11. Merkkijonot Merkkijonojen abstrakti tietotyyppi
|
|
- Taisto Ville Pääkkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 11.1. Merkkijonojen strkti tietotyyppi 11. Merkkijonot Dokumenttien käsittey tietokoneiss on ksvnut vtvsti viimeisen prinkymmenen vuoden ikn. Tietokoneit käytetään dokumenttien kirjoittmiseen, muuttmiseen, etsimiseen j siirtämiseen tietoverkoiss. Moneninen tietojenkäsittey tietoverkoiss on isääntynyt suorstn räjähdysmäisesti vuosikymmenessä. Kikess tässä ovt tietojenkäsitteyn knnt merkkijonot vinsemss; merkkijonoiksi voidn tietysti mietää kikki tietojenkäsitteyn tieto mentäessä in ittijonoihin sti, mutt tässä yhteydessä trksten merkkijonoj nimenomn jonkinist tekstiä, merkkejä ti symoej, sisätävänä tieton eikä mennä isymoiseen ittiesitykseeen. 11. uku 560 Astrktisti jteen merkkijono (string) on pekästään jono merkkejä jostkin kkostost (phet), jok on merkkien (chrcter) joukko. Merkkijonot toteutetn ähes tukoon in tuukkoin, joten yksittäinen merkki sdn niistä vkiojss indeksinsä mukn tuukost. Jokisess tietokoneess on sisäänrkennettu merkkijärjestemä, jok on tyypiisesti nykyään esim. ASCII- ti Unicode-koodi. Akkosto voi toki o mikä thns soveuksess määritety; siksi trksten sitä yeisesti j merkitään symoi. Okoon P = P[0]P[1]P[2] P[m-1] m merkin merkkijono. P voisi o esim. uonnoist kietä, kuten kissn viikset, jonk pituus on 14 merkkiä. Se voisi o myös CGTAATAGTTAATCCG, jok on 16 merkkiä pitkä j oisi DNA-sekvenssi. Edeisessä tpuksess koodi oisi esim. Unicode j jäkimmäisessä {A, C, G, T}. 11. uku 561 Monet tyyppiiset merkkijonokäsitteyt pitävät sisäään merkkijonojen pikkomist osiin. Näistä käytetään nimitystä osjono (sustring), jooin P:n tpuksess osjono on muoto P[i]P[i+1]P[i+2] P[j], kunon0 i j m-1. Merkkijono voi o näin oen itsensä osjono, kun i = 0 j j = m-1. Jos tämä ääritinne jätetään pois, kysymys on idost (proper) osjonost, jooin i > 0 ti j < m-1. Lyhennysmerkintänä eo. merkkijonost voidn käyttää merkintää P[i..j]. Voidn käyttää myös tyhjää merkkijono (i > j edeä), jonk pituus on 0. Etuiite (prefix) on osjono P[0..i],kun0 i m-1. Loppuiite (suffix) on muoto P[i..m-1], kun 0 i m-1. Vstkohtn merkkijonon pikkomisee on yhdistäminen, ktentio (conctention), jooin merkkijonoist P = P[0]P[1]P[2] P[m-1] j Q = Q[0]Q[1]Q[2] Q[m-1] yhdistetään uudeksi merkkijonoksi P + Q ei P[0]P[1]P[2] P[m-1]Q[0]Q[1]Q[2] Q[m-1] (toisinn käytetään muitkin symoeit kuin + ti vin kirjoitetn ne peräkkäin ktention osoittmiseksi). 11. uku 562 Merkkijono-opertiot joten khteen tyyppiin, muuttviin (mute) j muuttmttomiin (immute), sen mukn, voidnko opertio muutt merkkijono. Esim. Jvss tämä määriteään täsmäisesti uoki String jäkimmäisee j StringBuffer edeisee. Muuttmttomi opertioit ovt mm. merkkijonon pituuden määrittäminen, ktentio j osjonon määrääminen. Muuttvi opertioit ovt eriiset päivitystoiminnt, kuten merkin isääminen merkkijonon johonkin kohtn, merkin vihtminen toiseen ti merkkijonon kääntäminen. Opertiost riippuen näiden suoritusjt vihteevt jst O(1) ikn O(n), O(m) ti O(n+m), missä n j m ovt opertioiss esiintyvien merkkijonojen pituudet. 11. uku 563
