y 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "y 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu."

Tyyne Pakarinen
4 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon keskilinja Oletetaan, että dp/ < 0 (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu (b) Laske fluidialkion kulmanopeusjakauma ω z (y) ja hahmottele tämän kuvaaja (c) Laske fluidialkion leikkausnopeusjakauma γ(y) (d) Selitä edellisten kohtien perusteella, miten fluidialkio deformoituu Ratkaisu (Kappale 61) (a) Fluidialkion tilavuuden muutos liittyy kokoonpuristumattomaan jatkuvuusyhtälöön Kokoonpuristumaton jatkuvuusyhtälö u x + v y + w z = 0 vaatii, että fluidialkion tilavuus ei muutu Tehtävän tapauksessa nopeutta on vain x-suuntaan, ja tämä nopeus riippuu vain y-koordinaatista Tällöin kaikki jatkuvuusyhtälön derivaatat häviävät ja annettu nopeusjakauma toteuttaa jatkuvuusyhtälön (b) Fluidialkion kulmanopeus z-akselin ympäri on määritetty lauseella ω z = 1 ( v 2 x u ) y Sijoittamalla annettu nopeusjakauma tähän, saadaan ω z (y) = 1 [ 0 1 dp ( y 2 h 2)] = dp/ 2 y 4µ 2y = dp/ y Tämän kuvaaja on suora, jossa kulmanopeus on positiivinen (alkion diagonaali kiertyy vastapäivään) keskilinjan yläpuolella ja negatiivinen (diagonaali kiertyy myötäpäivään) keskilinjan alapuolella, koska tehtävänannon mukaan dp/ < 0 (c) Leikkausnopeus on määritetty lauseella ( v γ = x + u ) y Sijoittamalla annettu nopeusjakauma tähän, saadaan [ γ(y) = dp ( y 2 h 2)] = dp/ y 2y = dp/ µ y

2 Leikkausnopeus muuttuu myös lineaarisesti y:n funktiona saaden positiivisia arvoja (fluidialkion vasen alanurkka pienenee) keskilinjan alapuolella ja negativiisia arvoja (vastaava kulma kasvaa) keskilinjan yläpuolella (d) A-kohdan perusteella fluidialkion tilavuus ei muutu Tämän lisäksi a-kohdan perusteella voidaan sanoa, että fluidialkio ei deformoidu lineaarisesti mihinkään suuntaan, koska kaikki jatkuvuusyhtälön derivaatat häviävät C-kohdan perusteella voidaan todeta, että fluidialkio leikkautuu virtauksessa siten, että leikkautuminen on kaikkein voimakkainta levyjen lähellä ja leikkautuminen häviää keskilinjalla Fluidialkion leikkautuessa vaakasuorat suorat eivät kierry, mutta pystysuorat suorat kiertyvät keskilinjan alapuolella myötäpäivään ja keskilinjan yläpuolella vastapäivään Tehtävä 2 Virtauksen heilahteluja voidaan vähentää esimerkiksi tuulitunnelissa hunajakennomaisella rakenteella, jonka läpi fluidi virtaa ennen mittausaluetta Tarkastellaan kuvan mukaista mehupilleistä tehtyä hunajakennoa (kts esim Kunkin pillin halkaisija on 3 mm ja pituus 10 cm Pillejä on yhteensä 1008 kpl Oletetaan, että virtausta tapahtuu ainoastaan pillien läpi, ei siis pillien väleistä Fluidi on 20 asteista ilmaa (a) Laske, kuinka suuri painehäviö hunjakennosta syntyy, jos keskimääräinen virtausnopeus hunajakennon läpi on 0, 5 m/s (b) Pidetään paine-ero hunajakennon yli samana kuin a-kohdassa Muuttuuko keskimääräinen virtausnopeus ja jos muuttuu niin miten, jos pillien halkaisija kaksinkertaistetaan, jolloin niiden lukumäärä tippuu neljäsosaan? Miten selität tämän tuloksen fysikaalisesti? Kuva 1: Tehtävän asettelu

