180111 Analyysi I (9 op)

180111 Anlyysi I (9 op) 1 lim x 8 + x 8 = + 1 lim x 5 + x 5 = + 5 1 n sin x = 6 1 n/ sin/ x = 6 si x = 6 Luentorunko Joensuun yliopisto Syksy 008

Sisältö 1 Reliluvut 1 1.1 Johdtus ksiomttiseen päättelyyn..................... 1 1. Luonnolliset luvut................................ 1.3 Kokonisluvut j rtionliluvut........................ 4 1.4 Epäsuor todistus................................ 4 1.5 Reliluvut intuitiivisesti............................ 5 1.6 Relilukujen lgebrlliset ominisuudet................... 6 1.7 Itseisrvo j epäyhtälöt............................. 8 1.8 Relilukuvälit j voimet joukot....................... 11 1.9 Täydellisyysksioom: supremum j infimum................. 11 1.10 Relilukuj koskevi perustuloksi...................... 13 Relilukujonot 15.1 Jonon suppeneminen j rj-rvo....................... 15. Jonon rj-rvoon liittyviä ominisuuksi................... 17.3 Jonon monotonisuus.............................. 18.4 Rekursiiviset jonot............................... 0.5 Hjntuvt jonot............................... 1 3 Relimuuttujn funktiot 3 3.1 Funktio, funktion monotonisuus j yhdistetty funktio............ 3 3. Injektiivisyys, surjektiivisuus j bijektiivisyys................. 4 3.3 Käänteiskuvus................................. 5 3.4 Funktion rj-rvo............................... 7 3.5 Rj-rvon lskusääntöjä............................ 8 3.6 Toispuoleiset rj-rvot............................. 31 3.7 Funktion jtkuvuus............................... 34 4 Alkeisfunktiot 37 4.1 Potenssifunktio j juurifunktio......................... 37 4. Eksponenttifunktio............................... 39 4.3 Luonnollinen logritmi............................. 41 4.4 Yleiset eksponentti-, logritmi- j potenssifunktiot.............. 43 4.5 Hyperboliset funktiot.............................. 43

4.6 Trigonometriset funktiot............................ 44 5 Differentililskent 47 5.1 Derivtn määritelmä j yleiset derivoimissäännöt............. 47 5. Rollen luse j välirvoluse.......................... 51 5.3 Trnskendenttifunktioiden derivoiminen.................... 53 5.4 Äärirvot.................................... 54 5.5 Äärettömät rj-rvot............................. 56 5.6 Korkemmt derivtt............................ 58 5.7 Implisiittinen derivointi............................. 59 6 Integrlilskent 61 6.1 Integrlifunktio................................ 61 6. Integrointitekniikoit.............................. 64 6.3 Integroituvuuden määritelmä......................... 69 6.4 Määrätyn integrlin perusominisuudet................... 7 6.5 Määrätyn integrlin j integrlifunktion yhteys.............. 73 6.6 Määrätyn integrlin sovelluksi........................ 77 6.7 Epäoleellinen integrointi............................ 79 Lukijlle Käsissäsi olev moniste on Joensuun yliopistoss luennoitvn kurssin Anlyysi I luentorunko. Teksti sisältää keskeiset kurssill vstntulevt määritelmät j tulokset, mutt ei juuri linkn esimerkkejä ti todistuksi. Esimerkit j ylipäätään vrsininen mtemttinen päättely esitetään kurssin luennoill. Tästä seur, että kurssill vdittv osmist ei voi tvoitt pelkästään lukemll luentorunko. Luentorungon pääsillinen etu on siinä, että luennoill ei trvitse kirjoitt niin pljo. Näin luentotilisuudess ik jää myös oppimiselle. Lisäksi luentorunko nt luennoitsijlle mhdollisuuden kuvill sioiden välisiä yhteyksiä monisnisemmin tvll, jok jnpuutteen vuoksi ei muuten olisi mhdollist luennoill. Teksti sisältää myös pienellä fontill kirjoitettuj todistuksi, lisäyksiä, huomutuksi jne. Tämä on mterili, jot kurssill ei vdit osttvksi, mutt jok on iheen premmn ymmärtämisen knnlt relevntti. Tämän moniste pohjutuu Myrbergin oppikirjn Differentili- j Integrlilskent I. Monisteeseen on otettu pätkiä Merikoski-Hlmetoj-Tossvisen oppikirjst Johdtus mtemttisen nlyysin teorin, sekä useist Clculus-oppikirjoist. Tekstissä olevt pinovirheet ovt kuitenkin llekirjoittneen vstuull. Jnne Heittokngs

1. Reliluvut Antiikin Kreikss mtemtiikn filosofi perustui siihen pythgorliseen näkemykseen, että kikki mtemttinen tietous voidn esittää kokonisluvuill. Kosk rtionliluku voidn esittää khden kokonisluvun vull, niin erityisesti kikki se mtemttinen tietous, jok voidn esittää rtionliluvuill, voidn plutt kokonislukuihin. Täten kreikkliset mtemtikot hyväksyivät myös rtionliluvut, mutt sitä ljemp lukujoukko ei heidän mielestään voinut oll. Toislt he tiesivät, että rtionliluvut eivät riitä kikkien jnojen mittmiseen. Yhä tänäkin päivänä käsittelemme relilukuj yleensä rutiininomisesti pitäen itsestään selvänä sitä, mitä ne oikestn ovt. Knntt kuitenkin huomt, että relilukujen ekskti määrittely on kikke muut kuin itsestäänselvyys. Tämä määrittely perustuu ksioomiin, eli tosin pidettäviin väittämiin. 1.1. Johdtus ksiomttiseen päättelyyn Mtemttisen teorin rkentmisess käytetään ksiomtiikk. Tällöin lähtökohdiksi otetn tietyt väitteet, jotk hyväksytään tosiksi ilmn todistust. Näistä ksioomist johdetn mtemttisi luseit, j niistä edelleen uusi luseit. Anlyysissä peruslkioin ovt reliluvut j kompleksiluvut. Siksi nlyysin teorin rkentminen loitetn relilukujen määrittelemisestä ksiomttisesti. Aksioomien muodostmll ksioomjärjestelmällä tulee oll seurvt ominisuudet: (1) Ristiriidttomuus. Aksioomt eivät s oll keskenään ristiriidss, eikä niiden perusteell s void todist kht keskenään ristiriitist väitettä. () Riippumttomuus. Mikään ksioom ei s seurt muist ksioomist. Jos ksioomjärjestelmä hlutn lopullisesti vlmiiksi, niin sillä tulee lisäksi oll kolms ominisuus: (3) Täydellisyys. Kikki peruslkioit j perussuhteit koskevt mielekkäät väitteet täytyy void todist joko oikeiksi ti vääriksi. Jos tiettyä väitettä ei void todist oikeksi eikä vääräksi, niin uudeksi ksioomksi voidn ott tämä väite ti vihtoehtoisesti sen negtio (vstkoht), jolloin sdn kksi erilist ksioomjärjestelmää. Kysymys ksioomjärjestelmän täydellisyydestä mutkistui, kun Kurt Gödel (1906 1978) todisti, että jokisess ksiomttisesti rkennetuss mtemttisess teoriss on in ksioomjärjestelmälle relevnttej luseit, jotk siis kuuluvt teorin, mutt joit ei void todist tosiksi ti epätosiksi tämän teorin sisällä (ns. epätäydellisyysluse). Gödelin epätäydellisyysluse osoitt ksiomttis-deduktiivisen menetelmän puutteet. Menetelmää ei silti trvitse hylätä, sillä sen edut ovt osoittutuneet hyvin suuriksi. Esimerkkinä rtkisemttomst väitteestä on ns. kontinuumihypoteesi, jonk mukn sellist joukko, jonk krdinliteetti on idosti joukkojen N j R krdinliteettien välissä, ei ole olemss. 1

