4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

Transkriptio

1 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on 1 x + 1 x 3 x. Muodostetaan yhtälö neliöiden pintaalojen summalle ja ratkaistaan siitä 4 4 x. 3 x + x x + x x + x x 100 : x 5 x 64 Ratkaistaan kokeilemalla, mikä luku kerrottuna itsellään on 64. x x x x Taulukosta huomataan, että x 8 on yhtälön x 64 ratkaisu.

2 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Isomman neliön sivun pituus on 8 kyynärää ja pienemmän neliön kyynärää. 4 8 Vastaus: 8 kyynärää ja 6 kyynärää. Jos henkilön ikä on x vuotta, silloin vuosi on x. Taulukoidaan iän ja vuosien arvoja. ikä x vuosi x Taulukosta huomataan, että tällä hetkellä elävien joukossa voi olla vain henkilö, joka täyttää 45 vuotta vuonna 05 ja hän on syntynyt vuonna Vastaus: vuonna 1980

3 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Neliöjuuri ja neliöyhtälö ALOITA PERUSTEISTA 401. Vastaus: Neliön pinta-ala Neliön sivun pituus a) Luvussa 45 kg ei ole nollia, joten kaikki numerot ovat merkitseviä. Vastaus: b) Luku m on kokonaisluku, joten kaikki muut numerot ovat merkitseviä, paitsi kokonaisluvun lopussa olevat nollat. Vastaus: c) Luku 53,0 cm on desimaaliluku, joten myös luvun lopussa oleva nolla on merkitsevä. Vastaus: 3 d) Luku 0,1 s on desimaaliluku, joten merkitseviä numeroita ovat nollan jälkeen tulevat numerot. Vastaus: e) Luku 0,060 g on desimaaliluku, joten merkitseviä numeroita ovat kaikki muut numerot, paitsi luvun alussa olevat nollat. Vastaus: 3

4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 36 6, koska 6 36 ja 6 0. Vastaus: 6 b) 64 8, koska 8 64 ja 8 0. Vastaus: 8 c) koska ja Vastaus: 10 d) 49 ei ole määritelty, sillä minkään reaaliluvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ole reaaliluku 404. a) x 49 x 49 tai x 49 x 7 tai x 7 Vastaus: x ±7 b) x 1 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään reaaliluvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua c) x x 100 x 100 x 100 tai x 100 x 10 tai x 10 Vastaus: x ±10 d) x 7 x 7 tai x 7 Vastaus: x ± 7

5 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x x 36 x ± 36 x ±6 Vastaus: x ±6 b) x : 8 x 16 x ± 16 x ±4 Vastaus: x ±4 c) 4x x 36 : 4 x 9 x ± 9 x ±3 Vastaus: x ± a) Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö neliön pinta-alalle ja ratkaistaan siitä x. x x 31 x 31 x ± 31 x ±5,567 x ± 5,6 A 31 m x x Neliön sivun pituus ei voi olla negatiivinen, joten vain positiivinen ratkaisu kelpaa. Vastaus: Sivun pituus on 5,6 metriä. b) Lasketaan neliön piiri. x + x + x + x 4x 4 31,71... Vastaus: Köyttä tarvitaan metriä.

6 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTA OSAAMISTA 407. a) 350 m 47 m m Molemmissa lähtöarvoissa on kaksi merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus: m b) 3 6,9 m,41 m, m Epätarkimmassa lähtöarvossa on kaksi merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus:,9 m c) 0,65 s 8,401 m s 5,5065 m Epätarkimmassa lähtöarvossa on kolme merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kolmen merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus: 5,5 m d),60 m 3,9 m 8,554 m 3 Molemmissa lähtöarvoissa on kolme merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kolmen merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus: 8,55 m 3

7 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 5 5 Vastaus: 5 b) 49 7 Vastaus: 7 c) Vastaus: 8 d) Vastaus: 3

8 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juurrettava luku luetaan y-akselilta ja tätä vastaava neliöjuuren arvo x- akselilta. Kun juurrettava on 3, luvun 3 neliöjuuri 3 on noin 1,73. Kun juurrettava on 7, luvun 7 neliöjuuri 7 on noin,65. Vastaus: 3 1,73ja 7,65