3 Ratkaisu (Kappale 693) (a) Oletetaan, että virtausta pillissä voidaan approksimoida Hagen-Poisseuille -virtauksena Tällöin paine-eron ja yksittäisen pillin tilavuusvirran välille saadaan johdettua yhteys Tästä voidaan ratkaista suoraan paine-ero Tilavuusvirta on tässä tapauksessa Q = πr4 p p = Q πr 4 Q = V A pilli = V πr 2, missä V on keskimääräinen nopeus ja R on yksittäisen pillin säde Sijoitetaan tilavuusvirta paine-eron lausekkeeseen, jolloin saadaan p = V πr2 πr 4 Sijoitetaan tähän tunnetut arvot 1, jolloin saadaan = V R 2 p = 8 1, , 1 0, 5 0, Pa 3, 2 Pa (b) A-kohdan perusteella nähdään, että paine-eron ja keskimääräisen nopeuden välinen yhteys voidaan kirjoittaa muodossa V = pr2 Nopeuksien suhteeksi uuden tilanteen (2) ja alkuperäisen tilanteen (1) välille saadaan V 2 = p(2r 1) 2 V 1 pr 2 1 = 4 Samalla paine-erolla saavutettaisiin siis 4-kertainen nopeus Tosin heilahtelujen suodatus virtauksesta todennäköisesti heikkenisi hieman Tuloksen selittää se, että jokaisessa pillissä virtaus on tasapainossa eli fluidi ei kiihdy, koska fluidiin vaikuttavien voimien summa on nolla Fluidia ajavat ja jarruttavat voimat ovat siis yhtä suuret Kun pillien halkaisijaa kasvatetaan ja paine-ero pidetään muuttumattomana, pillin poikkipinta-ala ja siten paine-eron aiheuttama ajava voima kasvaa pillin halkaisijan toiseen potenssiin eli D 2 Samaan aikaan pillin sisäpinnan vaippa kasvaa myös, mutta vaipan poikkileikkausen piiri ja siten pinta-ala kasvaa halkaisijan ensimmäiseen potenssiin eli D Jotta voimat olisivat tasapainossa, pitää siis leikkausjännitysten pillin seinällä kasvaa (suhteessa D 2 /D = D) Jos halkaisija kaksinkertaistuu, myös leikkausjännityksen täytyy kaksinkertaistua Tämä tarkoittaa sitä, että nopeus kasvaa jyrkemmin pillin seinältä etäämmälle siirryttäessä Tämän lisäksi etäisyys seinältä pillin keskilinjalle kasvaa, jolloin nopeus kasvaa pidemmän matkan Näiden kahden tekijän seurauksena nopeus kasvaa halkaisijan toiseen potensiin eli kun halkaisija kaksinkertaistuu, nopeus nelinkertaistuu 1 Viskositeetin lähde:

4 Tehtävä 3 Tarkastellaan virtausta kahden suuren ja yhdensuuntaisen levyn välissä, joista alempi on paikallaan ja ylempi liikkuu nopeudella U (kts kuva) Oletetaan, että raossa vaikuttaa lisäksi vakiopainegradientti dp/ (a) Määritä nopeusjakauma u(y) raossa (b) Oletetaan, että U = 3, 0 m/s, h = 1, 0 cm ja fluidi on SAE 15W-40 öljyä 20 asteen lämpötilassa Määritä painegradientti dp/, jolla leikkausjännitys alemmalla levyllä on nolla (c) Määritä ylempään levyyn kohdistuva leikkausjännitys b-kohdan tilanteessa Kumpaan suuntaan leikkausjännitys vaikuttaa? Kuva 2: Tehtävän asettelu Ratkaisu (Kappale 691) (a) Kahden yhdensuuntaisen levyn välisen virtauksen nopeusjakaumalle on johdettu yleinen ratkaisu u(y) = 1 y 2 + c 1 y + c 2 Tässä esiintyy kaksi tuntematonta vakiota eli c 1 ja c 2 Nämä voidaan ratkaista reunaehtojen avulla Nyt tiedämme, että alempi levy pysyy paikallaan eli u( h) = 0 ja ylempi levy liikkuu nopeudella U eli u(h) = U Ensimmäisestä ehdosta saadaan 0 = 1 Toisesta ehdosta saadaan vastaavasti U = 1 ( dp ) h 2 c 1 h + c 2 h 2 + c 1 h + c 2 Vähentämällä jälkimmäisestä ehdosta ensimmäinen saadaan Summaamalla ehdot saadaan ( 1 dp µ 2c 1 h = U = c 1 = U 2h ) h 2 + 2c 2 = U = c 2 = U 2 1 h 2

