ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Professori Riku Jäntti
ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Mitä kurssilla käsitellään? signaalien ja järjestelmien peruskäsitteitä signaali- ja järjestelmäanalyysin perusmenetelmiä signaalin siirron perusteita signaalin mittaamisen perusteita Missä tällaisia tietoja tarvitaan? kun jotain mitataan kun jotain signaalia siirretään kun signaaleja suodatetaan kun signaaleja generoidaan kun jotain järjestelmää säädetään 9/6/2019 2
TIM-materiaali Luku 01: Johdanto Signaalien teho ja energia Luku 02: Erikoissignaalit ja konvoluutio Luku 03: Signaaliavaruus Luku 04: Fourier-sarja Luku 05: Fourier-muunnos I Luku 06: Fourier-muunnos II Luku 07: Näytteenotto ja Diskreetti Fourier-muunnos Luku 08: LTI-järjestelmät aika-alueessa (ja Laplace-muunnos) Luku 09: LTI-järjestelmät taajuusalueessa. Luku 10: Signaalien lineaarinen suodattaminen. Luku 11: Modulaatio ja muistittomat epälineaariset järjestelmät Luku 12: Satunnaissignaalit https://tim.aalto.fi/view/elec-a7200/syksy19/luku-00/ 6.9.2019 3
Miten opiskella? Kurssi on vaativa! Varatkaa riittävästi aikaa (n. 10 h /viikko) materiaalin lukemiseen, ymmärtämiseen ja tehtävien laskemiseen. Kun luette materiaalia, koettakaa ymmärtää kaikki! Jos ette ymmärrä, niin kysykää kavereilta assareilta slackssä, laskareissa proffalta Antakaa palautetta myös kesken kurssin Yritämme parantaa materiaalia palautteenne perusteella. 6.9.2019 4
Laskutuvat Tiistai Torstai Klo 8-10 Klo 12-14 Klo 14-16 Klo 16 18 Även på svenska! Klo 16-18 6.9.2019 5
Arviointi Arvosanan määräytyminen Viikoittaiset tehtävä kierrokset TIM:ssä (30%) Kaksi kotitehtävää (20%) Kaksi välikoetta tai tentti: (50%) Laboratoriotyöt: hyväksytty/hylätty Kukin kurssin osio on suoritettava hyväksytyksi. 6.9.2019 6
Luennon tavoite Opitte tuntemaan signaalien ja järjestelmien peruskäsitteet Mikä on signaali? Mikä on järjestelmä? Mikä on spektri? Mitä tarkoittaa signaalin suodattaminen? Lisää TIM-materiaalissa. HUOM! Luennon jälkeen ei ole tarkoitus vielä osata laskea mitään! Laskemista harjoitellaan TIM-tehtävillä ja kotitehtävillä. 6.9.2019 7
Mikä on signaali?
Signaali x(t) on ajan funktio 6.9.2019 9
Signaalien luokittelua Signaali Deterministinen Stokastinen kohina Tehosignaali Energiasignaali Jaksollinen Pulssi Vaimeneva Erikoissignaali 6.9.2019 10
Signaali voi olla reaalinen tai kompleksi Kaikki luonnolliset (mitattavat) signaalit ovat reaalisia Kompleksiset signaalit ovat kätevä malli moduloiduille signaaleille s(t)=x I (t)cos(wt)+x Q (t)sin(wt) s(t)=re{(x I (t)-jx Q (t))exp(jwt)} jx e = cos x+ jsin x j = -1 x(t)=x I (t)-jx Q (t) Kompleksinen signaali 6.9.2019 11
Tehtävä Miettikää ryhmässä esimerkkejä signaaleista. 6.9.2019 12
Signaalit (aika-alueessa) ECG signaali NB-IoT tukiaseman kantataajuuinen signaali (kompleksi signaali) 1 0.8 NB-IoT Downlink base band signal Real Imaginary 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4 Veren paine -0.6-0.8 Jään paksuus (aikasarja) -1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Time (samples) Ääni 6.9.2019 13
Mikä on järjestelmä? Mikä ei ole järjestelmä?