9 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 4x 100 : 4 x 5 x 5 tai x 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x ±5 b) 3y y 15 : 3 y 5 y ± 5 Vastaus: y ± 5 c) 6z z 0 : 6 z 0 Vastaus: z 0 d) 18 + x 0 x 18 : x 9 Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua

10 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 100x x 99x 0 : 99 x 0 x 0 Vastaus: x 0 b) x + 1 x + x x 1 x 1 tai x 1 x 1 tai x 1 Vastaus: x ± c) x + 0 x x 81 : ( 1) x 81 x 81 tai x 81 x 9 tai x 9 Vastaus: x ±9 d) (x + 1)(x 3) x(x 1) + 3x 19 x 3x + x 3 x x + 3x 19 x x 3 5x x 19 4x 16 : ( 4) x 4 x 4 tai x 4 x tai x Vastaus: x ±

11 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se. 4x x 0 : 4 x 0 x 0 Vastaus: x 0 b) 4x x 100 : 4 x 5 x 5 tai x 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x ±5 c) 4x x : 4 x 4 Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei millään d) 4x x 8 : 4 x x ± Vastaus: x ±

12 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f(x) 3x + 75 f( 3) 3 ( 3) Vastaus: f ( 3) 48 b) f(x) 3x + 75 f(x) 63, kun 3x x 1 : ( 3) x 4 x 4 tai x 4 x tai x Vastaus: x ± c) Nollakohdassa funktio f(x) 3x + 75 saa arvon nolla. f(x) 0, kun 3x x 75 : ( 3) x 5 x 5 tai x 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x ±5

13 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöllä a x on juuri x 8, joten x 8 toteuttaa yhtälön. Sijoitetaan x 8 yhtälöön ja ratkaistaan a. a x a a 576 : a 64 a 9 a 9 tai a 9 a 3 tai a 3 Sijoitetaan a 3 alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan se. a x x x 576 : x 9 x 64 x 64 tai x 64 x 8 tai x 8 Yhtälön toinen juuri on x 8. Sijoitetaan a 3 alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan se. a x ( 3) x x 576 Huomataan, että yhtälö on sama kuin edellä, joten sen ratkaisut ovat samat. Yhtälön toinen juuri on x 8. Vastaus: a 3 tai a 3, x 8

14 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kokeillaan eri lukuja, joista toinen on neljä kertaa suurempi kuin toinen. Taulukoidaan tulokset: Lapsen ikä (vuotta) Äidin ikä (vuotta) Ikien tulo ei kelpaa ei kelpaa ei kelpaa ei kelpaa ei kelpaa kelpaa Vastaus: Lapsi on 6-vuotias ja äiti on 4-vuotias b) Merkitään lapsen ikää kirjaimella x. Tällöin äidin ikä on 4x. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö, kun tiedetään, että ikien tulo on 144. x 4x 144 4x 144 : 4 x 36 x 36 tai x 36 x 6 tai x 6 Yhtälön ratkaisuista x 6 hylätään, koska ikä on aina positiivinen luku. Lapsen ikä on 6 vuotta ja äiti on 4x vuotta. Vastaus:

15 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään mainostaulun korkeutta kirjaimella x. Tällöin sen leveys on 0x. Muodostetaan yhtälö suorakulmion pinta-alalle, kun suorakulmion pintaala on leveyden ja korkeuden tulo. Ratkaistaan tästä yhtälöstä x. 0x x 880 0x 880 : 0 x 144 x 144 tai x 144 x 1 tai x 1 Yhtälön ratkaisuista x 1 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Suorakulmion korkeus on siis 1 metriä ja leveys 0x metriä. Vastaus: korkeus 1 m ja leveys 40 m

16 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään uima-altaan sädettä kirjaimella r. Muodostetaan yhtälö ympyrän pinta-alalle ja ratkaistaan siitä säde r. πr 5, 5, r π 5, r ± π r ±1,87 : π Yhtälön ratkaisuista r 1,87 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Uima-altaan säde on siis 1,87 metriä ja halkaisija r 1,87,574 metriä. Parvekkeen mitat ovat,7 metriä ja 6, metriä. Koska altaan halkaisija on pienempi kuin parvekkeen sivun pituus, uima-allas mahtuu parvekkeelle. Vastaus: Mahtuu.

17 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 418. a) (x 3) 3(4 x) 0 (x 3)(x 3) ( x) 0 x 3x 3x x 0 x 3 0 x 3 x 3 tai x 3 b) Vastaus: x ± 3 ) 3) x 5 6) 1 + x x 15 1x x x x 14 : ( 10) ( 14 x 10 7 x 5 x ± 7 5 Vastaus: x ± 7 5

18 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan H 50 kovuuden kaavaan H sin68 d H sin68 d sin68 50 d d 50d sin 68 : 50 d sin68 50 d ± sin68 50 d ± 0,193 ja ratkaistaan d. Yhtälön ratkaisuista d 0,193 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Sijoitetaan H 15 kovuuden kaavaan H sin68 d H sin68 d sin68 15 d d 15d sin 68 : 15 d sin68 15 d ± sin68 15 d ± 0,1 ja ratkaistaan d. Yhtälön ratkaisuista d 0,1 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Kullan raaputussyvyys on 0,19 mm ja platinan raaputussyvyys on 0,1 mm. Vastaus: d(kulta) 0,19 mm ja d(platina) 0,1 mm

19 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöllä (x + 1)3 a ( x + 3) on juuri x 1. Sijoitetaan x 1 tähän 4 yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakio a. 1 (( 1) + 1)3 a (( 1) + 3) a 4 4 9a 1 :9 1 a 9 1 a ± 9 1 a ± 3 1 Sijoitetaan a ± alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan siitä muuttuja x (x + 1) 3 ± ( x + 3) (x + 1) 3 x (x + 1) x ) 4) 3) 3) x + x x + x x + 4 3x + 9 5x 5 : 5 x 1 x ±1 Toinen juuri on x Vastaus: a tai a, x 1 3 3

20 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan L 5 (jalkaa) runkonopeuden kaavaan v 1,34 L ja ratkaistaan yhtälöstä nopeus v. v 1,34 L v 1,34 5 v 44,89 v ± 44,89 v ±6,7 Yhtälön ratkaisuista v 6,7 hylätään, koska nopeus on positiivinen luku. Runkonopeus on 6,7 1,85 1,41 (km/h) Vastaus: Nopeus on 6,7 solmua 1,4 km/h. 4. Merkitään lyhyempää kateettia kirjaimella x. Tällöin pidempi kateetti on 3x. Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alalle ja ratkaistaan siitä x. ah A x 3x 40 3x 480 : 3 x 160 x ± 160 x ±1,649 3x x y Yhtälön ratkaisuista x 1,649 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Kateettien pituudet ovat siis 160 ja metriä.

21 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään kolmion hypotenuusaa kirjaimella y ja ratkaistaan sen pituus Pythagoraan lauseella (hypotenuusa kateetti + kateetti ). y ( 160) ( 3 160) + y y 1600 y ± 1600 y ±40 Yhtälön ratkaisuista y 40 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Kolmion piiri on x + 3x + y metriä. Aitaa tarvitaan noin 91 metriä. Vastaus: 91 metriä

22 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan h 1000 (m) ja g 9,81 (m/s ) aallon nopeuden laskukaavaan v gh ja ratkaistaan siitä v. v gh v 9, v ± 9, v ± 9810 v ±99,0 Tässä tilanteessa vain positiivinen nopeus v 99,0 kelpaa. Sijoitetaan h 4000 (m) ja g 9,81 (m/s ) aallon nopeuden laskukaavaan v gh ja ratkaistaan siitä v. v gh v 9, v ± 9, v ± 3940 v ±198,1 Tässä tilanteessa vain positiivinen nopeus v 198,1 kelpaa. Kun meren syvyys kasvaa nelinkertaiseksi, niin aallon nopeus muuttuu kertaiseksi. Vastaus: Nopeudet ovat 99 m/s ja 198 m/s. Ei kasva.

23 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava ALOITA PERUSTEISTA 44. a) 3x 4x + 0 toisen asteen termin kerroin a 3 ensimmäisen asteen termin kerroin b 4 vakiotermi c Vastaus: a 3, b 4 ja c b) x x 5 0 x + x 5 0 toisen asteen termin kerroin a 1 ensimmäisen asteen termin kerroin b 1 vakiotermi c 5 Vastaus: a 1, b 1 ja c 5 c) x toisen asteen termin kerroin a ensimmäisen asteen termin kerroin b 0 vakiotermi c 8 Vastaus: a, b 0 ja c a) Kuvaajan perusteella funktion nollakohdat ovat x 1 ja x. Vastaus: x 1 ja x b) Nollakohdassa funktio saa arvon nolla, eli ratkaistiin yhtälö x x 0. Vastaus: x x 0 c) Lasketaan funktion arvot f( 1) ja f(). f( 1) ( 1) ( 1) f() 4 0 Vastaus: f( 1) 0 ja f() 0

