Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX

Transkriptio

1 Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX II välikoe klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku 3 ja luvun 4 kappaleet 4.1 ja 4.2, + demoissa ja Ex tempore -demoissa käsitellyt asiat. Tehtävä 1. Olkoon f : R R, f(x) = x 77 +x Osoita suoraan Bolzanon lauseesta, että funktio f saa kaikki arvot [22, 24]. (Tämä tehtävä on olennaisesti se miten Bolzanon lauseesta saadaa Bolzanon korollaari. Älä siis käytä korollaaria vaan käytä Bolzanon lausetta, jossa funktio saa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot.) Ratkaisu. Koska f(0) = 22 ja f(1) = 24, niin keskitytään väliin [0,1]. Olkoon 22 < y < 24. Määritellään apufunktio g : [0,1] R asettamalla g(x) = f(x) y. Polynomifunktiona g on jatkuva. Koska g(0) = 22 y < 0 ja g(1) = 24 y > 0, niin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa c (0,1), jolle g(c) = 0 eli f(c) = y. Koskatämäpäättely pätee kaikille y jalisäksi f(0) = 22 jaf(1) = 24, niinsaamme että funktio f saa kaikki arvot väliltä [22, 24]. Tehtävä 2. Tutustu Bolzanon lauseen todistukseen 1. Mitä tietoja (lauseita, lemmoja, määriteltyjä käsitteitä) todistuksessa tarvitaan? Kerää keskeisimmät tulokset ja määritelmät sekä piirrä niistä (käsite)kartta. Ratkaisu. supremum ja infimum lukujonon raja-arvo Lause jatkuvuus Lause Bolzanon lause funktion raja-arvo Lause Kuva 1. Bolzanon lause. Tehtävä 3. Olkoon f : R R funktio, joka on jatkuva origossa. Osoita, että jos f(x+y) = f(x)+f(y) kaikilla x,y R, niin funktio f on jatkuva. Ratkaisu.Osoitetaan ensin,ettäf(0) = 0. Koskaf(0) = f(0+0) = f(0)+f(0), niin saamme f(0) = 0. Saamme lim f(y) = lim f(x+h) = lim (f(x)+f(h)) y x h 0 h 0 = lim f(x)+ lim f(h) = f(x)+0 = f(x), h 0 h 0 missä funktion jatkuvuutta origossa käytettiin 4. yhtälössä.

