3. Differen-aalilaskenta
|
|
- Riitta-Liisa Hyttinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 //. Differen-aalilaskenta Differen-aali "yvin pieni uutos" Derivaa<a kuvaa funk-on uutosnopeu<a Esi. kertaluvun keiallinen reak-o A B Reak-on nopeus on A:n tai B:n konsentraa-on uutosnopeus. Reak-on etkellinen nopeus on v = [ A] = [ B] t t Muita erivaatan erkintätapoja: f(x) = f'(x) = f () (x) = D x f(x) = Df(x) Kaikissa näissä erivoiaan x:n suteen. Jos funk-o f riippuu yös uista uu<ujista, ja alutaan erikseen korostaa e<ä erivoiaan (vain ja ainoastaan) x:n suteen, käytetään osi<aiserivaatan erkintää: f(x) x = ( f(x) x ) y,z,... nää pietään vakiona osi<aiserivaa<aa laske<aessa f(x) = f'(x) = f () (x) = D x f(x) = Df(x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x) f(x+)
2 // f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x) f(x+) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x) f(x+)
3 // f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x) f(x+) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x) f(x+) f(x+) f(x)
4 // f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f (x) Δf (x) Δx f (x) Muoollinen ääritelä: = li f (x + ) f (x) f(x+) f'(x) f'(x) Derivaa<a koassa x = funk-on kulakerroin, voiaan kuvata tangenuviivalla Esi: Vetyjoiin ajoaisreaak-o HI(g) H (g) + I (g) Eteneistä voi seurata i<aaalla HI:n konsentraa-ota ajan funk-ona. Mi<austulokset 50 C läpö-lassa: [HI],ol/L t,s Mikä on vetyjoiin etkellinen ajoaisnopeus kun t = 70 s? 4
5 // Ratkaisu: piirretään tangenu t = 70 s koalle [HI],ol/L Ratkaisu: piirretään tangenu t = 70 s koalle [HI],ol/L Δ[HI] Δt t,s t,s Ratkaisu: piirretään tangenu t = 70 s Koalle [HI],ol/L Δ[HI] Nyt voiaan arvioia uutosnopeus [ ] t [ ] HI Δ HI Δt Δt t,s 0,4 ol/l 0,00 ol/ls 7 s Alkeisfunk-oien erivaatat Vakio D x a = 0 Esi D x 8 = 0 Potenssifunk-o D x x n = nx n Esi. D x x 7 = 7x 7 = 7x 6 D x x = x D x x = D x x = x 0 = D x (/x ) = D x x = x 4 D y y ab+ = (ab+)y ab+ 5
6 // Missä sin(x) uu<uu nopeiten? Entä väiten? Missä cos(x) uu<uu nopeiten ja väiten? Alkeisfunk-oien erivaatat Trigonoetriset funk-ot D x sin x = cos x D x cos x = sin x cos(x) EksponenUfunk-o D x e x = e x sin(x) Logaritifunk-o D x ln x = /x Derivoin-säännöt Vakiokertoien käsi<ely (tässä k = vakio) D x k = 0 D x [kf(x)] = kd x f(x) =kf'(x) Esi. D x (5e x ) = 5D x e x = 5e x Sua ja erotus D x [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x) Esi. D x [x 4x +] = D x x + D x ( 4x) + D x () = x + 4 x + 0 = 6x 4 Derivoin-säännöt Tulo D x [f(x) g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Esi. D x [x sin(x)] = D x (x) sin x + x D x (sin x) = sin x + x cos x = sin x + x cos x Esi. D x [(x )e x cos(x)] = x e x cos(x) +(x )e x cos(x) (x )e x sin(x) 6
7 // Osaäärä Esi. Toinen tapa: Derivoin-säännöt f(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) D x = g(x) [ g(x) ] e x x x = D x (ex ) x - e x D x (x) x = xex e x x e x x x = (e x x ) = D x (e x ) x + e x D x (x ) x = e x x + e x ( x ) = e x (x x ) = ex x ex x = xex e x x Osaäärä Esi. Derivoin-säännöt f(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) D x = g(x) [ g(x) ] x x x + = D x(x ) (x+) D x (x+)(x ) (x +) (x+) (x ) x+ x+ = = = (x +) (x +) (x +) Yistetyn funk-on erivaa<a Funk-o f jossa uu<ujana on funk-o g: f(g(x)) Esi f(x) = e x ulkofunk-o g(x) = x sisäfunk-o f(g(x)) = e x D x f(g(x)) = f(u) g(x) u u=g(x) yiste<y funk-o D x e x = eu u u=x = e u u=x x = e x x Ketjusääntö ( cain rule ) Äsken nä-in tulos D x f(g(x)) = f(u) g(x) u u=g(x) Tää on esierkki yleiseästä ns. ketjusäännöstä: f = f u u Esierkissä u = g(x), u<a sääntö pätee yleises- ille taansa uu<ujalle u. Säännön avulla saaaan elpos- joe<ua onia erivaa<oja. 7
