. SIIRTYÄSUURDEN ÄÄRITTÄINEN YKSIK- KÖVOIENETEÄÄ. Yksikkövoimmenetemän perite Trksten stttisesti määrättyä suvrkennett, jonk kuormitus on nnettu. Tvoitteen on määrittää rkenteen pisteeseen iittyvä yeistetty siirtymä δ. Soveetn virtuisen työn peritett siten, että stttisesti situksi (toteutt tspinoehdot j mekniset reunehdot) virtuiseksi (ei kuviteuksi) voimtiksi otetn δ :t vstvn, ykkösen suuruisen yeistetyn voimn F = iheuttm voimti j kinemttisesti situksi (toteutt yhteensopivuusehdot j geometriset reunehdot) siirtymätiksi rkenteen todeisest kuormituksest iheutuv siirtymäti. Yeistetyn voimn F tekemä ukoinen virtuinen työ on täöin W = F δ (.) et Suvrkenteen sisäisen virtuisen työn W useke riippuu rkennetyypistä j se johdetn joiekin yksinkertisie rkennetyypeie jäjempänä. Virtuisen työn peritteen mukn tspinoss oevss rkenteess virtuinen kokonistyö häviää, ts. W Wet + W =. (.) Rkenteen virtuinen voimti muodostuu siis ukoisest yeistetystä voimst F = j siitä iheutuvist virtuisist jännitysresutnteist, joit ovt esimerkiksi ristikon suvojen virtuiset suvvoimt S i, ksiisesti kuormitetun suvn virtuinen normivoim N( ), tivutetun pkin virtuinen tivutusmomentti ( ) ti väännetyn pkin virtuinen vääntömomentti t ( ). Näitä jännitysresutnttej pidetään tässä tunnettuin, kosk ne voidn (stttisesti määrätyn rkenteen tpuksess) määrittää etukäteen. Rkenteen todeinen siirtymäti muodostuu rkenteen ukoisest kuormituksest iheutuvist siirtymistä, joit vstv pisteen yeistetty siirtymä on siis δ, j jännitysresutnttej vstvist todeisist muodonmuutossuureist, joit ovt esimerkiksi ristikon suvojen pituuden muutokset Δ i, ksiisesti kuormitetun suvn venymä ε ( ), tivutetun pkin käyristymä κ ( ) j väännetyn suvn vääntymä θ ( ). Näitä muodonmuutossuureit pidetään tässä tunnettuin, kosk ne voidn (stttisesti määrätyn rkenteen tpuksess) määrittää etukäteen. Virtuisen työn peritteest (.) j yhtäöstä (.) seur yksikkövoimmenetemän kv Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 8
F δ = W, (.) missä W on yksikkövoimn F = iheuttm virtuist voimti j todeist siirtymäti vstv sisäinen virtuinen työ. Tästä yhtäöstä seur suorn etsitye yeistetye siirtymäe δ tuos δ = W. (.4) Yhtäö (.) muodost ähtökohdn stttisesti määrättyjen suvrkenteiden siirtymien määrittämiseksi yksikkövoimmenetemää. Seurvss johdmme vedon ti puristuksen isen suvn, tivutuksen isen pkin, eikkuksen isen (Timoshenko) pkin, väännetyn suvn sekä yeistetyn jousen sisäisen virtuisen työn W usekkeet. eknisen kuormituksen isäksi trksteemme ns. kumuodonmuutoksen vikutust.. Sisäisen virtuisen työn usekkeit. Vedon ti puristuksen rsittm suv Trksten vedon ti puristuksen rsittm suor suv. u u+ ud N N d Kuv.: Suv-kion normivoimn N tekemä sisäinen virtuinen työ Kuvss. on suv-kio, jot kuormitt virtuinen normivoim N j jok on tspinoss. Virtuisen työn perite suv-kioe kuuuu jost sdn sen sisäisee virtuisee työe et dw dw + dwet =, (.5) dw = d W = [ N( u + u d ) Nu] = Nu d = Nεd. (.) Integroim suvn pituuden yi sdn suvn sisäisee virtuisee työe useke W ε = Nεd. (.7) Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 9