2 11.2. Hhmontäsmäämisgoritmej Merkkijonojen kssisess hhmontäsmäämisongemss (pttern mtching) on merkkijono T pituudetn n, j hutn sevittää, onko P merkkijonon T osjono. Tämä käsite trkoitt kysymystä, onko oemss T:n osjono jostkin indeksistä i ken, jok on merkki merkitä sm kuin P. Lskennn tuos on imoitus siitä, onko näin vi ei. Jos hhmo esiintyy merkkijonoss T, nnetn kukoht i. Okoot P j T kkoston merkeistä muodostettuj. Vikk kkosto ymmärretään yeisenä, oetetn sen koon oevn ääreinen j vkio. Trksten seurvss suppesti hhmontäsmäämisgoritmej. R n voimn hhmontäsmäämisgoritmi R n voimn hhmontäsmäämisgoritmi (rute-force pttern mtching) on todennäköisesti ensimmäinen, jok tuisi mieeen, jos ongem pitäisi ähteä rtkisemn uuten. Siinä tutkitn yksinkertisesti kikki mhdoiset P:n sijinnit T:ssä. Agoritmi (koodi 11.1.) on yksinkertinen j toimii jop rjoittmttome kkostoe. Esim Okoot merkkijonon T teksti cccc j hhmon P merkkijono c. Kuvss esitetään goritmin suoritus esimerkin tpuksess. 11. uku uku 565 Agorithm BruteForceMtch(T,P): Input: merkkijonot T j P j näissä n j m merkkiä Output: öydetyn osjonon ensimmäisen merkin indeksi T:ssä ti imoitus, ettei P:tä esiinny T:ssä for i 0 to n-m {jokisee mhdoisee indeksie T:ssä} do j 0 whie (j<m nd T[i+j] = P[j]) do j = j+1 if j=m then return i return osjono P ei esiinny T:ssä Koodi R n voimn hhmontäsmäämisgoritmi. 11. uku 566 c c c isää 12 vertiu täsmäys indeksiä 10 Kuv Esimerkkisuoritus r n voimn goritmist, missä joudutn tekemään 28 vertiu. 11. uku 567
3 R n voimn goritmi on yksinkertisin mhdoinen. Se käsittää kksi sisäkkäistä simukk, joi tehtävä sevästi rtke. Kyseessä on täydeinen hku merkkijonoss T. Agoritmin suorituskyky ei oe kuitenkn hyvä, kosk phimmin joudutn tekemään m vertiu sen totemiseksi, ettei hhmo täsmää käsitetävän osjonon knss. Agoritmin uomp simukk suoritetn enintään n - m + 1 kert j sisempää enintään m kert. Näistä tuee menetemän suoritusjksi O((n-m+1)m), jok on muunnettviss muotoon O(nm). Boyer-Moore-goritmi Ain ei oe trpeen käydä äpi kikki T:n merkkejä osjonon P öytämiseksi. Isohko os T:n merkkien j P:n väisistä vertiuist on mhdoist vättää käytettäessä Boyer-Moore-goritmi (BM), jost tässä esitetään yksinkertistettu versio. BM-goritmi hyödyntää tieto, että kkoston koko ei merkkien määrä on kiinnitetty. Tämä on myös menetemän rjoitus, kun ts r n voimn goritmi toimii rjoittmttom kkosto. BM-goritmi toimii prhiten suppe kkosto. Näin se on usein hyvä snojen etsimiseksi (uonnoisen kieen) tekstistä. R n voimn menetteyä tehostetn khde (mhdoisesti) ik säästävää heuristiik: Peii-heuristiikk: Vertitess mhdoist P:n täsmäämistä josskin koht T:ssä vertminen oitetn P:n opust tämän kuun päin edeten. 11. uku uku 569 Merkki-hyppy-heuristiikk: Jos vertiuss esiintyy merkin T[i]=c epätäsmääminen vertitvn P[j] knss, tinne hoidetn seurvsti. Jos c ei esiinny oenkn P:ssä, P siirretään kokonn merkin T[i] ohi, siä sehän ei voi täsmätä minkään P:n merkin knss. Muuten P:tä siirretään eteenpäin, kunnes P:n merkki c täsmää jonkin merkin T[i] knss. Edeinen heuristiikk on hyödyinen, kun kohdtn P:n oppupäästä oevn merkin kohdss epätäsmääminen, jooin ei trvitse verrt enää P:n kupään merkkejä. Sen sijn hypätään näiden merkkien yi T:ssä jäkimmäisen heuristiikn mukisesti. Näin voidn säästää runssti vertiuj. Määriteään funktio st(c). Tämä käsittää kkoston merkin c j määrää, kuink kus hhmo P voidn siirtää, kun öydetään tekstistä merkki c, jok ei täsmää hhmon knss: Jos c on mukn hhmoss P, st(c) on yhtä kuin c:n viimeisen ei oikenpuoimmisen esiintymän indeksi. Muuten määriteään, että st(c)=-1. Kun käytetetään merkkejä vstvi indeksejä tetettuin tuukkoon, st-funktio on heposti toteutettviss hkutuun. Tämä voisi o hrjoitustehtävä. Hkutuu on skettviss suoritusjss O(m+ ) tunnettess P (monp:n pituus j kkoston merkkien määrä). 11. uku uku 571
