(b) Tunnista a-kohdassa saadusta riippuvuudesta virtausmekaniikassa yleisesti käytössä olevat dimensiottomat parametrit.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "(b) Tunnista a-kohdassa saadusta riippuvuudesta virtausmekaniikassa yleisesti käytössä olevat dimensiottomat parametrit."

Saara Kyllönen
5 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Tehtävä 1 Oletetaan, että ruiskutussuuttimen nestepisaroiden halkaisija d riippuu suuttimen halkaisijasta D, suihkun nopeudesta V sekä nesteen tiheydestä ρ, viskositeetista µ ja pintajännityksestä σ. (a) Johda pisaroiden halkaisijasuhteelle d/d dimensioton riippuvuus. Älä valitse pintajännitystä toistuvaksi muuttujaksi. (b) Tunnista a-kohdassa saadusta riippuvuudesta virtausmekaniikassa yleisesti käytössä olevat dimensiottomat parametrit. Ratkaisu (Kappaleet 7.3, 7.6) (a) Tehtävä ratkeaa systemaattisesti käyttämällä toistuvien muuttujien menetelmää, jonka vaiheet ovat seuraavat. 1. Määritetään dimensiollinen yhteys. 2. Määritetään muuttujien yksiköt ja lasketaan kuinka monta perusyksikköä tarvitaan. 3. Määritetään syntyvien Π-termien ja ei-toistuvien muuttujien lukumäärä. 4. Valitaan toistuvat muuttujat. 5. Ratkaistaan Π-termit ei-toistuvien ja toistuvien muuttujien potenssien tuloina. Kirjoitetaan annettu dimensioton riippuvuus tehtävänannon perusteella d = f(d, V, ρ, µ, σ). Muuttujia on siis yhteensä kuusi k = 6. Listataan näiden muuttujien yksiköt. d = L D = L V = LT 1 ρ = ML 3 µ = ML 1 T 1 σ = MT 2 Muuttujien esittämiseen tarvitaan siis kolmea perusyksikköä M, L ja T r = 3. Tämän seuraksena Π-termejä voidaan muodostaa k r = 3 kappaletta ja toistuvia muuttujia valitaan kolme (r = 3). Koska pisaran halkaisija on luonnollista tehdä dimensiottomaksi suuttimen halkaisijalla, on ensimmäinen dimensioton ryhmä Π 1 = d D. Tällöin on luonnollista, että yhdeksi toistuvaksi muuttujaksi valitaan halkaisija D. Kahdeksi muuksi voimme valita nopeuden V ja tiheyden ρ, joilla on varsin yksinkertaiset yksiköt.

2 Koska ensimmäinen dimensioton ryhmä d/d oli annettu jo oikeastaan tehtävänannossa, voidaan seuraavaksi ratkaista toinen dimensioton ryhmä. Toinen ei-toistuva muuttuja on µ. Etsitään siis potenssit a, b ja c, joilla µ D a V b ρ c = M 0 L 0 T 0. ML 1 T 1 (L) a (LT 1 ) b (ML 3 ) c = M 0 L 0 T 0 M 1+c L 1+a+b 3c T 1 b = M 0 L 0 T c = a + b 3c = 0 1 b = 0 Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan c = 1 ja viimeisestä b = 1. Sijoittamalla nämä keskimmäiseen a = = 1. Π 2 = µ ρv D. Kolmas ryhmä saadaan vastaavasti. Viimeinen ei-toistuva muuttuja on σ. Tässä tapauksessa σ D a V b ρ c = M 0 L 0 T 0. MT 2 (L) a (LT 1 ) b (ML 3 ) c = M 0 L 0 T 0 M 1+c L a+b 3c T 2 b = M 0 L 0 T c = 0 a + b 3c = 0 2 b = 0 Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan c = 1 ja viimeisestä b = 2. Sijoittamalla nämä keskimmäiseen a = 2 3 = 1. Kysytty dimensioton riippuvuus on siis Π 3 = σ ρv 2 D. d D = φ( µ ρv D, σ ρv 2 D )