24 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x + 3x 4 0 a 1, b 3, c 4 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. ( ) 3± x 1 3± 5 3± 5 ja Yhtälön ratkaisut ovat 3+ 5 x 1 tai x 4. Vastaus: x 1 tai x 4 b) x 5x a 1, b 5, c 6 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. ( ) ( ) 5 ± x 1 5± 1 5± 1 ja Yhtälön ratkaisut ovat x 3 tai x. Vastaus: x 3 tai x

25 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktion nollakohdassa funktio saa arvon nolla, joten ratkaistaan yhtälö x 6 + x 0. x + x 6 0 a 1, b 1, c 6 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. 1± 1 41( 6) x 1 1± ± 5 1± 5 ja Funktion nollakohdat ovat x tai x 3. Tarkistus: Piirretään funktion f(x) x + x 6 kuvaaja ja luetaan kuvaajasta funktion nollakohdat. Nollakohdat ovat x 3 ja x. Vastaus: x tai x 3

26 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) x 9x 0 a 1, b 9, c 0 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. ( ) ( ) 9 ± x 1 9± 81 9± 9 ja Funktion nollakohdat ovat x 9 tai x 0. Tarkistus: Piirretään funktion f(x) x 9x kuvaaja ja luetaan kuvaajasta funktion nollakohdat. Nollakohdat ovat x 9 ja x 0. Vastaus: x 9 tai x 0

27 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) 3x 3 0 3x 3 : 3 x 1 x ±1 Tarkistus: Piirretään funktion f(x) 3x 3 kuvaaja ja luetaan kuvaajasta funktion nollakohdat. Nollakohdat ovat x 1 ja x 1. Vastaus: x ±1

28 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x + 1 5x x 4x +5x a 4, b 5, c 1 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. 5± x 4 5± ± 9 8 5± 3 8 Yhtälön ratkaisut ovat x tai x Vastaus: x 1 tai 1 x 4

29 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) 1+ x 3(x +1) 1 + x 3x + 3 x 3x 4 0 a 1, b 3, c 4 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 4) x 1 3± ± 5 3± 5 Yhtälön ratkaisut ovat x 4 tai 3 5 x 1. Vastaus: x 4 tai x 1

30 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään huoneen leveyttä kirjaimella x. Tällöin huoneen pituus on x +. Muodostetaan yhtälö suorakulmion pinta-alalle ja ratkaistaan siitä x. x (x + ) 1 x + x 1 0 a 1, b, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ± 4 1 ( 1) x 1 ± 88 Yhtälön ratkaisut ovat + 88 x 3,69 tai b± b 4ac x ja sievennetään a 88 x 5,69. Yhtälön ratkaisuista x 5,69 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Huoneen leveys on siis noin 3,7 metriä ja pituus on x + 3,69 + 5,7 metriä. Vastaus: pituus 5,7 m ja leveys 3,7 m

31 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTA OSAAMISTA 430. a) 4x + 6x 8 0 : x + 3x 14 0 a, b 3, c 14 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a 3 ± 3 4 ( 14) x 3 ± ± 11 4 Yhtälön ratkaisut ovat x tai 4 4 ( x. 4 4 Vastaus: x tai x 7

32 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) 0,1x 1,5 0,x 10 x 15 x x + x 15 0 a 1, b, c 15 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ± 4 1 ( 15) x 1 ± 64 ± 8 Yhtälön ratkaisut ovat x 3 tai 8 10 x 5. Vastaus: x 3 tai x 5

33 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x 3(x x ) x 3x 3x 3x x 0 a 3, b 1, c 0 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( 1) ± x 3 1± 1 6 1± 1 6 Yhtälön ratkaisut ovat ( x tai x Tarkistus: 1 Lasketaan yhtälön vasemman ja oikean puolen arvo, kun x. 3 1 vasen puoli: 3 3 3) ( oikea puoli: Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x on yhtälön 3 ratkaisu. Lasketaan yhtälön vasemman ja oikean puolen arvo, kun x 0. vasen puoli: 0 0 oikea puoli: 3 (0 0 ) 0 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x 0 on yhtälön ratkaisu.