Järjestelmät Järjestelmä / Systeemi / Prosessi on objekti, joka määrittää relaatiot signaalijoukon välillä. Järjestelmän signaalit jaetaan usein tulosuureisiin ja lähtösuureisiin Tulosignaalit ovat järjestelmästä riippumattomia Lähtösignaalit sisältävät järjestelmän tuottamaa informaatiota. Tyypillisesti järjestelmä reagoi lähtösignaaleihin ja tuottaa niiden perusteella lähtösignaalit. Tällöin tulo- ja lähtösignaalien välillä vallitsee kausaliteettisuhde. Häiriöt Manipuloitavat tulosuureet Järjestelmä Lähtösuureet SISO MISO SIMO MIMO Single Input-Single Output Multiple Input Single Output Single Input Multiple Output Multiple Input Multiple Output 9/6/2019 15
Tehtävä Miettikää ryhmässä esimerkkejä järjestelmistä. Mikä ei ole järjestelmä? 6.9.2019 16
Järjestelmiä x(t) y(t)=f(x(t)) y(t)=f(x(t)) x(t) x(t) y(t)=f(x(t)) x(t) y(t)=f(x(t)) F on järjestelmän toimintaa kuvaava operaattori 6.9.2019 17
Signaalit ja järjestelmät
Signaalit ja järjestelmät - kokonaiskuva Fysikaalinen järjestelmä Sähköpiiri Mekaaninen järjestelmä Virtausjärjestelmä Biologinen prosessi Jatkuvaaikainen signaali Jännite Virta Paine Terminen kohina 1/f kohina Pyyhkäisevä spekrianalysaattori Signaali taajuusalueessa Mittauskohina Alipäästösuodatin Näytteenotto Analogia- Digitaalimuunnos Diskreettiaikainen signaali FFT 6.9.2019 19
Signaalit ja järjestelmät - kokonaiskuva Fysikaalinen järjestelmä Sähköpiiri Mekaaninen järjestelmä Virtausjärjestelmä Biologinen prosessi Jatkuvaaikainen signaali Jännite Virta Paine Terminen kohina 1/f kohina Pyyhkäisevä spekrianalysaattori Signaali taajuusalueessa Mittauskohina Alipäästösuodatin Näytteenotto Analogia- Digitaalimuunnos Diskreettiaikainen signaali FFT 6.9.2019 20
Peruskäsitteitä Signaalin teho ja energia Signaalin teho- ja energiaspektri Signaalin suodattaminen
Signaalien teho ja energia Luku 1
Signaalin teho ja energia Piirianalyysi yhdellä sanalla: Puimuri => P=u i, u=r i 1 i( t) = u( t) R u( t) R 6.9.2019 23
Signaalin teho ja energia Sähköpiiri jossa resistiivinen 1 Ohmin kuorma (R=1 W) Hetkellinen näennäisteho u( t) 1 i( t) = u( t) R R * 1 2 2 P( t) = u( t) i ( t) = u( t) = u( t) R Vastuksessa kuluva energia aikavälillä [t 0,t 1 ] t 1 1 ò E = P( t) dt = u( t) dt -t -t 0 0 t ò 2 Vastuksessa kuluva keskimääräinen teho aikavälillä [t 0,t 1 ] t 1 1 1 1 2 P = P( t) dt = u( t) dt t - t ò t - t ò 1 0 t 1 0 t 0 0 t 9/6/2019 24
Yleistetty energia ja teho Mielivaltainen signaali s(t) (ei välttämättä virta tai jännite) Energiasignaalit T 2 E = lim T ò s( t) dt -T Signaali on energiasignaali, jos 0<E< Tehosignaalit T 2 1 2 P = lim T s( t) dt T ò T - 2 Signaali on tehosignaali, jos 0<P< 9/6/2019 25