4 Agorithm BM(T,P): Input: Teksti ei merkkijono T (n merkkiä) j hhmo P (m merkkiä). Output: Akuindeksi ensimmäisestä osmerkkijonost, jok täsmää T:ssä P:n knss, ti imoitus, ettei täsmäystä esiinny. Lske funktio st. i m-1 j m-1 repet if P[j]=T[i] then if j=0 then return i {täsmäys!} ese i i-1 j j-1 Koodi Boyer-Moore-hhmontäsmäysgoritmin kuos. 11. uku 572 ese i i+m-min(j,1+st(t[i])) {hyppy} j m-1 unti i>n-1 return T:ssä ei oe P:n knss täsmäävää osmerkkijono. Koodi Boyer-Moore-hhmontäsmäysgoritmin oppuos. Hyppyvihett hvinnoistetn seurv kuv. 11. uku 573 () () i i j m-(1+) 1+ j m-j j Kuv Hypyn esitys Koodin mukn, kun =st(t[i]). Erotetn kksi tpust: () 1+ j, joss siirretään hhmo j- yksikköä, j () j<1+, joss siirretään hhmo yhdeä yksiköä kuvn tinteess. 11. uku 574 c d c c c 5 c c ch c d st(ch) Kuv Tämä vst Kuvn tinnett yhden merkin ero, joss on merkki d yhden c:n esiintymän sijst. BM-goritmi suoritt 13 merkkivertiu. c uku 575
5 p t t e r n m t c h i n g g o r i t h m BM-goritmin phimmn tpuksen suoritusik on O(nm+ ). Täöin O(m+ ) on st-funktion skent-ik j hhmon etsintä vie enimmiään O(nm), smn kuin r n voimn goritmi. Phin tpus esiintyy esim. seurvss tinteess: n T =. m-1 P = Täinen on kuitenkin sngen hrvininen tinne, erityisesti uonnoisen kieen tekstissä seurvn kuvn tpn. r i t h 1 m r i t h 2 r i t h m r i t h 3 m r i t h Kuv Hettess hhmo uonnoisen kieen tekstistä keskimääräinen vertiujen määrä on yeensä meko pieni. Kokeeisten testien mukn engnninkieisestä se on keskimäärin 0.24 vertiu merkkiä kohti viisimerkkiseä hhmo. 4 5 m m r i t h r i t h 6 m m 11. uku uku 577 Knuth-Morris-Prtt-goritmi R n voimn goritmiss oi muun heikkous. Kun esimerkissä hvittiin josskin koht, ettei osjono täsmää hhmon knss, hyättiin kikki sitä koht kerätty informtio (osittinen täsmäys tvn) j oitettiin vertminen uudestn yhden indeksin verrn eteenpäin iikkuen. Tätä menetteyä on mhdoist tehost, kun hyödynnetään vertiujen tuottm informtiot. 11. uku 578 Knuth-Morris-Prtt-goritmiss (KMP) esikäsiteään hhmo P niin, että voidn hyödyntää mhdoisimmn jsti iemmin suoritettuj vertiuj. Muodostetn epäonnistumisfunktio (fiure function) f, jok osoitt P:n sopivn siirron hyödyntäen iempi vertiuj. Epäonnistumisfunktio määriteään P:n pisimpänä etuiitteenä, jok on osjonon P[1..j] oppuiite (ei siis P[0..j]). Myöhemmin esitetään, miten f sketn. Epäonnistumisfunktio kood toistetut osjonot hhmon sisää. Tätä tieto käytetään trpeettomien vertiujen vättämiseksi. Hypätään niiden yi, kosk tiedetään täöin osjonon kupään täsmäävän, kun oi öydetty sie täsmäävää toisto (hhmon mitn sisätä) myöhemmin merkkijonost. Esim Trksten hhmo P = c esimerkistä KMPgoritmin epäonnistumisfunktio f(j) on (toistoin khdesti j kerrn ): j P[j] 11. uku 579 f(j)
6 KMP-goritmi (koodi 11.2.) käy peräkkäin merkkijono T äpi verrten sitä hhmon P knss. Löydettäessä täsmäävät merkit isätään moempien indeksien rvoj yhdeä. Jos vstinmerkit T:stä j P:stä eivät täsmää j edeisessä merkkien vertiuss oi täsmäys, ktsotn epäonnistumisfunktiost uusi indeksi P:ssä, mistä pitää jtk vertiu. Muuten (oi epätäsmäys j käsittey on hhmon uss) isätään yksinkertisesti T:n indeksiä (P:n indeksi pysyy muuttumttomn ei hhmon uss). Tätä toistetn, kunnes täsmäys tphtuu ti svutetn merkkijonon T oppu. Kuvss on esitetty esimerkki KMP-goritmin toiminnst. Huomtn sen tekevän vähemmän vertiuj kuin r n voimn goritmi. Agorithm KMPMtch(T,P): Input: merkkijonot T j P, joiden pituudet ovt n j m Output: öydetyn osjonon kukohdn indeksi T:stä ti imoitus, ettei hhmo öydetty f KMPfiureFunction(P) {muodostetn epäonnistumisfunktio f} i 0 j 0 whie i < n do if P[j] = T[i] then if j = m - 1 then return i - m + 1 {täsmäys tphtui} i i + 1 j j + 1 Koodi (ku) Knuth-Morris-Prtt-goritmi. 