(b) Määritä pumpun todellinen nostokorkeus, jos pumpun hyötysuhde on 65 %. 160 mm. 100 mm. 650 rpm. Kuva 1: Tehtävän asettelu.

Transkriptio

1 Tehtävä 1 Kuvan keskipakopumppu pumppaa vettä (ρ = 998 kg/m 3 ) tilavuusvirralla 180 l/s. Pumpun pesän korkeus on mm. Oletetaan, että sisäänvirtauksessa absoluuttisella nopeudella ei ole tangentiaalista komponenttia. (a) Määritä pumpun akseliteho. (b) Määritä pumpun todellinen nostokorkeus, jos pumpun hyötysuhde on 65 %. (c) Määritä, mikä pumpun siiven kulman pitäisi olla suhteessa tangenttiin sisäkehällä, jotta virtaus olisi siiven suuntaista. 30 o 1 mm 100 mm 650 rpm Kuva 1: Tehtävän asettelu. Ratkaisu (Kappale ) (a) Ratkaisu perustuu kulmaliikemäärän taseeseen, jolla saadaan määritettyä pumpun akseliteho. Kulmaliikemäärän taseen perusteella Ẇ shaft = ρq (U 2 V θ,2 U 1 V θ,1 ), missä U on siipipyörän kehänopeus ja V absoluuttinen nopeus maahan kiinnitetyssä koordinaatistossa. Alaindeksit 1 ja 2 viittaavat sisään- ja ulosvirtaukseen. Koska tässä tapauksessa absoluuttisella nopeudella ei ole tangentiaalista komponenttia, yksinkertaistuu yhtälö muotoon Ẇ shaft = ρqu 2 V θ,2. Nopeuskomponentit saadaan ulosvirtauksen nopeuskolmiosta, joka on esitetty oheisessa kuvassa.

2 30 o 30 o Kuva 2: Nopeuskolmio ulosvirtauksessa (vasemmalla) ja absoluuttisen nopeuden tangentiaalikomponentin laskenta (oikealla). Kolmion perusteella absoluuttisen nopeuden tangentiaalikomponentti on laskettavissa lausekkeesta V θ,2 = U 2 W θ,2 = U 2 W r,2 tan 30 = U 2 Q 2πR 2 b cot 30, missä b on pumpun pesän korkeus. Tässä on käytetty hyväksi tietoa, että tilavuusvirta riippuu normaalinopeudesta pumpun ulkokehän läpi eli absoluuttisen ja suhteelisen nopeuden radiaalikomponentista. Sijoittamalla tämä akselitehon lausekkeeseen saadaan ( Ẇ shaft = ρqu 2 U 2 Q ) ( cot 30 = ρqωr 2 2πR 2 b ωr 2 Q ) cot 30 2πR 2 b Sijoittamalla tähän lukuarvot saadaan ( 650 2π 650 2π Ẇ shaft = 998 0, 180 0, 1 11 kw. 0, 1 ) 0, 180 cot 30 W 2π 0, 1 0, 0 (b) Todellinen nostokorkeus voidaan määrittää ideaalisen nostokorkeuden avulla kertomalla ideaalinen nostokorkeus hyötysuhteella. Ideaalisen nostokorkeuden ja akselitehon välillä on yhteys jolloin ideaaliseksi nostokorkeudeksi saadaan Ẇ shaft = ρgqh i, h i = Ẇshaft ρgq. Todellinen nostokorkeus on tällöin h a = η Ẇshaft ρgq = 0, kw 998 kg/m 3 9, 81 m/s 2 0, 180 m 3 /s 4, 1 m (c) Siiven kulma pystytään määrittämään suoraan sisäänvirtauksen nopeuskolmiosta. Sisäänvirtauksessa tiedetään kehänopeus U 1, sillä U 1 = ωr 1 = 650 2π 0, 100 m s 6, 8 m s sekä absoluuttisen ja suhteellisen nopeuden radiaalikomponentti, sillä V r,1 = W r,1 = Q 2πR 1 b = 0, 180 m 2π 0, 100 0, 0 s 4, 8 m s.