Kv (.7) on mhdoisimmn yeinen muoto. Sitä johdettess ei oe käytetty inkn hyväksi suvn mteriiki, joten se on voimss myös ysikisesti epäinerisee suve. Poikkieikkuksetn muuttuvn suvn käsittey on myös mhdoist. Homogeeninen, inerisesti kimmoinen suv: Seurvss rjoitutn suvn, jonk mterii on homogeenist j inerisesti kimmoist. Suv poikkieikkus voi kuitenkin vihde. Sijoittm suvn venymän j normivoimn yhteys N ε = + ε (.8) E usekkeeseen (.7) sdn suvn sisäisee virtuisee työe tuos W = W + W ε (.9) N missä N N( ) N( ) ε = = ε E( ) (.) W d, W N( ) ( ) d. ovt normivoimn j kuvenymän osuudet suvn virtuisest työstä. Jos suv on tsjäykkä, ts. E = vkio, edeisee sdn N W = N( ) N( )d E. (.). Tivutuksen rsittm pkki Trksten tivutuksen rsittm pkki. ϕ ϕ + ϕ d d Kuv.: Pkkikion tivutusmomentin tekemä sisäinen virtuinen työ Kuvss. on pkkikio, jot kuormitt virtuinen tivutusmomentti j jok on tspinoss. Virtuisen työn peritteen perustee pkkikion sisäisee virtuisee työe sdn Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
dw = dwet = [ ( ϕ + ϕ d) + ϕ] = ϕ d = κd. (.) Integroim pkin pituuden yi sdn pkin sisäisee virtuisee työe useke W = κ d. (.) κ Kv (.) on mhdoisimmn yeinen muoto. Sitä johdettess ei oe käytetty inkn hyväksi pkin mteriiki, joten se on voimss myös ysikisesti epäinerisee pkie. Poikkieikkuksetn muuttuvn pkin käsittey on myös mhdoist. Homogeeninen, inerisesti kimmoinen pkki: Seurvss rjoitutn pkkiin, jonk mterii on homogeenist j inerisesti kimmoist. Pkin poikkieikkus voi kuitenkin vihde. Sijoittm pkin käyristymän tivutusmomentin yhteys κ = + κ. (.4) kvn (.), sdn pkin sisäisee virtuisee työe tuos W = W + W κ (.5) missä ( ) ( ) κ = = κ ( ) (.) W d, W ( ) ( ) d, ovt normivoimn j kukäyristymän osuudet suvn virtuisest työstä. Jos pkki on isäksi tsjäykkä, ts. = vkio, edeisee sdn W = ( ) ( ) d. (.7) Huomutus: Smnikisesti kuin pkki s kukäyristymän se s usein myös kuvenymän (vrt. koht.), jooin myös virtuinen normivoim N tekee virtuist työtä. Tämä suvn ksein kuvenymään iittyvä virtuinen työ on ε ε W = N( ) ( ) d. (.8) Jos kuitenkin on kiinnostuneit tyypiisistä pkin yeistetyistä siirtymistä, kuten esimerkiksi tipumist j kiertymistä, yksikkövoimst F = iheutuv virtuinen normivoim N( ) häviää j suvn ksein venymään iittyvä virtuinen työ W ε on no. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
. Pkin eikkusvoimn tekemä virtuinen työ Teknisessä tivutusteoriss (ernoui-euer teoriss) otksutn, että pkin eikkusmuodonmuutos γ häviää. Tämän vuoksi virtuinen eikkusvoim Q ei tee työtä. y Timoshenko-pkkiteoriss sen sijn pkin eikkusmuodonmuutos otetn huomioon j sitä edust iukumkum γ ( ). Täöin virtuinen eikkusvoim Q ( ) tekee työtä. Q v γ d Q Kuv. Pkkikion eikkusvoimn Q tekemä sisäinen virtuinen työ Kuvss. on pkkikio, jok s eikkusmuodonmuutoksen γ, jot kuormitt virtuinen eikkusvoim Q j jok on tspinoss. Virtuisen työn peritteen perustee pkkikion sisäisee virtuisee työe sdn dw = dwet = [ Q( v + γd) Qv] = Qγ d. (.9) Integroim pkin pituuden yi sdn pkin virtuisen eikkusvoimn Q tekemäe sisäisee virtuisee työe useke W γ = Qγ d. (.) Kv (.) on mhdoisimmn yeinen muoto, jot johdettess ei oe vieä käytetty hyväksi pkin mteriiki. Suvn oess homogeeninen j inerisesti kimmoinen iukumkum j eikkusvoim on yhteys Q γ = ζ, (.) G missä G on iukumoduui j ζ on poikkieikkuksen siirtymäkerroin. Suvn eikkuksest iheutuv sisäisen virtuisen työn useke (.) s tässä tpuksess muodon W Q QQ ( ) ( ) = ζ d. (.) G( ) Jos suv on isäksi tsjäykkä, ts. G = vkio, sdn Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
