Itseopiskeluohje to

Samankaltaiset tiedostot
6 Integraalilaskentaa

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

Lisää määrätystä integraalista Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

3 Integraali ja derivaatta

Matematiikan tukikurssi

Rautaisannos. Simo K. Kivelä

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

4 Taso- ja avaruuskäyrät

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

The Viking Battle - Part Version: Finnish

Sähkömagneettinen induktio

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali

Matematiikan tukikurssi

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

Numeerinen integrointi.

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

3. Differen*aalilaskenta

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

Riemannin integraalista

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

3. Differen*aalilaskenta

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012.

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Polynomien laskutoimitukset

Matematiikan tukikurssi

Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely

Riemannin integraali

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Ratkaisut: loppuviikko 2

5 Epäoleellinen integraali

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

Mapusta. Viikon aiheet

Differentiaalilaskenta 1.

Yleisiä integroimissääntöjä

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

Teknillinen tiedekunta, matematiikan jaos Numeeriset menetelmät

Matematiikan tukikurssi

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

Bounds on non-surjective cellular automata

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

Hyvä uusi opiskelija!

Funktioista. Esimerkki 1

Pertti Koivisto. Analyysi B

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

3. Differen-aalilaskenta

Transkriptio:

Itseopiskeluohje to 5.1.2018 Yleistä Torstin 5.1.2018 luennoitsijnne on Mtemtiikn päivillä Joensuuss vetämässä sessiot mtemtiikn opetuksest. Näin ollen luento ei pietä, vn trkoitus on itse käyä läpi kksi tulost käyrien krenpituuest j kerrt yhen muuttujn ifferentililskent j vektorilskent. Ensi viikoll sitten loitmme usemmn muuttujn funktioien käsittelyn, jolloin yhen muuttujn tpus on hyvä oll tuoreess muistiss. Käy sit läpi pienellä porukll, jos mhollist, tällöin pääsette myös keskustelemn hvinnoistnne! Luentosli U1 on käytettävissänne klo 10-12. Käyrät Tiistin luennoll määriteltiin käyrän krenpituus seurvsti: Avruuskäyrän r(t) krenpituus välillä t [, b] on b r t (t) t. Osoitetn nyt, että krenpituus ei ole riippuvinen vlitust prmetrisoinnist, j että käyrät voin prmetrisoi käyttämällä prmetrin krenpituutt lkupisteestä mitttun. Nämä väitteet toistetn seurvill khell tehtävällä (Ams-Essex 11.3 ex 27 j 28): Tehtävä 1 Let r r 1 (t), ( t b), n r r 2 (u), (c u ), be two prmetriztions of the sme curve C, ech one-to-one on its omin n ech giving C the sme orienttion (so tht r 1 () r 2 (c) n r 1 (b) r 2 ()). Then for ech 1

2 t in [, b] there is unique u u(t) such tht r 2 (u(t)) r 1 (t). Show tht b t r 1(t) t u r 2(u) u, n thus tht the lenght of C is inepenent of prmetriztion. c Tehtävä 2 If the curve r r(t) hs continuous, nonvnishing velocity v(t) on the intervl [, b], n if t 0 is some point in [, b], show tht the function s g(t) t t 0 v(u) u is n incresing function on [, b] n so hs n inverse: t g 1 (s) s g(t). Hence, show tht the curve cn be prmetrize in terms of rc lenght mesure from r(t 0 ). Yritä ensin toist väitteet itse j käy sen jälkeen läpi eräät rtkisut tämän monisteen lopust. Yhen muuttujn funktiot Trkist, että ost j ymmärrät seurvt sit: yhen muuttujn funktion jtkuvuuen määritelmä yhen muuttujn funktion erivtn määritelmä tvllisimmt erivointisäännöt yhen muuttujn funktioille Löyät kikki määritelmät esim. Ams-Essexistä ti Clculus Fennicuksest (ti vikk wikipeist). Kirjoit ne itsellesi muistiin j mieti smll, mitä määritelmissä toell snotn. Miksi sit olikn määritelty juuri näin? Milliset funktiot eivät ole jtkuvi? Milloin funktioll ei ole erivtt, vikk se olisikin jtkuv? Derivointiosmisesi voit testt seurvll tehtävällä:

3 Tehtävä 3 Derivoi seurvt funktiot, jos mhollist. Älä käytä lskint ti tietokonett, trkoitus on kerrt erivointisääntöjä. ) (x) ln(3x + 2) b) b(x) e sin(3x2 x) c) c(x) sin(x 3 1) cos(x 5 ) ) (x) x3 2x x 2 +x+1 ( e) e(x) tn ) e x2 3x 4 +x 2 Voit toki trkist mtemtiikkohjelmll vstuksesi. Anlyyttinen geometri Trkist, että ost j ymmärrät seurvt sit: Eukliisen vruuen (R 2 j R 3 ) vektorit, kntvektorit i, j j k j koorintit sklritulo (eli sisätulo eli pistetulo) vektoritulo (eli ristitulo) vruuen R 3 suort j tsot, erityisesti: Miten löyetään luseke khen nnetun pisteen kutt kulkevlle suorlle? Miten löyetään luseke kolmen nnetun pisteen kutt kulkevlle tsolle? Jos tson yhtälö x+by+cz on nnettu, mikä on sen normli? Kertmist vrten lue luentomonisteen luvut 1.1-2 trvittvin osin. Asit löytyvät myös niin Ams-Essexistä kuin Clculus Fennicuksestkin. Jos olet juuri ollut mtriisilskennn kurssill j käsitellyt siis viimeksi ennen joulu vektoreit, tsoj j suori, lienevät sit vrsin hyvin muistiss. Vektoreist on pri tehtävää 2. viikon hrjoituksiss.