5 Jos saadut arvot tuntemattomille vakioille sijoitetaan nopeusjakauman lausekkeeseen, saadaan u(y) = 1 y 2 + U 2h y + U 2 1 h 2 = 1 (y 2 h 2) + U ( 1 + y ) 2 h Saatu nopeusjakauma on summa puhtaasti paineen ajaman virtauksen ja puhtaasti levyn liikkeen ajaman virtauksen nopeusjakaumista Näitä virtauksia kutsutaan usein vastaavasti Poisseuilleja Couette -virtaukseksi Tästä syystä nyt tarkasteltavaa virtausta kutsutaan joskus yhdistetyksi Poisseuille-Couette -virtaukseksi Lausekkeesta nähdään, että sen ensimmäinen osuus, joka vastaa paineen ajamaa virtausta, häviää molemmilla seinillä Jälkimmäinen osuus, joka vastaa levyn liikkeen ajamaa virtausta, häviää alemmalla seinällä ja antaa ylemmällä seinällä liikkuvan levyn nopeuden (b) Ratkaisu perustuu siihen, että lasketaan saadusta nopeusjakaumasta leikkausjännitys alemmalle levylle ja asetetaan se nollaksi, jolloin saamme ehdon painegradientille Leikkausjännityksen lauseke redusoituu tällaisessa virtauksessa muotoon τ yx = µ du dy, koska ainoa nollasta poikkeava nopeuskomponentti on u Tämä muoto on tuttu jo ensimmäiseltä viikolta Sijoittamalla tähän a-kohdassa saatu nopeusjakauma saadaan τ yx (y) = µ 1 2y + µ U 2h = y + µu 2h (1) Vaatimalla, että leikkausjännitys häviää alemmalla levyllä, saadaan 0 = h + µu dp = 2h = µu 2h 2 Sijoittamalla tähän tunnetut suureet 2, saadaan dp 0, , 0 Pa = 2 0, m 4310 Pa m (c) Leikkausjännitys ylemmällä levyllä saadaan aivan vastaavasti kuin b-kohdassa lausekkeella (1) Kohdassa y = h saadaan τ yx (y = h) = h + µu 2h Sijoittamalla tähän b-kohdan painegradientin lauseke, saadaan τ yx (y = h) = µu 2h 2 h + µu 2h = µu h = 0, , 0 0, 010 Pa = 86, 169 Pa 86, 2 Pa Saadun leikkausjännityksen osalta on syytä huomata, että se on leikkausjännitys, joka vaikuttaa pintaan, jonka normaali on positiivisen y-akselin suuntaan Ylemmän levyn pinnalla, joka on kosketuksissa fluidin kanssa, pinnan normaali osoittaa negatiivisen y-akselin suuntaan Tämän vuoksi leikkausjännitys tällä pinnalla on yhtä suuri, mutta negatiivinen eli jännitys osoittaa negatiivisen x-akselin suuntaan 2 Viskositeetin lähde:

Samankaltaiset tiedostot

Fluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla

Tehtävä 1 Fluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla ( πy ) u(y) = U sin, kun 0 < y < δ. 2δ Tässä U on nopeus kaukana