34 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: x tai x 0 3 b) (x )(x + ) 8 x + 4x x 44 8 x 18x 7 0 : x 9x 36 0 a 1, b 9, c 36 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( 9) ( 9) 4 1 ( 36) ± x 1 9 ± 5 9± 15 Yhtälön ratkaisut ovat x 1 tai x 3. Tarkistus: Lasketaan yhtälön vasemman puolen arvo, kun x 1. vasen puoli: ( 1 )(1 + ) (4 ) oikea puoli: 8 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x 1 on yhtälön ratkaisu. Lasketaan yhtälön vasemman puolen arvo, kun x 3. vasen puoli: ( ( 3) )( 3 + ) ( 6 )( 1) 8 ( 1) 8 oikea puoli: 8 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x 3 on yhtälön ratkaisu.

35 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: x 3 tai x Ratkaistaan yhtälöt x + ja 3x 7x x asteen yhtälö x 1 : x 3 3x 7x 0 0. asteen yhtälö a 3, b 7, c 0 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja sievennetään a lauseke. ( 7) ± ( 7) 4 3 ( 0) x 3 7± ± 17 6 ( x 4 tai x Vastaus: sama ratkaisu 5 x 3

36 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Muodostetaan yhtälö funktion arvolle ja ratkaistaan siitä x. 3x + 15x 18 3x + 15x : 3 x + 5x a 1, b 5, c 6 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) ( ) 5± x 1 5± 49 5± 7 Yhtälön ratkaisut ovat 5+ 7 x 1 tai x 6. Vastaus: x 1 tai x 6

37 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälöstä f(x) 0. 3x + 15x 0 : 3 x + 5x 0 a 1, b 5, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) ( ) 5± x 1 5± 5 5± 5 Funktion nollakohdat ovat x 0 Vastaus: x 0 tai x 5 tai x 5.

38 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) P(x) Q(x) 4x + 7x + 8 5x x 7 x + 8x a 1, b 8, c 15 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a 8± x 1 8± 4 8± Yhtälön ratkaisut ovat 8+ 6 x 3 tai 8 10 x 5. Vastaus: x 5 tai x 3

39 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) P(x) Q(x) 8 4x + 7x + 8 ( 5x x 7) 8 4x + 7x x + x x + 8x a 1, b 8, c 7 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a 8± x 1 8± 36 8± 6 Yhtälön ratkaisut ovat 8+ 6 x 1 tai x 7. Vastaus: x 7 tai x 1

40 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 1 1 x + x x + x 0 a 1, b 1, c 0 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( ) ( ) 1± x 1 1± 1 1± 1 Yhtälön ratkaisut ovat x 0 Vastaus: x 0 tai x 1 tai 1 1 x 1. b) 3y 18y 15 0 : ( 3) y + 6y a 1, b 6, c 5 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. 6± y 1 6± 16 6± 4 Yhtälön ratkaisut ovat 6+ 4 y 1 tai Vastaus: y 1 tai y y 5.

41 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) 0,001z + 0,00z 0, z + z 1 z + z 1 0 a 1, b, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) ( ) ( ) ± z 1 ± 0 ± 0 1 Vastaus: z 1

42 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan a 0,001 yhtälöön 4x 4ax 3a 0. 4x 4 0,001x 3 0, x 0,004x 0, x 4x 0,003 0 a 4000, b 4, c 0,003 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a ( 4) ( 4) ( 0,003) ± x ± ± Yhtälön ratkaisut ovat x 0, tai x 0, Vastaus: x 0,0015 tai x 0, Toisen asteen yhtälössä muuttujan x suurin eksponentti on kaksi. Esimerkiksi yhtälö x 1 toteuttaa tehtävän ehdot, sillä sen ratkaisut ovat x ± 1 ± 1. Vastaus: Esimerkiksi x 1, jonka ratkaisut ovat x ±1.

43 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 5x + x 3 0 a 5, b, c 3 Sijoitetaan kertoimet a, b ja c diskriminantin lausekkeeseen D b 4ac. D 4 5 ( 3) Koska D > 0, yhtälöllä 5x + x 3 0 on kaksi ratkaisua. Vastaus: 64, kaksi ratkaisua b) Funktiolla f(x) x + x + t on täsmälleen yksi nollakohta, jos yhtälön x + x + t 0 diskriminantti on nolla. b 4ac 0 a 1, b, c t 4 ( 1) t t 0 4t 4 : 4 t 1 Vastaus: t 1

44 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään lukua kirjaimella x. Tällöin sen neliö on x ja neliön puolikas x on. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x x x x x 0 a 1, b, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ( ) ( ) ± x 1 ± 4 ± Yhtälön ratkaisut ovat + 4 x tai b± b 4ac x ja sievennetään a 0 x 0. Vastaus: Luku on 0 tai.