2 Tehtävä 4. Bolzanon lauseen todistuksessa 1 todistettiin f(s) 0 lukujonojen avulla (tässä s = sup{x [a,b]: f(x) < 0}). Osoita, että f(s) 0 epäsuorasti käyttämällä vastaoletusta f(s) > 0, demojen VII tehtävää 6 ja lausetta Ratkaisu. Tehdään vastaoletus: f(s) > 0. Koska funktio f on jatkuva(pisteessä s) ja f(s) > 0 niin (demo VII teht 6) on olemassa sellainen r > 0, että f(x) > 0 kaikilla x (s r,s+r). Tällöin s ei voi olla joukon E = {x [a,b] : f(x) < 0} supremum, jos ε = 1 2r, niin ei ole olemassa alkiota x E, jolle s ǫ < x s. Ristiriita. Tehtävä 5. Olkoon f : [a,d] R jatkuva ja luvut b,c [a,d], a < b < c < d. Oletetaan, että f(a) < f(c) ja f(b) > f(d). Osoita, että on olemassa x,y [a,d], x y, joille f(x) = f(y). Ratkaisu. Jokin seuraavista vaihtoehdoista pätee: f(b) = f(c), f(b) < f(c) tai f(b) > f(c). Jos f(b) = f(c), niin b ja c ovat halutut luvut. Oletaan, että f(b) < f(c). Tällöin pätee f(d) < f(b) < f(c), joten Bolzanon korollaarin nojallaon olemassa x (c,d), jolle f(x) = f(b). Nyt b jaxovat halutut luvut. Oletaan, että f(b) > f(c). Tällöin pätee f(a) < f(c) < f(b), joten Bolzanon korollaarin nojallaon olemassa x (a,b), jolle f(x) = f(c). Nyt x jacovat halutut luvut. Tehtävä 6. (a) (Funktion hajaantumisehto) Olkoon f: A R funktio, ja on olemassa r > 0, jolle (x 0 r,x 0 ) (x 0,x 0 +r) A. Tiedetään, että on olemassa jonot (x n ) ja (y n ), missä jäsenet x i ja y i kuuluvat joukkoon A ja x i x 0 ja y i x 0 kaikilla i N 1, joille lim n (x n ) = x 0 = lim n (y n ) ja lim f(x n) lim f(y n). Osoita, että funktiolla f ei ole raja-arvoa pisteessä x 0. (b) Osoita (a)-kohdan avulla että funktio f: R R, jolle f(x) = sin(1/x), kun x 0, ei voi olla jatkuva pisteessä x = 0. Ratkaisu. (a) Vastaoletus, oletetaan lim x x0 f(x) = a R. Nyt lauseen mukaan kaikille jonoille (z n ), joille z n x 0 kaikilla n N 1, jos (z n ) n x 0, niin f(z n ) n a. Nyt siis lim f(x n) = a = lim f(y n), mikä on ristiriita. Siis raja-arvoa lim x x0 f(x) ei ole olemassa. (b) f on jatkuva pisteessä x = 0 joss lim x x0 f(x) = f(0). Osoitetaan edellisen kohdan avulla, että raja-arvoa lim x x0 f(x) ei ole olemassa, jolloin funktio ei voi olla jatkuva millään annetulla arvolla f(0). 1 Muodostetaan kaksi jonoa, (x n ) ja (y n ), x n = π/2+2nπ ja z n = 1 2nπ kaikilla n N 1. Selvästi Nyt lim x n = 0 = lim y n. lim n f(x n) = lim n sin(π/2+2nπ) = 1 0 = lim n sin(2nπ) = lim n f(y n). Siis (a)-kohdan mukaan funktiolla ei ole raja-arvoa pisteessä x = 0 eikä funktio siis voi olla jatkuva tässä pisteessä.

3 Tehtävä 7. Olkoon f: [0,1] [0,1] kasvava funktio. Tiedetään, että f(0) > 0 ja f(1) < 1. Osoita, että funktiolla f on kiintopiste välillä [0,1] eli on olemassa c [0,1] jolle f(c) = c. Vihje: Funktio f ei siis välttämättä ole jatkuva, ainoastaan kasvava. Tarkastele funktionf käyttäytymistäsuorany = xsuhteen.olkoons = sup{x [0,1]: f(x) > x} ja osoita, että f(s) = s. Ratkaisu. C = {x [0,1]: f(x) > x}. Selvästi 1 on joukon C yläraja joten s = supc = sup{x [0,1]: f(x) > x} on reaalinen ja kuuluu välille [0,1]. Huomaa, että C on epätyhjä, koska 0 C. Osoitetaan, että s / C. Tehdään vastaoletus: s C, joten f(s) > s. On siis olemassa ε > 0, jolle f(s) = s + ε. Nyt s < s + ε 2 < 1, joten s + ε 2 / C ja f(s + ε 2 ) s + ε 2. Nyt f(s) = s + ε > s + ε 2 f(s + ε 2 ), mikä on ristiriidassa funktion f kasvavuuden kanssa. Siis s / C, joten f(s) s. Olkoon x C. Silloin f(x) > x ja s > x. Jälkimmäisestäseuraakasvavuudenperusteella, että f(s) f(x), jotenf(s) f(x) > x. Siis myös f(s) on joukon C yläraja. Koska s on pienin yläraja, on s = supc f(s). Siis välttämättä f(s) = s.

