4. Määritä oheisen kehän plastinen rajakuorma. Tarkista, ettei myötöehtoa rikota missään. Piirrä tasapainoehdot toteuttava taivutusmomenttijakauma.

Transkriptio

1 Rk-4.00 Rkenteiden mekniikk I tentti/exm,..0 Kirjoit jokiseen koeeriin selvästi - ointojkson nimi, koodi j tentin äivämäärä - kikki nimesi uhuttelunimi lleviivttun - koulutusohjelm, oiskelijnumero, myös trkistuskirjin - milloin olet kolliset kotitehtävät suorittnut sekä monettko kert olet tentissä. ääritä isteen D ysysiirtymä v(d).. Suvojen AD j BD ksilijäykkyys. on EA j lkin tivutusjäykkyys on EI.. Define the verticl dislcement v(d) t oint D. The xil stiffness of brs AB nd BD is EA nd the bending stiffness of the bem is EI. g A C EI EA D EA EI q B E x y, v F q*. ääritä j iirrä oheisen tsokehän tivutusmomentti- j leikkusvoimkuviot. Kehän kikkien suvojen tivutusjäykkyys on EI. ikä on isteen vksirtymä?. Determine nd lot the bending moment nd sher force digrms for the frme. Wht is then the horizontl dislcement t oint. The bending stiffness EI is constnt. q P q P. ääritä kriittisen (nurjhdus-) kuormn P kr rvo.. Determine the criticl norml force P cr (buckling). Bending stiffness EI is constnt EI vkio 4. ääritä oheisen kehän lstinen rjkuorm. Trkist, ettei myötöehto rikot missään. Piirrä tsinoehdot toteuttv tivutusmomenttijkum. P, P m 0kNm 90kNm 0kNm m 4m 6m 4. Determine the lstic limit lod. Check further tht yield condition holds. Plot the corresonding bending moment digrm tht fulfills the equilibrium conditions.

2

3

4 . ääritä j iirrä oheisen tsokehän tivutusmomenttikuvio. Kehän kikkien suvojen tivutusjäykkyys on EI..: kulmnmuutosmenetelmä Huom. ) tehtävä knntt lske yleisellä voimmenetelmällä; tällöin on vin tuntemton, esim tukirektio R q P q Rtkisu: Nivelmeknismi: Siirtyvyyden kertluku: nsii k t s. x y Kinemtiikk: ( ), Suv : u u y y ψ u u } v v ( x x) ψ v ψ. } 0 u } 678 ( ) `, Suv : u u y y ψ u ψ ψ } 0 ψ } 678 v v ( x x ) ψ ψ ψ. Otetn riiumttomksi suvkiertymäksi ψ ψ, jolloin sdn: u u ψ, ν ψ, ψ ψ Kulmnmuutosmenetelmän yhtälöt:

5 ϕ ψ } } q EI EI 0 EI EI ϕ ψ + K ϕ ψ + [4( ) + 8 ] 8( ) EI EI 9 ϕ ψ + q ϕ } } 0 ψ 4EI EI 6EI }} 0 EI EI ϕ + ϕ ψ + K ϕ + 6 ψ } 0 ϕ ψ 4EI EI } 6EI }} 0 EI EI ϕ + ϕ ψ + K ϕ + 6 ψ Nurkn momenttitsino: EI EI 9 EI EI + 0 ϕ ψ + q + ϕ + 6 ψ 0 EI EI 9 (4 + ) ϕ + ( ) ψ q 6 Siirtymäyhtälö: ψ, ψ, ψ ψ, u, v } } } W ψ + ψ + ψ int q Wext Pu + q v q( + ) 4 4 q Wint + Wext 0 0 EI EI 9 EI EI EI EI ϕ ψ + q 4 ϕ ψ ϕ ψ + q 0Yht EI EI 7 ( ) ϕ + (48 + ) ψ q 6 Yhtälöryhmä j rtkisu: 9 q (4 + ) ϕ + ( ) ψ 6 EI 8, 67,97 ϕ q 0,6 7 q,97 70,88 ψ EI 0, 47 ( ) ϕ + (48 + ) ψ 6 EI ϕ q 70,88,97 0, 6 q 0, ψ EI 48, 47,97 8, 67 0, 47 EI 0, 0097 Suvnäämomentit: EI q EI q 9 ( 0, ) (0, 0097 ) + q 0,46q EI EI EI q EI q ( 0, ) + 6 (0,0097 ) 0,46 q, OK EI EI EI q EI q ( 0, ) + 6 (0,0097 ) 0, 0q EI EI

