3. Differen-aalilaskenta

Transkriptio

1 //. Differen-aalilaskenta Differen-aali "yvin pieni uutos" Derivaa<a kuvaa funk-on uutosnopeu<a Esi. kertaluvun keiallinen reak-o A B Reak-on nopeus on A:n tai B:n konsentraa-on uutosnopeus. Reak-on etkellinen nopeus on v = [ A] = [ B] t t Muita erivaatan erkintätapoja: f(x) = f'(x) = f () (x) = D x f(x) = Df(x) Kaikissa näissä erivoiaan x:n suteen. Jos funk-o f riippuu yös uista uu<ujista, ja alutaan erikseen korostaa e<ä erivoiaan (vain ja ainoastaan) x:n suteen, käytetään osi<aiserivaatan erkintää: f(x) x = ( f(x) x ) y,z,... nää pietään vakiona osi<aiserivaa<aa laske<aessa f(x) = f'(x) = f () (x) = D x f(x) = Df(x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x) f(x+)

2 // f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x) f(x+) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x) f(x+)

3 // f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x) f(x+) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x+) f(x)

4 // f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x+) f'(x) f'(x) Derivaa<a koassa x = funk-on kulakerroin, voiaan kuvata tangenuviivalla Esi: Vetyjoiin ajoaisreaak-o HI(g) H (g) + I (g) Eteneistä voi seurata i<aaalla HI:n konsentraa-ota ajan funk-ona. Mi<austulokset 50 C läpö-lassa: [HI],ol/L t,s Mikä on vetyjoiin etkellinen ajoaisnopeus kun t = 70 s? 4

5 // Ratkaisu: piirretään tangenu t = 70 s koalle [HI],ol/L Ratkaisu: piirretään tangenu t = 70 s koalle [HI],ol/L Δ[HI] Δt t,s t,s Ratkaisu: piirretään tangenu t = 70 s Koalle [HI],ol/L Δ[HI] Nyt voiaan arvioia uutosnopeus [ ] t [ ] HI Δ HI Δt Δt t,s 0,4 ol/l 0,00 ol/ls 7 s Alkeisfunk-oien erivaatat Vakio D x a = 0 Esi D x 8 = 0 Potenssifunk-o D x x n = nx n Esi. D x x 7 = 7x 7 = 7x 6 D x x = x D x x = D x x = x 0 = D x (/x ) = D x x = x 4 D y y ab+ = (ab+)y ab+ 5

6 // Missä sin(x) uu<uu nopeiten? Entä väiten? Missä cos(x) uu<uu nopeiten ja väiten? Alkeisfunk-oien erivaatat Trigonoetriset funk-ot D x sin x = cos x D x cos x = sin x cos(x) EksponenUfunk-o D x e x = e x sin(x) Logaritifunk-o D x ln x = /x Derivoin-säännöt Vakiokertoien käsi<ely (tässä k = vakio) D x k = 0 D x [kf(x)] = kd x f(x) =kf'(x) Esi. D x (5e x ) = 5D x e x = 5e x Sua ja erotus D x [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x) Esi. D x [x 4x +] = D x x + D x ( 4x) + D x () = x + 4 x + 0 = 6x 4 Derivoin-säännöt Tulo D x [f(x) g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Esi. D x [x sin(x)] = D x (x) sin x + x D x (sin x) = sin x + x cos x = sin x + x cos x Esi. D x [(x )e x cos(x)] = x e x cos(x) +(x )e x cos(x) (x )e x sin(x) 6

7 // Osaäärä Esi. Toinen tapa: Derivoin-säännöt f(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) D x = g(x) [ g(x) ] e x x x = D x (ex ) x - e x D x (x) x = xex e x x e x x x = (e x x ) = D x (e x ) x + e x D x (x ) x = e x x + e x ( x ) = e x (x x ) = ex x ex x = xex e x x Osaäärä Esi. Derivoin-säännöt f(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) D x = g(x) [ g(x) ] x x x + = D x(x ) (x+) D x (x+)(x ) (x +) (x+) (x ) x+ x+ = = = (x +) (x +) (x +) Yistetyn funk-on erivaa<a Funk-o f jossa uu<ujana on funk-o g: f(g(x)) Esi f(x) = e x ulkofunk-o g(x) = x sisäfunk-o f(g(x)) = e x D x f(g(x)) = f(u) g(x) u u=g(x) yiste<y funk-o D x e x = eu u u=x = e u u=x x = e x x Ketjusääntö ( cain rule ) Äsken nä-in tulos D x f(g(x)) = f(u) g(x) u u=g(x) Tää on esierkki yleiseästä ns. ketjusäännöstä: f = f u u Esierkissä u = g(x), u<a sääntö pätee yleises- ille taansa uu<ujalle u. Säännön avulla saaaan elpos- joe<ua onia erivaa<oja. 7