Relilukujen ksioomiin nojutuviss päättelyissä edetään hyvin pienin skelin jokinen yhtäsuuruus ti epäyhtälö perustelln viittmll johonkin ksioomn. Tällist jttelutp voi hvinnollist vikkp ns. SHIP-DOCK-luseeseen liittyvällä snpelillä, joss sn muutetn toiseksi peräkkäisten siirtojen kutt: SHIP, SHOP, SHOT, SLOT, SOOT, LOOT, LOOK, LOCK, DOCK. Kunkin siiron ikn s muutt (mutt ei siirtää) täsmälleen yhden kirjimen, j syntyvän snn on oltv oike sn. Kyseistä snpeliä voi pelt myös suomeksi esim. snst kiss sdn sn koir vikkp seurvll päättelyllä: KISSA, KASSA, KANSA, KANTA, KAITA, KAIRA, KOIRA. 1.. Luonnolliset luvut On sopimuskysymys sisältyykö luku noll luonnollisiin lukuihin N vi ei. Tällä kurssill sovitn, että N = {1,, 3,...}. Luonnollisi lukuj (engl. nturl numbers) kutsutn myös positiivisiksi kokonisluvuiksi (positive integers). Mitä luonnollisill luvuill sitten trkoitetn? Voitisiin yrittää vstt vikkp, että Luonnolliset luvut ovt niitä, joill ilmoitetn äärellisen joukon lkioiden lukumääriä. Tämä vstus iheutt kuitenkin jtkokysymykset Mitä trkoitetn äärellisellä joukoll? j Mitä trkoitetn lkioiden lukumäärällä?. Smntyyppisiin puutteisiin törmätään muisskin vstviss yrityksissä. Suurin os luonnollisten lukujen tunnetuist ominisuuksist sdn johdettu ns. Penon ksioomien vull. (Giuseppe Peno, 1858 193) Penon ksiomttinen määritelmä. Joukko N snotn luonnollisten lukujen joukoksi, jos se toteutt seurvt viisi ehto: (N1) 1 N. (N) Jokisell lkioll n N on olemss täsmälleen yksi seurj n N. (N3) Jos n N, niin n 1 (n:n seurj ei ole yksi). (N4) Jos n N j m N, j jos n = m, niin n = m. (N5) Jos A on joukon N osjoukko siten, että 1 A, j jos ehdost n A seur n A, niin silloin A = N. Luonnollisesti otmme käyttöön merkinnät 1 =, =3, 3 =4, jne. Esimerkiksi luvun seurj on 3, j luku 37 on luvun 36 seurj. Aksioomt (N1) (N4) tuntuvt vrsin luonnollisilt. Aksioom (N5) voidn hvinnollist seurvll päättelyllä: Trkstelln joukon N osjoukko A (eli A N), jok toteutt ksioomn (N5). Tällöin 1 A. Kosk ehdost n A seur n A, niin = 1 A. Edelleen, kosk ehdost n A seur n A, niin 3 = A. J vielä toisten, kosk ehdost n A seur n A, niin 4 = 3 A. Voimme

jtk tätä monotonist päättelyä loputtomiin j näin ollen päätellä, että mikä thns joukon N lkio kuuluu myös joukkoon A (eli N A). Tuntuu siis järkevältä päätellä, että A = N. Tämä juuri järkeväksi todettu johtopäätös sisältyy ksioomn (N5). Määritelmä 1..1. Luonnollisten lukujen n, m yhteenlsku määritellään settmll { n + 1 = n j kertolsku settmll n + m = (n + m), { n 1 = n n m = (n m) + n. Esimerkki 1... Lske Penon ksioomien vull +. Esimerkki 1..3. Lske Penon ksioomien vull 3. Induktioperite. Seurv päättely pohjutuu Penon ksioomn (N5). Oletetn, että jokiseen luonnolliseen lukuun n N liittyy väite P n, jok voi oll tosi ti epätosi. Induktioperite on luonnollisiin lukuihin liittyvä ominisuus, jonk mukn ehdoist (1) P 1 on tosi; () P n+1 on tosi in kun P n on tosi, n N; seur, että P n on tosi kikill n N. Induktioperitteeseen perustuvss todistuksess on vrmistettv kummnkin ehdon (1) j () pikknspitävyys. Käytännössä ehto (1) on usein helppo todet. Induktioperitteeseen syvennytään trkemmin Johdntokurssill. Esimerkki 1..4. Osoitetn, että 1 + + 3 + + n = n(n+1) kikill n N. Lukuun n littyvä väite P n on nyt muoto P n : 1 + + 3 + + n = n(n + 1). Väitteen P 1 mukn 1 = 1(1+1) j väitteen P mukn 1+ = (+1). Väite P 37 puolestn on 1 + + + 37 = 37(37+1) = 703, jne. Huomtn, että erityisesti väite P 1 on tosi, joten se voidn ott induktiivisen päättelyn lähtökohdksi. Tehdään induktio-oletus, että P n on tott. Oletmme siis, että 1 + + 3 + + n = n(n+1) on voimss. Tähän perustuen yritämme osoitt väitteen P n+1 pikknspitävyyden. Lisätään luku n + 1 em. yhtälön molemmille puolille, sdn 1 + + 3 + + n + (n + 1) = = = = n(n + 1) + (n + 1) Olemme osoittneet, että jos väite P n on tott, niin myös väite P n+1 on tott. Induktioperitteen mukn väitteet P n ovt tott kikill n N. 3

1.3. Kokonisluvut j rtionliluvut Soveltmll Penon ksioomi induktiivisesti trvittvn mont kert, voidn todet, että tvnominen yhteenlsku on lskutoimitus luonnollisten lukujen joukoss: Jos n, m N, niin n + m N. Vähennyslsku ei kuitenkn ole lskutoimitus luonnollisten lukujen joukoss, sillä, 3 N, mutt 3 = 1 N. Myöhemmin tällä kurssill opimme, että relilukujen vähennyslsku on itse siss yhteenlsku vstluvuill. Lpsuudest skk olemme huomnneet käsitteiden negtiivinen j noll tärkeyden. On siis luonnollist ljent lukukäsityksemme luonnollisten lukujen joukost kokonislukujen (integers) joukkoon Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...}. Myös lukujoukko Z käy riittämättömäksi, kun mukn liitetään jkolsku. Myöhemmin tällä kurssill kuitenkin opimme, että relilukujen jkolsku on itse siss kertolsku käänteisluvuill. Relilukujen tvnomisiksi lskutoimituksiksi riittävät siis yhteenlsku j kertolsku. Jkolskun mhdollistmiseksi ljennetn lukukäsitettämme edelleen rtionlilukujen (rtionl numbers) joukkoon Q, jok määritellään settmll { m } Q = n : m Z, n N. Edellä määritellyt lukujoukot siis sisältyvät toisiins joukkoinkluusioiden N Z Q mukisesti. Jtkoss oletetn, että näiden lukujoukkojen lskutoimitus- j järjestysominisuudet tunnetn. 1.4. Epäsuor todistus Tämä luku on trkoitettu täsmennykseksi niille, joille epäsuor todistus ei ole ennestään tuttu. Epäsuorn todistuksen ide on yksinkertisimmlln siinä, että impliktio on loogisesti ekvivlentti impliktion A = B B = A knss. Epäsuor todistust käsitellään trkemmin Johdntokurssill. Esimerkki 1.4.1. Jos n Z j n on prillinen, niin n on prillinen. Todistus. Huomtn ensin, että luku n on prillinen, jos n = m jollekin m Z j priton, jos n = k + 1 jollekin k Z. Todistettvn olev väite on impliktio A = B, missä A on looginen luse A = n Z j n on prillinen j B on looginen luse B = n Z j n on prillinen. 4

Todistetn impliktio epäsuorsti, eli oletetn B voimss olevksi tehdään siis vstoletus, eli ns. ntiteesi. Antiteesi: n Z j n on priton. Tällöin n = k + 1 jollekin k Z, mistä seur, että n = (k + 1) = 4k + 4k + 1 = (k + k) + 1. Näin ollen n on priton, eli A pätee. Olemme siis päätyneet ristiriitn lkuperäisen oletuksen A knss, joten ntiteesi oli väärä. Näin ollen n on prillinen. 1.5. Reliluvut intuitiivisesti Lukujoukko Q on melko tyydyttävä, sillä sen lkioiden välillä voidn hrjoitt yhteen-, vähennys-, kerto- j jkolskuj. Joukko Q ei kuitenkn ole täydellinen. Seurvss linus Mik Wltrin kirjst Turms, kuolemton : Pythgorlinen peitti ksvons käsivrteens peittääkseen meiltä kyyneleensä. Lopult hän svutti mlttins tkisin j myönsi: Jos kikki tosin olisi niin yksinkertist, hvinnollist j kunist kuin Pythgors opetti ennen kuolemns, olisi elämä j viisus helppo. Mutt se ei ole tott. En ole rikollinen, eivätkä pythgorliset minu erottneet keskuudestn, vn lähdin itse hvittuni kiken mielettömyyden. Kunis on tssivuinen kolmio. Vielä kuniimmlt näyttää tssivuinen neliö. Mutt jo yksin tämä yksinkertinen muoto on kirottu, sillä neliön hlkisijn j sivun suhdett ei pysty ilmisemn mikään luku. Tätä suhdett voi lske koko ikänsä eikä luku pääty koskn. Niin kuhen tiedon pljstumiseen johti yksinkertinen j kunis lukujen oppi. Ei pythgorlisuus tuhoutunut slseurisuuteen kuten tyrnnit luulivt, vn tähän kuhistuttvn slistietoon. On suhteit, joit ilmisev luku on päättymätön. Lukusuor. Trkstelln relilukuj intuitiivisesti. Reliluvut (rel numbers) ovt lukuj, joit voidn käyttää mitttess etäisyyksiä j ik, sekä muit sellisi fysiklisi suureit, kuten mss j lämpötil, joiden jtelln muuttuvn jtkuvsti. Reliluvut voidn konkreettisesti tulkit lukusuorn pisteiksi. Lukusuor sdn ikn, jos nnetult tson suorlt vlitn kksi pistettä 0 j 1. Tällöin mittyksikkö j positiivinen suunt tulevt kiinnitetyksi. Nyt jokist lukusuorn positiivisen puolen pistettä vst jokin jnn pituus j jokist negtiivisen puolen pistettä jnn pituuden vstluku. Rtionlipisteiden joukko lukusuorll on siinä mielessä epätäydellinen, että kikki jnojen pituuksi ei void niiden vull ilmoitt. Eo. linuksest huolimtt jo ntiikin kreikkliset ossivt todist, että yksikköneliön lävistäjän pituus, ts. yhtälön x = positiivinen rtkisu, ei ole rtionliluku. Luse 1.5.1. Mikään rtionliluku x ei toteut yhtälöä x =. Todistus. Tehdään vstoletus, eli oletetn, että yhtälö toteutuu jollkin x = p q. Voidn olett, että p j q ovt positiivisi kokonislukuj (luonnollisi lukuj). Jkmll trvittess yhteiset tekijät pois, niin voidn myös olett, että luvuill p j q ei ole yhteisiä tekijöitä. 5

