5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen kemiklin määrä liroin jnhekellä (yksikkönä kulunee unni vuodon lus lukien). Funkion deriv keroo sen muuosnopeuden. Tässä puksess derivfunkio V keroo siis kemiklin vuoonopeuden, j sen yksikkönä on l/h, liroj unniss. Jos vuoneen kemiklin määrää kuvv funkio on esimerkiksi V () = 2, vuoonopeus on V () = 2 lir unniss eli vuoo on sis. Jos vuoo on sis j iedämme vuoonopeuden, voimme oisl myös pääellä vuoneen kemiklin määrän. Jos vuoonopeus V () on 2 lir unniss, iedämme esimerkiksi eä kymmenessä unniss ine ehii vuo 2 0 = 20 lir. Jos vuoonopeus sen sijn ei ole sinen, ilnne on monimukisempi. Vuoneen kemiklin määrän selviäminen vuoonopeuden peruseell on esimerkki operios, jok kusun memiikss inegroimiseksi. Inegroiminen on derivoinnille kääneinen oimius: jos unnemme vuoonopeuden V () lusekkeen, smme vuoneen määrän selville, jos pysymme selviämään, minkä funkion deriv V () on. Tämä on yleensä hnklmp kuin funkion V derivoiminen. 5. Inegrlin määrielmä Funkio F on funkion f inegrlifunkio, jos f on funkion F derivfunkio. Funkion f inegrlifunkion luseke merkiään f(x) dx. Tässä merkinnässä kuv inegroini j lopuss olev dx keroo sen, minkä muuujn suheen funkion luseke on kirjoieu. Voiisiin myös kirjoi esimerkiksi f(y) dy. Inegrlifunkion määrielmä voidn ny kirjoi lyhyesi näin: F(x) = f(x) dx jos F (x) = f(x). Esimerkki 5.2. Esiään polynomifunkion f(x) = x 4 +2x eräs inegrlifunkio. Termi 2x on ullu derivoiess vsn mon ker, j siksi muisenkin, eä D x 2 = 2x. Täen ermisä 2x ulee inegroiun x 2. Termi x 4 on hnklmpi. Kosk poenssiermejä derivoiess poenssi pienenee yhdellä, piäisi inegroiess poenssin vsvsi ksv. Kuienkin D x 5 = 5x 4 x 4, joen inegroiu ermi ei ole suorn x 5. Asi kuienkin korjnuu lisäämällä eeen vkiokerroin. Vkiokeroime eivä muuu derivoiess, joen ne eivä muuu myöskään 35
inegroiess. Osoiuuu, eä sopiv vkiokerroin on 5. Tämä nimiäin kumo derivoinniss synyvän keroimen 5: ( ) D 5 x5 = 5 D x5 = 5 5x4 = x 4. Yheensä on siis pääely, eä funkion f eräs inegrlifunkio on F(x) = 5 x5 + x 2. Toisin kuin funkion derivfunkio, funkion inegrlifunkio ei ole yksikäsieinen, vn jokisell funkioll on mon eri inegrlifunkio. Tämä johuu siiä, eä kikki vkioermi häviävä derivoiess. Inegroiess derivoiu funkio ei siis void ieää, oliko lkuperäisessä funkioss jokin vkioermi mukn j mikä se mhdollisesi oli. Tämän vuoksi äyyy inegrlifunkioon lisää ns. inegroimisvkio. Yleensä käyeään kirjin C, mu kirjimen vlinnll ei ieenkään ole memis merkiysä. Esimerkki 5.3. Edellisen esimerkin ilneess inegrlifunkioksi olisi voiu vli myöskin F(x) = 5 x5 + x 2 +, sillä ( ) F (x) = D 5 x5 + x 2 + = x 4 + 2x + 0 = x 4 + 2x = f(x). Vkioermin pikll voisi yhä hyvin oll mikä hns muukin luku. Tämän vuoksi inegrlifunkion luseke merkiään seurvsi: x 4 + 2x dx = 5 x5 + x 2 + C. Vkioermi C kuv siä, eä inegrlifunkioon voi lisää minkä hns vkion. 