6 Suvnääleikkusvoim Q : Q q Q 0,46q } q Q q Q q ,77 Tivutusmomentti välillä x : Q x q( x ) Q x x X Q x q( x ) 0 x x x Q x q( x ) [0,77 0,( ) ] q Tivutusmomenttikuvio: 0,46q 0,77q 0,408q Vksiirtymä tuell : 4 u ψ q / EI q / EI 0, 0q

7

8 4. ääritä oheisen kehän lstinen rjkuorm P,P m 0kNm 90kNm 0kNm m 4m 6m Rtkisu: Nivelten ikt j erusmeknismien lukumäärä: 4 4m 6m m n s eknismi (): Plkkimeknismi,P v 4m θ θ θ 90kNm θ 0kNm 0kNm 4 4m 6m

9 eknismin siirtymätil kuvvksi rmetriksi otetn suvn kltevuuskulm θ. Geometrisellä trkstelull sdn helosti kuvss esitetyt kulmt j nivelen ystysiirtymä v rmetrin θ vull lusuttun. Nivelten kulmnmuutokset: θ 0, θ θ, θ θ, θ4 θ, θ 0. Virtulisen työn erite: W θ θ + θ + θ int i i 4 4 0kNm θ + 90kNm θ + 0kNm θ 000kNm θ W, P v, P 4m θ m Pθ ext W W 000kNm θ m Pθ int ( ) ext P 00kN eknismi (b): Sivusiirtymämeknismi P u m θ θ 4 m θ 0kNm 0kNm m eknismin siirtymätil kuvvksi rmetriksi otetn suvn kltevuuskulm θ. Nivelten kulmnmuutokset: θ θ, θ θ, θ 0, θ4 θ, θ θ. Virtulisen työn erite: W θ θ + θ + θ + θ int i i 4 4 0kNm θ + 0kNm θ + 0kNm θ + 0kNm θ 0kNm θ Wext P u P m θ m Pθ

10 W W 0kNm θ m Pθ int ( b) ext P 4kN eknismien yhdistely: eknismi θ θ θ θ4 θ () 0 θ θ θ (b) θ θ 0 θ (c)()+(b) (d) () (b) Wint 0 000kNm θ θ 0kNm θ θ 0 θ 7 θ θ 700kNm θ θ 7 θ θ 0 θ 68kNm θ Wext m Pθ m Pθ 0m Pθ m Pθ P 00kN 4kN 70kN 89,kN Yhdistelmämeknismien nivelten kulmnmuutokset sdn lskemll erusmeknismien nivelten kulmnmuutosten o. linerikombintiot. Yhdistelmämeknismi (c) stiin hävittämällä nivel j yhdistelmämeknismi (d) hävittämällä nivel 4. Yhdistelmämeknis-mien sisäiset virtuliset työt lsketn tvnomiseen tn: eknismi (c): W θ int i i 7 0kNm θ + 90kNm θ + 0kNm θ + 0kNm θ 700kNm θ eknismi (d): W θ int i i 7 0kNm θ + 0kNm θ + 90kNm θ + 0kNm θ 68kNm θ Yhdistelmämeknismien ulkoiset virtuliset työt sdn lskemll erusmeknismien virtulisten töiden o. linerikombintiot. Yhdistelmämeknismien rjkuormt sdn loult rtkisemll o. virtulisen työn yhtälöt. Tulokset on merkitty tulukkoon. Nähdään, että meknismi (c) nt ienimmän rjkuormn P 70kN.