Osoitetaan tämä nyt formaalisti esimerkkitehtävänä lähtien liikkeelle kombinatorisesta tuloksesta

Transkriptio

1 Viime uennon opussa äpikäydyssä esimerkkitehtävässä näimme, että ainakin mataissa kertauvuissa :stä pisteestä koostuvia yhtenäisiä graafeia q on äheinen yhteys yeiseen graafisummaan Q N vieäpä niin, että suurkanoninen partitiofunktio voidaan kirjoittaa vaihtoehtoisissa muodoissa Z(T, V, μ) = ζn N! Q N N=0 = exp [ ζ! q ]. =1 Osoitetaan tämä nyt formaaisti esimerkkitehtävänä ähtien iikkeee kombinatorisesta tuoksesta Q N = δ (N, ν ) {ν } N! (!) ν (q ) ν. ν! Johdettu tuos on ns. tiasumman kumuanttikehitemä. Kuten oemme yä ahaisen kertauvun erikoistapauksissa nähneet, suureet q ovat kaikki verrannoisia systeemin tiavuuteen, ts. ekstensiivisiä. 1 Tästä seuraa, että suuri potentiaai suurkanonisen partitiofunktion ogaritmi on myös automaattisesti ekstensiivinen, mikä ei out ainkaan sevää sen muodosta Q N :n sarjan ogaritmina. Lisäksi termodynaamisten suureiden määrittäminen yo. kaavan avua on oennaisesti yksinkertaisempaa kuin funktioita Q N käyttäen. Rypäeintegraaien q suorasta verrannoisuudesta tiavuuteen seuraa, että voimme määriteä intensiiviset, pekästään ämpötiasta riippuvat suureet b (T) 1 1! V q = 1 1! V d3 r i (1 + f ij ) yhtenäiset graafit. Tämän avua saadaan edeeen i=1 i<j ω(t, z) = 1 V n Z(T, V, μ) = ζ b (T) =1 1 Myös tämä tuos on varsin heppo osoittaa yeisesti. Yhtenäisissä N pistettä sisätävissä graafeissa paikka-avaruuden riippumattomiksi koorditaateiksi voidaan vaita N-1 kappaetta r 12 r 1 r 2 tyyppistä vektoria, jotka vastaavat graafin viivoja (niitä on vähintään N-1 kp jos graafi yhtenäinen, ja muita viivoja vastaavat koordinaatit saadaan annettua näiden ineaarikombinaatioina). Yksi yimääräinen d 3 r termi antaa tekijän V. 1

2 sekä ω(t, z) ω(t, z) n = z = ζ z ζ = ζ b (T). Ratkaisemaa jäkimmäisestä yhtäöstä ζ hiukkastiheyden n potenssisarjana ja sijoittamaa ω:n ausekkeeseen saadaan tästä johdettua viriaaikehitemä =1 p = T[n + B 2 (T)n 2 + B 3 (T)n 3 + ], josta voimme suoraan ukea korjaukset ideaaikaasun tianyhtäöön p = nt. Tarkasteaan nyt ensimmäisiä ei-triviaaeja viriaaikertoimia. Suoraan rypäeintegraaien määritemästä saamme b 1 (T) 1 V q 1 = 1 V d3 r 1 = 1, b 2 (T) 1 2V q 2 = 1 2 d3 r 12 f 12 = 1 2 d3 r(e βv(r) 1). Toisaata hiukkastiheyden ekspansiosta voimme ratkaista n = ζ + 2b 2 (T)ζ 2 + ζ = n 2b 2 (T)n 2 +, joten kokonaisuudessaan oemme päätyneet tuokseen p = Tω(T, z) = T(ζ + b 2 (T)ζ 2 + ) = T(n b 2 (T)n 2 + ) B 2 (T) = b 2 (T) = 1 2 d3 r (1 e βv(r) ). Lopuksi tarkasteemme vieä yhyesti tämän tuoksen impikaatioita tianteessa, jossa potentiaaia on kova sydän, ts. v(r) T kun r, ja toisaata ainakin korkeia ämpötioia βv(r) 1 kun r >. Täöin saadaan suoraan ytä B 2 (T) = 1 2 d3 r (1 e βv(r) ) = 2π dr 2π dr 0 r 2 + 2π dr 0 r 2 (1 e βv(r) ) r 2 βv(r) b a T, 2

