9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

Transkriptio

1 9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

2 Päivän anti Miten ja millä edellytyksillä virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa? Motivointi: Navier-Stokes yhtälöiden ratkaiseminen on erittäin raskasta ja useissa käytännön tilanteissa riittävään tarkkuuteen päästään huomattavasti yksinkertaisemmalla virtausmallilla. Yksinkertaistettu malli paljastaa myös usein huomattavasti enemmän virtausongelman keskeisistä riippuvuuksista. Young et al, kappaleet

3 Osaamistavoitteet Käyttää potentiaali- ja virtafunktiota virtauksen kuvaamiseen. Selittää, mihin oletuksiin näiden funktioiden käyttö perustuu.

4 Miten voimme perustella virtausyhtälöiden yksinkertaistamista?

5 Miten voimme perustella virtausyhtälöiden yksinkertaistamista? Esimerkki: siipiprofiili Van Dyke (1988), An Album of Fluid Motion

6 Miten yhtälöt yksinkertaistuvat kitkattomalla virtauksella?

7 Miten yhtälöt yksinkertaistuvat kitkattomalla virtauksella? 0 Eulerin yhtälöt

8 Mitä saimme aiemmin kitkattomassa tapauksessa? Luento 2 (Bernoullin yhtälö) Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5th edition

9 Eikö Eulerista pitäisi saada sama virtaviivalla?

10 Miten Eulerin yhtälö voidaan kirjoittaa toisin?

11 Mitä saamme integroimalla virtaviivaa pitkin? 0, tarkastellaan ajasta riippumatonta tapausta

12 Mitä saamme integroimalla virtaviivaa pitkin? Bernoullin yhtälö Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5th edition

13 Miten virtausongelma yksinkertaistuu, jos oletamme lisäksi pyörteettömyyden?

14 Miten virtausongelma yksinkertaistuu, jos oletamme lisäksi pyörteettömyyden? Nopeuspotentiaali

15 Mikä on potentiaalifunktion tapauksessa vallitseva yhtälö?

16 Mistä saamme yhtälön potentiaalifunktiolle? Nopeuspotentiaali Laplace-yhtälö Jatkuvuusyhtälö

17 Miten potentiaali- ja virtafunktio liittyvät toisiinsa?

18 Mistä saamme yhtälön virtafunktiolle? Virtafunktio Pyörteettömyys Laplace-yhtälö

19 Miten funktiot liittyvät toisiinsa? Potentialifunktio (aina pyörteetön) Virtafunktio (aina massan säilyminen) Jatkuvuusyhtälö Pyörteettömyys

20 Miten funktiot liittyvät toisiinsa? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5th edition

21 Esimerkki: potentiaali- ja virtafunktio Prob = vakio Erään kaksiulotteisen virtauksen virtafunktio on = 5x2y (5/3)y3 Määritä tätä vastaava potentiaalifunktio. Vastaus: = (5/3)x3 5xy2 + C Virtaviiva, = vakio

22 Miten Bernoullin yhtälö muuttuu pyörteettömässä tapauksessa?

23 Miten Bernoullin yhtälö muuttuu pyörteettömässä tapauksessa? 0, ajasta riippumaton 0, pyörteetön mielivaltainen siirtymä

24 Miten Bernoullin yhtälö muuttuu pyörteettömässä tapauksessa? Bernoullin yhtälö

25 Esimerkki: Bernoullin yhtälö ja potentiaalivirtaus Prob Eräs kitkaton, kokoonpuristumaton virtaus on kuvattu potentiaalifunktiolla = 2x2y (2/3)y3, jossa :n yksiköt ovat m2/s, kun x ja y ovat metreissä. Määritä paine pisteessä x = 2 m, y = 2 m, kun paine pisteessä x = 1 m, y = 1 m on 200 kpa. Korkeuseroja ei tarvitse huomioida ja fluidi on vettä. Vastaus: 80 kpa

26 Miten tilanne muuttuu sylinterikoordinaatistossa?

27 Miten tilanne muuttuu sylinterikoordinaatistossa? Laplacen yhtälö

28 Miten tilanne muuttuu sylinterikoordinaatistossa? Potentiaalifunktio Virtafunktio

29 Mitä opimme?

30 Päivän anti Miten ja millä edellytyksillä virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa?

31 Seuraavaksi kerraksi Torstain luennon aiheena: Potentiaaliteorian perusratkaisut ja superponointi, Young et al (2012): Miten potentiaaliteoriaa voidaan soveltaa virtausongelmien ratkaisemiseen? Motivointi: yhdistelemällä potentiaaliteorian perusratkaisuja tai näiden jakaumia voidaan hyvin nopeasti kuvata riittävällä tarkkuudella useita käytännön virtaustilanteita, millä on suuri merkitys esimerkiksi suunnittelussa ja optimoinnissa