11. uku uku 581 c c c ese if j > 0 {iittyy ens. if:iin; ei täsmäystä, mutt on edetty P:ssä} then j f(j -1) {muutetn indeksiä epäonnistumisfunktion mukn} ese i i + 1 return osjono P ei oe merkkijonoss T Koodi (oppu) Knuth-Morris-Prtt-goritmi. KMP-goritmin pääos on whie-simukk, jok suoritt T:n j P:n merkkien vertiun. Tämän tuoksest riippuen goritmi joko siirtyy niiden seurviin merkkeihin, käyttää epäonnistumisfunktiot uutt merkkiehdokst vrten P:stä ti oitt uudestn seurvst merkistä T:ssä. Trpeettomt vertiut ohitetn käsitteyssä, siä epäonnistumisfunktio tk niiden oevn redundnttej. 11. uku vertiu ei tässä oe trpeen Kuv Esimerkkisuoritus KMP-goritmist, missä sevitään 19 vertiu, kun pun on esimerkin epäonnistumisfunktio f. 11. uku 583
7 Yksityiskohtiin kjomtt j epäonnistumisfunktion muodostmist huomioon ottmtt todetn KMP-goritmin suoritusjn muit osin oevn uokk O(n). Epäonnistumisfunktio muodostetn vyörytysmenetemää (oot-strpping), jok muistutt itse KMP-goritmi. Verrtn hhmo itseensä. Jok kert, kun on täsmäävät merkit (smn merkin kksi eri esiintymää hhmoss), setetn f(i) =j+ 1. Kosk on i > j koko goritmin suorituksen jn, f(j-1) on in määritety sitä trvittess. Epäonnistumisfunktion skent on suoritusjtn O(m) ei uonnoisesti hhmon pituudest riippuv. Täten KMP-goritmin suoritusik on kokonisuudessn O(n+m). 11. uku 584 Agorithm KMPFiureFunction(P): Input: merkkijono P (hhmo) m merkkeineen Output: merkkijonon P epäonnistumisfunktio f, jok kuv j:n P:n pisimmän etuiitteen pituudeksi, kun etuiite on P[1..j]:n oppuiite i 1 j 0 f(0) 0 whie i m - 1 do if P[j] = P[i] then {on täsmätty j + 1 merkkiä} f(i) j + 1 i i + 1 j j + 1 Koodi (ku) KMP-goritmin epäonnistumisfunktion skeminen. Agoritmi hyödyntää funktion edetäviä rvoj uusi skiessn. 11. uku 585 ese if j > 0 then {j indeksoi P:n etuiitteen jäkeen, jot on täsmättävä} j f(j-1) ese {täsmäystä ei tässä oe} f(i) 0 i i + 1 Koodi (oppu) KMP-goritmin epäonnistumisfunktion skeminen. Agoritmi hyödyntää funktion edetäviä rvoj uusi skiessn. Voisi kuvite, että merkkijonon T jokinen merkki on pkko käydä äpi vertiuiss. Näin ei kuitenkn in oe, vn siitä voidn usein hypätä yi osi. Täinen on Boyer-Moore-goritmi edetä Trie Nimi trie tuee snst retriev, siä rkenne on tärkeä tiedonhuss (informtion retriev). Kyseessä on puu, jonk somut sisätävät merkkitieto. Pääsiiset kyseyopertiot, joit triee soveetn, ovt hhmon täsmääminen j etuiitteen täsmääminen. Jäkimmäinen trkoitt merkkijonon X etsimistä joukon S merkkijonoist näiden kuosn. Trksten inostn stndrdi-trietä, jok on ähtökoht useimmiten käytännössä soveettvie monimutkisemmie, mutt tehokkmmin merkkejä tettvie trie-rkenteie. 11. uku uku 587
8 Okoon S kkoston merkkijonojen joukko. Äköön isäksi mikään merkkijono näistä oe jonkin toisen etuiite (prefix). Stndrdi-trie on täöin puu T, jo on ominisuudet: Juurt ukuun ottmtt jokinen T:n somu merkitään kkoston merkiä. Sisäsomun psisomut järjestetään kkostoss määriteyä järjestykseä. Puun T jokiseen ehteen v iittyy S:n merkkijono. Poku juurest ehteen v määrittää tähän iittyvän merkkijonon. Kun edeytettiin, ettei mikään S:n merkkijono oe toisen etuiite, jokinen S:n merkkijono iittyy yksikäsitteisesti T:n ehteen. Trvittess tämä voidn vrmist iittämää erikoismerkki, jok ei kuuu joukkoon. Trien sisäsomu voi o mikä thns määrä psisomuj väitä 1 j d, kun d on kkoston koko. Ehton on, että somuss esiintyvä