W Q ζ = Q( ) Q( ) d. G (.) Poikkieikkuksen siirtymäkerroin voidn määrittää kvst + y S( y) ζ = dy, I (.4) b( y) y missä, I, S( y ) j by ( ) ovt poikkipinnn, jäyhyysmomentti, stttinen momentti (ospoikkipsuure) j eveys sekä y j y + ovt poikkipinnn yä- j reunn y- koordintit (vrt. R). Huomutus: Timoshenko pkiss voi esiyä myös kuiukumkum γ, jooin iukumkumn j eikkusvoimn yhteys on Q γ = ζ + γ. G Kosk kuiukumkum on käytännössä hrvinisempi käsite, jätetään se tässä yhteydessä trksteun ukopuoee..4 Väännön rsittm suv Trksten väännön rsittm suor suv. t t ϕ t d ϕ t + ϕ t d Kuv.7: Suv-kion vääntömomentin t tekemä sisäinen virtuinen työ Kuvss.7 on suv-kio, jot kuormitt virtuinen vääntömomentti t j jok on tspinoss. Virtuisen työn peritteen perustee suv-kion sisäisee virtuisee työe sdn dw = dwet = [ t( ϕt + ϕ td) tϕt] = tϕ td = tθd, (.5) missä θ on suvn vääntymä. Integroim suvn pituuden yi sdn suvn sisäisee virtuisee työe useke θ W = θ d. (.) t Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
Kv (.) on mhdoisimmn yeinen muoto. Sitä johdettess ei oe vieä käytetty hyväksi suvn mteriiki. Poikkieikkuksetn muuttuvn suvn käsittey on myös mhdoist. Homogeeninen, inerisesti kimmoinen suv: Seurvss rjoitutn suvn, jonk mterii on homogeenist j inerisesti kimmoist. Suv poikkieikkus voi kuitenkin vihde. Suvn vääntymän j vääntömomentin yhteys on t θ = (.7) GIt Sijoittm tämä vääntymän useke kvn (.), sdn suvn vääntömomentist iheutuve sisäisee virtuisee työe tuos W t t t GI ( ) t = ( ) ( ) d. (.8) Jos suv on isäksi tsjäykkä, ts. GI = vkio, sdn t t W = t( ) t( ) d GI. (.9) t Huomutus: Väännetyssä suvss voi esiyä myös kuvääntymä θ, jooin vääntymän j vääntömomentin yhteys on θ t = + θ. GIt Kosk kuvääntymä on käytännössä hrvinisempi käsite, jätetään se tässä yhteydessä trksteun ukopuoee. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 4
.5 Yeistetty jousi Trksten yeistettyä joust. () +Δ (b) k Δ J k J J k J Kuv.8: Yeistetty jousi: () jousi j (b) kierrejousi Kuvss.8 on yeistetty jousi, jot kuormitt virtuinen yeistetty jousivoim J, jonk todeinen yeistetty venymä on Δ j jok on tspinoss. Virtuisen työn peritteen perustee jousen sisäisee virtuisee työe sdn W Δ = Δ (.) J. inerisesti kimmoinen yeistetty jousi: Sijoittm jousen yeistetyn venymän useke sisäisen virtuisen työn usekkeeseen (.) sdn J Δ = (.) k W J JJ =. (.) k Huomutus: Yeistetyssä jousess voi esiyä myös jousen kuvenymä Δ, jooin jousen venymän j jousivoimn yhteys on J Δ = +Δ. k Kosk jousen kuvenymä on käytännössä hrvinisempi käsite, jätetään se tässä yhteydessä trksteun ukopuoee. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 5