Jaksolliset signaalit ovat tehosignaaleja Jaksollinen signaali x( t) = x( t + T ), tî 0 T 0 on jaksonaika, 1/T 0 on ominaistaajuus Keskimääräisen tehon laskemiseksi riittää, että tarkastellaan yhtä jakson mittaista aikaväliä. Jakson paikka voidaan valita mielivaltaisesti T 0 t0 + T0 2 2 1 1 P = x( t) dt x( t) dt t0 T ò = " Î T ò 0 T 0 0 0 t -T 0 /2 T 0 /2 t 9/6/2019 26
Pulssit ja vaimenevat signaalit ovat energiasignaaleita Pulssi Vaimeneva signaali 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 t Esim. yksikköpulssi Esim. Vaimeneva värähtely = ( ) < 6.9.2019 27
Tehtävä Miettikää ryhmässä esimerkkejä a) Tehosignaaleista b) Energiasignaaleista Onko signaaleita, jotka eivät ole joko teho- tai energiasingaaleita? 6.9.2019 28
Signaalit 0,8 1 0,6 0,4 0,2 0 0,8 1 0,6 0,4 0,2 0 0,8 1 0,6 0,4 0,2 0 Normaali sydämen lyönti 4 Hz 8 Hz 12 Hz 16 Hz 20 Hz Kammiotakykardia 4 Hz 8 Hz 12 Hz 16 Hz 20 Hz Kammiovärinä 4 Hz 8 Hz 12 Hz 16 Hz 20 Hz taajuusalueessa Mikä on spektri? Luvut 4-6
Jaksolliset signaalit ja Fouriersarjat Luku 4
Aika- ja taajuusalueen analyysi Volttia Wattia/Hz 9/6/2019 31
Jaksolliset signaalit koostuvat harmonisista taajuuksista Ominaistaajuus/ Perustaajuus 1/T 0 Hz 2. Harmoninen Taajuus 2/T 0 Hz 3. Harmoninen Taajuus 3/T 0 Hz... 4. Harmoninen Taajuus 4/T 0 Hz https://en.wikipedia.org/wiki/harmonic Harmonisten taajuuksien Soittaminen kitaralla 6.9.2019 32
Jaksolliset signaalit koostuvat harmonisista taajuuksista Reaaliselle jaksolliselle signaalille pätee Fourier-sarja esitys: = + 2 cos 2p DCkomponentti Amplitudi Harmoninen taajuus k/t 0 Hz + arg Vaihe = 1 ( ) Fourier-sarjan kerroin 6.9.2019 33
Jaksolliset signaalit koostuvat harmonisista taajuuksista Kanttiaalto Ominaistaajuuskomponentti + 3. harmoninen Ominaistaajuuskomponentti + 3. harmoninen + 5. harmoninen https://en.wikipedia.org/wiki/fourier_series Ominaistaajuuskomponentti + 3. harmoninen + 5. harmoninen + 7. harmoninen 6.9.2019 34
Kaksipuoleinen tehospekri Jos x(t) on realinen, niin sen Fourier-sarja voidaan kirjoittaa muotoon: Tehotiheys [W/Hz] = + 2 cos 2p Yksipuoleinen tehospektri 2 2 + arg Keskimääräinen teho 2 = + 2 0 1 2 3 f [Hz] 6.9.2019 35
Kaksipuoleinen tehospekri Yleisessä tapauksessa Fourier-sarja voidaan kirjoittaa mutoon: = p Kaksipuoleinen tehospektri Tehotiheys [W/Hz] Keskimääräinen teho = 3 2 1 0 1 2 3 f [Hz] 6.9.2019 36
Yksi ja kaksipuoleinen tehospektri Esimerkki: Kanttiaalto +1-1 Kaksipuoleinen tehospektri T 0 Yksipuoleinen tehospektri 6.9.2019 37
Tehtävä 1. Erään jaksollisen signaalin kaksipuoleinen tehospektri on Tehotiheys [W/Hz] 2 0.5 1 1 0.5 2 1 0 1 2 3 a) Mikä on signaalin keskimääräinen teho? b) Piirrä signaalin yksipuoleinen tehospektri 6.9.2019 38