3 (b) Tarkastelemalla a-kohdan dimensiottomia ryhmiä ja vertaamalla näitä yleisesti käytettyihin dimensiottomiin parametreihin huomataan, että Π 2 = µ ρv D = 1 Re, Π 3 = σ ρv 2 D = 1 We ryhmissä esiintyvät Reynoldsin ja Weberin luvut. Reynoldsin luku on tyypillinen tilanteissa, joissa viskositeetilla on merkitystä ja Weberin luku tilanteissa, joissa pintajännityksellä on merkitystä. Tehtävä 2 Oletetaan, että auton vastus D riippuu ilman tiheydestä ρ, viskositeetista µ, auton nopeudesta V ja auton otsapinta-alasta A. (a) Määritä vastukselle dimensioton riippuvuus. (b) Jos auton nopeus on 50 km/h, millä nopeudella auton mallia pitää testata tuulitunnssa samassa paineessa ja lämpötilassa, jos mallin mittakaava on 1 : 5? (c) Jos mallin vastus tuulitunnssa on 350 N, mikä on vastaavasti täysikokoisen auton vastus? Ratkaisu (Kappaleet 7.3, 7.8) (a) Kirjoitetaan annettu dimensioton riippuvuus tehtävänannon perusteella D = f(ρ, µ, V, A) Muuttujia on siis yhteensä viisi k = 5. Listataan näiden muuttujien yksiköt. D = MLT 2 ρ = ML 3 µ = ML 1 T 1 V = LT 1 A = L 2 Muuttujien esittämiseen tarvitaan siis kolmea perusyksikköä M, L ja T r = 3. Tämän seuraksena Π-termejä voidaan muodostaa k r = 2 kappaletta ja toistuvia muuttujia valitaan kolme (r = 3). Valitaan toistuviksi muuttujiksi ρ, V ja A. Ensimmäinen ei-toistuva muuttuja on stettävä muuttuja vastus D. Etsitään potenssit a, b ja c, joilla D ρ a V b A c = M 0 L 0 T 0. MLT 2 (ML 3 ) a (LT 1 ) b (L 2 ) c = M 0 L 0 T 0

4 M 1+a L 1 3a+b+2c T 2 b = M 0 L 0 T a = 0 1 3a + b + 2c = 0 2 b = 0 Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan a = 1 ja viimeisestä b = 2. Sijoittamalla nämä keskimmäiseen c = = 1. 2 Π 1 = D ρv 2 A. Toinen ei-toistuva muuttuja on viskositeetti µ. Etsitään potenssit a, b ja c, joilla µ ρ a V b A c = M 0 L 0 T 0. ML 1 T 1 (ML 3 ) a (LT 1 ) b (L 2 ) c = M 0 L 0 T 0 M 1+a L 1 3a+b+2c T 1 b = M 0 L 0 T a = 0 1 3a + b + 2c = 0 1 b = 0 Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan a = 1 ja viimeisestä b = 1. Sijoittamalla nämä keskimmäiseen c = = Π 2 = µ ρv A = 1 Re. Tämä on siis Reynoldsin luvun käänteisluku, jossa referenssipituus on laskettu pinta-alan nöjuuresta. Dimensioton yhteys on luonnollisempaa kirjoittaa suoraan Reynoldsin luvun funktiona (muista, että dimensiottomista ryhmistä voi ottaa käänteislukuja ja kertoa keskenään, koska myös syntyvä ryhmä on dimensioton) D A ρv 2 A = φ(ρv ) = φ(re). µ

5 (b) Jotta tulokset olisivat similaarisia, tulee a-kohdan dimensiottoman yhteyden mukaan Reynoldsin luvun pysyä samana. Tällöin siis Re p = Re m, missä alaindeksit p ja m viittavat prototyyppiin (auto) ja malliin. Tällöin siis Am ρ p V p Ap = ρ mv m. µ p µ m Tästä seuraa, että V m = ρ p µ m Ap V p. ρ m µ p Am Koska lämpötila ja paine eivät muutu, ovat aineominaisuudet samat, jolloin saamme Ap V m = V p = 5V p = 5 50 km Am h = 250 km h. (c) Jos Reynoldin luvut ovat samat, on tällöin a-kohdan dimensiottoman yhteyden mukaan myös dimensioton vastuskerroin sama D p = D m. ρ p Vp 2 A p ρ m VmA 2 m Tästä saadaan auton vastukseksi Edellisen kohdan perusteella voidaan kirjoittaa D p = ρ p Vp 2 A p D m. ρ m A m V 2 m D p = V p 2 A p D Vm 2 m = 1 A m N = 350 N. Mitattu vastus vastaa siis suoraan auton vastusta. Vaikka auton otsapinta-ala on huomattavasti suurempi, kompensoi tätä se, että auton nopeus on huomattavasti pienempi. Tehtävä 3 Painehäviö ilman virratessa erään suodatinmateriaalin läpi riippuu tilavuusvirrasta Q, ilman tiheydestä ρ sekä suodattimen paksuudesta H ja huokoisuudesta f (kuinka suuri prosentuaalinen osuus suodattimen tilavuudesta ei sisällä suodattimen kuituja). Suodattimelle, jonka paksuus on 3 cm ja huokoisuus 45 prosenttia on saatu 20 asteen lämpötilassa ja ilmakehän paineessa seuraavat mittaustulokset. Q, m 3 /s 0,094 0,189 0,283 0,378 0,472 0,566 p, Pa (a) Johda suodattimen painehäviölle dimensioton yhteys siten, että huokoisuus on yksi dimensioton sttävä muuttuja. (b) Määritä painehäviö samalle suodatinmateriaalille, jos suodattimen paksuus on 6 cm ja tilavuusvirta on 0, 35 m 3 /s.