. Integrien määrittäminen yksikkövoimmenetemässä Yksikkövoimmenetemässä joudutn tvnomisesti skemn viiv-egrej, jotk ovt muoto N( ) N( ) ( ) ( ) d, d, jne. E( ) ( ) (.) Koordintti on suvn kseiin yhtyvä koordintti j egroi suoritetn suvn ti sen osn pituuden yi. Jos suvt ovt tsjäykkiä ts. =vkio, kuten usein on sinit, egrit ovt muoto N( ) N( ) d, ( ) ( ) d, jne. E (.4) erkitään usekkeiden (.) egroimistehtävää jtkoss yhyesti missä F( ) d, (.5) N( ) N( ) ( ) ( ) F( ) =, F( ), jne. E( ) = ( ) (.) j usekkeiss (.4) esiyvää egroimistehtävää vstvsti missä ( ) ( d ). (.7) ( ) ( ) = N( ) N( ), ( ) ( ) = ( ) ( ), jne. (.8) Integroi voidn suoritt use vihtoehtoise tv, joit on esitetty seurvss. nyyttinen egroi. Integroi knntt suoritt nyyttisesti, mikäi egrndiss esiyvien suureiden nyyttiset usekkeet voidn heposti muodost j egroi on kohtuuise työä mhdoist. Tuukoiden käyttö. Seurv sivu on esitetty d-tuukot, jotk on dittu nimenomn yksikkövoimmenetemää vrten. Niiden käyttö on hyvin heppo j käytännöistä. Tuukko voidn sovet kukin seise suvn os, jo ( ) on korken inerinen j ( ) on korken kvdrttinen (prbei) poynomi. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
Tuukko.: Integrien d määritystuukko. ( + ) ( + ) ( + ) ( ) [ ( + ) + ( + )] + ( + ) ( + ) / / / / ( + ) / / ( 4 ) + / ( + /) / [ + ( + ) /] / (4 ) / + / ( / ) [( ) ] + + / + / ( + 4 / + ) ( /) [ + ( + ) + ] + ( / + ) / d ( + + ) Tuukon. kvt on heppo joht kvn (.4) vu. Trksten esimerkiksi nejännen rivin j nejännen srkkeen tpust, joss sekä ( ) että ( ) ovt inerisi. Täöin on = ( + )/, = ( + )/. Sijoittm nämä tuokset kvn (.4) sdn tuukon tuos. / / Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 7
Numeerinen egroi. Numeerisi egroimenetemiä on kehitetty useit. Niistä voidn minit mm. puoisuunnikssääntö, Simpsonin kv j Guss-egendren kvdrtuuri (vrt.. äkeä, O. Nevninn j J. Virkkunen: Numeerinen mtemtiikk). Tässä yhteydessä käsiteään inostn Simpsonin kv. Integroimisväi (suvn pituus ti sen os) jetn tsväein priiseen määrään n jkoväejä. Täöin Simpsonin kv on Δ F( ) d ( F + 4F+ F + 4 F+... + Fn + 4 Fn + Fn), (.9) missä Δ = / n j Fi = F( iδ ). Kv on ikimääräiskv, jonk trkkuus prnee, kun jkoväien ukumäärää n isätään. ikäi egroitv unktio on poynomi, jonk steuku on kome ti empi, Simpsonin kv nt trkn tuoksen. Yksikkövoimmenetemän soveuksiss on näin usein it, jooin voidn ott käyttöön Simpsonin kv kht jkoväiä käyttäen F( ) d ( F + 4F+ F) (.4) Soveettun tuoon sdn ( ) ( ) d= ( + 4 // + ), (.4) missä indeksit, / j viittvt vstvsti egroimisväin vsempn päähän, keskipisteeseen j oiken päähän. Tämä kv trjo kätevän j systemttisen tvn egroid trksti j imn tuukoit. Edeytyksenä on, että ( ):n j ( ) :n steukujen summ on korken. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 8
