Demo 5, maanantaina RATKAISUT

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT"

Raimo Karvonen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Demo 5, maanantaina RATKAISUT. Lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa on usein kaikenlaisia laitteita. Seuraavassa yksi hyvä kandidaatti eli Venturi-mittari, jolla voi määrittää virtauksen nopeuden putkessa. Oletetaan, että putkistossa virtaa vesi, jonka tiheys on ρ 000 kg/m 3. (i) Jatkuvuusyhtälön perusteella tasaisesti virtaavalle ja kokooonpuristumattomalle, homogeeniselle fluidille pätee v ( /A )v 2, missä indeksit ja 2 viittaavat putkistossa oleviin poikkileikkauskohtiin, jotka ovat pystysuorien putkien kohdalla. Luentojen perusteella Venturi-mittarille pätee [ ( p p 2 ) 2 A 2 ρv2 ] () Sijoittamalla tähän jatkuvuusyhtälön antama tulos nopeudelle v saadaan haluttu tulos: ] p p 2 2 ρ A2 2 A v2[ ρv2 2 [ 2 ( A2 A ) 2 ] ( A2 A ) 2 2(p p 2 ) A ρv 2 2 2(p p 2 ) ρv , Pa 000 kg/m 3 (2 m/s) 2 (2) Vastauksesta nähdään, että A > ; tämä oli odotettavissa, sillä paine on putkiston kohdassa suurempi kuin kohdassa 2. (ii) Putken halkaisija kohdassa on d 0, 05 m. Tälläin putken poikkipinta-ala kohdassa on A π (0, 05 m/2) 2, m 2 (3) Jatkuvuusyhtälön perusteella saadaan poikkipinta-ala putkiston kohdassa 2: v v 2 A m/s 4, 7 m/s, m 2 4, m 2 (4) Pinta-ala kohdassa 2 on pienempi kuin kohdassa, mikä on luonnollista suuremman virtausnopeuden perusteella.

(i) Jatkuvuusyhtälön perusteella tasaisesti virtaavalle ja kokooonpuristumattomalle, homogeeniselle fluidille pätee v ( /A )v 2, missä indeksit ja 2 viittaavat putkistossa oleviin

2 Virtausstatiikan nojalla Venturi-mittarille pystysuunnassa pätee yhtälö p p 2 ρgh, missä h on putkien vesipatsaiden välinen korkeusero. Käyttämällä tätä tulosta yhdessä yhtälön () kanssa saadaan [ ( ) 2 A ] ρgh 2 ρv2 h v2 2g [ ( ) 2 A ] ( m/s)2 2 9, 8 m/s 2, m, m Korkeutta h vastaava paine-ero on [ (, m 2 ) 2 ] 4, m 2 (5) p p 2 ρgh 000 kg/m 3 9, 8 m/s 2, 075 m, Pa kpa (6) 2. Seuraavassa lasketaan hieman sydämen tekemää työtä. (i) Yhtälö sydämen keskimääräiselle kokonaisteholle oli muotoa P (p+ 2 ) ρv2 q V, (7) missä p aortassa vallitseva paine ρ veren tiheys v veren virtausnopeus aortassa q V veren tilavuusvirta aortassa Nyt voidaan laskea tilavuusvirrasta q V keskimääräinen veren virtausnopeus v: q V Av 5 60 l/s v A 5 60 l/s m m3 /s 0, m/s (8) Sijoittamalla virtausnopeus ja muut annetut tiedot yhtälöön (7) saadaan laskettua aortassa vallitseva paine: P pq V + 2 ρv2 q V pq V P 2 ρv2 q V p P 2 ρv2 q V q V, 2 W kg/m3 (0, 2778 m/s) m 3 /s m 3 /s 4360, Pa 4 kpa (9) 2

.. m, m Korkeutta h vastaava paine-ero on [ (, 9634 0 3 m 2 ) 2 ] 4, 77 0 4 m 2 (5) p p 2 ρgh 000 kg/m 3 9, 8 m/s 2, 075 m, 0547 0 4 Pa kpa (6) 2. Seuraavassa lasketaan hieman sydämen tekemää työtä.

