusväliksi µ 1 µ 2 = x 1 x 2 ± t 1 α/2 ( )s p s 2 p = ( 1 1)s ( 2 1)s = %: lv: α = 0.05 t 1 α/2 ( ) = t (20) = Kaavaa sijoituksilla => µ 1 µ 2 = 3.7 ± ( ) = 3.7 ± ± = (s = 4.735) Vertailtii kahde valmistaja polttimoide kestoikää ja havaitoaieistoista oli laskettu: Tyyppi 1: 1 = 80, x 1 = 1200, s 2 1 = Tyyppi 2: 2 = 100, x 2 = 900, s 2 2 = 35000

6 Määritä 99%: luottamusväli kestoiä odotusarvoje erolle. Koska otoskoot ovat suuria, korvataa variassit otosvariasseilla. σ 2 1 s 2 1 = σ 2 2 s 2 2 = (Variassie yhtäsuuruutta EI oikei voi olettaa: siksi ei käytetä t-otossuuretta) Erotukse x 1 x 2 variassi σ 2 = σ2 1 + σ2 2 = = 850 x 1 x 2 N(µ 1 µ 2, 850) x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) 850 N(0, 1) 99%: varmuudella (α = 0.01, 1 α/2 = 0.995) Z x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) 850 Z eli x 1 x 2 Z µ1 µ 2 x 1 x 2 + Z x 1 x 2 = = 300 Z = %: lv µ 1 µ 2 : lle 300 ± eli 300 ± 75.2 eli [224.8, 375.2] 11. Valmistetaa laakerikuulia, joide halkaisija tulisi olla mahdollisimma tarkkaa 5 mm. Halkaisija X o ormaalijakautuut odotusarvoa säätöarvo µ ja keskihajotaa σ = 0, 2 mm. Säätöarvo tarkastetaa mittaamalla = 20 satuaisesti valitu laakerikuula halkaisija ja testaamalla riskitasolla α = 0,05 hypoteeseja H 0 : µ = 5, H 1 : µ 5. Suorita testaus, ku tarkastuksessa saatii keskiarvoksi x = 5, 06 mm. Mikä o tulokse P-arvo? X N(µ, σ 2 ), σ = 0, 2mm H 0 : µ = 5 H 1 : µ 5 Testisuure Z = x µ0 µ N(0, 1), ku µ = µ 0 (koska σ tuetaa) Otos: = 20, x = 5, 06

7 Z = 5,06 5 0,2 20 = 1, 34 α = 0, 05 H 0 hylätää, jos z > z 1 α 2 = z,975 = 1, 96 z < 1, 96, jote H 0 jää voimaa Keskimääräie halkaisija µ ei poikkea merkitsevästi 5mm:stä Merkitsevyystatso eli P-arvo o P = P ( Z > 1, 34) = 2P (Z > 1, 34) = 2[1 Φ(1, 34)] = 2[1 0, 9099] = 0, , 18 P-arvo 0, Kemiallise prosessi valvoassa tarvitaa liuokse ph: mittaamista. Prosessi toimia kaalta oikea ph-arvo o 7, 90. Liia suuret poikkeamat kumpaaki suutaa ovat haitallisia. Oko ph pysyyt halutussa arvossa, jos kahdeksasta mittauksesta saadaa keskiarvoksi 7, 85 ja keskihajoaksi 0, 04? Testaa hypoteeseja H 0 :µ = 7, 90 H 1 :µ 7, 90 Käyttäe riskitasoa α = 0, 05 phx N(µ, δ 2 H 0 :µ = 7.90 H 1 :µ 7.90 Riskitaso α = 0, 05 Koska piei otos ja δ tutemato, käytetää testisuuretta T = X µ0 s/ t( 1) ku µ = µ 0 H 0 hylätää, jos t > t 1 α/2 ( 1) Otos: =8 X = 7, 85 s=0,04