4 Analyysi I (mat & til) Ex tempore VIII ma klo 14 Analyysi I (mat & til) Välikoe II Tämän välikokeen kesto on 3 tuntia. Kokeessa saa käyttää laitoksen kaavakokoelmaa ja funktiolaskinta. Tehtävä 1. (a) Anna esimerkki funktiosta f: R R, jolle lim f(x) = 2. x 1 Perustele esimerkkifunktiosi raja-arvo pisteessä 1 suoraan raja-arvon määritelmästä. (b) Olkoon f : R R funktio, joka on määritelty siten, että 3x 2, kun x > 1, f(x) = 2, kun x = 1, x 2, kun x < 1. Osoita suoraan määritelmistä, että funktiolla f on raja-arvo pisteessä 1. Ratkaisu. (a) Esimerkiksi f(x) = 2x käy. Olkoon ε > 0. Valitsemme, että δ = ε 2. Saadaan f(x) 2 = 2x 2 = 2 x 1 < 2 ε 2 = ε, kun 0 < x 1 < δ. (b) Tarkastellaan toispuoleisia raja-arvoja pisteessä 1. Osoitetaan, lim x 1 + f(x) = 1 = lim x 1 f(x), mikä todistaa väitteen. Olkoon ε > 0, ja δ = ε 3, nyt f(x) 1 = 3x 2 1 = 3x 3 = 3 x 1 < ε, kaikilla x, 1 < x < 1+δ. Siis lim x 1 +f(x) = 1. Olkoon ε > 0, ja δ = min{1, ε 2 }. Nyt f(x) 1 = x 2 1 = x 1 x+1 = 2 x 1 < ε, kaikilla x, 1 δ < x < 1. Siis lim x 1 f(x) = 1. Tehtävä 2. (a) Olkoon f : R R, f(x) = 1 2 x2 1. Osoita suoraan määritelmästä, että f on jatkuva pisteessä -1. (b) Olkoon f : R R jatkuva pisteessä x 0 R ja f(x 0 ) > 0. Osoita, että tällöin on olemassa sellainen r > 0, että f(x) > 0 kaikilla x (x 0 r,x 0 +r).

5 Ratkaisu. (a) Olkoon ε > 0, ja δ = min{1, 2 3ε}. Nyt f(x) f( 1) = 1 2 x2 1 ( 1 2 ) = 1 2 x2 1 = 1 2 x 1 x+1 = 1 2 x 1 x ( 1) < 3 x ( 1) < ε, 2 kaikilla x: x ( 1) = x+1 < δ. Tällöin erityisesti x 1 < 3. (b) Valitaan, että ε = 1 2 f(x 0) > 0. Koska f on jatkuva pisteessä x 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε kun x x 0 < δ. Tällöin 1 2 f(x 0) < f(x) f(x 0 ) < 1 2 f(x 0) joten 0 < 1 2 f(x 0) < f(x) kaikilla x (x 0 δ,x 0 +δ). Voidaan siis valita r = δ. Tehtävä 3. (a)olkootf: A Rjag: A Rfunktioita,joillelim x x0 f(x) = ajalim x x0 g(x) = b.osoita,ettäfunktiollaf+g: A Ronraja-arvopisteessäx 0 jaettälim x x0 (f(x)+ g(x)) = a+b. (b) Olkoon f: R R jatkuva funktio. Tiedetään, että f(0) < 0 ja f(2) > 4. Osoita, että on olemassa luku c R, jolle f(c) = c 2. Ratkaisu. (a) Olkoon ε > 0. Funktioiden f jag raja-arvojen perusteella, δ 1,δ 2 > 0, joille f(x) a < ε 2 kaikilla x: 0 < x x 0 < δ 1, ja g(x) b < ε 2 kaikilla x: 0 < x x 0 < δ 2. Olkoon δ = min{δ 1,δ 2 }. Nyt f(x)+g(x) (a+b) = f(x) a+g(x) b f(x) a + g(x) b ε 2 + ε 2 = ε, kaikilla x: 0 < x x 0 < δ. (b) Tarkastellaan funktiota h(x) = f(x) x 2. Koska f ja x 2 ovat jatkuvia, niin myös h on jatkuva funktio. Nyt h(0) = f(0) 0 = f(0) < 0 ja h(2) = f(2) 4 > 0, ja Bolzanon lauseen mukaan välillä [0,2] on piste c, jolle h(c) = 0. Nyt h(c) = f(c) c 2 = 0, joten f(c) = c 2.