Annetust yhtälöstä sdn j siis x = p q =, p = q. Näin ollen p on prillinen. Mutt tällöin Esimerkin 1.4.1 mukn myös p on prillinen. Kosk p on prillinen, se on muoto p = m, j siis p = 4m. Sdn 4m = q, jost q = m. Siis q on prillinen, jost seur, että q on prillinen. Tämä on ristiriit, sillä oletettiin, että luvuill p j q ei ole yhteisiä tekijöitä. Näin ollen mikään rtionliluku ei voi toteutt ko. yhtälöä. Rtionliset pisteet eivät siis täytä koko lukusuor, vn on olemss muitkin pisteitä. Näitä pisteitä kutsutn irrtionlisiksi (irrtionl). Lukusuorn kikkien pisteiden joukko on relilukujen intuitiivinen vstine. Irrtionliluvuill ei ole trkk numeerist rvo, vn niillä lskettess täytyy tyytyä rtionlisiin likirvoihin, jotk kylläkin sdn mielivltisen trkoiksi. Esimerkiksi luvun π miljoon ti jop miljrdi ensimmäistä desimli voidn lske, mikäli käytettävissä on trpeeksi nope tietokone j trpeeksi hyvä menetelmä. Irrtionliluku voidn jtell sellisen rj-rvon, jok sdn trkstelemll sen rtionlisi likirvoj j ntmll oikeiden desimlien määrän lähestyä ääretöntä. Näin äärettömyys on tustll irrtionliluvun olemuksess j sitä kutt koko nlyysissä. Se tekee nlyysin vikeksi, mutt vikeudet voidn voitt rj-rvojttelull. Lukusuor on lukujen määrittelyn knnlt epätäsmällinen lähtökoht, sillä se perustuu intuitiiviseen geometriseen jtukseen. Relilukujen ekskti määrittely on hnkl prosessi, j se voidn tehdä useill vihtoehtoisill tvoill. Ongelm on siinä, kuink irrtionliluvut sdn luotu vin rtionlilukuj j niiden ominisuuksi käyttäen. Cntor (1845 1918) j Dedekind (1831 1916) ovt jääneet historin ensimmäisinä mtemtikkoin, jotk onnistuivt eksktisti konstruoimn reliluvut rtionlilukujen vull. Kumpikin julkisi rtkisuns (jotk ovt olennisesti erilisi) smn vuonn 187. (Merikoski-Hlmetoj-Tossvinen: Johdtus mtemttisen nlyysin teorin) 1.6. Relilukujen lgebrlliset ominisuudet Moderniss mtemttisess kirjllisuudess reliluvut määritellään tvllisesti ksiomttisesti. Tällinen määritelmä on peritteess helppo esittää, mutt ongelmn on yhtäältä se, että määritelmän mielekkyys ei ole selvää, j toislt se, että määritelmän lähempi trkstelu ei ole mielekästä ennen kuin bstrktin lgebrn lkeet hllitn. Määritelmä 1.6.1. Reliluvuill (R, +,, <) trkoitetn järjestettyä kunt, jok toteutt täydellisyysksioomn. Määritelmän mielekkyys perustuu siihen, että voidn todist Määritelmän 1.6.1 struktuurin olevn yksikäsitteisenä olemss. Toislt Määritelmä 1.6.1 sisältää vin ehtoj, jotk intuitiivisesti vstvt jtustmme siitä, mitä ominisuuksi reliluvuill on. 6

Järjestetyn kunnn ksioomt. Algebrllinen struktuuri (F, +, ) on kunt, jos F on vähintään khden lkion joukko, jonk lskutoimitukset + j toteuttvt ominisuudet (A1) (A9): (A1) x + y = y + x kikill x, y F. (A) x + (y + z) = (x + y) + z kikill x, y, z F. (A3) On olemss lkio 0 F, jolle pätee x + 0 = x kikill x F. (A4) Kikill x F on olemss x F, jolle x + ( x) = 0. (A5) x y = y x kikill x, y F. (A6) x (y z) = (x y) z kikill x, y, z F. (A7) x (y + z) = x y + x z kikill x, y, z F. (A8) On olemss luku 1 F jok toteutt ehdon 1 x = x kikille x F. (A9) Kikill x F \ {0} on olemss x 1 F, jolle x x 1 = 1. Edelleen kunt (F, +, ) on järjestetty kunt, jos joukoss F on määritelty reltio <, jok toteutt seurvt ehdot (B1) (B4) kikill x, y, z F : (B1) Täsmälleen yksi ehdoist x < y, x = y, y < x pätee. (B) Jos x < y j y < z, niin x < z. (B3) Jos x < y, niin x + z < y + z. (B4) Jos x > 0 j y > 0, niin x y > 0. Huomutus. Myös rtionliluvut (Q, +,, <) muodostvt järjestetyn kunnn, jok kuitenkn ei toteut täydellisyysksioom. Tätä trkstelln Luvuss 1.9. Järjestetyssä kunnss merkitään x y jos x < y ti x = y. Kertolskuss merkitään lyhyesti xy merkinnän x y sijn. Järjestetyn kunnn ksioomi käyttäen voidn todist kikki lukiomtemtiikst tutut relilukujen yhteen- j kertolsku sekä järjestysreltiot koskevt lskusäännöt. Ne pidetään jtkoss tunnettun. Seurvn luseeseen on koottu relilukujen tärkeimpiä perusominisuuksi. Luse 1.6.. Olkoot x, y,, b R. () Jos + x = + y, niin x = y. (b) Jos x = y j 0, niin x = y. (c) Jos x + = b, niin x = b. (d) Jos x = b, missä 0, niin x = b := b 1. (e) Jos x 0 j y 0, niin xy 0. (f) ( x) = x. (g) (x y) = ( x) y = x ( y). (h) ( x) ( y) = x y. 7

(i) (x + y) = ( x) + ( y). (j) Jos x y j x y niin x = y. (k) Jos x < y j < b niin x + < y + b. (l) Jos x < y j > 0, niin x < y. (m) Jos x < y j < 0, niin x > y. (n) Jos 0 < x < y j 0 < < b, niin x < yb. (o) Jos x 0, niin x > 0. (p) Olkoon x > 0 j y > 0. Tällöin x < y jos j vin jos x < y. (q) Olkoon x > 0 j y > 0. Tällöin x = y jos j vin jos x = y. (r) Jos x 0, niin x j x 1 ovt smnmerkkiset. (s) Jos 0 < x < y, niin 0 < y 1 < x 1. (t) Jos x < y < 0, niin y 1 < x 1 < 0. Huomutus. Lukijn tulisi kohdiss (k) (t) itse formuloid vstvt väitteet tpuksiss, joss inkin yksi idoist epäyhtälöreltioist < korvtn reltioll. 1.7. Itseisrvo j epäyhtälöt Algebrlliset päättelyt perustuvt tyypillisesti yhtälöihin. Anlyysissä sen sijn epäyhtälöt ovt olennisi, sillä monet tärkeät sit ilmistn epäyhtälöiden vull. Esimerkiksi funktion rj-rvon määritelmä sisältää kksi itseisrvoepäyhtälöä. Esimerkki 1.7.1. Rtkistn epäyhtälö (1) x = 1 ei ole rtkisu. x 1 x 1. () Oletetn, että x > 1. Kertomll puolittin nimittäjällä (jok on negtiivinen), sdn ekvivlentisti x 1(1 x) = x 1 0 1. Siis epäyhtälöllä ei ole rtkisuj joukoss x > 1. (3) Oletetn, että x < 1. Kertomll puolittin nimittäjällä (jok on nyt positiivinen), sdn ekvivlentisti 0 1. Siis kikki luvut x < 1 ovt rtkisuj. Yhdistämällä kohdt (1) (3), sdn rtkisuksi x < 1. 8