8 // Tavallisia esierkkejä yistetyistä funk-oista : D x [f(x) n ] = n f(x) n f'(x) Esi. D x (sin x) = D x (sin x) = sin x cos x Tavallisia esierkkejä yistetyistä funk-oista : D x ln[ f(x) ] = f'(x) f'(x) = f(x) f(x) D x cos[f(x)] = sin[f(x)] f'(x) D x sin[f(x)] = cos[f(x)] f'(x) Esi. D x [cos(x)] = sin(x) D x [sin(x )] = cos(x ) x D x [e f(x) ] = e f(x) f'(x) Esi. D x (e x ) = e x x Esi D x ln(x+) Esi D x ln(cos(x)) = /(x+) D x (x+) = /(x+) = /(x+) = /(cos(x)) D x cos(x) = /(cos(x)) sin(x) = sin(x)/cos(x) = tan(x) Derivoiiskaavoja Näitä löytyy MAOLin taulukoista, uista taulukkokirjoista, ne-stä, jnpp... Useiat kaavat joe<avissa elko elposeellä esite<yjen sääntöjen perusteella, kunan alkeisfunk-oien erivaatat uistaa Esi D x (tan x) = D x (sin x / cos x) = (cos x cos x sin x sin x)/(cos x) = (cos x + sin x )/cos x = /cos x Ope<ele yärtäään ja käy<äään; älä ope<ele ulkoa pitkää listaa kaavoja... DERIVATIVE RULES n n! x " $ nx! sin x" $ cos x! cos x" a a $ sin x x x! " $ ln %a! tan x" $ sec x! cot x" $ csc! f ( x) % g( x) " $ f( x) % g& ( x) ' g( x) % f& ( x)! sec x" $ sec x tan x! csc x" $ csc xcot x ( f( x) ) g( x) % f& ( x) f( x) % g& ( x) * + $! arcsin x" $! arctan x", g( x) -! gx ( )" x $ ' x! f ( gx ( ))" $ f& ( gx ( ))% g& ( x)! arcsec x" $ x x! ln x" $! sin x" $ cos x! cos x" $ sin x x x 8

9 // Esierkki: /t[e t t + (t cos(t) ) 8 e t ] =D t [e t t ] + D t [(t cos(t) ) 8 e t ] =D t (e t ) t + e t D t [t ] + D t [(t cos(t) ) 8 ] e t + (t cos(t) ) 8 D t (e t ) = e t t + e t t + 8 (t cos(t) ) 7 D t [t cos(t) ] e t + (t cos(t) ) 8 e t = t e t + te t + 8 (t cos(t) ) 7 (D t [t cos(t)] D t ()) e t + (t cos(t) ) 8 e t = t e t + te t + (t cos(t) ) 8 e t + 8 (t cos(t) ) 7 [D t (t) cos(t) + t D t (cos(t)) 0)] e t = t e t + te t + (t cos(t) ) 8 e t + 8 (t cos(t) ) 7 [cos(t) + t sin(t)] e t = t e t + te t + (t cos(t) ) 8 e t + 8 (t cos(t) ) 7 (cos(t) 6tsin(t)) e t Derivaatan käy<ö keiassa Muutosnopeuen laskeinen Esi. reak-onopeus = konsentraa-on uutosnopeus Minii- ja aksiiarvojen löytäinen Jatkuva funk-on saavu<aa inii- ja aksiiarvonsa joko ääri<elyalueen rajoilla tai erivaatan nollakoissa. Jos funk-o ei ole jatkuva, ääriarvo voi löytyä yös yksi<äisestä pisteestä (näitä tapauksia ei käsitellä tässä). KvanUkeian operaa<oreissa usein ukana erivaa<a Tarvitaan esi. aaltofunk-oien ratkaiseiseen. Esierkki: Hückelin approksiaa-on avulla kuvataan konjugoituneen iiliketjun (uotoa - C=C- C=C- C=) oaavan olekyylin orbitaalienergioita. Teorian ukaan eteenin C H 4 pi- elektronien orbitaalienergiat (ε) ovat ε = α + c( c ) 0.5 β α ja β ovat Hückelin paraetrit ja c on uu<uja. Sta-onääririssä pisteissä ε/c = 0. Laske ε:n aolliset arvot. Ratkaisu: aloitetaan laskealla ne c:n arvot joilla ε/c = 0. ε & ) c = 0 + β D c( c( c ) + '( * +,. & ) 0 = β D c (c) ( c ) + c D c (( c. - ) + /. '( * +. 9