.4 Yksikkövoimmenetemän kvoj tyypiisie rkenteie.4 Ristikko Trksten ensin ristikko, jok voi o joko tso- ti vruusristikko. Ristikko on suorist suvoist muodostuv rkenne, joss suvt iittyvät toisiins niveten väitykseä j kuormt kohdistuvt pekästään niveiin. Ristikon suvoiss esiyy tämän vuoksi vin vkiosuuruinen normivoim, jot kutsutn suvvoimksi j merkitään symboi S i. Tvisesti ristikon suvt ovt isäksi tsjäykkiä (mterii on homogeenist j poikkieikkus ei vihtee), jooin myös suvn venymä ε = vkio. i Ristikkosuvn i sisäisen virtuisen työn useke sdn usekkeest (.7) sijoittm siihen N( ) = S i = vkio j ε = ε i = vkio, jooin sdn i W = Sε d= Sε (.4), i i i i i i Summm ristikon suvojen yi sdn koko ristikon sisäisee virtuisee työe useke n W = W = Sε, i i i i i= i= n (.4) missä n on ristikon suvojen ukumäärä. Sijoittm tämä tuos yhtäöön (.) sdn yksikkövoimmenetemän kvksi ristikoe F δ = Siεii (.44) n i= Kv (.44) on mhdoisimmn yeinen muoto. Sitä johdettess ei käytetty inkn hyväksi suvojen mteriiki, joten se on voimss myös ysikisesti epäinerisie ristikoie. Ristikon virtuinen voimti muodostuu siis kuviteust yeistetystä voimst F = j siitä iheutuvist suvvoimist S i j todeinen siirtymäti ristikon kuormituksest iheutuvst yeistetystä siirtymästä δ j suvojen venymistä ε i. Kv (.44) käytettäessä joudutn siis skemn kuviteust yksikkövoimst F = iheutuvt suvvoimt S i j suvojen todeisest kuormituksest iheutuvt venymät ε i. Jäkimmäiset sdn määrittämää ensin todeisest kuormituksest iheutuvt suvvoimt S i j sitten, kun suvojen mteriikiin perustuv kunkin suvn venymä suvvoim riippuvuus εi = εi( Si) tunnetn, suvojen venymät ε i. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 9
inerisesti kimmoinen ristikko: Trksten ristikko, jonk suvt ovt inerisesti kimmoisi, ksiisen jäykkyyden oess ( E) i, j svt kuvenymän ε i. Suvn i venymäe sdn Si εi = + ε i (.45) ( E) i Sijoittm tämä usekkeeseen (.44) sdn yksikkövoimmenetemän kvksi inerisesti kimmoisee ristikoe SS n n i i i F δ = + Siε i i= ( E) i i= (.4) Kv (.4) käytettäessä joudutn skemn kuviteust yksikkövoimst F = iheutuvt suvvoimt S i j ristikon todeisest kuormituksest iheutuvt suvvoimt S i Huomutus: Jos ristikkoon iittyy jousi, tuee niistä kustkin kvn (.4) oiken puoeen jousivoimn vstv isätermi JJ / k, jooin kv s muodon SS n n i i i F δ = + Siεi + i= ( E) i i= jouset JJ k. (.47) Huomutus: Ristikoihin iittyy usein myös pinottomiksi otksuttuj vetotnkoj ti köysiä, jotk toimivt inostn vedettyinä. Ne voidn käsiteä kuten muutkin ristikon suvt, kuhn pidetään mieessä, että niiden suvvoimie tuee o voimss S i >. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
Esimerkki.: ääritetään oheisen ristikon niveen vk- j pystysiirtymät () kuormst P j (b) kun suv s ämpötin muutoksen T. Suvojen jäykkyys E j pituuden ämpötikerroin α T ovt vkiot. Rtkisu: P Kuormitus F H = : Kuormitus F V = : F = H F = V ääritetään tvnomiseen tpn todeiset suvvoimt S i ukoisest kuormst P sekä virtuiset suvvoimt S i yksikkövoimist F H = j F V =. (skemi ei tässä suoritet.) Tuokset on esitetty oheisess tuukoss: i i S S ( F = ) S ( F = ) SS ( F = ) SS ( F = ) i i H i V i i i H i i i V P P P P P P P P ( + )P () Sovetm yksikkövoimmenetemää sdn SS i i i P P FH δh = + Siεi i = SiSii = δh = ( E) E E E i= i i= i= Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
