Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c) neljä kertaa vuodessa d) jatkuvasti. Ratkaisu: Aloitetaan laskemalla nettokorkokanta, sillä se on juuri se korkokanta joka oikeasti määrää koron suuruutta. Nettokorkokanta on 10, 5% 0, 7 = 7, 35%. a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Vastaus on 7, 35% 12 = 0, 6125%. 3500000 (1, 006125) 8 12 6290053, 26. c) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Vastaus on 7, 35% 4 = 1, 8375%. 3500000 (1, 018475) 8 4 6287528, 72. d) Jatkuva korko lasketaan kaavalla K = k e mi, missä k = 3500000, m = 8 ja i = 7, 35% = 0, 0735. Sijoittamalla saadaan loppuarvoksi K = 3500000e 8 0,0735 6301344, 15. Huomaa, että jatkuva korko tosiaankin antaa suurimman loppuarvon. 1
2. Auton arvo vähenee 10% vuodessa. Mikä oli auton arvo 4 vuotta sitten, jos se on nyt 15000 euroa? Ratkaisu: Olkoon x auton arvo neljä vuotta sitten. Kolmen vuotta sitten sen arvo oli 0, 9x, kahden vuoden päästä 0, 9 0, 9x jne. Neljän vuoden päästä auton arvo on siis 0, 9 4 x. Saadaan yhtälö 0, 9 4 x = 15000, josta x = 15000 0, 9 4 22862, 37. 3. 100 euron talletus tuotti kolmessa vuodessa 33, 10AC:n verran korkoa. Korko liitetään pääomaan aina kaksi kertaa vuodessa. Mikä oli vuotuinen korkokanta? Ratkaisu: Merkitään vuotuinen korkokanta (desimaalilukuna ilmaistuna!) i:llä. Koska korkojakso on puolen vuoden pituinen, kolmen vuoden päästä tilillä on oltava rahaa Pelkät korot tällöin ovat 100 (1 + i 2 )3 2 = 1000 (1 + i 2 )6. 100 (1 + i 2 )6 100. Saadaan yhtälö 100 (1 + i 2 )6 100 = 33, 10, josta ratkaistaan i: 100 (1 + i 2 )6 = 133, 10 jaetaan 100:llä, (1 + i 2 )6 = 1, 331 otetaan kuudes juuri, 1 + i 2 = 6 1, 331 vähennetään 1, 2
(Vuotuinen) korkokanta on 9, 8%. i/2 = 6 1, 331 1, i = 2( 6 1, 331 1) 0, 098. 4. Tilin bruttokorkokanta on 2, 15% ja inflaatio keskimäärin 0, 8% vuodessa. Mikä on talletuksen reaalinen vuotuinen nettokorkokanta, kun lähdevero on 30%? Ratkaisu: Oletetaan, että tilille talletetaan pääoma k ja lasketaan ensin sen nimellinen loppuarvo. (Nimellinen) nettokorkokanta on 2, 15% 0, 7 = 1, 505%, joten vuoden päästä tilillä on a 1, 01505. (oletetaan, että korko liitetään kerran vuodessa). Kuitenkin inflaation takia tämän rahasumman todellinen arvo (alkutilanteen rahassa) on a 1, 01505 1, 008 Näin ollen reaalinen korko on 0, 699%. 1, 00699a. 5. Ostajalle tarjotaan myytävästä teollisuushallista kahta eri maksutapaa: Tapa 1 - maksetaan 40000 euroa heti ja kahden vuoden kuluttua 43000. Tapa 2 - maksetaan 28000 euroa heti ja sen jälkeen kaksi kertaa 28000 euroa vuoden välein. Kumpi maksutapa on ostajalle edullisempi, kun korkokanta on 9%? Ratkaisu: Lasketaan molemman tarjouksen nykyarvo diskonttaamalla ja verrataan kumpi on edullisempi. Nykyarvo tavassa 1: Nykyarvo tavassa 2: 40000 + 43000 76192, 24. 1, 092 28000 + 28000 1, 09 + 28000 77255, 11. 1, 092 Tapa 1 on edullisempi ostajalle. 3