5.2 Inegrlin sovelminen Inegrli voidn sovel luvun lun esimerkin klisiin ilneisiin, joiss funkion muuosnopeus eli derivfunkio unnen, j hlun une funkion kuvmn suureen kerymä. Tällöin on ensin pääelävä lkuperäinen funkio derivfunkios j sen jälkeen lskev, kuink pljon funkion rvo ov yheensä muuunee. Esimerkki 5.4. Pln luvun lun esimerkkiin 5.. Oleen, eä on joenkin pääely vuoonopeuden ksvvn sisesi j noudvn funkio f() = 5, missä on ik unein vuodon lus lukien j funkion rvo ilmoien liroin unniss. Tehävänä on lske, kuink pljon ine vuo unien 5 j 7 välillä vuodon lus lukien. Ensinnäkin on pääelävä, minkälinen funkio kuv vuodon määrää. Vuoonopeus on vuodon määrän deriv, joen vuodon määrä on vuoonopeuden inegrli. Esiään siis funkio F, jonk derivfunkio olisi f. Tällinen löyyy melko helposi pääelemällä: F() = 5 d = 0 2 + C. 36
Derivoimll voidn rkis, eä F () = 0 2 = 5. (Myöhemmin ukin, mien inegrlej voi lske inegroimiskvois.) Inegrlifunkion lusekkeess esiinyvä inegroimisvkio C kuv ässä esimerkissä siä, kuink pljon ine oli vuonu jnhekellä 0, sillä F(0) = 0 02 + C = 0 + C = C. Voimme siis jell, eä C = 0 (lir). Toisl C ei ule vikumn ehävän rkisuun, joen voimme myös oll väliämää siiä. Inegrlifunkion rvo F() kuv ny siä, kuink pljon ine on vuonu jnhekellä. Tehävän vsus, eli vuoneen ineen määrä, sdn sijoimll nneun jnjkson lku- j loppuheke inegrlifunkion lusekkeeseen j lskemll erous. Näin sdn ( ) ( ) F(7) F(5) = 0 72 + C 0 52 + C = 4,9 + C 2,5 C = 2,4 (lir). Kuen huomn, inegroimisvkio supisuv pois lopullises vsukses, joen niiä ei rvisisi o huomioon. Jos F on funkion f inegrlifunkio, hlun usein lske rvoj F(b) F(), missä j b ov joikin lähörvoj. Kuen edellisessä esimerkissä nähiin, ällinen erous kuv kerymää esimerkiksi jnhekien j b välillä. Kyseisä erous kusun funkion f (määräyksi) inegrliksi välillä [, b] j siä merkiään b f(x) dx = F(b) F(). Määräyä inegrli lskeess on siis ensin lskev funkion f inegrlifunkio, j sien sijoiev siihen nneu ylä- j lrj. Myös väliviheelle, joss on määriey inegrlifunkio, mu sijoius on vielä ekemää, on om merkinänsä. Voidn lske esimerkiksi 0 2x dx = / 0 x2 = 2 0 2 =. Tässä on siis ensin inegroiu luseke 2x lusekkeeksi x 2 (jolloin inegroimissymboli oikenee j dx häviää) j sen jälkeen sijoieu ylä- j lrj 0 j. Inegroimisvkio ei rvise o lukuun, kosk se supisuisi jok puksess pois erous lskeess. 5.3 Inegrlin lskeminen Inegrlifunkion lskeminen funkion lusekkees perusuu siihen, eä pääellään, minkä funkion derivll on kyseinen luseke. Esimerkiksi poenssiluseke derivoidn omll eksponeni keroimeksi j vähenämällä eksponeni yhdellä. Poenssilusekkeen inegroini phuu siis vsvsi lisäämällä eksponeniin yksi j jkmll synyneellä eksponenill. Smll vll vkio inegroiess on lisäävä x, jok derivoiess koisi. Näin sdn seurv kv. 37