F (+ ) P P δ = S S = δ = ( + ) E E E V V i i i V i= (b) Suvojen kuvenymät: ε = α T, ε = ε = T Sovetm yksikkövoimmenetemää sdn SS i i i FH δh = + Siεii = Siεii = αtt δh = αtt ( E) i= i i= i= F δ = Sε = α T δ = α T V V i i i T V T i= Oheiset kuviot hvinnoistvt tuoksi: P ( + ) P E α T T α T T P E ämpötin muutos T Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
.4 Pkki Trksten pkki, jok voi koostu yhdestä ti usemmst ossuvst. Teknistä tivutusteori noudttvn (ernoui-euer) pkin sisäinen virtuinen työ kvn (.) mukinen W κ. Sijoittm tämä useke kvn (.) j sdn yksikkövoimmenetemän kvksi F δ = κd (.48) suvt Kv (.48) on mhdoisimmn yeinen muoto, jok on voimss myös ysikisesti epäinerisie pkeie. inerisesti kimmoisen ernoui-euer pkin tpuksess pkin sisäinen virtuinen työ muodostuu kvn (.) mukisist tivutuksen j kukäyristymän osuuksist W j W κ, jooin yksikkövoimmenetemän kv s muodon ( κ ) suvt. (.49) F δ = d+ d Jos kysymyksessä on Timoshenko-pkki, virtuiseen työhön tuee eikkusmuodonmuutost vstv kvn (.) isätermi W Q, jooin yksikkövoimmenetemän kv s muodon QQ ( ) suvt G (.5) F δ = d+ ζ d+ κ d Käytännössä hyvin usein kysymykseen tuee teknistä tivutusteori noudttv pkki, jo ei oe kukäyristymää. Yksikkövoimmenetemän kv on täöin yksinkertisesti F suvt d δ =. (.5) Huomutus: Jos pkkiin sisätyy myös yeistettyjä jousi, tuee niistä kustkin kvn oiken puoeen jousivoim vstv isätermi, jooin esimerkiksi kv (.49) s muodon JJ ( ) suvt κ. (.5) jouset k F δ = d+ d + Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
Esimerkki.: Kuvn () pkin käyristymä-tivutusmomenttiriippuvuutt kuvtn kuvn (b) mukise prbei, jonk kumkerroin origoss on / j jok kukee pisteen κ, ) kutt. Riippuvuus on muoto ( κ = ( + b), missä κ =, b= ( ), I on pkin jäyhyysmomentti j E on mteriin kukimmokerroin. ääritä yksikkövoimmenetemää pkin keskipisteen kuorm-tipumriippuvuus j piirrä sen kuvj, kun κ = /. (b) () P Rtkisu: Virtuinen tivutusmomenttikuvio ( ): F = κ κ + 4 ( ) =,, ( ) = ( ),. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 4
Todeinen tivutusmomenttikuvio ( ): + P 4 P ( ) =,, P ( ) = ( ),. Todeinen käyristymäkuvio: κ + P P ( + b ) 4 4 P P κ( ) = ( + b ), P ( ) P ( ) κ( ) = [ + b ],. Sovetm yksikkövoimmenetemää sdn / Fδ = κd= κd, joss käytettiin hyväksi momentti- j käyristymäpinnn symmetri. Sdn edeeen / / / P P δ = κd = κd = ( + b ) d / / 4 P P P P = ( ) ( ) + b d = + b 8 P P = ( + b ). 48 Kun κ = / sdn =, b= j Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 5
P P P P v = ( + b ) = ( + ) 48 48 8 ei dimensiottomss muodoss v P P = ( + ). 48 8 Kuorm-tipumkäyrä: P v,,9,,7,, 4,,8 5,,99,,4,5 5 P v Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
Esimerkki.: ääritä oheisen pkin kiertymä pisteessä () tsisest kuormst q j (b) kun pkin p tukien j väiä s ämpötin muutoksen T. Pkki on tsjäykkä, sen korkeus on h, tivutusjäykkyys on j pituuden ämpötikerroin on α T. q Rtkisu: Yksikkömomentin = kuormittm pkki: = () ääritetään pkin todeinen tivutusmomentti ( ) ukoisest kuormst q sekä virtuinen tivutusmomentti ( ) yksikkömomentist =. (skemi ei tässä suoritet.) Ohess ovt tuokseksi sdut tivutusmomenttikuviot. -kuvio: -kuvio: q q 8 + q + 4 Sovetm yksikkövoimmenetemään sdn: ϕ = d = d suvt Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 7