8 t = 7,85 7,90 0,04/ = 3, Kriittie arvo t 1 α/2 ( 1) = t 0,975 (7) = 2, 365 Koska t = 3, 536 > 2, 365, ii H 0 hylätää riskitasolla α = 0, 05 : ph-arvo ei ole pysyyt Ei ole. 13. Määrätyillä testeillä mitattu älykkyysosamäärä o ormaalijakautuut ja se keskiarvo Suome koko väestössä o 100, keskihajotaa 24. Erää pikkukaupugi tekillise korkeakoulu opiskelijoista poimittii satuaisesti 10 testattavaa. Näide ÄO-lukemie keskiarvoksi saatii x = ja keskihajoaksi s = Mitä johtopäätöksiä tuloksista voidaa vetää? ÄO korkeakoulu opisk. joukossa X N(µ, σ 2 ) H 0 : µ = 100 (Eivät poikkea ormaaliväestöstä) H 1 : µ > 100 (Älykkäämpiä keskimääri kui ormaaliväestö) = 10 x = s = 18.1 Testisuure: T = x µ 0 s/ t( 1) ku µ = µ 0 H 0 hylätää, jos T > t 1 α ( 1) T = / 10 = Valitaa α = 0.05 t 1 α ( 1) = t 0.95 (9) = T = < H 0 jää voimaa Ei voida pitää ormaalia älykkäämpiä vaikka siltä äyttäisi. Miksi valittii yksisuutaie testi? Vaihtoehto µ < 100 a priori mahdoto! Miksi ei käytetty koko väestö hajotaa σ = 24? Otaa perusjoukko ei ole koko väestö vaa tietty opiskelijajoukko jossa hajota oletettavasti pieempi kui koko väestössä. 14. Eräässä rahapelissä koe simuloi rahaheittoa. Eräs pelaaja epäilee, että koe "vetää"kotiipäi, eivätkä kruua ja klaava ole yhtä todeäköisiä. Pidettyää kirjaa tuloksista hä havaitsi, että 100 heitolla tuli 39 kruuaa ja 61 klaavaa.

9 Voidaako päätellä, ettei rahaheito tulos ole täysi satuaie? Käytä kaksisuutaista testiä. H 0 : p = 0, 5 H 1 : p 0, 5 Koska suuri ja p 0 (1 p 0 ) = 100 0, 5 0, 5 = 18 > 9, käytetää testisuuretta Z = ˆp p0 p 0 (1 p 0 ) N(0, 1) ku p = p 0 H 0 hylätää riskitasolla α, jos Z > Z 1 α/2 Otos: =100 X=39 ˆp X( = 0, 39) Z = 0,39 0,50 0,5 0,5 = 2, Jos valittu α = 0, 05, kriittie arvo Z 0,975 = 1, 96 H 0 hylätää Jos valittu α = 0, 01, kriittie arvo Z 0,995 = 2, 58 H 0 jää voimaa Poikkeama symmetrisessä tapauksessa p=0,5 o "melkei merkitsevä". (Merkitsevyystaso o 2[1 Φ(2, 2)] = 2(1 0, 9861) = 0, 0278) Melkei merkitsevä 15. Eräässä valtiossa presidetti valitaa kaksivaiheisella kasaääestyksellä, jossa esimmäie vaihe ratkaisee vaali, mikä joku ehdokkaista saa yli 50% ääistä. Ee vaalia suoritetussa kyselyssä katasa ilmoitti 1496 hekilöä, joista 779 ilmoitti ääestäväsä ehdokasta N.N. Olkoo p kyseise ehdokkaa kaatusosuus koko ääestäjäkuassa. Testaa riskitasolla α = 0.05 hypoteesit H 0 : p 0, 5 H 1 : p > 0, 5 H 0 : p 0, 5 H 1 : p > 0, 5 = 1496 x = 779 ˆp = x/ = 0, 52 Testisuure z = ˆp p 0 p 0(1 p 0) = 0, 52 0, 5 0,5 0, = 1, 547

10 Keskitaso α = 0, 05 H 0 hylätää, jos z > z 1 α = z 0,95 = 1, 645 H 0 jää voimaa H 0 jää voimaa 16. Kahde autoregastyypi keskimääräie kesto o km. Halutaa testata oko tyypi 1 kestoaja hajota suurempi kui tyypi 2. Kestotesti suoritettii 21 tyypi 1 rekaalle ja 16 tyypi 2 rekaalle. Otoshajooiksi saatii tyypille 1 s 1 = 8400 km ja tyypille 2 s 2 = 5600 km. Suorita testaus riskitasolla α = Kestot x 1 N(µ 1, σ 2 1) x 2 N(µ 2, σ 2 2) H0: σ 1 σ 2 Hi: σ 1 > σ 2 Testisuure (F = S 2 1/S 2 2) F ( 1 1, 2 1), ku σ 1 = σ 2 H0 hylätää, jos F > F 1 α( 1 1, 2 1) Otokset: 1 = 21 s 1 = = 16 s 2 = 5600 F = / = 2.25 α = 0.05 Kriittie arvo F 0.95 (20, 15) = 2.33 H 0 jää voimaa H 0 jää voimaa: tyypi 1 hajota ei ole suurempi. Tyypi 1 kestoaja hajota ei ole suurempi kui tyypi 2 kestoaja hajota. 17. Pakkauskoeella pakatuista laatikoista otettii 6 kappalee äyte, jossa paiot (kg) olivat 4,5 5,0 5,2 5,4 5,1 5,7