6 Ratkaisu (Kappaleet 7.3, 7.7) (a) Kirjoitetaan annettu dimensioton riippuvuus tehtävänannon perusteella p = f(q, ρ, H, f) Muuttujia on siis yhteensä viisi k = 5. Listataan näiden muuttujien yksiköt. p = ML 1 T 2 Q = L 3 T 1 ρ = ML 3 H = L f = 1 Muuttujien esittämiseen tarvitaan siis kolmea perusyksikköä M, L ja T r = 3. Tämän seuraksena Π-termejä voidaan muodostaa k r = 2 kappaletta ja toistuvia muuttujia valitaan kolme (r = 3). Valitaan toistuviksi muuttujiksi Q, ρ ja H. Huokoisuutta ei voida valita toistuvaksi muuttujaksi, koska sillä ei ole yksiköitä. Se on jo siis valmiiksi dimensioton ja muodostaa tehtävänannon mukaisesti yhden dimensiottoman muuttujan. Ainoa ei-toistuva muuttuja on stettävä muuttuja vastus p. Etsitään potenssit a, b ja c, joilla p Q a ρ b H c = M 0 L 0 T 0. ML 1 T 2 (L 3 T 1 ) a (ML 3 ) b (L) c = M 0 L 0 T 0 M 1+b L 1+3a 3b+c T 2 a = M 0 L 0 T b = a 3b + c = 0 2 a = 0 Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan b = 1 ja viimeisestä a = 2. Sijoittamalla nämä keskimmäiseen c = = 4. Dimensioton yhteys on siis Π 1 = ph4 ρq 2. ph 4 ρq 2 = φ(f).

7 (b) Edellisessä kohdassa saadusta dimensiottomasta yhteydestä nähdään, että dimensioton painehäviökerroin ei muutu, jos suodattimen huokoisuus pidetään vakiona. Nyt molemmissa tehtävän tilanteissa huokoisuus on sama, joten uuden tilanteen painehäviö voitaisiin määrittää yhden mittaustuloksen perusteella voisimme kirjoittaa suoraan p 1 H 4 1 ρ 1 Q 2 1 = p 2H 4 2 ρ 2 Q 2 2. (1) Koska mittauksia on kuitenkin suoritettu useita, on järkevää hyödyntää kaikkia mittauksia mittausepävarmuuden pienentämiseksi. Taulukoidaan siis dimensioton painehäviökerroin mitatuissa tapauksissa. Tämä on esitetty oheisessa taulukossa (ρ = 1, 204 kg/m 3 ). Kuten taulukosta Q, m 3 /s 0,094 0,189 0,283 0,378 0,472 0,566 p, Pa ph 4 /(ρq 2 ) 0, , , , , ,00586 nähdään, on dimensioton painehäviö käytännössä vakio. Laskemalla keskiarvo ja keskihajonta eri mittauksista saadaan dimensiottomaksi painehäviöksi 0, ± 0, Nyt voidaan kirjoittaa uudelle tilanteelle p 0, 06 4 m 4 0, , 204 0, 352 = 0, = p = Pa 66 Pa. 1, 204 kg/m 3 0, 35 2 m 6 /s2 0, 06 4

Samankaltaiset tiedostot

(c) Kuinka suuri suhteellinen virhe painehäviön laskennassa tehdään, jos virtaus oletetaan laminaariksi?

(c) Kuinka suuri suhteellinen virhe painehäviön laskennassa tehdään, jos virtaus oletetaan laminaariksi? Tehtävä 1 Vettä (10 astetta) virtaa suorassa valurautaisessa (cast iron) putkessa, jonka sisähalkaisija on 100 mm ja pituus 70 m. Tilavuusvirta on 15 litraa minuutissa. (a) Osoita, että virtaus on turbulenttia.