3 Tämän lisäksi tiedämme tehtävänannon perusteella, että V θ,1 = 0 eli absoluuttinen virtaus on kohtisuorassa kehää vasten. Tällöin V 1 = V r,1. Sisäänvirtauksen nopeuskolmio on esitetty oheisessa kuvassa. Kuva 3: Nopeuskolmio sisäänvirtauksessa. Siiven kulma valitaan siten, että suhteellinen nopeus on siiven suuntaista. Kolmiosta saadaan ratkaistua kysytty kulma Tehtävä 2 β = tan 1 V 1 1 4, 8 = tan U 1 6, Vettä (20 astetta) pumpataan alemmasta altaasta ylempään altaaseen putkistossa (vedettyä putkea), jonka yhteispituus on m ja halkaisija 50 mm. Putkistossa on kaksi laipallista 90 asteen mutkaa (regular) ja yksi täysin avoin palloventtiili. Altaiden ja putkiston liitokset ovat teräviä. Altaiden pintojen korkeusero on 5, 0 m. Putkistoon ollaan valitsemassa pumppu, jolla on kuvan mukaiset ominaisuudet eri siipipyörän halkaisijoilla (halkaisijat millimetrejä). (a) Valitse paras siipipyörän halkaisija tähän tilanteeseen siten, että tilavuusvirta on vähintään 5 l/s. Mikä on tällä halkaisijalla saavutettava tilavuusvirta? (b) Mikä on paras siipipyörän halkaisija, jos pintojen korkeusero kasvaa 10 metriin? (c) Pohdi pumppuperheen soveltuvuutta näihin tilanteisiin.

4 Kuva 4: Pumpun ominaisuudet eri siipipyörillä. Ratkaisu (Kappale ) Tehtävä ratkeaa laskemalla putkiston vaatima pumpun nostokorkeus eri tilavuusvirroilla laajennetusta Bernoullin yhtälöstä, piirtämällä tätä vastaava käyrä pumpun käyrästöön ja etsimällä putkiston ja pumpun käyrien leikkauspiste. Tässä pisteessä (toimintapiste) putkiston vaatima nostokorkeus ja pumpun tuottama nostokorkeus ovat yhtä suuret.

5 (a) ja (b) Kirjoitetaan laajennettu Bernoullin yhtälö putkiston alku- ja loppupään välillä p 2 ρg + V 2 2g + z 2 = p 1 ρg + V 2 2g + z 1 + h p (f ld + ) V 2 K L 2g, missä virtausnopeus kaikissa putkiston kohdissa ja kaikkien komponenttien läpi on sama, koska putkiston halkaisija ei muutu ja V = Q/A. Koska tarkastelupisteet voidaan valita altaiden pinnoilta, joissa paine vastaa ilmakehän painetta ja nopeus häviää, yksinkertaistuu yhtälö muotoon z 2 = z 1 + h p (f ld + ) V 2 K L 2g, Ratkaistaan tästä putkiston vaatima pumpun nostokorkeus, joksi saadaan h p = z 2 z 1 + (f ld + ) V 2 K L 2g. Putken kitkahäviökerroin f riippuu Reynoldsin luvusta, joka riippuu tilavuusvirrasta, joten se pitää määrittää jokaiselle tilavuusvirralle erikseen. Komponenteista tiedetään kurssimateriaalin perusteella 1, että 90 asteen laipallisen mutkan kertahäviökerroin on 0,3, teräväreunaisen sisäänvirtauksen 0,5, ulosvirtauksen 1 ja täysin avoimen palloventtiilin 0,05. Sijoitetaan yhtälöön tunnetut korkeuserot sekä lausutaan virtausnopeus tilavuusvirran avulla. Saamme tällöin eri pinnankorkeuseroille h p,5 = 5, 0 + ( ) f + 0, , 3 + 0, , 05 8Q 2 π 2 0, , 81 5, 0 + (1200f + 2, 15) Q 2 (2) h p,10 = 10, 0 + ( ) 8Q 2 f + 0, , 3 + 0, , 05 π 2 0, , (1200f + 2, 15) Q 2, (4) jossa nostokorkeuden ja tilavuusvirran yksiköt ovat vastaavasti metrejä ja kuutiometrejä sekunnissa. Putkiston vaatima nostokorkeus eri tilavuusvirroilla on laskettu ylläolevilla lausekkeilla oheiseen taulukkoon, jossa h L kuvaa häviöitten osuutta nostokorkeudessa. 1 Luento 14 Taulukko 1: Nostokorkeus eri tilavuusvirroilla Q [l/s] Q [m 3 /s] V [m/s] Re f h L h p,5 h p, ,00 0 0,0000 0,00 5,00 10,00 2 0,002 1, ,0209 1,44 6,44 11,44 4 0,004 2, ,0181 5,05 10,05 15,05 6 0,006 3, , ,57 15,57 20,57 8 0,008 4, , ,90 22,90 27, ,01 5, , ,97 31,97 36, ,012 6, , ,75 42,75 47, ,014 7, , ,20 55,20,20 (1) (3)

6 Tämän perusteella voidaan piirtää putkiston vaatima nostokorkeus pumpun käyrästöön. Tämä on esitetty oheisessa kuvassa, jossa ylempi käyrä kuvaa suurempaa korkeuseroa. Kuva 5: Pumpun ominaiskäyrät ja systeemikäyrät 5, 0 ja 10 metrin pinnankorkeuseroilla. Kuvaajan perusteella paras hyötysuhde saavutetaan 5, 0 metrin pinnankorkeuserolla, kun siipipyörän halkaisija on 130 mm. Kuvaajan mukaan tilavuusvirta on tällöin noin 6, 6 m 3 /s. Suuremmalla pinnankorkeuserolla paras hyötysuhde saavutetaan edelleen 130 mm:n siipipyörän halkaisijalla, mutta ero suurempiin halkaisijoihin on selvästi pienempi. Tässä tapauksessa saattaisi olla järkevämpää valita suurempi halkaisija, koska näillä hyötysuhde ei ole yhtä herkkä putken ikääntymiselle tai pinnankorkeuden kasvulle. Mikäli näitä tekijöitä ei oteta huomioon, on paras halkaisija kuitenkin siis 130 mm myös suuremmalla korkeuserolla.