11 Paio vaariassi ei saisi olla yli 0, 15kg 2. Laske otosvariassi ja testaa hypoteesit H 0 : σ 2 0, 15 H 1 : σ 2 > 0, 15 Oletetaa, että laatiko paio X N(µ, σ 2 ) N=6 s 2 = 1 1 [ΣX2 i 1 (ΣX i) 2 ] = 1 5 [159, , 92 ] = 0, 163 H 0 : σ 2 0, 15 H 1 : σ 2 > 0, 15 Testisuure X 2 = ( 1)s2 σ 2 0 = 5 0,163 0,15 = 5, 433 Valitaa riskitaso α = 0, 05 H 0 hylätää, jos X 2 > X 2 1 α( 1) = X 2 0,95(5) = 11, 07 Hylkäysehto ei päde, jote H 0 hyväksytää. Variassi ei ylitä sallittua rajaa. 18. Muovilaadu kimmoisuus saattaa riippua valmistusprosessista. Tämä sieka tutkimiseksi otettii kahdesta eri valmistusmeetelmällä tehdystä muovilaadusta 60 äytettä kummastaki ja laskettii otoskeskiarvot ja -hajoat: Meetelmä 1: 1 = 60 X 1 = 8, 08 s 1 = 1, 76 Meetelmä 2: 2 = 60 X 2 = 6, 97 s 2 = 1, 13 Testaa riskitasolla α = 0, 01, ovatko keskimääräiset kimmoisuudet yhtä- vai erisuuret. Oletetaa, että kimmoisuudet oudattavat ormaalijakaumaa, mutta hajotoja ei voida olettaa yhtäsuuriksi. H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Koska otokset suuria, voidaa arvioida σ 1 s 1 σ 2 s 2 ja käyttää testisuuretta Z = X1 X2 σ σ2 2 2 α = 0, 01 N(0, 1) ku H 0 tosi. H 0 hylätää, jos Z > Z 1 α/2 = Z 0,995 = 2, 5758 Z = 8,08 6,97 1, , = 4, 111 > 2, 5758 jote H 0 hylätää: keskimääräiset kimmoisuudet poikkeavat toisistaa erittäi merkittävästi. Erisuuret.

12 19. Epäillää, että edellisessä tehtävässä maiitu meetelmällä 1 tehdy muovi kimmoisuus vaihtelee eemmä kui meetelmällä 2 tehdy. Testaa riskitasolla α = 0, 01 hypoteesit H 0 : σ 1 = σ 2 H 1 : σ 1 > σ 2 H 0 : σ 1 = σ 2 H 1 : σ 1 > σ 2 Testisuure F = s2 1 F ( s 2 1 1, 2 1) ku H 0 tosi 2 α = 0, 01 H 0 hylätää, jos F > F 1 α ( 1 1, 2 1) F = 1,762 1,13 2 = 2, 426 Kriittie arvo F 0,99 (59, 59) F 0,99 (60, 60) = 1, 84 F > F 0,99 H 0 hylätää: meetelmällä 1 suurempi hajota. 20. Tutkittii kahde ammatiryhmä, sairaahoitajie ja tietotekiikkaisiöörie, työperäistä stressiä. alittii kahdeksa satuaista koehekilöä kummastaki ryhmästä. Stressiarvo lasketaa paiotettua keskiarvoa eräistä fyysisistä ja psyykkisistä testeistä: mitä korkeampi arvo, sitä stressaatueempi hekilö. Tulokset olivat seuraavat: Sairaahoitajat Tietotekiikkaisiöörit Testaa sopivalla 2-suutaisella testillä, oko ammattiryhmie keskimääräisissä tuloksissa eroa. Voidaa olettaa, että perusjoukkoje variassit ovat yhtäsuuria. (Testisuuree arvo 2.0) Sairaahoitajie stressiarvo X 1 N(µ 1, σ 2 1) Tietotek. isiöörie X 2 N(µ 2, σ 2 2) H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Riippumattomat otokset eri perusjoukoista. Koska otokset pieiä ja variassit tutemattomia mutta yhtäsuuria, käytetää testisuuretta.