Sovetm egrituukko sdn q q q q q ϕ = { ( )[ + ( )] + ( )[( ) + 4( )]} = 4 8 (b) Pkin kukäyristymäe sdn ΔT T αtt κ = αt = αt =. h h h Ohess ovt pkin -kuvio j κ -kuvio. -kuvio: κ -kuvio: + αtt h Sovetm yksikkövoimmenetemän kv (.54) sdn: ϕ = ( d + κ d) = κ d suvt Sovetm egrituukko sdn α ( ) TT αtt ϕ = = h h Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 8
sketn opuksi () koht vertiun vuoksi Simsonin kv: -kuvio: -kuvio: q q 8 + q + 4 q q q q ϕ = { [ + 4( ) + ( )( )] + [( )( ) + 4( )( ) + ( ) ]} 4 8 ϕ = q Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 9
Esimerkki.4: Oheisen uokepkin poikkieikkus on suorkide, jonk korkeus vihteee prboisesti kvn h ( ) = h ( + ), mukisesti, missä h on pkin korkeus uokkeen päässä. Pkin om pino pituutt kohti on g ( ) = γ bh ( ) = g( + ), missä g = γ bh on sen rvo uokkeen päässä, γ on tivuuspino j b on eveys. Pkin jäyhyysmomentti on bh( ) I = = + I( ), missä I / = bh on sen rvo uokkeen päässä. ääritä pkin omst pinost iheutuv tipum uokkeen päässä, kun kimmomoduui on E. g, I Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
Rtkisu: Todeinen tivutusmomentti ( ) : du ( ) u g( udu ) u X X ( ) + g( u)( u) du = u u u ( ) = g( u)( u) du = g ( + )( u) du = g ( + u ) du g = g ( u+ ) = g ( + ) = [( ) + ( ) ] 4 4 u u u 4 4 Virtuinen tivutusmomentti ( ): F = X ( ) X ( ) + F = ( ) = Yksikkövoimmenetemä: ( ) ( ) ( ) ( ) Fδ = d+ ( ) ( ) d d ( ) κ δ = ( ) Kosk riippuu muuttujst j on nimittäjässä, egrndi on rtioniuseke j vrsin hnk egroid trksti. Tämän vuoksi käytetään numeerist egroi Simsonin kv. erkitään ( ) ( ) g F( ) = = ( ) jooin ( ) ( + ) ( + ), Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
Δ δ = F( ) d ( F + 4F + F + + 4 F + Fn). n Otetn n = 4 : i i / Kerroin F 4 i g,5 4,78,5,47,75 4, 4,79 4 g g, 48 δ ( + 4,78 +,47 + 4,+,79) = 4 g =, 485 4 Otetn n = 8 : i i / Kerroin F 4 i g,5 4,95,5,78,75 4,888 4,5,47 5,5 4,5,75, 7,875 4,97 8,79 g g δ, 8895 =, 49 8 4 Todetn, että stiin ik trkk tuos jo käyttäen nejää jkoväiä ( n = 4). Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
.4 Tsokehä j kri Trksten seurvksi inerisesti kimmoist tsokehää, jonk suvt noudttvt teknistä tivutusteori ( G = ). Rkenteen sisäinen virtuinen työ muodostuu sen suvojen virtuisen normivoimn, tivutusmomentin, kuvenymän j kukäyristymän osuuksist N ε W, W, W j W κ. Yksikkövoimmenetemän kvksi sdn täöin NN F δ = ( d+ d+ κ d+ Nε d). (.5) suvt E oniss tpuksiss kehärkenteiss voidn tehdä otksum, että suvt ovt ksiisesti jäykkiä ( E = ). Tämä merkitsee sitä, usekkeen (.5) ensimmäinen egritermi voidn pudott pois, jooin yksikkövoimmenetemän kv on F δ = ( d+ κ d+ Nε d). (.54) suvt Käytännössä hyvin usein kysymykseen tuee teknistä tivutusteori noudttv kehä, jo ei oe kuvenymää eikä kukäyristymää. Yksikkövoimmenetemän kv on täöin yksinkertisesti F suvt d δ =. (.55) Huomutus: Yä oevt kvt sovetuvt seisenn myös tsokreen. inon eron on vin se, että kren kseiin yhtyvää koordintti on täöin totuttu merkitsemään symboi s. Huomutus: Jos kehään ti kreen pkkiin sisätyy myös yeistettyjä jousi, tuee niistä kustkin kvn oiken puoeen jousivoim vstv isätermi, jooin esimerkiksi kv (.54) s muodon. F δ = ( d+ κ d+ Nε d) + suvt jouset JJ k (.5) Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