merkki on myös josskin S:n merkkijonoss niin monenten, kuin se on myös kyseiseä pou juurest ehteen. Täöin poku juurest sisäsomun v syvyydeä i vst S:n merkkijonon Xi-merkkistä etuiitettä X[0..i-1]. Jokist merkkiä c kohti, jok voi seurt etuiitettä X[0..i-1] josskin S:n merkkijonoss, on oemss c:ä merkitty v:n psi. Kuvn 13.6 mukisesti sisäsomu voi o vin yksi psi, mutt enimmiään d st. Täten trie on monitiehkupuu. Kuvn puuss on useit yksipsisi somuj. Näitä perättäisiä yksisomuisi voitisiin yhdistää merkitsemää somuun useit merkkejä. Näin stisiin tiivistetty trie, jok on tehokkmpi kuin stndrdi-trie. Tiivistettyä muoto ei kuitenkn tässä esitetä. 11. uku uku 589 e i u e s t Stndrdi-trieä, joss on d merkin kkostost kokoemn S s merkkijono kokonispituudetn n, on ominisuudet: d r y c o p T:n jokise sisäsomu on enintään d st. T:ä on s ehteä. T:n korkeus on yhtä kuin S:n pisimmän merkkijonon pituus T:n somujen ukumäärä on O(n). Kuv Merkkijonojen {er, e, id, u, uy, se, stock, stop} stndrdi-trie. 11. uku 590 k Somujen suhteen phin tpus esiintyy, kun ei miään khde merkkijono oe yhteistä (ei-tyhjää) etuiitettä, ts. jokise sisäsomu on inostn yksi psi. 11. uku 591
9 Trietä voidn käyttää snkirjn toteutukseen vinten oess S:n merkkijonot. Hettess merkkijono X triestä T ähdetään juurest j edetään s merkkien viitoittm poku. Jos täinen poku on oemss triessä j päädytään oput ehteen, X on snkirjss. Jos täist kokonist poku ei oe koko merkkijonoe ei se oppuu kesken merkkijono tutess (ennenikisesti) ehteen ti poun päättyessä sisäsomuun, kyseinen merkkijono ei oe snkirjss. Esim. u päättyy ehteen, joten se on Kuvn trien sn. Sen sijn e, ee, et, etween, ig ti uoy eivät oe tässä triessä. Merkkijonon hku triestä vtii ikkompeksisuuden O(dm), joss m on merkkijonon pituus, siä enintään d merkin vertmist trvitn kusskin somuss. Joiekin kkostoie vertmisten määrää voidn pudott rvoon O(og d) ti jop O(1) käyttämää merkkien tetukseen hjutustuu. Kun yeensä d voidn jte vkion, voidn pitäytyä jtukseen, että kusskin somuss trvitn ik O(d). 11. uku 592 Trie sopii erityisen hyvin snojen täsmäämiseen, joss sevitetään, vstko nnettu hhmo täsmäisesti jotkin tekstin sn. Tämä on rjoitetumpi tinne kuin tvinen hhmon täsmääminen, kosk hhmo ei voi o mieivtisesti yhdistetty merkkijono, vn jokin tekstin sn tekstin oess esim. uonnoist kietä. Yeisesti oi ikvtimus O(dm) hettess sn triestä. Kun sn on esim. uonnoist kietä ti DNAmerkkijono, joiden kkoston koko on kiinnitetty ei vkio, kysey vtii vin O(m). Kuvss on esimerkki. Tehtäessä trie kukin S:n merkkijono isätään kerrn. Mikään niistä ei oe toisten etuiite. Lisättäessä X triehen jäjitetään sitä vstv poku. Jäjitys päättyy sisäsomuun v, jok on ennen merkkijonon X viimeistä merkkiä j jonk mikään psi ei täsmää uuden merkkijonon seurvn merkin knss. Luodn täöin uusi hr vstmn merkkijonon oppuj merkkejä. Yhden merkkijonon isäys vti jn O(dm) j S:n koko trien muodostminen jn O(dn), joss n on S:n merkkijonojen kokonispituus. 11. uku 593 s e e e r? s e s t o c k! s e e u? u y s t o c k! e i u h e e s t i d s t o c k! i d s t o c k! h e r t h e e? s t o p! () Kuv Stndrdi-trien snn täsmääminen j etuiitteen täsmääminen: () käsitetävä teksti. 11. uku 594 d r 47, () k 17, 40 51, 62 Kuv (jtko) () Trie muodostettu (poistosnt, kuten rtikkeit j the on sujettu pois epäsemnttisin ), kun ehtiin on isätty snojen kukohtien indeksit. y 36 r e 0, uku 595 c o p