Aika- ja taajuusalueen signaalit Signaali generaattori Oskilloskooppi (Aika-alueen signali) Spektri-analysaattori (Taajuusalueen signaali) 9/6/2019 39
Aika- ja taajuusalueen signaalit Signaaligeneraattorin tuottama kanttiaalto Kanttiaaltoja esiintyy mm. Digitaalinen kello signaali Hakkuriteholähteen tuottama vaihtojännite Testisignaali 9/6/2019 40
Aika- ja taajuusalueen signaalit Spektrianalysaattorin tuottama tulos. -3.9 db Fourier-sarjaesityksen perusteella laskettu viivaspektri Teorian ennustamat arvot ovat erittäin lähellä mitattuja arvoja! -13.5 db -17.9 db -20.8 db -23.0 dḇ 24.7 db-26.2 db -27.4 db -28.5 db Teoriaa voi käyttää varmistaakseen siitä, että mittalaitteet on oikein kalibroitu! 6.9.2019 41
Fourier-muuunnos ( ) = ( ) Käänteismuunnos ( ) = ( ) Fourier-muunnos Luvut 5-6
Signaalin spektri Tehosignaali => Tehospektri [W/Hz] T 0 Energiasignaali => Energiaspektri [J/Hz] x k 2 W/Hz X(f) 2 J/Hz Signaalin tehon jakautuminen taajuuskomponentteihin Signaalin energian jakautuminen taajuuskomponentteihin 6.9.2019 43
Järjestelmät aikaalueessa Impulssivaste ja konvoluutio-integraali Luku 8
Lineaariset aikainvariantit järjestelmät Linear Time Invariant (LTI) Systems Jatkuva-aikaisen LTI-järjestelmän toimintaa kuvaa lineaarinen differentiaaliyhtälö x(t) h(t) y(t) n n-1 m m-1 d d d d y( t) = -a1 y( t) -L- a ( ) 1 n y t + b0 x( t) + b1 x( t) + L+ b ( ) n n m m 1 mx t - - dt dt dt dt R i(t) L i(t) C i(t) k B m v(t) v( t) = Ri( t) v(t) di( t) v( t) = L dt v(t) dv( t) i( t) = C dt x 1 (t) x 2 (t) F ( t) = k( x ( t) - x ( t)) k = kdx( t) 1 2 x 1 (t) x 2 (t) ( ) ddx( t) Fb t = B dt x(t) 2 ( ) d x( t) Fm t = m dt 2 9/6/2019 45
Lineaariset aikainvariantit järjestelmät Esimerkki 1. kertaluvun järjestelmä ( ) = + ( ) RC-piiri Suoramomenttisäädetty nopeuskäyttö x tulojännite y lähtöjännite x y x nopeusreferenssi y sähkömoottorin pyörimisnopeus Iskunvaimennin Kemostaatti x y x voima y nopeus x ravinnon konsentraatio y biomassa 6.9.2019 46
LTI-järjestelmän impulssivaste Impulssivaste h(t) d(t) Järjestelmä h(t) Esim. RC suodatin R x(t) C y(t) 9/6/2019 47
Impulssivaste Esim. Konserttisalin akustiikan mallinnus Laulu kaiuttomassa studiossa x(t) http://www.openairlib.net/anechoicdb/conten t/operatic-voice Kirkkosalin impulssivaste å ( t ) h( t) = hkd t - k k http://www.openairlib.net/aurali zationdb/content/st-patrickschurch-patrington-model Laulu kirkkosalissa ò y( t) = x( t ) h( t -t ) dt - Konvoluutio-integraali luvussa 2 + FFT luvussa 7 9/6/2019 48
Järjestelmät taajuusalueessa Luvut 9-10