10 // % ' = β ( c ) + c ( c ) ) & ' ( c)) * (' +' % ) ' = β ( c ) c ' & * ' ( ( c ) ' + ε c = 0 ( c ) ( c ) - c = 0 c = 0 c ( c ) = 0 ( c) Sijoitetaan nyt lasketut c:n arvot alkuperäiseen ytälöön: c = + ε = α + (- ( ) ) β = α + (- ) β = α + β = α + β c = ε = α + - (- ( ) ) = α - (- ) β β c = ± = ± = α - β = α β Derivaa<a ja ääriarvot Derivaa<a ja ääriarvot Funk-on erivaa<aa -etyssä pisteessä kuvataan tangenuviivalla. Funk-on erivaa<aa -etyssä pisteessä kuvataan tangenuviivalla. 0

11 // Derivaa<a ja ääriarvot Funk-on erivaa<aa -etyssä pisteessä kuvataan tangenuviivalla. Missä koissa erivaa<a (tangen-n kulakerroin) on nolla? Derivaa<a ja ääriarvot Funk-on erivaa<aa -etyssä pisteessä kuvataan tangenuviivalla. Missä koissa erivaa<a (tangen-n kulakerroin) on nolla? Vastaus: funk-on ääriarvokoissa Derivaatan nollakoat f'(x) = 0 voi erkitä f(x):n aksiia f'(x) = 0 Derivaatan etuerkki Jos f'(x) > 0, funk-o on kasvava Jos f'(x) < 0, funk-o on pienenevä f'(x)=0: kasvuvau- on nolla f'(x) = 0 f'(x) = 0 f(x):n iniiä ei kupaakaan (engl. sale point") f'(x) = 0 f'(x) = 0 f'(x) > 0 funk-o kasvaa f'(x) < 0 funk-o pienenee f'(x) > 0 funk-o kasvaa

12 // Ääriarvotetävät Funk-on ääriarvokoat voivat löytyä: Derivaatan nollakoista Määri<elyalueen rajoilta Derivaatan nollakoan luonne (aksii, inii vai ei kupaakaan) selviää tarkastelealla erivaatan etuerkkiä nollakoan olein puolin Funk-on aksiikoassa erivaatan f'(x) etuerkki on posi-ivinen sen nollakoan vasealla (pienepi x) puolella ja nega-ivinen sen oikealla (suurepi x puolella) Funk-on iniikoassa erivaatan f'(x) etuerkki on nega-ivinen sen nollakoan vasealla (pienepi x) puolella ja posii-ivinen sen oikealla (suurepi x puolella) Jos erivaatan etuerkki on saa nollakoan olein puolin, kyseessä ei ole funk-on inii- tai aksiikota. f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 Toiintastrategia ääriarvotetävissä ("löyä funk-on pienin/suurin arvo") ) Selvitä f(x) ääri<elyjoukko Joskus tää on selkeäs- anne<u tetävässä, joskus taas se täytyy itse päätellä. Keialliset ja fysikaaliset perustelut käyvät yvin, esi "konsentraa-o tai assa ei voi olla nega-ivinen => yksi raja on c=0 tai =0". ) Derivoi f(x) )Etsi erivaatan f'(x) nollakoat 4)Selvitä f'(x):n etuerkin avulla onko kyseessä inii vai aksii 5)Laske f(x) arvo erivaatan nollakoissa sekä ääri<elyalueen rajoilla Esi: ikä on funk-on f(x) = x x + suurin ja pienin arvo välillä [ 5,+5]? Ratkaisu: )Määri<elyjoukko on anne<u; välillä [ 5,+5] )f'(x) = x )f'(x)=0 => x = 0 => x = / =,5 4) kyseessä on inii f'(x) + 5) f( 5) = 4 f(.5) = 0,5 f(5) = esi. f () = x=,5 è pienin arvo on 0,5 ja suurin arvo 4. esi. f () =