10 11.4. Hhmontäsmäys säännöisten imuksien vu Edeä esitetyt hhmontäsmäysgoritmit oivt kikki trkoitetut rtkisemn ongemi, joiss etsitään tekstistä määrättyä osjono, hhmo. Monesti on trvett merkkijonojen etsimiseen, missä hutn yeistä muoto oevi hhmoj, ei inostn yhtä määrättyä. Säännöiset imukset (regur expressions) kuvvt täisi yeisiä hhmoj. 1. Tyhjä on säännöinen imus, jok viitt joukkon { }. Tämä sisätää inostn tyhjän merkkijonon, jonk pituus on no. 2. Jokise symoi joukost on säännöinen imus, jok on joukko {}. Seurvi kome säännöä yhdistetään edetävien perussääntöjen ntmi imuksi uusien säännöisten imusten uomiseksi: Säännöiset imukset Säännöiset imukset ovt yksinkertisi, mutt tehokkit käsitteitä kuvttess merkkijonojen mhdoisesti äärettömiä joukkoj, joit kutsutn myös formeiksi kieiksi (form nguge) yi nnetun kkoston. Säännöisiä perusimuksi määriteään khde säännöä: 11. uku Jos j ovt säännöisiä imuksi kuvten joukot A j B, ( + ) on säännöinen imus määrittäen joukon A B. 2. Jos j ovt säännöisiä imuksi kuvten joukot A j B, ( ) on säännöinen imus määrittäen kikkien seisten merkkijonojen joukon, missä merkkijonot on muodostettu ottm merkkijono joukost A j ktenoim se merkkijonoon joukost B. 11. uku Jos on säännöinen imus kuvten joukon A, niin ( *) on säännöinen imus, jok kuv kikkien seisten merkkijonojen joukon, joss merkkijonot on muodostettu ktenoim i merkkijono joukost A (toistot sim), kun i 0 (tpus i = 0 trkoitt tyhjää merkkijono ). Tämä opertio on joukon A Keenen sukeum (Keene cosure). Kun hutn käyttää tätä imn tyhjää merkkijono, merkitään ( + ), missä on siis i 1. Esim Säännöiset imukset kykenevät esittämään yksinkertisesti merkkijonojen joukkoj oheisten esimerkkien tpn kkoston oess {, } on joukon {, } säännöinen imus. 2.( + ) on joukon {, } säännöinen imus. Aritmeettisten usekkeiden tvoin säännöisie imuksie voidn määriteä presedenssi, jooin sukeet ovt poistettviss, jos ne noudttvt presedenssiä. Keenen sukeum on suurin presedenssi. Sitä seur ktentio, j opuksi opertio + on mtin. Täten imus (() +(*)) on sm kuin + * j imus ((() +)*) sm kuin( + )*. 11. uku * on joukon {,,,,, } säännöinen imus. 4.(+)* on kkoston ={,} kikkien merkkijonojen joukko on kikkien seisten merkkijonojen joukon säännöinen imus, josss ktentio on yhdistetty merkkien j muodostmt merkkijonot. 11. uku 599
11 6. *(*)** on kikkien seisten merkkijonojen joukon säännöinen imus, joss merkkejä on priinen määrä ti ei yhtään. Säännöiset imukset j ääreiset utomtit Hutn määrätä, onko jokin merkkijono x säännöisen imuksen kuvmss merkkijonojen joukoss. Jott säännöinen imus voitisiin esittää tehokk tv, siitä muodostetn strkti kone, jo on heppo suoritt merkkijonojen käsitteyä j vstt uss esitettyyn tehtävään. Muodostetn ääreinen ti-utomtti ei yhyemmin ääreinen utomtti (finite stte utomton, FSA). Se on erääninen yksinkertinen skentmi säännöisten formien kieten merkkijonojen täsmäämiseksi. 11. uku 600 Säännöisen kieen (regur nguge) snt vstvt säännöisten imuksien merkkijonoj. Ääreinen utomtti sisätää viisi os: 1. Tiojen (sttes) ääreinen joukko S (tit numeroidn uvust 1 ukuun k). 2. Akkosto. Tämä määritteee merkit, joi merkkijonot muodostetn. 3. Akuti (strting, initi stte) q 1 S, jok määritteee ääreisen utomtin kukonfigurtion. 