LTI-järjestelmän taajuusvaste x( t) = cos 2 ( p ft ) H(f) ( { }) ( ) p ( ) y( t) = H f cos 2 ft + arg H f 20log 10 ( H(f) ) Magnitude (db) 0-10 -20-30 Bode Diagram Teho vaimennus arg{h(f)} Phase (deg) -40 0-45 -90 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) w=2pf Vaihesiirto Signaalin taajuus ei muutu kuljettaessa LTI-järjestelmän läpi 9/6/2019 50
Tehtävä Erään järjestelmän taajuusvaste on Kuinka paljon se vaimentaa 1 rad/s sinimuotoisen signaalin tehoa? Entä 100 rad/s taajuisen signaalin tehoa? 6.9.2019
Signaalin suodattaminen Alipäästösuodatin vaimentaa korkeita taajuksia, mutta päästää matalat läpi. 6.9.2019 52
Ideaaliset alipäästö-, ylipäästö- ja kaistanpäästösuodattimet Alipäästösuodatin H ( f ) A Kaistanpäästösuodatin H ( f ) A Päästökaista Ylipäästösuodatin H ( f ) A f Päästökaista Kaistanestosuodatin H ( f ) A f Estokaista f Estokaista f 9/6/2019 53
Käytännön suodattimet KÄYTÄNNÖN SUODATIN 20log A(f) DA p Suodatinperheitä -10 db -20 db -30 db -40 db DA e Selektiivisyys päästökaista ylimenokaista estokaista 9/6/2019 54
Käytännön suodattimet Esimerkki kaupallisesta Butterworth suodattimesta http://fi.mouser.com/images/texasinstruments/lrg/ti_soic_8.jpg 9/6/2019 55
Tehtävä Anna esimerkki sovelluksesta, jossa tarvitaan a) Alipäästösuodatinta b) Kaistanpäästösuodatinta c) Ylipäästösuodatinta 6.9.2019
Signaalin suodattaminen Mihin suodattimia tarvitaan? Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden vaimentaminen Sovitettu suodatin signaalikohinasuhteen maksimoimiseksi näytteenottohetkellä Signaalien erottaminen muista signaaleista esim. radiovastaanottimessa Halutun pulssimuodon tai -spektrin generoiminen Siirtokanavan aiheuttamien lineaaristen vääristymien korjaus Alkuperäisen signaalin rekonstruktio näytteistä Dupleksisuodattimet (ylä- ja alasuunnan liikenteen erottaminen omille kaistoilleen) Esikorostus/jälkikorjausmenetelmät Peilitaajuussignaalin vaimentaminen superhetero- dyneperiaatteella toimivassa radiovastaanottimessa jne 9/6/2019 57
https://en.wikipedia.org/wiki/audio_power_amplifier#/media/file:unitra_ws- 503_arch1_%281%29.jpg Epälineaariset järjestelmät Kuten vahvistimet Luku 11
Särö ja keskinäismodulaatio Muistittomat epälineaariset järjestelmät Saa aikaan särön (syntyy harmoonisia yliaaltoja) Distortion_effect.ogg Aiheuttaa keskinäismodulaatiota (syntyy sekoitustaajuuksia) Teho spektri (db) f ( x)» a x + a x 1 3 f 1 f 2 2f 1 -f 2 f 1 f 2 2f 2 +f 1 3 https://en.wikipedia.org/wiki/distortion Kuuntele säröä: http://en.wikipedia.org/wiki/file:distortion_effect.ogg 9/6/2019 59
Särö ja keskinäismodulaatio Eräs kuulokevahvistin Yksitaajuustesti (single tone) Kaksitaajuustesti (two tone) http://neon.skydan.in.ua/af.php 6.9.2019 60
https://en.wikipedia.org/wiki/modulation#/media/file:amfm3-en-de.gif Modulaatio https://www.google.fi/search?q=fm+radio&source=lnms&tbm=isch&sa=x &ved=0ahukewi9i9kopc_nahxgo5okhbapc5cq_auiccgb&biw=1280& bih=953#imgrc=rmlld5lfdjpjam%3a Luku 11