Esimerkki 1.7.. Rtkistn epäyhtälö x + + x > 1. Arvot x < eivät kelp rtkisuiksi, sillä juurrettvn on oltv ei-negtiivinen. Vditn siis ehto x. Kirjoitetn epäyhtälö muodoss x + > 1 x. (1.1) Neliöjuuri on ei-negtiivinen, joten rvoill 1 x < 0 epäyhtälö (1.1) pätee. Siis rvot x > 1 kelpvt rtkisuksi. Oletetn, että x 1. Tällöin epäyhtälön molemmt puolet ovt ei-negtiivisi j voidn korott ekvivlentisti puolittin toiseen (Luse 1.6.(q)). Siis (1.1) pätee jos j vin jos x + > (1 x) x 3x 1 < 0. (1.) Toisen steen epäyhtälön (1.) rtkisujoukoksi sdn 3 13 < x 1. Yhdistämällä rtkisujoukot lkuperäisen epäyhtälön rtkisuiksi, sdn x > 3 13. Määritelmä 1.7.3. Luvun x R itseisrvo x määritellään settmll { x, kun x 0, x = x, kun x 0. Huomutus. Siis x 0 kikill x R. Esimerkki 1.7.4. Kirjoitetn luseke x 1 ploittin määriteltynä ilmn itseisrvomerkkejä. Poistetn ensin sisemmät itseisrvot kirjoittmll { x 3, kun x 1 x 1 = x 1, kun x 1. Oletetn, että x 1. Tällöin Oletetn, että x 1. Tällöin x 3 = x 1 = x + 1 = { x 3, kun x 3 x + 3, kun x 3. { x + 1, kun x 1 x 1, kun x 1, joten x 1 = x 1, kun x 1 x + 1, kun 1 x 1 x + 3, kun 1 x 3 x 3, kun x 3. 9

Seurvn luseeseen on koottu itseisrvon tärkeimpiä perusominisuuksi. Luse 1.7.5. Kikill x, y R pätee () x = 0 jos j vin jos x = 0. (b) xy = x y. (c) x = x, jos y 0. y y (d) x = x. (e) x + y x + y (Kolmioepäyhtälö). Todistus. () Väite seur suorn itseisrvon määritelmästä. (b) Kikill x R pätee x = x. Tämä nähdään kirjoittmll yhtälön vsen j oike puoli tpuksiss x 0 j x < 0. Korottmll puolittin neliöön, sdn xy = x y xy = ( x y ) = x y (xy) = x y. Kosk (xy) = x y pätee, niin väite seur yo. ekvivlenssiketjun nojll. (c) j (d) päätellään vstvn tpn neliöönkorotuksell kuin koht (b). (e) Sdn x + y x + y x + y ( x + y ) (x + y) x + x y + y x + xy + y x + x y + y xy x y. Aito epäyhtälö xy < x y pätee inostn silloin, kun toinen luvuist x, y on positiivinen j toinen negtiivinen. Muiss tpuksiss pätee yhtäsuuruus xy = x y. Siis xy x y on in voimss, joten kolmioepäyhtälö seur yo. ekvivlenssiketjun nojll. Kolmioepäyhtälön geometrinen tulkint. Nimitys kolmioepäyhtälö juont ehdon geometrisest merkityksestä tson vektoreiden tpuksess. Jos x j y ovt kksi erisuuntist tson vektori, joiden pituudet ovt x j y, ne muodostvt yhdessä summvektorin x+y knss kolmion, joss kolmnnen sivun pituus on x+y. Tällöin kolmioepäyhtälö x + y x + y ilmisee sen intuitiivisesti ilmeisen seikn, että kolmioss kolmnnen sivun pituus on korkeintn yhtä suuri kuin khden muun sivun pituuksien summ. Luseen 1.7.5 tilnteess olln siinä rjtpuksess, joss vektoreiden x j y päätepisteet sijitsevt x-kselill. Tällöin kolmio on litistynyt ksn. 10

1.8. Relilukuvälit j voimet joukot Olkoot, b R, < b. Tällöin merkitään ], b[ = { x R : < x < b }, ], b] = { x R : < x b }, [, b[ = { x R : x < b } [, b] = { x R : x b }, ], + [ = { x R : x > }, [, + [ = { x R : x }, ], b[ = { x R : x < b }, ], b] = { x R : x b }. Määritelmä 1.8.1. Joukko R snotn voimeksi väliksi, jos on muoto ], b[, ], + [, ], b[ ti = R. Edelleen, joukko U R on voin, jos U on mikä hyvänsä voimien välien yhdiste. Esimerkki 1.8.. Kirjoit seurvt joukot käyttäen relilukuvälimerkintää: Mitkä joukoist A, B, C, D ovt voimi? A = {x R : x < 0} = B = {x R : x 3 8} = C = {x : x R} = D = {x R : x < 8} = 1.9. Täydellisyysksioom: supremum j infimum Lukujoukoill Q j R on se merkittävä ero, että rtionliluvut eivät muodost jtkumo kuten reliluvut. Täydellisyysksioomss (completeness xiom) on kyse tämän intuitiivisen jtkumojtuksen eksktist ilmisemisest. Määritelmä 1.9.1. Osjoukko E R on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss R siten, että x kikill x E. Tällöin luku R snotn joukon E ylärjksi. Edelleen on joukon E suurin luku, merkitään = mx E, jos E j on joukon E ylärj. Esimerkki 1.9.. Olkoon Kosk n n +1 { } n E = n + 1 : n N. < 1 kikill n N, niin luku 1 eräs E:n ylärj. Myös luku on E:n ylärj. Osoitetn, että joukoss E ei ole suurint luku. Jos 0 < < 1, niin n n + 1 > n > n + n (1 ) > n > 1. Siis vlitsemll n N riittävän suureksi, nähdään, että ei voi oll E:n ylärj. (Päättely on luvllinen Arkhimedeen luseen nojll, ks. Luku 1.10.) Myöskään luvut 0 eivät ole E:n ylärjoj. Näin ollen luvut < 1 eivät kelp E:n suurimmksi lkioksi. Luvut 1 eivät kuulu joukkoon E, joten myöskään ne eivät kelp E:n suurimmksi lkioksi. 11

Määritelmä 1.9.3. Olkoon E R ylhäältä rjoitettu. Luku R on joukon E pienin ylärj (supremum), merkitään = sup E, jos ehdot (1) j () toteutuvt: (1) on joukon E ylärj. () Jos b R on joukon E ylärj, niin b. Huomutus. Määritelmän 1.9.3 ehto () esitetään usein seurvss käyttökelpoisemmss muodoss: ()* Jos b <, niin b ei ole joukon E ylärj. Tässä on käytetty hyväksi sitä, että impliktiot A = B j B = A ovt ekvivlentit. Määritelmän 1.6.1 mukn reliluvut toteuttvt täydellisyysksioomn. Täydellisyysksioom. Jokisell epätyhjällä ylhäältä rjoitetull relilukujoukoll E on pienin ylärj sup E joukoss R. Huomutus. Vikk rtionliluvut toteuttvtkin kunt-ksioomt (A1) (A9) j järjestysksioomt (B1) (B4), niin ne eivät toteut täydellisyysksiom. Olkoon esimerkiksi E = { x Q : x < }. Joukko E koostuu siis kikist välillä ], [ olevist rtionliluvuist. Voidn osoitt, että sup E = / Q. Tämän todistminen sivuutetn teknisenä. Huomutus. Jos E R on epätyhjä j := mx E R, niin = sup E. Siis joukon supremum yhtyy mksimiin jos jälkimmäinen on olemss. Osoitetn, että Määritelmän 1.9.3 ehdot (1) j () toteutuvt: (1) Kosk = mx E, niin on eräs E:n ylärj. () Jos b on E:n ylärj, niin x b kikill x E. Erityisesti b. Määritelmä 1.9.4. Osjoukko E R on lhlt rjoitettu, jos on olemss R siten, että x kikill x E. Tällöin luku R snotn joukon E lrjksi. Edelleen on joukon E pienin luku, merkitään = min E, jos E j on joukon E lrj. Määritelmä 1.9.5. Olkoon E R lhlt rjoitettu. Luku R on joukon E suurin lrj (infimum), merkitään = inf E, jos ehdot (1) j () toteutuvt: (1) on joukon E lrj. () Jos b R on joukon E lrj, niin b. Määritelmän 1.9.5 ehto () voidn esittää myös seurvss ekvivlentiss muodoss: 1

()* Jos b >, niin b ei ole joukon E lrj. Relilukujen pienimmän ylärjn ominisuudest seur myös suurimmn lrjn ominisuus, j kääntäen. Yhtä hyvin voisimme siis vlit Luseen 1.9.6 tuloksen täydellisyysksioomksi. Kirjllisuudess kuten myös tällä kurssill täydellisyysksioomksi vlitn kuitenkin supremumi koskev tulos. Luse 1.9.6. Jokisell epätyhjällä lhlt rjoitetull relilukujoukoll E on suurin lrj inf E joukoss R. Todistus. Merkitään F := E := { x : x E }. Kosk E on lhlt rjoitettu, niin E:llä on lrj. Olkoon m joukon E lrj jolloin m x kikill x E. Tällöin x m kikill x E, eli m on joukon F ylärj. Siis F on ylhäältä rjoitettu, joten täydellisyysksiomn nojll M := sup F R. Osoitetn vielä, että M = inf E: (1) Olkoon x E. Tällöin x F, joten x M. Näin ollen x M, eli M on joukon E (eräs) lrj. () Olkoon m eräs E:n lrj, jolloin siis m on joukon F ylärj. Tällöin supremumin määritelmän nojll m M, joten m M. Siis M on E:n lrjoist suurin. Huomutus. Jos E R on epätyhjä j := min E R, niin = inf E. Siis joukon infimum yhtyy minimiin jos jälkimmäinen on olemss. Tämän todetn smll tvll kuin vstv supremumi j mksimi koskev väite. 1.10. Relilukuj koskevi perustuloksi Arkhimedeen luse. Jokist luku x R kohti on olemss n Z siten, että n > x. Todistus. Olkoon x R. Tehdään ntiteesi: n x kikill n Z. Tällöin joukko Z on ylhäältä rjoitettu. Täydellisyysksioomn nojll on siis olemss sup Z R. Olkoon n Z. Tällöin myös n + 1 Z, joten n + 1 sup Z. Nyt n sup Z 1. Siis joukon Z mielivltinen lkio on sup Z 1, joten sup Z 1 on eräs joukon Z ylärj. Siis sup Z sup Z 1, ts. 0 1. Tämä on ristiriit, joten ntiteesi oli väärä. Luse 1.10.1. Khden reliluvun välissä on in rtionliluku. Todistus. Olkoot, b R siten, että < b. Nyt b > 0, joten 1 luseen nojll on olemss n N siten, että n > 1 b n(b ) > 1. b R. Arkhimedeen Lisäksi Arkhimedeen luseen nojll on olemss kokonisluku, jok on nb. Olkoon p pienin tällinen kokonisluku, ts. p nb, mutt p 1 < nb. Tällöin b > p 1. Kosk n p nb = n + n(b ) > n + 1, 13

niin Siis < p 1 n p 1 < b, missä n p > n + 1 < p 1 n. on rtionliluku. Huomutus. Toistmll edellä olev päättelyä voidn todet, että välillä ], b[ on itse siss ääretön määrä rtionlilukuj. Snotn, että rtionliluvut ovt tiheässä (dense) relilukujen joukoss. Seurvksi osoitetn, että myös irrtionliluvut ovt tiheässä relilukujen joukoss: Luse 1.10.. Khden reliluvun välissä on in irrtionliluku. Todistus. Olkoot, b R siten, että < b. Luseen 1.10.1 nojll relilukujen j b välissä on olemss rtionliluku, ts. on olemss q Q siten, että < q < b. Tällöin < q + < b, missä q + Q. Edellisessä todistuksess on käytetty pun seurvi tuloksi: (1) on irrtionlinen (Luse 1.5.1). () Rtionliluvun j irrtionliluvun summ on irrtionlinen (HT). 14

. Relilukujonot Supremumin j infimumin yhteydessä törmättiin jo välillisesti lukujonon suppenemisen iden. Ide on nlyysin ymmärtämisen knnlt tärkeä, sillä jonojen suppenemisen kutt voi yksinkertisimmss muodossn omksu suppenemisen määritelmän j tiettyjä universlej ominisuuksi..1. Jonon suppeneminen j rj-rvo Jos jokist luonnollist luku n N kohti nnetn yksikäsitteisesti määrätty luku x n R, sdn (reliluku)jono ( x 1, x, x 3,... ), jot merkitään lyhyesti (x n ) n=1 ti (x n ) n N. Indeksistä n riippuv luku x n snotn lukujonon (x n ) n N n:nneksi lkioksi (termiksi). Esimerkiksi lukujonon (x n ) n N, x n = 1 n, lkioit ovt 1, 1 4, 1 9, 1 16,..., j lukujonon (y n ) n N, y n = n, lkioit ovt n+1 1, 3, 3 4,.... Edellä määritellyn lukujonon (x n ) n N lkiot ovt hyvin lähellä luku 0, kun n on suuri. Vstvsti lukujonon (y n ) n N lkiot ovt hyvin lähellä luku 1, kun n on suuri. Luvut 0 j 1 ovtkin lukujonojen (x n ) n N j (y n ) n N rj-rvoj (vstvss järjestyksessä). Lukujonon rj-rvon mtemttinen määritelmä on kiteytynyt seurvn muotoon: Määritelmä.1.1. Jono (x n ) n N suppenee (converges) kohti rj-rvo x R, jos jokist luku ε > 0 kohti on olemss n(ε) N siten, että kikill n n(ε) pätee x n x < ε. Tällöin merkitään lim n x n = x. Jos jono (x n ) n N ei suppene kohti relist rj-rvo, se hjntuu (diverges). Jonon rj-rvon määritelmä symbolimuodoss: ε > 0 n(ε) N : n n(ε) x n x < ε. Esimerkki.1.. Trkstelln jono (x n ) n N, missä x n := 1 n. Jono näyttää suppenevn kohti luku 0. Kokeilln ε-ehto oletettuun rj-rvoon x = 0 rvoll ε = 1. Nyt 100 xn 0 < 1 1 100 n < 1 n > 100. 100 Siis kikill n = 101, 10,... pätee x n 0 < 1. Voidn vlit n(ε) = 101 (mikä 100 hyvänsä suurempi luku käy myös). Tällöin rvoill n n(ε) pätee x n 0 < 1 15 100.

Huomutus. () Määritelmässä.1.1 ei ole olennist löytää prst luku n(ε), vn inostn jokin vdittvn ehdon toteuttv luku n(ε). Tässä prmetri ε viitt siihen, että n(ε) riippuu luvust ε > 0. (b) Rj-rvon määritelmän omksuminen vtii työstämistä. Knntt huomt, että määritelmä yo. muodossn on vst reilut st vuott vnh. Tästäkin voi päätellä, että määritelmä on ei-trivili. (c) Määritelmästä seur, että rj-rvo on yksikäsitteinen. Tämä trkoitt seurv: Jos jono (x n ) n N on nnettu, korkeintn yksi luku x R toteutt Määritelmän.1.1. Todistus. Tehdään vstoletus, että on olemss luvut b siten, että lim x n = j n lim x n = b. Voidn olett < b. (Jos näin ei ole, niin luvut j b vihdetn.) Vlitn n ε = b j sovelletn rj-rvon määritelmää sekä lukuun että lukuun b. Löydetään n 1 (ε) N j n (ε) N siten, että n n 1 (ε) = x n < ε = b < x n < + b n n (ε) = x n b < ε = b b < x n < b + b. Jos nyt n mx{n 1 (ε), n (ε)}, niin molemmt rviot ovt voimss x n :lle. Kosk, sdn x n < x n, mikä on ristiriit. + b = b b, Esimerkki.1.3. (Vkiojono) Oletetn, että on olemss R siten, että x n = kikill n N. Tällöin lim n x n =. Jos nimittäin ε > 0 on nnettu, niin x n = = 0 < ε kikill n N. Siis kikki luonnolliset luvut kelpvt luvuksi n(ε) olip ε mikä hyvänsä. Huomutus. Jonon lkupään lkioiden perusteell ei voi sno mitään vrm rj-rvost. Olkoon esimerkiksi x n = n + 10 6 n 3n. Nyt jonon ensimmäiset lkiot (termit) ovt 100000, 3 000008, 1 3000018,.... 7 Ensimmäisten termien perusteell on vike päätellä, mikä rj-rvo on ti onko rjrvo ylipäätään olemss. Itse siss lim n x n = 3. Tämän perustelemiseksi on kuitenkin johdettv ensin yleisiä rj-rvon ominisuuksi. 16

