KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.

Transkriptio

1 KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin. Arvioinnin pääpiirteet on kuvattu kunkin tehtävän osalta alla. Pienten virheiden osalta olen käyttänyt ns. miinusperiaatetta, jossa pieni virhe (tyypillisesti laskuvirhe) tuottaa yhden miinuksen. Jos saman päätehtävän alla (1-5) on useampi miinus, lähtee tehtävästä puoli pistettä jokaista kahta miinusta kohden (kahdesta puoli pistettä, neljästä piste jne.). 1. Vastaa lyhyesti (enintään muutama virke) seuraaviin kysymyksiin. Jokaisesta kohdasta 1p. a) Mistä osuuksista partikkelikiihtyvyys koostuu ja mitä eri osuudet kuvaavat? Lokaali- ja konvektiokiihtyvyyden mainitseminen antaa puoli pistettä ja täydet tulee, jos nämä osasi kytkeä lokaalin nopeuskentän aikamuutokseen ja partikkelin liikkeestä johtuvaan nopeuden muutokseen. b) Miten kuvailisit sanallisesti liikemäärän säilymislain partikkelisysteemille? Vastaukseksi riittää toteamus, että systeemin liikemäärän muutosnopeus on yhtä suuri kuin systeemiin vaikuttavien voimien summa. Tällä tai jollain sen variaatiolla saa yhden pisteen. c) Mitä tarkoittaa vääristynyt malli? Vääristyneessä mallissa osa similaarisuusehdoista ei täyty. Yhden pisteen vastaus edellyttää, että tämä ajatus on tuotu jotenkin esille. d) Miten rajakerroksen paksuus keskimäärin muuttuu, jos fluidin viskositeetti kasvaa? Perustele vastauksesi. Rajakerroksen paksuus kasvaa tässä tilanteessa (puoli pistettä). Virtaus pysähtyy kappaleen pinnalla ja viskositeetti kuvaa sitä, miten nopeasti tämä vaikutus etenee viskoosien voimien vaikutuksesta poispäin kappaleen pinnalta hidastaen ympäröivää virtausta. Perustelusta tulee puoli pistettä. e) Mitä siirtymäpaksuus kuvaa? Vastauksessa pitäisi jotenkin esiintyä massan tai tilavuusvirran tase. Siirtymäpaksuus kuvaa siis sitä, kuinka paljon virtaviivat siirtyvät ulospäin virtauksen hidastumisen johdosta siten, että tilavuusvirta rajakerroksessa olevassa poikkileikkauksessa virtaviivan ja seinän välissä on sama kuin tilavuusvirta saman virtaviivan ja seinän välissä, kun virtaus on homogeeninen. Tämän voi esittää myös graafisena vertailemalla nopeusprofiilien pinta-aloja. f) Missä tilanteissa putkistovirtauksen ratkaisemiseen tarvitaan iteratiivista ratkaisua? Iteratiivista ratkaisua tarvitaan, jos emme tunne tilavuusvirtaa tai emme tunne putken halkaisijaa. Syynä tähän on se, että molemmat vaikuttavat Reynoldsin lukuun, jota tarvitaan kitkakertoimen määrittämiseen. Kummastakin tilanteesta tulee puoli pistettä.