3 (ii) Sydämen teho pitkällä aikavälillä saadaan yhtälöstä P 3, 5ρ q V p a q V, (0) missä q V on keskimääräinen tilavuusvirta ja p a on keskimääräinen paine. Sijoittamalla annetut arvot saadaan ( ) 3, kg/m3 2, 5 3 P (3 0 4 m 2 ) m3 /s + 7 ( ) 2, , 292 Pa m3 /s () 0, W 0, 7 W 3. Tehtävässä tarkastellaan verisuonessa etenevän pulssiaallon aiheuttamaa suonen venymistä. (i) Yleinen yhtälö, joka kuvaa verisuonta venyttävää voimaa pituusyksikköä kohden, on L Y x(r ), (2) missäy on Youngin moduuli, x on verisuonen seinämän paksuus ja R on suonen venymä sen poikkipinta-alaa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Nyt venyminen voidaan ajatella kahdessa osassa, eli L F L + F2 L, (3) missä voima F vaikuttaa Hooken lain pätevyysalueella ja F2 sen ulkopuolella. Yhdistämällä tehtävänannon määrittely Youngin moduulilley sekä yhtälöt (2) ja (3) saamme lausekkeen kokonaisvoimalle pituusyksikköä kohden: L F L + F2 L Y 0 x(r kr ) + Y 0 x(r R kr ) 2 Y 0 x R 2 0 [(R kr )+ (R R kr) 2 ] (4) Huomaa, että yhtälön jälkimmäinen termi on mukana vain, jos suonen venytys ulottuu Hooken lain pätevyysalueen ulkopuolelle. (ii) Sijoittamalla annetut arvot yhtälöön (4) saadaan L Y 0 x [(R kr )+ (R R kr) 2 ], 5 08 Pa 0 3 m m 667, N/m N/m [ ( m)+ ( m) m ] (5) 3

Tehtävässä tarkastellaan verisuonessa etenevän pulssiaallon aiheuttamaa suonen venymistä.

4 (iii) Kuva on oleellisesti samanlainen kuin luentomuistiinpanoissa ja graafi koostuu kahdesta osasta: suora osa (Hooken laki voimassa), jossa venyttävä voima on suoraan verrannollinen venymään sekä paraabelin muotoinen osa, jossa venyttävä voima on verrannollinen venymän neliöön. 4. Seuraavassa hieman asiaa liittyen verenpaineen mittaamiseen. Lisää tietoa löytyy lyhyesti myös luentomonisteesta. (i) Verenpaineen mittaus voidaan suorittaa joko ulkoisesti tai sisäisesti. Ulkoinen mittaus on huomattavasti yleisempi ja se voidaan tehdä esimerkiksi kuuntelemalla keuhkoja stetoskoopilla eli auskultatorisesti (Riva-Roccin menetelmä) tai oskillometrisellä menetelmällä, jossa käytetään elektronista paineanturia stetoskoopin sijasta. Kun tutkittavan henkilön käsivarren ympärillä olevan mansetin paine on systolisen ja diastolisen paineen välissä, paineanturin mittaama arvo muuttuu periodisesti sydämen sykerytmin mukaan. Lopputulos (verenpaine) saadaan laskettua matemaattisella algoritmilla. Tarkimman mahdollisen mittaustuloksen verenpaineelle antaa paineen mittaus suoraan valtimosta (sisäisesti). Mittauksen suorittaa kirurgi sairaalassa. Suoneen laitetaan neula-putkisysteemi, joka on yhdistetty nesteellä täytettyyn steriiliin laitteistoon, jonka yhteydessä on paineanturi. Paineen suuruutta ja muutoksia voidaan tarkastella reaaliaikaisesti. Sisäisen mittauksen etuna on se, että sillä voidaan tutkia myös potilaita, joiden verenkierrossa on häiriöitä (esimerkiksi nopeita paineenvaihteluita suonistossa). Laitteistoon kytkettyä potilasta on valvottava tarkasti, sillä laitteen irtoaminen kesken mittauksen voi aiheuttaa vakavan verenvuodon. (ii) Oskillometriset laitteet vaativat kalibrointia säännöllisin väliajoin ja ne laskevat verenpaineen suuruuden käyttämällä matemaattisia algoritmeja. Riva-Roccin menetelmässä paine luetaan suoraan elohopeapatsaan korkeudesta, joten erillistä kalibrointia ei tarvita. Mittauksen virherajat ovat oskillometrisiin menetelmiin perustuvissa laitteissa yleensä suuremmat kuin Riva-Roccin menetelmää käytettäessä. Koska oskillometrinen laite antaa mittaustuloksen digitaalisena, on laite usein helppokäyttöinen ja sopii myös tavallisille ihmisille. Riva- Roccin menetelmässä tarvitaan stetoskooppia ja asiantuntevaa lääkäriä tulkitsemaan mittaustulos oikein. 5. Tarkastellaan nyt hieman seoksen viskositeettia ja virtauksen laminaarisuutta. (i) Einsteinin yhtälö seoksen dynaamiselle viskositeetille on η (+kc)η 0, (6) missä η 0 on veden viskositeetti, c 0, 002 on kalojen konsentraatio ja k on tehtävänannossa spesifioitu funktio. Lämpötilassa T 0 veden viskositeetti on η 0 (0 C ), Pas ja lämpötilassa T 2 37 η 0 (37 C) 6, Pas. Nollalämpötilassa saamme seoksen 4