.. Jonon rj-rvoon liittyviä ominisuuksi Kuristusperite. Oletetn, että on olemss n 0 (x n ) n N, (y n ) n N j (z n ) n N pätee N siten, että relilukujonoille () x n y n z n kikill n n 0, (b) lim n x n = x = lim n z n. Tällöin lim n y n = x. Todistus. Olkoon ε > 0. Rj-rvon määritelmän (oletus (b)) nojll on olemss n 1 (ε) n 0 siten, että x n x < ε kikill n n 1 (ε). Vstvsti on olemss n (ε) n 0 siten, että z n x < ε kikill n n (ε). Vlitn n(ε) = mx{n 1 (ε), n (ε)}. Tällöin, jos n n(ε), niin ε < x n x < ε j ε < z n x < ε, joten Siis ehto y n x < ε pätee, kun n n(ε). ε < x n x y n x z n x < ε. Olkoot (x n ) n N j (y n ) n N kksi relilukujono. Tällöin summjono (x n + y n ) n N j tulojono (x n y n ) n N määritellään luonnollisell tvll, ts. summjonon n. lkio on x n + y n j tulojonon n. lkio on x n y n. Esimerkiksi, jos niin summjono j tulojono ovt x n = 1 n j y n = n n + 1, x n + y n = 1 n + n n + 1 = n3 + n + 1 n (n + 1) j x n y n = ( ) ( ) 1 n = n n + 1 1 n(n + 1). Luse..1. Olkoot x, y R siten, että lim n x n = x j lim n y n = y. Tällöin () lim n (x n + y n ) = x + y, (b) lim n x n = x kikill R, (c) lim n x n y n = xy, x n (d) lim = x n y n y jos y 0. 17

Luseen..1 kohdt () j (b) todistetn luennoll. Kohtien (c) j (d) todistukset ovt teknisempiä, j siksi ne jätetään tässä viheess lukijn omn mielenkiinnon vrn. Todistus. (c) Rj-rvon määritelmästä seur helposti, että jono (y n ) n N on rjoitettu. Tällöin on olemss M > 0 siten, että y n M kikill n N. Vlitn n 1, n N siten, että n n 1 x n x < ε M j n n ε y n y < ( x + 1). Jos nyt n(ε) := mx{n 1, n }, niin kikill n n(ε) pätee kolmioepäyhtälön nojll Tämä todist väitteen. x n y n xy = x n y n xy n + xy n xy = y n (x n x) + x(y n y) ε y n x n x + x y n y M M + x ε ( x + 1) < ε. (d) Todistetn ensin impliktio lim x n = 1 = n lim n 1 x n = 1. (.1) Olkoon tätä vrten 0 < ε < 1. Vlitn n(ε) N siten, että x n 1 < ε kikill n n(ε). Arvoill n n(ε) pätee x n 1 < 1, eli 1 < x n < 3. Näin ollen rvoill n n(ε) sdn 1 1 = 1 x n 1 x n = < 1 x n < ε, x n x n x n mikä todist väitteen (.1). Ehto (.1) käyttäen yleinen väite sdn seurvll tvll. Hvitn ensin, että kohdn (b) nojll y n lim n y = lim 1 n y y n = 1 y lim y n = 1 n y y = 1. Näin ollen kohtien (b), (c) sekä impliktion (.1) perusteell sdn mikäli y 0. x n 1 lim = lim n y n n y y x n = 1 y n y 1 x = x y,.3. Jonon monotonisuus Määritelmä.3.1. Lukujono (x n ) n N on () rjoitettu (bounded), jos on olemss M > 0 siten, että x n M kikill n N, (b) ksvv (incresing), jos x n x n+1 kikill n N, (c) vähenevä (decresing), jos x n x n+1 kikill n N. Lukujono on monotoninen (monotonic), jos se on joko ksvv ti vähenevä. Lisäksi määritellään: Lukujono (x n ) n N on idosti ksvv (vst. idosti vähenevä), jos ehdoss (b) (vst. ehdoss (c)) on ito epäyhtälö. Lukujono (x n ) n N on idosti monotoninen, jos se on joko idosti vähenevä ti idosti ksvv. Lukujono (x n ) n N on ylhäältä rjoitettu (vst. lhlt rjoitettu), jos on olemss R siten, että x n (vst. x n ) kikill n N. 18

Esimerkki.3.. Olkoon x n = n. Tällöin n+1 x n x n+1 n n + 1 n + 1 n + n(n + ) (n + 1) n + n n + n + 1 0 1, joten (x n ) n N on ksvv. Kosk x n 1 kikill n N, niin (x n ) n N on myös ylhäältä rjoitettu. Ksvvuuden voi perustell myös sillä, että funktion f(x) = x derivtt x+1 f (x) = 1 on positiivinen rvoill x > 0. (1+x) Lukujonojen yhteydessä hyödynnetään täydellisyysksiom usein seurvsti: Luse.3.3. Jos lukujono (x n ) n N on ksvv j ylhäältä rjoitettu, niin on olemss rj-rvo lim n x n j lim n x n = sup{ x n : n N }. Todistus. Täydellisyysksiomn nojll G = sup{ x n : n N } R. Olkoon ε > 0. Supremumin määritelmän mukn G ε ei ole joukon E := { x n : n N } ylärj, joten on olemss n(ε) N siten, että x n(ε) E j x n(ε) > G ε. Jos nyt n > n(ε), niin jonon ksvvuuden perusteell x n(ε) x n(ε)+1 x n j siis G ε < x n G < G + ε kikill n n(ε). Näin ollen x n G < ε kikill n n(ε), eli väite pätee. Esimerkki.3.4. () Trkstelln esimerkiksi lukujono 1., 1.4, 1.45, 1.459, 1.4596,..., missä jonon lkio x n sdn rpomll umpimähkään lukuj 1,..., 9 n:nnen desimlin piklle. Tässä desimlimerkinnällä trkoitetn esimerkiksi 1.45 := 1 + 10 1 + 4 10 + 5 10 3. Selvästi (x n ) n N on in ksvv j ylhäältä rjoitettu jono rtionlilukuj, joten Luseen.3.3 mukn x = lim n x n on olemss. Käytännön lskuiss vrsinkin irrtionlilukuj x pproksimoidn likirvoill, eli luvuill x n ti niiden pyöristyksillä. Voidn osoitt, että näin muodostettu rj-rvo x on irrtionliluku jos j vin jos desimliesitys on jksoton (sm numerosrj ei toistu loputtomiin mistään indeksistä lähtien). 19

(b) Olkoon x n := 1 + 1! + 1 3! + + 1 n!. Lukujono (x n ) n N on selvästi ksvv, j vertmll sitä suppenevss geometrisess srjss esiintyvään lukujonoon, voidn päätellä, että lukujono on rjoitettu (trkk perustelu sivuutetn). Rj-rvo lim x n kutsutn Neperin luvuksi e. Neperin luku n sdn myös ksvvn jonon ( x n = 1 + 1 ) n n rj-rvon, ks. Myrberg: Differentili- j integrlilskent I, ss. 45 47. Luseen.3.3 vstine pätee luonnollisesti myös infimumille. Todistus on täysin nloginen ksvv jono koskevn todistuksen knss: Luse.3.5. Jos lukujono (x n ) n N on vähenevä j lhlt rjoitettu, niin on olemss rj-rvo lim n x n j lim n x n = inf{ x n : n N } R..4. Rekursiiviset jonot Rekursiivisess jonoss jonon termi määritellään jonon ikisempien termien vull. Yksinkertisimmss tpuksess jonon termi x n+1 riippuu vin termistä x n, mutt on myös mhdollist, että x n+1 riippuu usemmst kuin yhdestä edeltävästä termistä. Esimerkiksi klssinen Fibonccin lukujono (x n ) n N määritellään rekursiivisesti settmll x 1 = x = 1 j x n+ = x n+1 + x n kikill n N. Jonon ensimmäiset lkiot ovt siis 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34,... Rekursiivisen jonon käsittely perustuu usein induktioperitteeseen. Kultisell luvull (kultisell suhteell) α trkoitetn suhdeyhtälön positiivist rtkisu x 1 = 1 x 1 x = x + 1 α = 1 + 5. Kultisen luvun α j Fibonccin lukujen x n välillä pätee epäyhtälö x n > α n, n 3. Todistus. Osoitetn väite induktioperitteell. (1) On helppo trkst, että väite pätee indeksin rvoill n = 3, 4. () Oletetn, että väite pätee indeksin rvoill 3 k n, missä n 4. Tällöin x n+1 = x n + x n 1 > α n + α n 3 = α n 3 (α + 1) = α n 3 α = α (n+1). Induktioperitteen mukn väite pätee kikill n 3. 0