dx = x + C, kun on mikä hns reliluku x k dx = xk+ k + + C, kun k Yllä olevss poenssilusekkeen inegroimiskvss oikenpuoleinen luseke voidn kirjoi myös muodoss k + xk+ + C. Huomuus k on rpeellinen, sillä muuen jeisiin nollll. Trkselln esimerkkiä. Esimerkki 5.5. Inegroidn polynomi x 3 5x 2 + 6. Kosk derivoini voidn suori ermi kerrlln, voidn myös inegroini ehdä ällä voin viheiin. Poenssin inegroimiskvn nojll x 3 dx = 4 x4. (Lisäämme inegroimisvkion C vs lopulliseen lusekkeeseen.) Tulos on helppo rkis derivoimll: ( ) D 4 x4 = 4 4x3 = x 3. Kosk vkiokeroime eivä muuu derivoiess, eivä ne muuu myöskään inegroiess. Täen ermi 5x 2 voidn inegroid seurvsi: 5x 2 dx = 5 x 2 dx = 5 3 x3 = 5 3 x3. Vkioermi voidn jell nollnnen seen poenssiermiksi: 6 dx = 6x 0 dx = 6 x = 6x. Toinen vihoeho on vin muis, eä vkion inegrli on in x. Kun edellisen viheiden lsku koon yheen, sdn koko inegrlifunkioksi x 3 5x 2 + 6 dx = 4 x4 5 3 x3 + 6x + C. Ny ei sovi unoh inegroimisvkio. Esimerkki 5.6. Myös negiivise j muropoenssi voidn inegroid poenssin inegroimiskvll. Esimerkiksi x 3 dx = x 3 dx = 3 + x 3+ + C = 2 x 2 + C = 2x 2 + C. 38
Ainosn poenssi x ei void inegroid näin, kosk jkjksi ulisi noll. Eriyisesi emme voi inegroid luseke x poenssilusekkeen inegroimissäännöllä, kosk x = x. Kyseinen luseke opin inegroimn myöhemmin. Poenssilusekkeen inegroiminen ei ole vike, mu yleisessä puksess lusekkeen inegroiminen on pljon hnklmp kuin sen derivoiminen. Perieess misä hns derivoinikvs voiisiin ieysi joh vsv inegroimiskv käänämällä se oisin päin, mu ällise kv eivä ole yleensä käyökelpoisi. Esimerkiksi rionlifunkion derivoimiskv joh niin monimukiseen lusekkeeseen, eä vsv inegroimiskv ei olisi enää hyödyllinen. On kuienkin syyä mini yhdiseyn funkion derivoimiskvs sv inegroimiskv. Siä voidn nimiää yhdiseyn funkion inegroimiskvksi, vikk sillä ei voidkn inegroid miä hns yhdiseyjä funkioi. Kv on esiey ll. f ( g(x) ) g (x) dx = f ( g(x) ) + C Kv perusuu suorn yhdiseyn funkion derivoimiskvn. Yhdiseyjä funkioi derivoiess luseke on kerrov lopuksi sisäfunkion derivll. Vsvsi inegroiess lusekkeess on olv sisäfunkion deriv vlmiin. Inegroini suorieess se sien häviää jäljeömiin. Esimerkki 5.7. Esiään funkion h(x) = 2x(x 2 ) 9 inegrlifunkio. Funkion h lusekkeess on yhdiseyn funkion luseke, jonk keroimen on lisäksi 2x. Yrieään sovel yhdiseyn funkion inegroimiskv. Jo kv voiisiin sovel, on vliv, miä kvss esiinyvä f, g j g ov. On luonnollis vli g(x) = x 2 j f (x) = x 9, kosk ällöin f ( g(x) ) = (x 2 ) 9. Inegroimiskvss esiinyy lisäksi sisäfunkion deriv 2x. Kosk olemme vlinnee, eä g(x) = x 2, näemme, eä g (x) = 2x. Kv sopii siis ilneeseen äydellisesi, j voidn kirjoi h(x) dx = (x 2 ) 9 2x dx = f ( g(x) ) g (x) dx = f ( g(x) ) + C. On enää selvieävä, mikä f on. Kosk f (x) = x 9, näemme poenssin inegroimissäännösä, eä f(x) = 0 x0. Täen h(x) dx = f ( g(x) ) + C = 0 (x2 ) 0 + C. 39