(i) Verenpaineen mittaus voidaan suorittaa joko ulkoisesti tai sisäisesti.

5 viskositeetiksi η(0 ), Pas 0, Pas ( + ) 000 (373, 5 K 273, 5 K)2 0, 002 (7), Pas Analogisesti laskemalla huomataan, että η(37 ) 7, Pas. (ii) Suhteellinen viskositeetti η suht (jossakin lämpötilassa) saadaan jakamalla dynaaminen viskositeetti η veden viskositeetilla η 0 samassa lämpötilassa: η suht η(37 ) η 0 (37 ) +kc (373, 5 K 30, 5 K)2 0, 002, 02 (8) (iii) Kalojen konsentraatio on 0,002, joten seoksen (kalat+vesi) keskimääräinen tiheys on ρ avg 0, kg/m 3 + 0, kg/m 3 999, 6 kg/m 3 (9) Seoksen keskimääräistä tiheyttä tarvitaan Reynoldsin luvun laskemiseksi. Sen arvoksi saadaan R ρvr η 999, 6 kg/m3 53 m/s 0, 06 m 6, Pas 43723, (20) Reynoldsin luku on todella suuri (reilusti suurempi kuin 000), joten virtaus on hyvin turbulenttista. Voidaan sanoa, että tehtävän alussa tehty oletus virtauksen laminaarisuudesta ei ole järkevä. 6. Seuraavassa lyhyt katsaus fluidissa vajoavan kappaleen rajanopeuteen. (i) Punasolujen rajanopeudelle johdettiin luennoilla yhtälö v kr 2 9 gr 2 (ρ ρ 0 ), (2) η missä r on punasolun säde, g on putoamiskiihtyvyyden suuruus, ρ on punasolun tiheys, ρ 0 on veriplasman tiheys ja η on veriplasman viskositeetti. Sijoittamalla tehtävässä annetut lukuarvot (veriplasman viskositeetti voidaan ottaa monisteen taulukosta) saadaan tulokseksi v kr 2 9 9, 8 m/s2 (3 0 6 m) 2 (00 kg/m kg/m 3 ), Pas, m/s (22), µm/s 5

30, 5 K)2 0, 002, 02 (8) (iii) Kalojen konsentraatio on 0,002, joten seoksen (kalat+vesi) keskimääräinen tiheys on ρ avg 0, 998 000 kg/m 3 + 0, 002 800 kg/m 3 999, 6 kg/m 3 (9) Seoksen keskimääräistä

6 Laskeutumisnopeus on luontevinta ilmoittaa yksiköissä µm/s. Yleisessä mielessä mikä tahansa lopputulos kannattaa (mikäli mahdollista) ilmoittaa sellaisissa yksiköissä, joissa pilkun vasemmalla puolella on vain yksi numero ja perusyksikön edessä sopiva SI-yksikköjärjestelmän etuliite. (ii) Olkoon ajanhetki T siten, että pallo on saavuttanut 90 prosenttia rajanopeuden suuruudesta eli v(t) 0, 9 v kr. Tällöin tehtävänannon yhtälön mukaisesti pätee 0, 9 v kr v kr ( e T) e T 0, 9 e T 0, (23) ln(e T ) ln(0, ) ln(0) T ln(0) 2, 3 s Tehtävä oli siinä. Kaikki ylimääräinen tieto, mitä oli annettu edellä, oli hämäystä. Tarkoituksena oli demonstroida funktion voimaa fysikaalisen ominaisuuden kuvaamisessa. 6

perusyksikön edessä sopiva SI-yksikköjärjestelmän etuliite. (ii) Olkoon ajanhetki T siten, että pallo on saavuttanut 90 prosenttia rajanopeuden suuruudesta eli v(t) 0, 9 v kr.

Samankaltaiset tiedostot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti