Tehtävä 1 Vettä (10 astetta) virtaa suorassa valurautaisessa (cast iron) putkessa, jonka sisähalkaisija on 100 mm ja pituus 70 m. Tilavuusvirta on 15 litraa minuutissa. (a) Osoita, että virtaus on turbulenttia. (b) Määritä painehäviö putken matkalla. (c) Kuinka suuri suhteellinen virhe painehäviön laskennassa tehdään, jos virtaus oletetaan laminaariksi? Ratkaisu (Kappaleet 8.1.1, 8..1, 8.4.1) (a) Virtauksen luonteen määrittää putken halkaisijaan suhteutettu Reynoldsin luku Re V ν, missä V on keskimääräinen virtausnopeus putkessa, on putken halkaisija ja ν on fluidin kinemaattinen viskositeetti. Tyypillisesti oletetaan, että virtaus on laminaaria, jos Reynoldsin luku on alle 100 ja turbulenttia, jos Reynoldsin luku on yli 4000. Näiden rajojen välillä virtaus vaihtaa satunnaisesti tilaansa laminaarista turbulentiksi ja päinvastoin. Reynoldsin luku voidaan kirjoittaa tilavuusvirran avulla käyttämällä tilavuusvirran määritelmää Q V A V Q A 4Q π. Sijoittamalla tämä Reynoldsin luvun määritelmään saadaan Re 4Q πν. Sijoittamalla tähän tunnetut suureet 1 saadaan Reynoldsin luvuksi Re Virtaus on siis turbulenttia. 4 15 10 3 /60 m 3 /s π 100 10 3 m 1, 3063 10 6 m / s (b) Painehäviö putken matkalla voidaan laskea lausekkeella p f l ρv flρ 8Q π 5, 0306 0000. missä arcyn kitkahäviökerroin f saadaan esim. Moody-diagrammista. Koska virtaus on turbulenttia, tulee putkelle laskea suhteellinen pinnankarheus. Putki on valurautaa, jonka pinnankarheus on kurssimateriaalin mukaan 0, 6 mm. Suhteellinen pinnankarheus on tällöin ε 0, 6 mm 100 mm 0, 006.
Virtausmekaniikan perusteet Kierros 8 Kitkahäviökertoimen lukeminen Moody-diagrammista. Reynoldsin luvun ja suhteellisen pinnankarheuden avulla voidaan katsoa Moody-diagrammista, että kitkahäviökerroin f on noin 0, 031. Tämä on esitetty oheisessa kuvassa. Moody-laskurilla saadaan tarkemmaksi arvoksi 0, 0307. Sijoitetaan tämä ja muut tunnetut arvot painehäviön lausekkeeseen, jolloin saamme painehäviöksi 3 3 8 15 10 m /s 60 p 0, 0307 70 m 999, 7 kg/m3 760 Pa. π (100 10 3 m)5 (c) Laminaarille virtaukselle on johdettu analyyttinen tulos, jonka mukaan tilavuusvirta on π p4 Q. 18µ` Tästä voidaan ratkaista painehäviö tilavuusvirran funktiona, jolloin saadaan p 18µ`Q 18 1, 3059 10 3 70 0, 15/60 Pa 77, 6 Pa. π4 π 0, 14 Jos laskemme tämän ja turbulentin painehäviön suhteen, saamme 77, 6 0, 10 760 1 Veden kinemaattinen viskositeetti: https://wiki.anton-paar.com/en/water/ http://tinyurl.com/helppomoody
eli laminaariin oletukseen perustuva painehäviö on vain noin 10 prosenttia todellisesta painehäviöstä. Koska virtauksen luonne vaikuttaa näin voimakkaasti painehäviöön, on virtauksen luonne aina syytä tarkistaa, ellei se ole tapauksessa täysin ilmeinen. Tehtävä Vettä (0 astetta) pumpataan suureen altaaseen teräsputkistoa (commercial steel) pitkin. Paine heti pumpun jälkeen on 150 kpa (suhteellinen) ja tämä piste on 5 metriä altaan pinnan yläpuolella. Putkiston pituus pumpun jälkeen on 80 m ja halkaisija 150 mm. Putkistoon kuuluu yksi laipallinen 90 asteen mutka (regular) sekä yksi täysin avoin kulmaventtiili (angle valve). Putkiston ja altaan liitos on teräväreunainen. Mikä on tilavuusvirta putkessa? Ratkaisu (Kappale 8.5.1) Tehtävä ratkeaa soveltamalla laajennettua Bernoullin yhtälö tunnetun pisteen ja altaan pinnan välillä. Kyseessä on tyypin II ongelma, koska tilavuusvirta vaikuttaa häviöihin nopeuden kautta sekä arcyn kitkahäviökertoimeen Reynoldsin luvun kautta. Tämän vuoksi ratkaisua joudutaan etsimään iteroimalla. Tyypillisessä tavassa laajennetusta Bernoullin yhtälöstä ratkaistaan tilavuusvirta Q arcyn kitkakertoimen f funktiona. Iteroinnissa edetään tämän jälkeen siten, että annamme f:lle jonkin alkuarvauksen, josta voimme laskea vastaavan tilavuusvirran. Tämän tilavuusvirran perusteella voidaan laskea Reynoldsin luku, josta voidaan määrittää Reynoldsin lukua ja suhteellista pinnankarheutta vastaava f. Jos tämä ei ole sama kuin arvattu arvo, voidaan tätä f:n arvoa käyttää uutena arvauksena ja toistaa vaiheet. Kun arvattu ja tilavuusvirran antama f ovat samat, on löydetty tehtävän ratkaisu. Aloitetaan laajennetusta Bernoullin yhtälöstä, joka voidaan lausua muodossa p + 1 ρv + ρgz p 1 + 1 ρv 1 + ρgz 1 ρv1 K L f l ρv 1. Valitaan altaan pinta perustasoksi, jolloin koko yhtälön vasen puoli häviää (p 0, V 0, z 0) ja yhtälö yksinkertaistuu muotoon joka voidaan kirjoittaa muodossa p 1 + 1 ρv 1 + ρgz 1 ρv1 K L f l p 1 + ρgz 1 + ρv 1 ρv 1 0, ( 1 K L f l ) 0. Nopeus voidaan kirjoittaa tilavuusvirran avulla muodossa V Q A 4Q π. Sijoittamalla tämä laajennettuun Bernoullin yhtälöön saadaan ( p 1 + ρgz 1 + 8ρQ 1 K π 4 L f l ) 0.
Tästä voidaan ratkaista tilavuusvirta kitkahäviökertoimen funktiona: Q π p 1 + ρgz 1 8ρ( K L + fl/ 1). (1) Sijoitetaan tähän tunnetut arvot, jolloin saadaan Q π 0, 15 150 10 3 + 998, 9, 81 5 8 998, (0, 3 + + 1 + f 80/0, 15 1) 0, 358, 3 + 533, 3f. () Tässä on yksinkertaisuuden vuoksi luovuttu yksiköistä. Tällöin pitää vain muistaa käyttää perusyksiköitä kaikille muuttujille. Tässä tapauksessa kaava antaa tilavuusvirran kuutiometreinä sekunnissa. Iteraatiossa tarvitaan lisäksi Reynoldsin lukua ja suhteellista karheutta kitkahäviökertoimen laskemista varten. Teräksen pinnankarheus ε 0, 045 mm, jolloin suhteellinen pinnankarheus on ε 0, 045 mm 150 mm 0, 0003. Reynoldsin luku voidaan määrittää tilavuusvirran avulla, jolloin Re 4Q πν 4 π 0, 15 1, 0034 10 6 Q 8, 46 106 Q. Nyt meillä on kaikki tarvittava kasassa iterointia varten. Arvaamme siis aluksi f:lle jonkin arvon, joka antaa tilavuusvirran. Tilavuusvirran avulla voidaan laskea Reynoldsin luku, jolloin Moody-diagrammista voidaan tarkistaa kyseistä tilavuusvirtaa vastaava todellinen f. Iteraatio on esitetty oheisessa taulukossa. f Q[m 3 /s] Re f Moody 0, 01 0, 18 1, 1 10 6 0, 016 0, 016 0, 107 9, 1 10 5 0, 016 Kuten nähdään, iteraatio konvergoitui heti toisella yrityksellä. Tämä on tavallista tyypin II ongelmille, joissa edellisen iteraation tuottamaa kitkakerrointa voidaan käyttää seuraavan kierroksen arvauksena. Iteraation perusteella tilavuusvirta on noin 0, 11 m 3 /s. Tehtävä 3 Oletetaan sama asetelma kuin