6. Alkoholin kulutusta halutaan vähentää 30% 10 vuodessa. Mikä tulee asettaa vuotuiseksi prosentuaaliseksi vähentämistavoitteeksi? Ratkaisu: Olkoon a kulutuksen muutos per vuosi (oletetaan pysyvän vakiona). Tällöin 10 vuoden päästä kulutus on a 10 -kertainen. Saadaan joten a 10 = 1 0, 3 = 0, 7, a = 10 0, 7 0, 965. Koska 1 0, 965 = 0, 035, tästä seuraa, että riittää vähentää alkoholin kulutusta noin 3, 5% vuodessa. 7. Missä ajassa 500 euron talletus kasvaa 561, 80 suuruiseksi, jos vuotuinen korkokanta on 6% ja korko liitetään pääomaan kuukausittain? Ratkaisu: Sijoittamalla koronkoron perusyhtälöön K = k(1 + i) n arvot K = 561, 80, k = 500, i = 6%/12 = 0, 5%, saadaan yhtälö 561, 80 = 500 1, 005 n josta ratkaistavaa n. Koska tuntematon esiintyy potenssina, otetaan logaritmi molemmasta puolesta, jolloin saadaan n = ln(561, 80/500) ln 1, 005 23, 4. Käytännössä siis menee 24 kuukautta eli tasan 2 vuotta. 8. Määritä 2% vuotuista korkokantaa vastaava neljännesvuoden konforminen korkokanta. Ilmoita tämä korkokanta myös vastaavana relatiivisena vuotuisena korkokantana. 4
Ratkaisu: Olkoon i sellainen korkokanta per vuoden neljännes joka tuottaa vuodessa samaa korkoa kuin 2% vuotuinen korko, joka maksetaan kerran vuodessa. Talletaan pääoma a, koska molempien tapojen mukaan tulee samaa korkoa, saadaan tästä yhtälö mistä 1 + i = 4 1, 02 joten (1 + i) 4 a = 1, 02a, i = 4 1, 02 1 0, 00496. Näin ollen 0, 496% kerran neljännesvuodessa tuottaa samaa korkoa kuin 2% maksettuna kerran vuodessa. Relatiivisesti 0, 496% kerran neljännesvuodessa on sama asia kuin vuodessa. 0, 496% 4 0, 1985% 9. Yksilön hinta oli 40000 euroa ja kolme vuotta myöhemmin 50000 euroa. Inflaatio on ollut keskimäärin 1, 5% vuodessa. Kuinka monta prosenttia on reaalinen keskimääräinen vuotuinen hinnan nousu? Ratkaisu: Deflatoidaan 50000 euroa alkutilanteeseen, jolloin saadaan 50000 47815, 85. 1, 0153 Tämä on hinnan loppuarvon todellinen arvo alkutilanteen rahassa mitattuna. Seuraavaksi pitää laskea millä keskimääräisellä vuotuisella korkoprosentilla 40000 euron kokoinen pääoma kasvaa kolmessa vuodessa arvoon 47815, 85. Merkitään tämä prosentti i:llä (tulkitaan desimaalilukuna), jolloin saadaan ehto Tästä ratkaistaan i, 40000 (1 + i) 3 = 47815, 85. (1 + i) 3 = 47815, 85 40000, 47815, 85 i = 3 1 0, 061. 40000 Reaalinen keskimääräinen vuotuinen nousu on ollut 6, 1%. 5
10. Perintönä saatu 60000 euroa talletettiin kasvutilille 5.6.2008. Tilin korkokanta on 1, 7% ja lähdevero 30%. Korko lisätään pääomaan aina vuoden viimeisenä päivänä tai silloin kun tili lopetetaan. Laskin tilin saldo tiliä lopetettaessa 13.4.2013. Laskutapa 30/360. Ratkaisu: Aloitetaan laskemalla kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden 2008 lopussa. Koska kyseessä on vaaja korkojakso, tämä lasketaan yksinkertaisen koron periaatteella. Laskutapa on 30/360, joten kesäkuussa 2008 korkopäiviä kertyy 30 5 = 25 ja jäljellä olevista kuudesta kuukaudesta 6 30 = 180 korkopäiviä. Korkopäiviä on 180 + 25 = 205, joten vuoden 2008 lopussa tilillä on 60000 (1 + 205 0, 017 0, 7) = 60406, 583. 360 Tämä pääoma kasvattaa vuosina 2009-2012 koronkorkoa, koska nämä ovat kokonaisia korkojaksoja. Näitä vuosia on 4 (ei kolme!) - 9, 10, 11, 12, joten vuoden 2012 lopussa tilillä on 60406, 583 (1 + 0, 017 0, 7) 4 63333, 67. Lopuksi tämä pääoma kasvattaa vielä vaajalta korkojaksolta 1.1.2013-13.4.2013 yksinkertaista korkoa. Korkopäiviä on 30 3+13 = 103, joten loppuarvo on 63333, 67 (1 + 103 0, 017 0, 7) = 63549, 30. 360 6