13 T = X 1 X 2 s p [ 1 ]+[ 1 1 ] 2 x 1 = 81/8 = x 2 = 44/8 = 5.5 Variassit kaavalla s 2 = 1 1 [ x 2 1 ( x) 2 ] s 2 1 = 1 7 [ ] = s 1 = s 2 2 = 1 7 [ ] = 16, s 2 = s 2 p = (1 1) s2 1 +(2 1) s = 7 s s = s p = Testisuuree arvo t = s = 2.00 Valitaa α = 0.05 H 0 hylätää, jos t > t 1 α 2 ( ) = t (14) = Hylkäysehto ei toteudu, jote H 0 jää voimaa: ei merkittävää eroa 21. Testaa, oko tehtävä edellise aieisto perusteella sairaahoitajie ja tietotekiikkaisiöörie stressiarvoissa yhtä paljo vaihtelua vai vaihtelevatko sairaahoitajie arvot eemmä (variassie testaus). H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 H 1 : σ 2 1 > σ 2 2 Testisuure F = s2 1 F ( s 2 1 1, 2 1) ku H 0 o tosi. 2 Valitaa α = 0.05 H 0 hylätää, jos F > F 1 α ( 1 1, 2 1) = F 0.95 (7.7) = 3.75 F = s2 1 = s = 1.62 < F 0.95 jote H 0 jää voimaa: variaeesissa ei eroa.

14 22. Pakissa tutkittii asiakkaa palveluaja jakautumista. 80 asiakkaa otoksessa ajat jakautuivat seuraavasti: mi: lkm: Tutki κ 2 -yhteesopivuustesti avulla, riskitasolla α = 0,001, voidaako palveluaja katsoa oudattava ekspoetiaalijakaumaa. Jakauma parametriksi o estomoitu λ = 1 x = 1 4,9. Luokkatodeäköisyydet ekpoetiaalijakaumalle lasketaa kaavalla P (a X b) = F (b) F (a) = e λa e λb, paitsi viimeise luoka todeäköisyys o P (X 8). H 0 : Exp(λ) Estimoitu λ = 1 x = 1 4,9 Exp( 1 4,9 ) -jakauma kertymäfuktio o F (x) = P (X x) = 1 e x 4,9 Odotetut frekvessit e i = π i, missä = 80 ja luokkatodeäköisyydet: π 1 = P (0 X 2) = e 0 e 2 4,9 = 0, π 2 = P (2 X 4) = e 2 4 4,9 e 4,9 = 0, π 3 = P (4 X 6) = e 4 6 4,9 e 4,9 = 0, π 4 = P (6 X 8) = e 6 8 4,9 e 4,9 = 0, π 5 = P (X 8) = 1 F (8) = e 8 4,9 = 0, f i : e i 26,81 17,83 11,85 7,88 15,63 Testisuure κ 2 = k (f i e i) 2 i=1 e i = (9 26,81)2 26,81 + (23 17,83)2 17,83 + (22 11,85)2 11,85 + (15 7,88)2 (11 15,63) 2 7,88 15,63 = 29, 83 κ 2 κ 2 (k l 1), missä k = 5 (luokkie lkm) l = 1 (estimoituje parametrie lkm) κ 2 κ 2 (3) Riskitasolla α = 0,001 kriittie arvo κ 2 1 α(k l 1) = κ 2 0,999(3) = 16, 27 Koska κ 2 > κ 2 0,999(3), H 0 hylätää riskitasolla α = 0,001 Jakauma poikkeaa erittäi merkittävästi Exp -jakaumasta 23.

15 Neljä eri koetta valmistavat samaa tuotetta. Kuki koee tuotaosta otettii 200 kappalee äyte ja saatii vialliste lukumääriksi 2, 9, 10 ja 3. Testaa 5%: merkitsevyystasolla, poikkeavatko koeide tuottamie virhekappaleide osuudet toisistaa. Homogeeisuude testaus H 0 : vialliset/kuolliset samoi jakutueet eri koeilla Koe ij i viall kuoll j = Odotetut frekvessit: e ij = i j ij Testisuure α = 0.05 χ 2 = i ( ij e ij ) 2 j e ij χ 2 ((k 1)(l 1)) = χ 2 (3) H 0 hylätää jos χ 2 χ 2 1 α(3) = χ (3) = 7.81 χ 2 = (2 6)2 6 + (9 6) ( )2 194 = 8.59 H 0 hylätää: o eroja O eroja, eli poikkeavat.