45 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään lyhyemmän kateetin pituutta kirjaimella x. Tällöin pidemmän kateetin pituus on x + 4. Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alalle kaavan ah A mukaan ja ratkaistaan yhtälöstä x. x( x+ 4) 10,5 x (x + 4) 1 x + 4x 1 x + 4x 1 0 a 1, b 4, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a ( ) 4± x 1 4 ± 100 4± 10 Yhtälön ratkaisut ovat x 3 tai x 7. Yhtälön ratkaisuista x 7 hylätään, sillä pituus on aina positiivinen. Lyhyemmän kateetin pituus on siis 3 mm ja pidemmän kateetin pituus on x mm. Vastaus: Kateettien pituudet ovat 3 mm ja 7 mm.

46 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koiran hypyn yhtälö on y 0,90x +,x, missä y on hypyn korkeus ja x koiran vaakasuuntainen etäisyys ponnistuspisteestä. Hypyn pituus on ponnistuskohdan ja hypyn alastulokohdan välinen etäisyys. Ponnistus- ja alastulokohdissa hypyn korkeus on nolla, joten saadaan yhtälö 0,90x +,x 0. a 0,90, b,, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a, ±, 4 ( 0,90) 0 x ( 0,90), ± 4, ,80, ±, 1,80 Yhtälön ratkaisut ovat, +, x 0 1,80 tai,, 4,4 x, ,80 1,80 Ponnistuskohta on x 0 ja hypyn alastulokohta x,444. Hypyn pituus on siis noin,4 metriä. Koska y 0,90x +, on alaspäin aukeava paraabeli, hypyn suurin korkeus on paraabelin huipussa. Paraabelin huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolivälissä eli kohdassa 0 +, x 1,... 1,. Hypyn suurin korkeus saadaan laskemalla huipun y-koordinaatti. y 0,90 1, +, 1, 1,344. Vastaus: Hypyn pituus on,4 m ja korkeus on 1,3 m.

47 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran ja paraabelin leikkauspisteet ovat yhtälöparin ratkaisut. y x 3 y x x 3 Merkitään yhtälöiden y x 3 ja y x x 3 oikeat puolet yhtä suuriksi ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä x. x 3 x x 3 x + 3x 0 a 1, b 3, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ( ) ( ) 3± x 1 3± 9 3± 3 b± b 4ac x ja sievennetään a Yhtälön ratkaisut ovat x 0 tai x 3. Sijoitetaan x 0 yhtälöön y x 3. y Toinen leikkauspiste on siten (0, 3). Sijoitetaan x 3 yhtälöön y x 3. y Toinen leikkauspiste on siten (3, 0).

48 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tarkistus: Piirretään paraabeli y x x 3 ja suora y x 3 samaan koordinaatistoon ja luetaan siitä kuvaajien leikkauspisteet. Vastaus: Leikkauspisteet ovat (0, 3) ja (3, 0).

49 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri x 3 toteuttaa yhtälön x + ax 3 0. Sijoitetaan x 3 yhtälöön ja ratkaistaan siitä a. x + ax a a 3 0 3a asteen yhtälö 3a 15 : 3 a 5 Sijoitetaan a 5 alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan yhtälöstä x. x 5x 3 0. asteen yhtälö a, b 5, c 3 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a ( 5) ( 5) 4 ( 3) ± x 5± ± 7 4 Yhtälön ratkaisut ovat x tai ( x 4 4. Vastaus: a 5, toinen juuri 1 x

50 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 6x(7 x) 0 tulon nollasääntö 6x 0 : ( 6) tai 7 x 0 x 0 x 7 Vastaus: x 0 tai x 7 b) x 3x 0 x(x 3) 0 tulon nollasääntö x 0 tai x 3 0 x 3 Vastaus: x 0 tai x 3 c) x 4x 4x x 0 x(4x 1) 0 tulon nollasääntö x 0 tai 4x 1 0 4x 1 : 4 Vastaus: x 0 tai 1 x 4 1 x 4