13 // Esierkki: Lennar- Jones - poten-aali Molekyylien välistä poten-aalienergiaa V(r) kuvataan usein Lennar Jones poten-aalienergiafunk-olla! V(r) = 4ε ( δ r ) - ( δ $ " r )6 % & issä r on olekyylien etäisyys toisistaan, ε on vuorovaikutuksen voiakkuu<a kuvaava paraetri ja δ on etäisyys jolla V(r) = 0. Selvitä poten-aalienergiafunk-on iniin paikka ja arvo. Ratkaisu: )Määri<elyjoukkoa ei ole erikseen anne<u, u<a etäisyys ei voi olla nega-ivinen: ääri<elyjoukko on siis ]0, [ )Derivoiaan:! V(r) = 4ε ( δ r ) - ( δ $ " r )6 % & = 4ε(δ r δ 6 r 6 ) V '(r) = 4ε(δ ( ) r δ 6 ( 6) r 7 ) = 4ε( δ r + 6δ 6 r 7 ) )Lasketaan erivaatan nollakoat: V '(r) = 4ε( δ r + 6δ 6 r 7 ) = 0 δ r + 6δ 6 r 7 = 0 δ 6 r + r 7 = 0 δ 6 r + r 7 = 0 δ 6 r 6 += 0 δ 6 r 6 = r 6 = r 6 = δ 6 r 6 = δ 6 6 r = δ 4)Onko kyseessä inii vai aksii? V'(r) + esi. V (δ) r=() /6 δ esi. V (δ) = 4εδ =4ε( 7 ) δ 0.8εδ Huo: -eetään eä ε,δ > 0.

14 // 5)Lasketaan V(() /6 δ)! V(r) = 4ε ( δ 6 δ ) - ( δ $ 6 " δ )6 % & V(r)! δ = 4ε ( )-( δ 6 $ )& 6 " 6 δ 6 & δ 6 %! = 4ε ( " 4 )-( ) $ % & = 4ε 4 = ε r=()/6 δ V=0 V(0) ei ole ääritelty (tosin elpos- uoataan e<ä V(r) kun r 0, ja V(r) 0 kun r ). Löye<y erivaatan nollakota r = () /6 δ on siis poten-aalienergian iniikota, jonka arvo on ε. V= ε Esierkki: Maxwell- Bolzann jakaua Toennäköisyys e<ä - assaisen iukkasen nopeus läpö-lassa T on v saaaan Maxwell Bolzannin jakauasta: f (v) = 4π ( π ) v e v issä k on Bolzannin vakio. Määritä olekyylin toennäköisin nopeus. Ratkaisu: )Määri<elyjoukkoa ei ole erikseen anne<u, u<a nopeus ei voi olla nega-ivinen: ääri<elyjoykko on siis ]0, [ )Derivoiaan: f '(v) = 4π ( π ) D v (v e v ) = 4π ( π ) D v (v ) e v + v D v (e v $% ) & '( = 4π ( π ) v e v + v e v D ( v v ) & $% '( = 4π ( π ) e v v + v v & $ % ' ( = 4π ( π ) e v v( v ) 4

15 // )Lasketaan erivaatan nollakoat: 4π ( π ) e v tulo on nolla jos joku sen tekijöistä on nolla, eli e v = 0 tai v=0 tai ( v ) = 0 v = ± EksponenUfunk-o on aina nollaa suurepi, ja nega-ivinen nopeus (/) 0.5 on ääri<elyalueen ulkopuolella. Jää siis kaksi nollakotaa: v=0 ja v=(/) 0.5 v( v ) = 0 4) Tarkastellaan f'(v) etuerkkiä: f'(v) + f '(v) = 4π ( π ) v=0 v=(/) 0.5 e v v( v ) = 0 Huo: koska vakio ja eksponenuosa ovat aina > 0, ja ääri<elyjoukko on v > 0, etuerkin laskeiseksi tarvitsee laskea ainoastaan tekijän ( v /) etuerkki. 5) v = (/) 0.5 vastaa siis f(v) aksiiarvoa, ja vastaus on: olekyylin toennäköisin nopeus on (/) 0.5 (uo: f(v) arvoa ei kysyy joten sitä ei tarvitse laskea) 5