2 2. Määritä kuvan mukaisessa suutin-mutka -yhdistelmässä tarvittavan tukivoiman x- ja y-suuntaiset komponentit seuraavien vaiheiden mukaisesti. Painovoimaa ja viskooseja ilmiöitä ei tarvitse ottaa huomioon. a) Piirrä kontrollitilavuus, jota voit käyttää voiman ratkaisemiseen. (1p) Kontrollitilavuudeksi kannattaa valita koko suutin-mutka -yhdistelmä siten, että kontrollitilavuus leikkaa alaosan liitoksen ja vapaan suihkun. Oleellista on se, että leikkauspinnat valitaan siten, että virtaussuureista tiedetään jotain näillä pinnoilla. Käsittely on helpompaa, jos yhdistelmän sisällyttää kontrollitilavuuteen. Jos kontrollitilavuus seuraa suuttimen sisäpintaa, antaa liikemäärätase nesteen kohdistaman voiman yhdistelmään, josta täytyy määritellä vielä erikseen tasapainoehdon perusteella yhdistelmään kohdistuva tukivoima. b) Kuvaa (piirrä ja nimeä/selitä) kaikki valitsemaasi kontrollitilavuuteen vaikuttavat voimat. (1p) Kontrollitilavuuteen kohdistuu tukivoiman lisäksi painevoima liitoksen poikkileikkauksessa. Ilmakehän paine voidaan olettaa nollaksi, koska vakiopaineen kontribuutio kokonaisvoimaan häviää. Ilmakehän paineeseen liittyvän paineen voi mainita, mutta sen puuttumisesta ei sakoteta. Puoli pistettä tulee voimien piirtämisestä ja puoli pistettä näiden nimeämisestä/selittämisestä. c) Määritä tukivoiman komponentit. (4p) Ratkaisu riippuu valitusta kontrollitilavuudesta. Jos yhdistelmä sisältyy kontrollitilavuuteen, on ratkaisu suoraviivainen ja liikemäärätase kontrollitilavuudelle antaa suoraan kysytyn tukivoiman. Jos kontrollitilavuus sisältää pelkän fluidin, pitää tämän lisäksi kirjoittaa liittimelle oma tasapainoyhtälö, jossa on fluidin yhdistelmään kohdistama voima ja putken liittimeen kohdistama kysytty tukivoima. Riippumatta lähestymistavasta, tulee määrittää nopeudet ja paineet sisään- ja ulosvirtauspoikkileikkauksissa. Nopeus ulosvirtauksessa saadaan jatkuvuusyhtälön avulla, mistä tulee puoli pistettä. Paine sisäänvirtauksessa saadaan ulosvirtauksen paineen ja Bernoullin yhtälön avulla, mistä tulee myös puoli pistettä. Liikemääräperiaatteesta x- ja y-suuntiin tulee piste molemmista ja oikeasta tuloksesta puoli pistettä per suunta. Y-suunnassa voima on nolla, koska liikemäärä tässä suunnassa ei muutu, ja x-suunnassa tukivoiman tulisi olla 1,99 kn vasemmalle. Kuva 1: Tehtävä 2

3 3. Kun pyöreä reiällinen levy laitetaan poikittain virtaukseen, sen vastus D voidaan esittää riippuvuutena D = f (d 1, d 2, V, m, r), jossa d 1 on levyn ulkohalkaisija ja d 2 sisähalkaisija, V virtauksen nopeus, m fluidin viskositeetti ja r fluidin tiheys. Käytetään toistuvien muuttujien menetelmää dimensiottoman vastuksen määrittämiseksi. a) Miten määrität toistuvien muuttujien lukumäärän ja kuinka monta niitä on tässä tapauksessa? (2p) Toistuvien muuttujien lukumäärä vastaa kaikkien dimensiollisten muuttujien yksiköiden esittämiseen vaadittavien perusyksiköiden lukumäärää (1p). Koska tässä tapauksessa muuttujissa esiintyy pituus, paino ja aika, tarvitaan perusyksiköitä kolme (M,L,T) ja näin ollen toistuvia muuttujia on myös kolme (1p). b) Millä perusteella valitset toistuvat muuttujat ja miten valitset ne tässä tapauksessa? (2p) Keskeistä toistuvien muuttujien valinnassa on se, että niiden pitää olla toisistaan riippumattomia (0,5p) ja että selitettävää muuttujaa (yhtälön vasemmalla puolella) ei valita toistuvaksi muuttujaksi (0,5p). Hyvä periaate on myös valita muuttujat, joilla on yksinkertaisimmat yksiköt. Tämä ei ole kuitenkaan ehdoton edellytys prosessin onnistumiselle. Toinen piste tulee muuttujien oikeasta valinnasta siten, että ne ovat yksiköiden osalta riippumattomia, eikä vastusta ole valittu toistuvaksi muuttujaksi. c) Määritä dimensioton riippuvuus tässä tapauksessa käyttäen toistuvien muuttujien menetelmää. (2p) Dimensiottoman riippuvuuden tekijät määritetään ei-toistuvien ja toistuvien muuttujien tulona, jossa on tuntemattomat potenssit. Potenssit määräytyvät ehdosta, että syntyvä tulo on dimensioton. Oikeasta periaatteesta tulee yksi piste ja oikeasta ratkaisusta toinen piste. Oikeassa ratkaisussa esiintyy vastuskerron, levyn halkaisijoiden suhde ja Reynoldsin luku.