Esimerkki.4.1. Oletetn, että olemme todistneet Fibonccin lukujonon lkioille x n rj-rvon x n+1 x = lim n x n olemssolon. Jkmll sdn rekursiokvst x n+ x n+1 = 1 + x n = 1 + 1 x x n+1, n+1 x n joten ottmll rj-rvot puolittin j soveltmll rj-rvon lskusääntöjä (Luse..1), sdn x = 1 + 1 x x = x + 1. Siis kultinen luku sdn ko. suhteen rj-rvon (kunhn todistetn ensin rj-rvon olemssolo)..5. Hjntuvt jonot Trkstelln esimerkkejä hjntuvist (ts. ei-suppenevist) jonoist. Hjntumisen määritelmä sdn kääntämällä rj-rvon määritelmä negtiokseen. Toisin snoen, jono (x n ) n N ei suppene kohti pistettä x R, jos on olemss luku ε > 0 siten, että x n x > ε kikill n N. Seurv Cuchyn ehto nt tehokkmmn tvn perustell hjntuminen: Cuchyn ehto. Jos lukujonoll (x n ) n N on rj-rvo x, niin kikill ε > 0 on olemss n(ε) N siten, että n, m n(ε) = x n x m < ε. Todistus. Olkoon ε > 0. Rj-rvon määritelmän mukn on olemss n(ε) > 0 siten, että x n x < ε kikill n n(ε). Jos siis n, m n(ε), niin kolmioepäyhtälön mukn x n x m = x n x + x x m x n x + x m x < ε + ε = ε, j väite on todistettu. Huomutus. Cuchyn ehto ei päde, jos on olemss ε > 0 siten, että jokist n(ε) N vst m, n n(ε), joille x n x m ε. Tällöin jono (x n ) n N hjntuu. Huomutus. Hjntuvi jonoj on kht tyyppiä: (1) Jonot, joill on rj-rvo + ti rj-rvo. () Jonot, joill ei ole äärellistä eikä ääretöntä rj-rvo. 1

Äärettömät rj-rvot määritellään seurvsti: Määritelmä.5.1. Jono (x n ) n N ksv rjtt, merkitään lim n x n = +, jos jokist luku M > 0 vst n(m) N siten, että kikill n n(m) pätee x n > M. Vstvsti, jono (x n ) n N vähenee rjtt, merkitään lim n x n =, jos jokist luku m < 0 vst n(m) N siten, että kikill n n(m) pätee x n < m. Huomutus. Olkoon P (x) = k x k + k 1 x k 1 + + 1 x + 0 polynomi, jonk ste on k N. Tällöin k 0. On helppo todist määritelmistä lähtien: (1) Jos k > 0, niin lim n P (n) = +. () Jos k < 0, niin lim n P (n) =. Hrjoitustehtävänä osoitetn, että myös äärettömille rj-rvoille ovt voimss seurvt kuristusperitteet: Kuristusperite rj-rvolle +. Oletetn, että on olemss n 0 N siten, että relilukujonoille (x n ) n N j (y n ) n N pätee () x n y n kikill n n 0 ; (b) lim n x n = +. Tällöin lim n y n = +. Kuristusperite rj-rvolle. Oletetn, että on olemss n 0 N siten, että relilukujonoille (x n ) n N j (y n ) n N pätee () x n y n kikill n n 0 ; (b) lim n x n =. Tällöin lim n y n =. Esimerkki.5.. Voidn todist tuloksi, jotk yhdistävät äärellisen j äärettömän rj-rvon. Olkoon esimerkiksi lim x n = +. Osoitetn, että tällöin lim = 0. n x n Olkoon ε > 0. Vlitn M = 1, jolloin oletuksen mukn löytyy n(m) N siten, että ε x n > M = 1 kikill n n(m). Mutt nyt ε 1 0 = 1 < 1 x n M = ε kikill n n(m). x n n 1

3. Relimuuttujn funktiot 3.1. Funktio, funktion monotonisuus j yhdistetty funktio Olkoot A R j B R. Kuvus (funktio) f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen lkioon x A yksikäsitteisen lkion f(x) B. Luku f(x) kutsutn luvun x kuvksi. Jos f(x) = y, niin luku x snotn luvun y lkukuvksi. Joukko A kutsutn määrittelyjoukoksi (lähtöjoukoksi) j joukko B kutsutn mlijoukoksi. Jos f : A B on kuvus sekä A 1 A j B 1 B, niin B:n osjoukko f(a 1 ) := { y B : y = f(x) jollekin x A 1 } kutsutn A 1 :n kuvjoukoksi j A:n osjoukko f 1 (B 1 ) := { x A : f(x) B 1 } kutsutn B 1 :n lkukuvjoukoksi. Funktion f : A B kuvjll trkoitetn tson R osjoukko { (x, y) R : x A, y = f(x) }. Esimerkki 3.1.1. Olkoon f : R R kuvus f(x) = x j olkoot A 1 =] 1, 1[, B 1 = {, 3}. Tällöin f(a 1 ) = [0, 1[ j f 1 (B 1 ) = { ±, ± 3 }. Määritelmä 3.1.. Kuvus f : A B on () ksvv (vst. idosti ksvv)), jos kikill x, y A, x < y, pätee f(x) f(y) (vst. f(x) < f(y)); (b) vähenevä (vst. idosti vähenevä)), jos kikill x, y A, x < y, pätee f(x) f(y) (vst. f(x) > f(y)); (c) monotoninen (vst. idosti monotoninen), jos f on ksvv ti vähenevä (vst. idosti ksvv ti idosti vähenevä). Lemm 3.1.3. Olkoon f : A B kuvus. () Jos f on idosti ksvv, niin x < y jos j vin jos f(x) < f(y). (b) Jos f on idosti vähenevä, niin x < y jos j vin jos f(x) > f(y). Todistus. Todistetn väite (). Impliktio vsemmlt oikelle pätee määritelmän mukn. Käänteisen impliktion todistmiseksi tehdään ntiteesi x y. Tpuksess x = y pätee f(x) = f(y) (ristiriit) j tpuksess x > y pätee idon ksvvuuden nojll f(x) > f(y) (ristiriit). Antiteesi oli siis väärä, joten x < y. Väite (b) jätetään hrjoitustehtäväksi. 3

Määritelmä 3.1.4. Olkoot A, B j C epätyhjiä R:n osjoukkoj j olkoot f : A B j g : B C kuvuksi. Tällöin sääntö (g f)(x) := g(f(x)), x A, määrittelee kuvuksen g f : A C (yhdistetty kuvus). Esimerkki 3.1.5. Olkoot f : R R, g : R R j h : R R kuvukset Tällöin f(x) = x + 1, g(x) = x, h(x) = x. (f g)(x) = f(g(x)) = f(x ) = x + 1, (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) = x + x + 1, (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(x + x + 1) = x + x + 1. Siis kuvusten yhdistäminen ei ole vihdnninen opertio, eli voi oll (f g)(x) (g f)(x). Huom, että yhdistettäessä usempi kuin kksi kuvust ei trvit sulkuj määräämään lskujärjestystä, kosk kuvusten yhdistäminen on liitännäinen opertio; yleisesti pätee (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x))), ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x)), eli h (g f) = (h g) f (ovt smt kuvukset). 3.. Injektiivisyys, surjektiivisuus j bijektiivisyys. Määritelmä 3..1. Kuvus f : A B on () injektio, jos kikill x, y A, x y, pätee f(x) f(y); (b) surjektio, jos jokist y B vst x A siten, että f(x) = y; (c) bijektio, jos f on sekä injektio että surjektio. Esimerkki 3... Kuvus f : R R, f(x) = x, ei ole injektio, sillä f( 1) = f(1). f ei myöskään ole surjektio, sillä f(x) 1 kikill x R, eli luvull 1 ei ole lkukuv. Surjektiivisuus trkoitt siis sitä, että jokisell mlijoukon lkioll on inkin yksi lkukuv määrittelyjoukoss. Injektiivisyys puolestn sitä, että jokisell mlijoukon lkioll on korkeintn yksi lkukuv määrittelyjoukoss. Bijektiivisyys trkoitt siis sitä, että jokisell mlijoukon lkioll on täsmälleen yksi lkukuv määrittelyjoukoss. 4