4. Lopputi (fin stte) q f S, jok on hyväksyvä konfigurtio, kun ääreinen utomtti on tunnistnut merkkijonon täsmäävän määriteyn hhmon knss. 11. uku Trnsitiofunktio (trnsition function), jok määritteee ääreisen utomtin tit. Näihin tioihin siirrytään nykyisestä tist riippuen seurvst merkistä merkkijonoss. Seurv merkki voi o myös tyhjä. Trnsitiofunktio kuv prin (q,), joss q S on ti j { }, joukon S osjoukkoon. Tämä sisätää muut mhdoiset tit, joihin voidn siirtyä otess tiss q j uettess seurvn merkkinä merkkijonost (jos on =, voidn siirtyä johonkin mhdoiseen tin ukemtt yhtään merkkiä tekstistä). Ääreinen utomtti esitetään suunnttun grfin, jonk somut ovt tioj j joukon { } symoein ei merkein eimtut ei merkityt kret ovt trnsitioit. Jos on siis (q,) = r, niin grfiss on suunnttu kri tist q tin r (jokisee r S) j kri on merkitty merkiä. Ääreinen utomtti hyväksyy (ccepts) merkkijonon x, jos utomtti kutist ähdettyään päätyy opputin sm, kun merkkijono x on prosessoitu merkeittäin vsemmt oikee siirtyen kuoinkin merkin määräämään tin prosessin ikn. Tisiirtymät on täöin tehty trnsitiofunktion mukn j myös -trnsitio on sittu. Niinpä ääreinen utomtti hyväksyy merkkijonon x, jos utomtin grfist sdn suunnttu poku kusomust oppusomuun prosessoitess x ust oppuun. Täöin x sdn ktenoim poun krien merkit. Kuvttu ääreisen utomtin toimintp on epädeterministinen (nondeterministic), kosk on useit iisi pokuj, joit utomtti voi vit nnetue merkkijonoe x. Kun prosessi voi seurt vin määritetyjä trnsitioit, epädeterministinen hyväksymissääntö merkitsee myös, että jos jokin poku joht tin q, jost ei oe määritety trnsitiot merkkijonon x seurve merkie, niin poku päätetään kesken - se ei voi joht opputin. Jos ei oe iist poku opputin (niitä voi o useit), merkkijono x ei oe hyväksytty. Kuvss on muutmi esimerkkejä ääreisistä utomteist. 11. uku uku 603
12 0 1 () (c) 6, () Kuv Esimerkkejä ääreisistä utomteist: () hyväksyy merkkijonot, joiss on priinen määrä (ti ei yhtään) merkkejä j () hyväksyy merkkijonon. Lopputi on merkitty kksoisympyränä. Kuv (oppu) Esimerkkejä ääreisistä utomteist: (c) hyväksyy merkkijonot, jotk sisätävät osnn merkkijonon ti. 11. uku uku 605 Säännöisiä imuksi ääreisinä utomttein toteutettuin käytetään tunnistmn ei hyväksymään säännöisiä (formej) kieiä. Automtie, jok toteutt säännöisen imuksen ohe tätä vstv säännöistä (formist) kieioppi, syötetään merkkijono. Jos merkkijono on säännöisen imuksen mukinen ei sm säännöisen kieiopin generoimn kieen sn (ti use), utomtti hyväksyy merkkijonon. Trkemmitt perusteuitt minitn opuksi seurvt useet. Luse Okoot säännöisen imuksen pituus m merkkiä j merkkijonon x pituus n merkkiä. Se, onko x säännöisen imuksen määrittämän säännöisen kieen mukinen, on skettviss jss O(nm). Luse Okoot merkkijono (teksti) Tnmerkkiä pitkä j säännöinen imus m merkkiä pitkä. Säännöisen imuksen määrittämän kieen mukinen osjono öydetään ti todetn, ettei seist oe, jss O(nm). 11. uku 606
12. Merkkijonot Merkkijonojen abstrakti tietotyyppi
12.1. Merkkijonojen strkti tietotyyppi 12. Merkkijonot Dokumenttien käsittely tietokoneiss on ksvnut vltvsti viimeisen prinkymmenen vuoden ikn. Tietokoneit käytetään dokumenttien kirjoittmiseen, muuttmiseen,
Lisätiedot11. Merkkijonot. 11. luku 560
11. Merkkijonot Dokumenttien käsittely tietokoneissa on kasvanut valtavasti viimeisen parinkymmenen vuoden aikana. Tietokoneita käytetään dokumenttien kirjoittamiseen, muuttamiseen, etsimiseen ja siirtämiseen
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotAutomaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos PL 26 (Teollisuuskatu 23) HELSINGIN YLIOPISTO
G G G HELSINGIN YLIIST Tietojenäsitteytieteen itos L 26 (Teoisuustu 23) 00014 HELSINGIN YLIIST 581330-2 hjemoinnin j sennn perusmit Lsuhrjoitustehtäviä 1. oon j () "!#%$ () ( *) + (c) &' 2. soit indutio,
LisätiedotKieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2.