4 4. Kuvan 2 turbiinin (T) teho on 74,6 kw, kun tilavuusvirta on 0,6 m³/s ja virtaavan veden tiheys on 999 kg/m 3. Oleta, että häviöt ovat mitättömiä. a) Mitä tiedät virtausnopeuksista ja paineista eri pisteissä? (1p) Koska allas voidaan olettaa suureksi ja altaassa on vapaa pinta, tiedetään nopeus ja paine pinnalla. Koska virtaus poistuu putken päästä vapaana suihkuna, tunnetaan myös paine täällä. Lisäksi, koska putken halkaisija ja tilavuusvirta tunnetaan, tunnetaan myös suihkun nopeus. Yhden pisteen vastaus edellyttää, että vastauksessa on mukana vapaa pinta ja vapaa suihku. Jos näistä on mukana vain toinen, tulee tästä puoli pistettä. b) Määritä korkeus h. (3p) Korkeus saadaan määritettyä laajennetusta Bernoullin yhtälöstä vapaan suihkun ja vapaan pinnan välillä. Tästä periaatteesta tulee yksi piste. Virtausnopeus vapaassa suihkussa saadaan jatkuvuusyhtälöstä. Tästä tulee puoli pistettä. Turbiinin teho pitää ottaa huomioon yhtälössä. Jos tämä on tehty oikein, tulee tästä myös puoli pistettä. Oikeasta ratkaisusta tulee yksi piste. Korkeus on noin 16,4 m. c) Määritä paine-ero p 3-p 4. (1p) Paine-ero on laskettavissa vastaavasti laajennetusta Bernoullista pisteiden 3 ja 4 välillä. Nopeudet pisteissä ovat jatkuvuusyhtälön perusteella samat, samoin asemakorkeudet, joten yhtälöön jää vain pisteiden välinen paine-ero ja turbiinin aiheuttama paineen muutos. Periaatteesta tulee puoli pistettä ja oikeasta ratkaisusta puoli pistettä. Paine-ero on noin 124 kpa. d) Miten tilavuusvirta muuttuu, jos turbiini poistetaan? Perustele vastauksesi. (1p) Tilavuusvirta kasvaa, koska turbiini syö energiaa virtauksesta. Kun turbiinia ei ole, koko virtauksen potentiaalienergia muuttuu kineettiseksi energiaksi. Oikeasta vastauksesta tulee puoli pistettä ja perustelusta puoli pistettä. 0,3m 0,3m Kuva 2: Tehtävä 4 (Young et al, 2012)

5 5. Vettä (r=998,2 kg/m 3, m=1,002x10-3 kg/(m s)) virtaa kuvan 3 mukaisen putkiston läpi ulos hanasta vapaana suihkuna. Putkiston halkaisija on 1,9 cm (e=1,5x10-6 m) ja tilavuusvirta on 45 l/min. Hanan halkaisija on 1,3 cm. a) Miten putkistossa tapahtuvat häviöt tyypillisesti luokitellaan? Jaa tässä järjestelyssä tapahtuvat häviöt näihin luokkiin. (1p) Tässä riittää, että osaa erotella putkessa tapahtuvat kitkahäviöt ja erilaisissa komponenteissa ja liitoksissa tapahtuvat kertahäviöt. Tästä saa puoli pistettä. Täysi piste tulee, kun osaa kytkeä tehtävän suorat putkiosuudet kitkahäviöihin ja putken mutkissa, venttiilissä ja hanassa tapahtuvat häviöt kertahäviöihin. b) Selitä vaiheittain, miten paine muuttuu pisteiden (1) ja (2) välillä. (2p) Tässä on oleellista, että on osannut selittää, miten kitkahäviöt vaikuttavat paineeseen (lineaarinen muutos), miten kertahäviöt vaikuttavat paineeseen (askelmainen muutos), miten korkeuserot vaikuttavat paineeseen (paine kasvaa lineaarisesti alaspäin siirryttäessä) ja miten halkaisijan muutos hanassa vaikuttaa paineeseen (nopeusero aiheuttaa paine-eron). Jokaisesta edellä kuvatusta vaikutuksesta tulee puoli pistettä. c) Määritä paine pisteessä (1). (3p) Paine on määritettävissä laajennetun Bernoullin yhtälön avulla. Apuna on tieto siitä, että hanasta virtaa vapaa suihku sekä tieto hanan ja putkiston halkaisijasta. Kertahäviöt ovat määriteltävissä annettujen kertoimien avulla ja kitkahäviökerroin Moody-diagrammin avulla. Oikea paine on noin 206 kpa. Puoli pistettä tulee laajennetun Bernoullin yhtälön käytöstä, puoli pistettä vapaan suihkun hyödyntämisestä, puoli pistettä nopeuksien määrittämisestä, puoli pistettä kertahäviöistä, puoli pistettä kitkahäviöiden määrittämisestä ja puoli pistettä oikeasta ratkaisusta. Kuva 3: Tehtävä 5 (Young et al, 2012)