3 Missä a = 2π dr r 2 v(r), b = 2π 3 3 ovat positiivisia vakioita (huom: oetamme potentiaain oevan suuria etäisyyksiä attraktiivinen ja ähestyvän noaa negatiiviseta puoeta). Vertaamaa tätä tuosta, ts. van der Waasin tianyhtäöön p = T [n + (b a T ) n2 + ], p + an 2 = nt 1 bn nähdään, että ainakin johtavassa kertauvussa oemme saaneet johdettua tämän fenomenoogisen tianyhtäön kertoimineen: van der Waas -potentiaain a ja b saavat yä annetut arvot. 3

4 LOPPUKOKEESTA Kurssi on nyt päättymässä, ja sen oppukoe järjestetään maanantaina 5.3. ko 9-13 saissa E204. Koe tuee sisätämään 4 tehtävää (sekä suomen että engannin kieeä), ja minkäänaisia unttiappuja ei saita. Sen sijaan koepaperi tuee sisätämään kaikki seaiset monimutkaiset kaavat, joita tehtävien ratkaisemiseksi vaaditaan. Kaikki reevantti informaatio oppukokeesta tuee myös öytymään kurssin kotisivuta. Koeaue sisätää: Nämä uentomuistiinpanot kokonaisuudessaan Laskuharjoitustehtävissä käsiteyt asiat, mukaan ukien tehtävät joiden ratkaisemiseen tarvitaan kurssikirjaa (Arponen-Honkonen) Muita osin kurssikirjan ukeminen ei oe vättämätöntä, mutta erittäin suositetavaa, siä uentomonisteissa hyvin kompaktisti esitetyt asiat on seitetty sieä huomattavasti perusteeisemmin. Statistinen Mekaniikka ei oe kurssina erityisen imiöähtöinen, vaan pääpaino on toisaata tärkeimpien peruskäsitteiden ja asiakokonaisuuksien sekä näiden väisten suhteiden hahmottamisessa ja toisaata uusien teknisten työkaujen omaksumisessa. Kuten yeensäkin teoreettisen fysiikan kursseia, parhaisiin arvosanoihin vaaditaan sekä kurssia äpikäydyn asian kvaitatiivista haintaa että heppojen ja keskivaikeiden askutehtävien ratkaisemista. Loppukokeen tehtävät ovat tyypiisesti seuraavaa nejää päätyyppiä: Käsitteiden määritteyä sekä yksinkertaisiin ja hyvin konkreettisiin, uennoia käsitetyihin kysymyksiin vastaamista ( Mitä tarkoitetaan faasiavaruuden virtauksen ergodisuudea? ) Hieman aajempien uennoia käytyjen kokonaisuuksien haintaa ja ymmärrystä mittaavia, sisätäen mahdoisesti yhyitä askuja ( Määrittee ja johda Botzmannin H-teoreema, kun Botzmannin yhtäön muoto törmäystermeineen on annettu. ) Luennoa tai askuharjoituksissa äpikäytyjen kvantitatiivisten tuosten tai teoreemojen johtoja ( Johda ennuste Maxwe-Botzmann-kaasun diffuusiovakioe reaksaatioaika-approksimaatiossa ) 4

5 Jokin uusi askutehtävä, joka testaa paitsi kurssin materiaain haintaa myös kykyä matemaattiseen ongemanratkaisuun käyttäen kurssia omaksuttuja työkauja Yhtään askennaisesti kohtuuttoman vaikeaa tehtävää ei tue esiintymään, vaan vaatimustaso on maksimissaan keskivaikeiden askaritehtävien uokkaa. Kurssin oppuarvosana määräytyy funktion askaripisteet (max 10) + koepisteet (max 30) perusteea, ja viime vuonna arvosanarajat oivat seuraavat: 36-40: : : : : 1 11-: Tenttioikeus 5