51 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 445. a) (x + )(x 3) 0 tulon nollasääntö x + 0 tai x 3 0 x x 3 : Vastaus: x tai 3 x b) (x + 1) 0 (x + 1) (x + 1) 0 tulon nollasääntö x x 1 : Vastaus: 1 x 1 x c) (x 1)(x + ) 1 x + x x 1 + x 3 0 a 1, b 1, c 3 3 x Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) 1± x 1 1± 13 Vastaus: 1± 13 x

52 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan yhtälö 3x + x + 1 x x 1. 3x + x + 1 x x 1 4x + 4x + 0 : x + x a, b, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ± 4 1 x ± ± 4 4 b± b 4ac x ja sievennetään a Negatiivisella luvulla ei ole neliöjuurta, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Piirtämällä paraabelit y 3x + x + 1 ja y x x 1 samaan koordinaatistoon, havaitaan, että näillä paraabeleilla ei ole leikkauspisteitä. Yhtälöllä 3x + x + 1 x x 1 ei siis ole ratkaisua. Vastaus: On.

53 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään suorakulmion sivuja kirjaimilla x ja y. Muodostetaan yhtälöt suorakulmion piirille ja pinta-alalle. Saadaan yhtälöpari x+ y 4,6. xy 1, Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y ja sijoitetaan se alempaan yhtälöön. x + y 4,6 y 4,6 x : y,3 x xy 1, x (,3 x) 1,,3x x 1, 0 x +,3x 1, 0 a 1, b,3, c 1, Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ( ) ( ) ( ),3 ±, , x 1,3 ± 0, 49,3 ± 0,7 b± b 4ac x ja sievennetään a Yhtälön ratkaisut ovat,3 + 0,7 1,6 x 0,8 tai,3 0,7 3,0 x 1,5. Toinen suorakulmion sivuista on 0,8 metriä ja toinen on y,3 x,3 0,8 1,5 metriä. Vastaus: Sivujen pituudet ovat 0,8 m ja 1,5 m.

54 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Sijoitetaan v 0 3,0 (m/s) s 7 (m) g 9,81 (m/s ) yhtälöön s v 0 t + 0,5 gt ja ratkaistaan yhtälöstä t. s v 0 t + 0,5 gt 7 3,0t + 0,5 9,81t 4,905t + 3t 7 0 a 4,905, b 3, c 7 Symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan t 3,54 ja t 4,15. Näistä ratkaisuista t 4,15 hylätään, sillä aika on positiivinen luku. Putoaminen kestää 3,5 sekuntia. Vastaus: 3,5 s b) Sijoitetaan v 0 3,0 (m/s) t (s) g 9,81 (m/s ) yhtälöön s v 0 t + 0,5 gt ja lasketaan s. s v 0 t + 0,5 gt s 3,0 + 0,5 9, ,6 5,6 Ensimmäisen kahden sekunnin aikana avainnippu tippuu noin 6 metriä. Vastaus: 6 m

55 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Sijoitetaan v 0 3,0 (m/s) g 9,81 (m/s ) t 3,53768 (s) yhtälöön v v 0 + gt ja lasketaan v. v v 0 + gt 3,0 + 9,81 3, ,7046 Muutetaan nopeus yksiköstä m/s yksikköön km/h. 37,7046 m 0, km , km/h s 1 h ,73656 km/h 136 km/h Avainnipun nopeus on noin 136 km/h. Vastaus: 136 km/h

56 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suorakulmion alkuperäinen pinta-ala on 0,0 m 1,0 m 40 m. Merkitään lisättävän nurmikaistaleen leveyttä kirjaimella x. Tällöin suurennetun nurmialueen sivujen pituudet ovat 0 + x ja 1 + x metriä. Koska suurennetun alueen pinta-ala on kaksinkertainen alkuperäiseen pinta-alaan verrattuna, saadaan yhtälö (0 + x)(1 + x) x + 1x + x 480 x + 3x Sijoitetaan yhtälön kertoimet a 1, b 3 ja c 40 ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. ( ) 3 ± x 1 3 ± 1984 Yhtälön ratkaisut ovat x + 6,7 tai x 38,7. Ratkaisu x 38,7 hylätään, sillä pituus ei voi olla negatiivinen. Nurmikentän mitat ovat siis 0,0 + 6,7 6,7 6,3 metriä ja 1,0 + 6,7 18,7 18,3 metriä. Vastaus: pituus 6,3 m ja leveys 18,3 m