Esimerkki.5: Oheist puoiympyrän muotoist krt kuormitt pistekuorm P sen kipisteessä j kren tivutusjäykkyys on. ääritä tukipisteen vksiirtymä. P φ Rtkisu: Virtuinen tivutusmomentti : φ F = X φ sinφ X sinφ = = sinφ Todeinen tivutusmomentti : Väi : X φ P P X ( cos φ) = = ( cos φ) P ( cos φ) Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 4
Väi : X π φ P P X + [ cos( π φ)] = = (+ cos φ) [ cos(8 φ)] P Yksikkövoimmenetemä (kri ds d ): F δ = ds δ = ds= ds Vihdetn egroimuuttujksi φ. Jos koordintti s mittn pisteestä ähtien, sdn s = φ, ds = dφ j φ = s /. Sdn π δ = dφ dφ = π / P P = [ sin ( cos ) d sin ( cos ) d ] φ φ φ+ φ + φ φ π / π / P = [ (sin sin ) d (sin sin ) d ] φ φ φ+ φ+ φ φ π / π / π P = [ ( cosφ+ cos φ) + ( cosφ cos φ)] 4 4 P = π / π π π Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 5
.4 Väännön j kksikseisen tivutuksen rsittm suvrkenne Seurvksi trksten suvrkennett, jot rsitt vääntö j kksikseinen tivutus. Rjoitumme inerisesti kimmoiseen tpukseen. Otksumme, että rkenne noudtt teknistä tivutusteori ( G = ), se on ksiisesti jäykkä ( E = ) j s muodonmuutoksi inostn ukoisest, meknisest kuormituksest. Trkstetvn rkenteen sisäisen virtuinen työ muodostuu sen suvojen virtuisen vääntömomentin sekä tivutusmomenttien osuuksist. Jos virtuiset tivutusmomentit poikkieikkuksen pääjäyhyyskoordintistoss ovt y j z sekä vstvt todeiset käyristymät ovt κ y j κ z, näiden osuudet suvn sisäisestä virtuisest työstä sdn vstvn tpn kuin tsosuvrkentee (vrt. kv (.)). Näin sdn κ y κ z yκ y zκz (.57) W = d, W = d. Sijoittm näihin yhtäöihin käyristymien j tivutusmomenttien yhteydet κ y y z =, κz =, (.58) y z sdn tivutusmomenttien osuudeksi inerisesti kimmoisen, homogeenisen suvn sisäisestä virtuisest työstä W d, W d. y y y z z z = = y z (.59) Rkenteen sisäinen virtuinen työ on nyt W ( W W W ). (.) t y z = + + suvt Sijoittm tämä useke kvn (.) j käyttämää hyväksi edeä sisäisee virtuisee työe johdettuj usekkeit usekkeet (.59) mukn ukien sdn yksikkövoimmenetemän kvksi y t t y z z Fδ = ( d+ d+ d) GI (.) suvt t y z Tämä on yksikkövoimmenetemän yhtäö homogeenisistä, inerisesti kimmoisist suvoist koostuve väännetye j kksikseisesti tivutetue suvrkenteee, jok noudtt teknistä tivutusteori. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to
.44 rinrkenne Tyypiinen suvrkenne, joss esiyy tivutusrsitusten isäksi vääntörsituksi, on rin. Se on kehä, jonk suvt ovt smss tsoss (usein vktso) j kuormt vikuttvt kohtisuorn tätä tso vstn (späin). Jos rinn suvojen poikkieikkukset ovt pystyksein suhteen symmetrisiä, voidn kunkin suvn suvkoordintisto vit siten, että y-ksei on späin j,z-tso on vktso. rinn kuormituksest ei tässä tpuksess iheudu sen suvoihin myöskään tivutusmomentti y. Näin kvst (.) sdn edeeen t t z z Fδ = ( d+ d) GI (.) suvt t z Tämä on yksikkövoimmenetemän yhtäö rine, jonk suvt ovt pystytson suhteen symmetrisiä. Suvrkenteiden kimmoiset menetemät /Jukk to 7