7 (c) Sekä a- että b-kohdan tilanteessa havaitaan, että kaikilla halkaisijoilla tilavuusvirta jää optimaalisen toimintapisteen alapuolelle, mikä viittaisi siihen, että pumppuperhe ei ole välttämättä paras valinta näihin tilanteisiin. Putkiston ikääntyminen kasvattaa häviöitä, jolloin systeemikäyrä nousisi jyrkemmin. Tämä johtaisi siihen, että toimintapiste siirtyisi kaikissa tapauksissa yhä pienemmille tilavuusvirroille ja siis kauemmas optimipisteestä. Pumppuperhe sopisi ehkä paremmin tilanteisiin, joissa häviöt tai korkeusero ovat hieman pienempiä. Tehtävä 3 Halkaisijaltaan 34 cm keskipakopumpulle on mitattu oheisen taulukon mukaiset ominaisuudet 30 asteisella vedellä pyörimisnopeudella 2100 rpm. Laadi vastaava taulukko geometrisesti samanlaiselle pumpulle, jonka halkaisija on 30 cm ja pyörimisnopeus on 1800 rpm. Lisää uuteen taulukkoon rivi pumpun hyötysuhteelle. Esitä skaalauksen periaate ja laskut vähintään yhdelle tilavuusvirralle. Q [m 3 /s] 0 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45 h p [m] Ẇ shaft [kw] Ratkaisu (Kappale 11.5) Pumpun ominaisuuksien skaalaus perustuu pumppun ominaisuuksien dimensiottomiin riippuvuksiin, joissa dominoivana selittävänä dimensiottomana suureena on pumpun ominaistilavuusvirta eli riippuvuudet muotoa Π 1 = φ( Q ωd 3 ). Tässä selitettäviä dimensiottomia suureita ovat mm. ominaisnostokorkeus, ominaisteho tai hyötysuhde. Skaalaus perustuu mallikokeiden tavoin ajatukseen, että jos dimensioton selittävä muuttuja pidetään vakiona (mallilaki), niin myös dimensioton selitettävä muuttuja on sama (ennusteyhtälö). Nyt siis geometrisesti similaariselle pumpulle tilanteet ovat dynaamisesti samoja, jos tilavuusvirtakerroin on sama eli Q 1 = Q 2, ω 1 D1 3 ω 2 D2 3 jossa kulmanopeus ω saadaan kierrosnopeudesta n lauseesta ω = 2πn. Tällöin tilavuusvirta uudessa tilanteessa saadaan lauseesta Q 2 = 2πn 2D 3 2 2πn 1 D 3 1 Q 1 = n 2D2 3 Q n 1 D1 3 1 = Q 1 0, 589 Q 1. Jos tilavuusvirtakertoimet ovat samat, ovat tällöin samoja myös ominaisnostokorkeus ja ominaisteho eli gh p,1 = gh p,2 ω1d ω2d 2 2 2

8 ja Ẇ shaft,1 ρ 1 ω 3 1D 5 1 = Ẇshaft,2 ρ 2 ω 3 2D 5 2 Näistä voidaan ratkaista uuden tilanteen nostokorkeus ja akseliteho, joiksi saadaan, kun fluidi on sama, h p,2 = ω2 2D2 2 h ω1d p,1 = h 2 p,1 0, 572 h p,1 Ẇ shaft,2 = ω3 2D2 5 Ẇ ω1d shaft,1 = Ẇshaft,1 0, 337 Ẇ shaft,1 Pumpun hyötysuhde saadaan laskettua suoraan hyötysuhteen määritelmästä eli η = ρqgh p Ẇ shaft Käyttämällä näitä kaavoja siten, että tilavuusvirta, nostokorkeus ja akseliteho tilanteessa 1 otetaan tehtävänannon taulukosta, voimme luoda taulukon uudelle tilanteelle. Taulukko on esitetty ohessa. Taulukko 2: Geometrisesti similaarisen pumpun ominaisuudet Q [m 3 /s] 0 0,05 0,11 0,16 0,21 0,26 h p [m] Ẇ shaft [kw] η 0 0,38 0,59 0,69 0,65 0,58