tehtävässä, mutta nyt paine pumpun jälkeen on 15 kpa (suhteellinen). Oletetaan lisäksi, että putken pinnankarheus on kasvanut arvoon 0, 30 mm. Mikä pitää olla putkiston halkaisija millimetrin tarkkuudella, jotta saavutetaan tilavuusvirta 0, 6 m 3 /s? Ratkaisu (Kappale 8.5.1) Tässä tapauksessa ongelmana on se, että halkaisijaa ei tiedetä, jolloin emme voi laskea Reynoldsin lukua, suhteellista pinnankarheutta emmekä putken pituutta suhteessa halkaisijaan. Tehtävä
pitää siis ratkaista iteraatiolla. Koska tehtävä on tyyppiä III ja siinä on kertahäviöitä, ei iteraatiossa voida käyttää arvattavana suureena kitkahäviökerrointa, vaan joudumme arvaamaan putken halkaisijaa. Koska asetelma on sama kuin tehtävässä, on laajennettu Bernoullin yhtälö täsmälleen samaa muotoa eli ( p 1 + ρgz 1 + 8ρQ 1 K π 4 L f l ) 0. Kirjoitetaan yhtälö nyt muotoon f l ( 1 K L ) + π 8ρQ (p 1 + ρgz 1 ) 4. Tästä voidaan ratkaista f halkaisijan funktiona: f l (1 K L ) + π 8ρlQ (p 1 + ρgz 1 ) 5. Sijoitetaan tähän tunnetut arvot, jolloin saadaan f, 745 5 0, 0875. Meillä on kaksi tuntematonta (kitkahäviökerroin ja putken halkaisija), mutta vain yksi yhtälö. Näistä kitkahäviökerroin on lisäksi funktio Reynoldsin luvusta ja suhteellisesta pinnankarheudesta, jotka ovat myös tuntemattomia. Käytännössä meillä on siis neljä tuntematonta. Tarvitsemme siis lisää yhtälöitä. Reynoldsin luku voidaan kirjoittaa halkaisijan funktiona eli Re 4Q πν 4 0, 6 m 3 /s π 1, 0034 10 6 m / s 761355, missä viimeisestä muodosta on jätetty yksiköt pois. Tämä edellyttää, että tämän jälkeen halkaisija esitetään aina metreinä. Suhteellinen pinnankarheus on myös halkaisijan funktio eli ε 3, 0 10 4 josta on myös jätetty yksiköt pois. Viimeinen riippuvuus on Moody-diagrammi (tai Colebrookin kaava), joka sitoo kitkahäviökertoimen Reynoldsin lukuun ja suhteelliseen karheuteen. Nyt voimme siis arvata halkaisijalle jonkin arvon, jolloin saamme ylläolevasta yhtälöstä kitkahäviökertoimen, joka vaadittaisiin energiatasapainoon kyseisellä halkaisijalla. Kun halkaisija on arvattu, voimme laskea toisaalta sen avulla Reynoldsin luvun ja suhteellisen pinnankarheuden ja määrittää Moody-diagrammista näitä vastaavan kitkahäviökertoimen. Jos energiatasapainon vaatima ja Moody-diagrammin antama kitkahäviökerroin eivät täsmää, on arvattu halkaisija väärä ja arvaamme uudestaan. Omat arvaukseni on esitetty oheisessa taulukossa. Alkuarvauksen olen perustanut siihen, että piirsin vaadittavan kitkahäviökertoimen halkaisijan funktiona ja valitsin halkaisijan, joka antaa suunnilleen järkevän suuruusluokan kitkahäviökertoimelle.,
[m] f Re ε/ f Moody 0, 40 0, 0166 1, 9 10 6 0, 00075 0, 0185 0, 405 0, 0183 1, 9 10 6 0, 00074 0, 0185 0, 406 0, 0186 1, 9 10 6 0, 00074 0, 0185 Viimeisellä arvauksella kitkahäviökertoimet ovat riittävän lähellä toisiaan. Näistä viimeisellä arvatulla halkaisijalla laskettu kitkahäviökerroin on lähempänä Moody-diagrammin antamaa kuin edellisellä arvauksella. Putken halkaisija on tällä arvauksella oikea noin millin tarkkuudella eli vaadittava putken halkaisija on noin 406 mm.