Esimerkki 5.8. Edellisen esimerkin voin voidn inegroid myös smnklinen funkio k(x) = x 2 (x 3 + ) 2. Ny vliisiin g(x) = x 3 + j f (x) = x 2. Funkion k lusekkeess on kuienkin ällä ker keroimen x 2, kun s g (x) = 3x 2. Ongelm sdn rkisu keromll j jkmll luseke smll vkioll 3. Näin sdn k(x) dx = (x 3 + ) 2 x 2 dx = 3 (x3 + ) 2 3x 2 dx. Vkiokerroin 3 ei muuu inegroiess, j oisl lusekkeeseen on su sisäfunkion deriv g (x) = 3x 2. Voidn siis inegroid säännön mukisesi: 3 (x3 + ) 2 3x 2 dx = 3 f ( g(x) ) g (x) dx = 3 f( g(x) ) + C. Kun vielä oden, eä f(x) = 3 x3, sdn lopul k(x) dx = 3 f( g(x) ) + C = 3 3 (x3 + ) 3 + C = 39 (x3 + ) 3 + C. 5.4 Inegrlin ulkin kuvjss Oheisess kuvss on erään jkuvn funkion kuvj. Oleen, eä ämä funkio kuv jonkin suureen muuosnopeu jn suheen, j yrieään sen vull selviää suureen kerymä ikvälillä [, b]. b Ongelm rke seurvsi. Hyvin pienellä ikvälillä voidn ole, eä funkion rvo, eli suureen muuosnopeus, ei ehdi muuu pljonkn. (Tähän vdin funkion jkuvuu.) Voidn siis rvioid, eä ällä lyhyellä ikvälillä muuosnopeus on vkio, jolloin kerymä on suorn muuoksen nopeus ker ikvälin piuus. Tämä vs seurvn kuvn mukisen suorkieen pin-l. muuosnopeus lyhy ikväli b 40
Jen ny koko rkselv ikväli pieniin osväleihin, joill jokisell muuosnopeuden oleen olevn vkio. Näin sdn suureen kokoniskerymäksi seurvn kuvn piirreyjen suorkulmioiden yheispin-l. Kun osvälien piuus lähesyy noll, suorkulmioiden pin-l lähesyy puolesn kuvjn lle jäävän lueen pin-l. b b Näin on pääely seurv ulos: Jkuvn posiiivisen funkion inegrli välillä [, b] vs funkion kuvjn j x-kselin väliin jäävän lueen pin-l kyseisellä välillä. Posiiivinen funkio on sellinen, jok s pelkäsään posiiivisi rvoj. Vsv ulos päisi myös negiiviselle funkiolle, eli selliselle, jok s koko jn negiivisi rvoj. Tällöin kuienkin inegrlin ulos on negiivinen, vikk pin-l ieysi on posiiivinen. Inegrlill j pin-lll on kuienkin sm lukurvo (eli iseisrvo). Jos funkio s sekä posiiivisi eä negiivisi rvoj, kummkin on käsielävä erikseen. Esimerkki 5.9. Pin-lulkin mhdollis inegrlin rvon rvioimisen kuvjn peruseell. Trkselln vielä esimerkin 5. kemiklivuoo. Oleen, eä miusulosen peruseell vuoonopeus viheli ensimmäisen vuorokuden ikn suunnilleen seurvn kuvjn mukisesi. Tehävänä on rvioid vuodon määrä (eli kerymä) ikvälillä 6 8 uni vuodon lkmises. l/h 6 5 4 3 2 vuoonopeus 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 22 24 h Olisi vike keksiä sellisen funkion luseke, jonk kuvj vsisi ilnne, joen myös inegrlifunkion luseke jää hämärän peioon. Kuvn peruseell voimme kuienkin suorn rvioid inegrlin suuruu. 4
Inegrlin suuruus välillä [6, 8] vs pin-l, jok jää uoll välillä kuvjn j x-kselin väliin. (Tässä puksess x-kseli kuv ik, joen voiisiin oikesn puhu -kselis.) Kuvs rvioiun uolle välille jää 5 kokonis ruuu (kuvss äyey pllo) j 9 osiis ruuu (yhjä pllo). Jos rvioidn kikki osiise ruudu puolikkin, sdn pin-lksi suunnilleen 5 + 9/2 20 ruuu. Jokisen ruudun vksivu puolesn vs kh uni ik-seikoll j pysysivu s lir unniss. Yhden ruudun pin-l on siis 2 h l/h = 2 l. Yheensä pin-lksi sdn rvioiu 20 ker 2 lir eli 40 lir. Inegrlin rvio voiisiin ieysi prn pljon, jos pin-l rvioiisiin rkemmin. Käyännössä ällisiss ilneiss käyeään pun ieokone, jok pysyy rvioimn pin-ln hyvinkin rksi. 42