4 Tehtävän 1 rtkisu As clime in the sttement of the problem, r 1 (t) r 2 (u(t)), where u is function from [, b] to [c, ], hving u() c n u(b). We ssume u is ifferentible. Since u is one-to-one n orienttion-preserving, u/t 0 on [, b]. By the Chin Rule t r 1(t) u r 2(u) u t, n so b t r b 1(t) t u r 2 (u(t)) u t t u r 2(u) u. c Tehtävän 2 rtkisu If r r(t) hs nonvnishing velocity v r/t on [, b], then for ny t 0 in [, b], the function s g(t) t t 0 v(u) u, which gives the (signe) rc lenght s mesure from r(t 0 ), is n incresing function: s t g (t) v(t) > 0 on [, b], by the Funmentl Theorem of Clculus. Hence g is invertible, n efines t s function of rc length s: Then t g 1 (s) s g(t). r r 2 (s) r ( g 1 (s) ) is prmetriztion of the curve r r(t) in terms of rc length. Tehtävän 3 rtkisu ) Tässä trvitn yhistetyn funktion erivointikv f(g(x)) x g (x)f (g(x)), logritmin erivointikv ln(x) 1 sekä polynomifunktion erivointikv n x x x i0 ix i n i1 i ix i 1. (x) x ln(3x + 2) (3x + 2) x 3x + 2 3 3x + 2.

5 b) Eellisen tehtävän kvojen lisäksi trvitn kvt x ex e x j sin(x) x cos(x). b (x) x esin(3x2 x) x (sin(3x2 x))e sin(3x2 x) x (3x2 x) cos(3x 2 x)e sin(3x2 x) (6x 1) cos(3x 2 x)e sin(3x2 x) c) Tätä tehtävää vrten lisätään kv-rsenliin tulon erivointisääntö (f(x)g(x)) f (x)g(x) + f(x)g (x) j kv cos(x) sin(x). x x c (x) x (sin(x3 1) cos(x 5 )) x (sin(x3 1)) cos(x 5 ) + sin(x 3 1) x (cos(x5 )) x (x3 1) cos(x 3 1) cos(x 5 ) + sin(x 3 1) x (x5 )( sin(x 5 )) 3x 2 cos(x 3 1) cos(x 5 ) 5x 4 sin(x 3 1) sin(x 5 ) ) Nyt trvitn tulon erviointisäännöstä helposti johettviss olev osmäärän erivointikv. x ( ) f(x) g(x) x (f(x)(g(x)) 1 ) f (x)(g(x)) 1 + f(x) x (g(x)) 1 g(x)f (x)(g(x)) 2 f(x)g (x)(g(x)) 2 g(x)f (x) f(x)g (x) (g(x)) 2

6 Sitten vin lskemn. (x) x ( x 3 2x x 2 + x + 1 ) (x2 + x + 1) x (x3 2x) (x 3 2x) x (x2 + x + 1) (x2 + x + 1)(3x 2 2) (x 3 2x)(2x + 1) 3x4 + 3x 3 + x 2 2x 2 (2x 4 + x 3 4x 2 2x) x4 + 2x 3 + 5x 2 2 e) Aloitetn johtmll tngentin erivointikv (hiemn yleisemmässä muooss kuin totuttu). x tn(f(x)) ( ) sin(f(x)) x cos(f(x)) (sin(f(x))) cos(f(x)) sin(f(x)) x x (cos(f(x))) cos 2 (f(x)) (f(x)) cos(f(x)) cos(f(x)) sin(f(x)) (f(x))( sin(f(x))) x x cos 2 (f(x)) f (x) cos 2 (f(x)) + f (x) sin 2 (f(x)) cos 2 (f(x)) f (x)(1 + tn 2 (f(x))) Lsketn sitten sisäfunktion erivtt. ( ) e x2 x (ex2 )(3x 4 + x 2 ) (e x2 ) x (3x4 + x 2 ) x 3x 4 + x 2 (3x 4 + x 2 ) 2 x (x2 )(e x2 )(3x 4 + x 2 ) (e x2 )(12x 3 + 2x) (3x 4 + x 2 ) 2 2xex2 (3x 4 + x 2 ) e x2 (12x 3 + 2x) 9x 8 + 6x 6 + x 4 (6x5 10x 3 2x)e x2 9x 8 + 6x 6 + x 4 6x4 10x 2 2 9x 7 + 6x 5 + x 3 ex2

7 Lopputulos on siis e (x) 6x4 10x 2 2 9x 7 + 6x 5 + x 3 (1 + tn 2 ( )) e x2 e x2. 3x 4 + x 2