Huomutus. Ekvivlentisti, f : A B on injektio jos impliktio x, y A j f(x) = f(y) = x = y (3.1) pätee. Kosk impliktio x = y = g(x) = g(y) pätee kikille kuvuksille g, niin f on injektio täsmälleen silloin, kun ekvivlenssi pätee kikille x, y A. x = y f(x) = f(y) Esimerkki 3..3. Osoitetn, että kuvus f : R R, f(x) = x+3, on injektio. Olkoot x, y R siten, että f(x) = x + 3 = y + 3 = f(y). Tästä sdn x = y j edelleen x = y. Siis f on injektio. Injektiivisyys on surjektiivisuutt olennisempi ominisuus: Huomutus. Olkoon f : A B injektio. Tällöin kuvus f : A f(a) on sekä injektio että surjektio, sillä jokist y f(a) vst kuvjoukon määritelmän mukn x A siten, että f(x) = y. Siis kuvus f : A f(a) on bijektio, jos kuvus f : A B on injektio. Tällä kurssill injektiivisyys päätellään yleensä idon monotonisuuden vull: Lemm 3..4. Olkoon f : A B idosti monotoninen. Tällöin f on injektio. Todistus. Oletetn, että f on idosti ksvv. Injektiivisyyden todistmiseksi olkoot x, y A, x y. Tällöin joko x < y ti x > y. Jos x < y, niin idon ksvvuuden määritelmän mukn f(x) < f(y). Jos ts x > y, niin idon ksvvuuden määritelmän mukn f(x) > f(y). Jok tpuksess f(x) f(y), eli f on injektio. Aidosti vähenevän funktion injektiivisyys todetn vstvsti (HT). 3.3. Käänteiskuvus Olkoon f : A B injektio. Tällöin jokist kuvjoukon f(a) lkiot y f(a) vst täsmälleen yksi lkukuv lähtöjoukoss A. Tälle lkukuvlle käytetään merkintää f 1 (y). Nyt sääntö y f 1 (y) määrittelee kuvuksen f(a) A. Tätä kuvust snotn kuvuksen f käänteiskuvukseksi, j sille käytetään merkintää f 1. Jos f : A B on bijektio, niin käänteiskuvuksen f 1 määrittelyjoukko on B j mlijoukko A. Jos bijektio f : A B on määritelty nlyyttisell lusekkeell, niin käänteiskuvuksen luseke sdn selville, mikäli yhtälöstä f(x) = y, y B, voidn rtkist x yksikäsitteisesti y:n vull. 5

Esimerkki 3.3.1. Olkoon f : R R, f(x) = x + 3. Tässä tpuksess kuvuksen bijektiivisyys j käänteiskuvuksen luseke voidn todet yhdellä päättelyllä. Pyritään todistmn, että kyseessä on surjektio. Olkoon tätä vrten y R. Asetetn f(x) = x + 3 = y, j rtkistn x y:n funktion. Kosk x + 3 = y x = y 3 x = 1 (y 3), (3.) hvitn, että 1 (y 3) on luvun y R lkukuv. Mutt ekvivlenssiketju (3.) osoitt, että 1 (y 3) on myöskin luvun y R ino lkukuv. Tämä riittää perustelemn myös injektiivisyyden j hvitn, että injektiivisyyden erillinen todistminen on tässä tpuksess trpeetont. Erityisesti käänteiskuvus f 1 : R R sdn säännöstä f 1 (x) = 1 (x 3). Tässä käänteiskuvuksen muuttuj voitisiin merkitä y:llä, mutt siihen ei ole erityistä trvett. Yleensä kuvuksen j sen käänteiskuvuksen lusekkeiss käytetäänkin sm muuttujmerkintää. Käänteiskuvuksen geometrinen tulkint. Jos f : A B on bijektio, niin funktion f kuvj j käänteisfunktion f 1 kuvj ovt toistens peilikuvi suorn y = x suhteen. Nimittäin f:n kuvj on joukko j käänteisfunktion f 1 kuvj on joukko { (x, f(x)) : x A } { (f(x), x) : x A }. Toislt pisteet (x 0, f(x 0 )) j (f(x 0 ), x 0 ) ovt toistens peilikuvi suorn y = x suhteen kikill x 0 A: (1) Pisteiden (x 0, f(x 0 )) j (f(x 0 ), x 0 ) kutt kulkev suor on kohtisuorss suorn y = x nähden, sillä näiden pisteiden kutt kulkevn suorn kulmkerroin on f(x 0 ) x 0 x 0 f(x 0 ) = 1. Huom, että suort l 1 j l ovt kohtisuorss täsmälleen silloin kun niiden vstville kulmkertoimille k 1 j k pätee k 1 k = 1. () Pisteiden (x 0, f(x 0 )) j (f(x 0 ), x 0 ) välisen jnn keskipiste ( x0 + f(x 0 ), f(x ) ( 0) + x 0 x0 + f(x 0 ) =, x ) 0 + f(x 0 ) sijitsee suorll y = x. Huomutus. Olkoon f : A B bijektio. Tällöin (f f 1 )(x) = f(f 1 (x)) = x kikill x B 6

j (f 1 f)(x) = f 1 (f(x)) = x kikill x A suorn käänteiskuvuksen määritelmän mukn. Näitä ehtoj voi käyttää sen trkstmiseen, onko käänteiskuvuksen luseke oikein. Esimerkiksi kuvuksille f(x) = x j 1+x f 1 (x) = x pätee 1 x ( ) x x (f f 1 1 x )(x) = f = 1 x 1 + ( x ) = = x, x 1, 1 x x 1 x 1 x+x 1 x j ( ) x (f 1 f)(x) = f 1 = 1 + x x 1+x 1 ( x 1+x ) = x 1+x 1+x x 1+x = x, x 1. Luse 3.3.. Olkoon f : A B kuvus. () Jos f on idosti ksvv, niin käänteiskuvus f 1 : f(a) A on idosti ksvv. (b) Jos f on idosti vähenevä, niin käänteiskuvus f 1 : f(a) A on idosti vähenevä. 3.4. Funktion rj-rvo Differentili- j integrlilskennn urnuurtjin pidetään sir Isc Newtoni (164 177) j Gottfried Leibnizi (1646 1716). Pitkälle 1800-luvulle skk differentili- j integrlilskennn kehitystä hittsi se, että rj-rvon käsitteelle ei ollut olemss kunnollist määritelmää. Kunni rj-rvon epsilon-määritelmän keksimisestä nnetn yleensä Augustin Cuchylle (1789 1857). Esimerkki 3.4.1. Pinovoimlin mukn kpple puto vpss pudotuksess siten, että jss t > 0 kuljettu mtk s(t) sdn kvst s(t) = 1 gt, missä g on normliputomiskiihtyvyys g 9.8 m s. Vpll pudotuksell trkoitetn sitä, että ino vikuttv voim on mn vetovoim. Esimerkiksi pudotettess rsks kivi ls jyrkänteeltä, ensimmäisten sekuntien ikn ilmnvstuksen merkitys on olemton j kyse on olennisesti vpst pudotuksest. Miten sdn nopeus esimerkiksi hetkellä t = sekunti? Tunnetusti keskimääräinen nopeus sdn kvst v = s, joten erotusosmäärä t s() s(t) t = s(t) s() t on likirvo hetkelliselle nopeudelle hetkellä t = mikäli t on likimäärin. Likirvo on sitä prempi, mitä pienempi on väli t. Tämän vuoksi on luonnollist tulkit nopeus hetkellä t = erotusosmäärän rj-rvoksi, kun t lähestyy jnhetkeä. 7

Rj-rvon määritelmää vrten sovitn ensin, mitä trkoitetn pisteen ympäristöllä. Olkoon x 0 R j r > 0. Tällöin pisteen x 0 r-säteisellä (voimell) ympäristöllä B(x 0, r) trkoitetn voint väliä B(x 0, r) = { x R : x x 0 < r } =]x 0 r, x 0 + r[, j pisteen x 0 r-säteisellä punkteertull ympäristöllä B (x 0, r) trkoitetn punkteerttu voint väliä B (x 0, r) = { x R : 0 < x x 0 < r } =]x 0 r, x 0 + r[\{x 0 }. Määriteltäessä funktion f rj-rvo pisteessä x 0 R vtimuksen on, että funktio f on määritelty josskin pisteen x 0 punkteertuss ympäristössä B (x 0, r). Esimerkiksi derivtn määritelmän yhteydessä erotusosmäärää ei ole määritelty nollerotukselle. Määritelmä 3.4.. Funktioll f : B (x 0, r) R on pisteessä x 0 rj-rvo R, jos jokist luku ε > 0 vst luku δ > 0 siten, että 0 < x x 0 < δ = f(x) < ε. Tällöin merkitään lim x x 0 f(x) =. Huomutus. () Rj-rvon määritelmästä seur välittömästi, että lim f(x) = lim (f(x) ) = 0. x x 0 x x0 (b) Määritelmästä seur, että rj-rvo on yksikäsitteinen. Tällä trkoitetn impliktiot: Jos lim f(x) = j lim f(x) = b, niin = b. x x0 x x0 Todistus. Tehdään ntiteesi b, j oletetn, että < b. Vlitn ε = b, j sovelletn rj-rvon määritelmää sekä lukuun että lukuun b. Löydetään δ 1 > 0 j δ > 0 siten, että x B (x 0, δ 1 ) = f(x) < ε = b < f(x) < + b, x B (x 0, δ ) = f(x) b < ε = b b < f(x) < b + b. Jos nyt δ := min{ δ 1, δ } j x B (x 0, δ), niin kummtkin rviot oikell puolell ovt voimss, eli mikä on ristiriit. + b = b b < f(x) < + b = + b, 3.5. Rj-rvon lskusääntöjä Funktion rj-rvolle pätevät smt summ, tulo j osmäärää koskevt lskusäännöt kuin lukujonon rj-rvolle. 8