57 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään vähennysten määrää kirjaimella x. Hahmotellaan tilannetta taulukoimalla. Vähennysten määrä Kappalehinta ( ) Myytyjen aurinkolasien määrä x x 16 x Myyntitulojen lauseke saadaan, kun aurinkolasien kappalehinta kerrotaan myytyjen aurinkolasien määrällä. (8 + x)(16 x) 18 16x + 16x x x + 18 Aurinkolaseista kertyy kustannuksia euroa kappaleelta eli (16 x) 3 4x. Myyntivoiton y lauseke saadaan vähentämällä myyntituloista x + 18 kustannukset 3 4x. y x + 18 (3 4x) x x x + 4x + 96 Koska myyntivoiton lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, myyntivoitto y saa suurimman arvonsa paraabelin huippukohdassa. Ratkaistaan paraabelin ja x-akselin leikkauskohdat symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla. Saadaan x 6 ja x 8. Huipun x-koordinaatti on leikkauskohtien puolessa välissä Suurin myyntivoitto saadaan, kun kappalehinta on 8 + x euroa. Aurinkolaseja menee tällöin kaupaksi kappaletta. Myyntitulo on ja voittoa saadaan Vastaus: 9 euroa/kpl ja voitto 98 euroa

58 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään pidemmän osan pituutta kirjaimella x. Tällöin lyhyempi osa on 170 x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x x x 170 (170 x ) x x x + 170x a 1, b 170, c 8900 Sijoitetaan yhtälön kertoimet a 1, b 3 ja c 40 ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. 170 ± ( 8900) x ± ± Yhtälön ratkaisut ovat x 105,1 tai x 75,1. Yhtälön ratkaisu x 75,1 hylätään, sillä pituus on positiivinen luku. Pidempi osa on noin 105 cm ja lyhyempi osa noin 170 x cm. Kultaiset mitat ovat 105 cm ja 65 cm. Vastaus: 105 cm ja 65 cm

59 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan pisteen (,3) koordinaatit yhtälöön y (x a) 1 ja ratkaistaan yhtälöstä a. y (x a) 1 3 ( a) 1 3 ( a) ( a) a a + a 1 a 4a 0 a(a 4) 0 tulon nollasääntö a 0 tai a 4 0 a 4 Piirretään paraabelien y (x 0) 1 x 1 ja y (x 4) 1 (x 4) (x 4) 1 x 8x + 15 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Vastaus: a 0 tai a 4

60 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Toisen asteen yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu silloin, kun ratkaisukaavan neliöjuuren sisällä oleva lauseke eli diskriminantti b 4ac on nolla. Tutkitaan, millä vakion t arvolla ehto toteutuu. x + tx a 1, b t, c 4 b 4ac 0 t t 16 0 neliöyhtälö t 16 t ± 16 t ±4 Vastaus: t ±4 b) Tutkitaan, millä vakion t arvolla yhtälön x + tx + t 0 diskriminantti on nolla. x + tx + t 0 a 1, b t, c t b 4ac 0 t 4 1 t 0 t 4t 0 t(t 4) 0 tulon nollasääntö t 0 tai t 4 0 t 4 Vastaus: t 0 tai t 4

61 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1 1. Merkitään apinajoukkoa kirjaimella x. Tällöin metsässä oli 8 x ja kukkulalla 1 apinaa. Koska apinajoukko jakaantui kahteen paikkaan, pienempien joukkojen summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen joukko. 1 x + 1 x 8 1 x + 1 x x x x 64x Symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan x 16 tai x 48. Vastaus: Apinoita oli 16 tai 48.

62 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään apinajoukkoa kirjaimella x. Tällöin luolaan meni 3 5 x. Lisäksi yksi oli kiivennyt oksalle. Koska alueella ei ollut enempää apinoita, luolaan menneiden apinoiden ja oksalle kiivenneen apinan summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen apinajoukko. 1 x x x 3 x x x x x x x x+ 10 x x 30x x x 55x Symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan x 5 tai x 50. Apinoiden määrä ei voinut olla 5, koska siitä viidesosa on 1 ja yhdestä ei voi vähentää kolmea apinaa. Apinoita oli siis 50. Vastaus: Apinoita oli 50.