Modulaatio Modulaatiossa siirretään moduloivan signaalin spektri kantoaallon taajuusalueelle, joko siten että spektrin muoto säilyy lineaarisessa modulaatiossa, tai niin että spektrin muoto muuttuu epälineaarisessa modulaatiossa Moduloiva signaali v(t) Modulaattori c(t) Kantoaalto generaattori x(t) Kantoaalto Moduloitu signaali 9/6/2019 62
Amplitudimodulaatio 1.5 1 Moduloiva signaali m x + Moduloitu signaali = (1 + ) 2 1.5 1 0.5 0.5 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Tehospektri Kantoaalto = sin 2 1-1.5-2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Tehospektri 0.8 0.6 0.4 0.2 f 0-0.2-0.4-0.6 f -0.8-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tehospektri f 6.9.2019 63
Näytteenotto Näytteenottoteoreema Diskreetti ja nopea Fourier-muunnos Luku 7
Näytteenotto Otetaan jatkuvasta signaalista näytteitä tasavälein T x( t ) { x( kt), k Î0,1,2,... } T s näytteenottoväli f s =1/T s näytteenottotaajuus Nyquistin teoreema: Jos signaalin x(t) kaistanleveys on B, niin signaali voidaan palauttaa näytepisteistä mikäli f s 2B@f N Nyquistin rajataajuus. 9/6/2019 65
Aliasointi ilmiö Yli Nyquistin taajuuden oleva signaali, näyttää näytteenoton jälkeen alemman taajuuden signaalilta. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 f s =4 Hz, f N =2 Hz f=1 Hz f=3 Hz -0.2 f 2 f N - f -0.4-0.6 Aliasointi ilmiön takia kaikki signaalit pitää alipäästösuodattaa ennen näytteenottoa! f N -0.8-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t 9/6/2019 66
Tehtävä Sinimuotoisen signaalin taajuus on 2 GHz. Mikä pitäisi näytteenottotaajuuden olla, jotta aliasointia ei tapahtuisi? 6.9.2019 67
Diskreetti ja nopea Fourier-muunnos Käytännössä spektri mitataan ottamalla signaalista näytteitä ja laksemalla näytteille diskreetti Fourier muunnos käyttäen nopeaa Fourier-muunnos (FFT) algoritmia. 6.9.2019 68
Satunnaissignaalit ja kohina Kohina Luku 12
Satunnaissignaalit ja kohina Satunnaisen signaalin käyttäytymistä tulevaisuudessa ei voida tarkasti ennustaa. Voidaan vain esittää todennäköisyys sille, että amplitudi on jollakin amplitudivälillä ( ) Pr x( t) x = F ( x; t) Satunnaissigaali on stationäärinen mikäli sen tilastolliset ominaisuudet eivät riipu ajasta x Amplitude 8 6 4 2 0-2 -4 0 50 100 150 200 Time 8 6 4 Keskihajonta s=2 Oletusarvo m=3 2 0-2 -4 PDF 0 0.05 0.1 0.15 0.2 9/6/2019 70
Kohinan tehotiheys Kaikki mittaukset on kohinaisia. Blue_noise.ogg White-noise-sound-20sec-mono-44100Hz.ogg Pink_noise.ogg https://en.wikipedia.org/wiki/colors_of_noise 6.9.2019 71
Kohinaa voidaan vähentää suodattamalla signaalia 6.9.2019 72