Kieli, merkitys j logiikk, kevät 2011 HY, Kognitiotiede stukset 2. ** Kikiss utomteiss lkutil on. 1.. nn äärelliset utomtit luseille (1-c), jokiselle omns. (1).. c. q3 q4 q3 q4 q5 q6. Muodost äärellinen
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 2, 18. 22. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Formuloi luennoll (monisteen s. 17) esitetty yksinkertinen khviutomtti täsmällisesti äärellisen
LisätiedotQ = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },
T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016
lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja
58226 Lskennn mllit (syksy 27) Hrjoitus 5, rtkisuj. Muodostetn NF kielelle : ε ε Muunnetn DF:ksi: {,,} {,} {,} {,} Luennoll (s. 5) stiin kielelle seurv DF: Poistmll tästä svuttmttomt tilt sdn Tulos on
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP
Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C Tietojenkäsittelyteori Kevät 6 Kierros 8, 7.. mliskuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Määrittele Turingin koneen stndrdimllin muunnelm, joss koneen työnuh on molempiin suuntiin ääretön, j osoit
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
LisätiedotRunkovesijohtoputket
Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotPERINTEISET VALAISIMET OSRAM ECOPACK -FH DALI. TOUCH DIM WCU -seinälähetin. ] l q q ö IP20
OSRAM ECOPACK -FH DALI ECOPACK -FH DALI on kiinteään sennukseen trkoitettu DALI-signi säädetttävä voist. Stvn on nyt myös kätevä DALI-käsisäädin, ktso sivu 11.4 prismttinen mpunsuojus eektroninen iitäntäite
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotAsennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotVastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotSuorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat
Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist
LisätiedotKirjallinen teoriakoe
11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1
LisätiedotGraafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty
Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 12 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 12 To 3.5.2018 Timo Männikkö Luento 12 Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To 3.5.2018 2/35 Algoritmien
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotAsennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv.
Asennusohje EPP-0790-FI-4/02 Kutistemuovijtkos Yksiviheiset muovieristeiset kpelit Cu-lnk kosketussuojll 12 kv & 24 kv Tyyppi: MXSU Tyco Electronics Finlnd Oy Energy Division Konlntie 47 F 00390 Helsinki
LisätiedotRekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus
NodeCount(v /* lskee solmun v lipuun solmujen lukumäärän */ if solmu v on null return 0 else return + NodeCount(v.left + NodeCount(v.right Rekursio: lgoritmi kutsuu itseään Usein hjot j hllitse -perite:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotAsennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen
LisätiedotLaskennan mallit Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58226 Lskennn mllit Erilliskoe 4.2.2, rtkisuj (Jyrki Kivinen). [6+6+3+3 pistettä] () Kieli A koostuu niistä kkoston {, } merkkijonoist, joiss esiintyy osjono. Esitä kielelle A sekä deterministinen äärellinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotAutomaatin tunnistama kieli on sen hyväksymien merkkijonojen joukko. Täsmällinen muotoilu: δ,q 0,{q 2,q 3,q 6 }), missä
T 79.1001/1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.3 Äärellisen utomtin käsitteen formlisointi eknistinen mlli: syötenuh: nuhpää: ohjusyksikkö: i n p δ u q 1 q 2 Äärellinen utomtti koostuu äärellistilisest
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus
Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
LisätiedotValmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT)
Vlmennuksen j rvioinnin tukijärjestemä (VAT) Työhön kuntoutuksen trkoitus on utt sikst kuntoutumn siten, että siirtyminen koulutukseen ti työelämään on mhdollist. VAT -järjestelmä on kehitetty kuntoutumisen
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotAsennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)
Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.
Lisätiedot2.2 Automaattien minimointi
24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss
Lisätiedot9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,
Lisätiedot763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin
LisätiedotDigitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30
Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4.50 Lsknnllinn systmiiologi 4. Hrjoitus. Viill tutkittvll ljill (,, c, j ) on määrätty täisyyt c 0 8 8 8 0 8 8 8 c 0 4 4 0 0 Määritä puurknn käyttän UPGMA-mntlmää. Näytä kunkin vihn osrkntt vstvin täisyyksinn.
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13
MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.
LisätiedotMutta esimerkiksi 0-kertaisesti pumpattaessa: Siten L ei voi olla säännöllinen.
2.8 Säännöllisten kielten rjoituksist Krdinliteettisyistä on oltv olemss (pljon) ei-säännöllisiä kieliä: kieliä on ylinumeroituv määrä, säännöllisiä lusekkeit vin numeroituvsti. Voidnko löytää konkreettinen,
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotAUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA
AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost
Lisätiedot6.2 Algoritmin määritelmä
6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi
Lisätiedot3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A
3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
Lisätiedot