8 // Tavallisia esierkkejä yistetyistä funk-oista : D x [f(x) n ] = n f(x) n f'(x) Esi. D x (sin x) = D x (sin x) = sin x cos x Tavallisia esierkkejä yistetyistä funk-oista : D x ln[ f(x) ] = f'(x) f'(x) = f(x) f(x) D x cos[f(x)] = sin[f(x)] f'(x) D x sin[f(x)] = cos[f(x)] f'(x) Esi. D x [cos(x)] = sin(x) D x [sin(x )] = cos(x ) x D x [e f(x) ] = e f(x) f'(x) Esi. D x (e x ) = e x x Esi D x ln(x+) Esi D x ln(cos(x)) = /(x+) D x (x+) = /(x+) = /(x+) = /(cos(x)) D x cos(x) = /(cos(x)) sin(x) = sin(x)/cos(x) = tan(x) Derivoiiskaavoja Näitä löytyy MAOLin taulukoista, uista taulukkokirjoista, ne-stä, jnpp... Useiat kaavat joe<avissa elko elposeellä esite<yjen sääntöjen perusteella, kunan alkeisfunk-oien erivaatat uistaa Esi D x (tan x) = D x (sin x / cos x) = (cos x cos x sin x sin x)/(cos x) = (cos x + sin x )/cos x = /cos x Ope<ele yärtäään ja käy<äään; älä ope<ele ulkoa pitkää listaa kaavoja... DERIVATIVE RULES n n! x " $ nx! sin x" $ cos x! cos x" a a $ sin x x x! " $ ln %a! tan x" $ sec x! cot x" $ csc! f ( x) % g( x) " $ f( x) % g& ( x) ' g( x) % f& ( x)! sec x" $ sec x tan x! csc x" $ csc xcot x ( f( x) ) g( x) % f& ( x) f( x) % g& ( x) * + $! arcsin x" $! arctan x", g( x) -! gx ( )" x $ ' x! f ( gx ( ))" $ f& ( gx ( ))% g& ( x)! arcsec x" $ x x! ln x" $! sin x" $ cos x! cos x" $ sin x x x 8
9 // Esierkki: /t[e t t + (t cos(t) ) 8 e t ] =D t [e t t ] + D t [(t cos(t) ) 8 e t ] =D t (e t ) t + e t D t [t ] + D t [(t cos(t) ) 8 ] e t + (t cos(t) ) 8 D t (e t ) = e t t + e t t + 8 (t cos(t) ) 7 D t [t cos(t) ] e t + (t cos(t) ) 8 e t = t e t + te t + 8 (t cos(t) ) 7 (D t [t cos(t)] D t ()) e t + (t cos(t) ) 8 e t = t e t + te t + (t cos(t) ) 8 e t + 8 (t cos(t) ) 7 [D t (t) cos(t) + t D t (cos(t)) 0)] e t = t e t + te t + (t cos(t) ) 8 e t + 8 (t cos(t) ) 7 [cos(t) + t sin(t)] e t = t e t + te t + (t cos(t) ) 8 e t + 8 (t cos(t) ) 7 (cos(t) 6tsin(t)) e t Derivaatan käy<ö keiassa Muutosnopeuen laskeinen Esi. reak-onopeus = konsentraa-on uutosnopeus Minii- ja aksiiarvojen löytäinen Jatkuva funk-on saavu<aa inii- ja aksiiarvonsa joko ääri<elyalueen rajoilla tai erivaatan nollakoissa. Jos funk-o ei ole jatkuva, ääriarvo voi löytyä yös yksi<äisestä pisteestä (näitä tapauksia ei käsitellä tässä). KvanUkeian operaa<oreissa usein ukana erivaa<a Tarvitaan esi. aaltofunk-oien ratkaiseiseen. Esierkki: Hückelin approksiaa-on avulla kuvataan konjugoituneen iiliketjun (uotoa - C=C- C=C- C=) oaavan olekyylin orbitaalienergioita. Teorian ukaan eteenin C H 4 pi- elektronien orbitaalienergiat (ε) ovat ε = α + c( c ) 0.5 β α ja β ovat Hückelin paraetrit ja c on uu<uja. Sta-onääririssä pisteissä ε/c = 0. Laske ε:n aolliset arvot. Ratkaisu: aloitetaan laskealla ne c:n arvot joilla ε/c = 0. ε & ) c = 0 + β D c( c( c ) + '( * +,. & ) 0 = β D c (c) ( c ) + c D c (( c. - ) + /. '( * +. 9
10 // % ' = β ( c ) + c ( c ) ) & ' ( c)) * (' +' % ) ' = β ( c ) c ' & * ' ( ( c ) ' + ε c = 0 ( c ) ( c ) - c = 0 c = 0 c ( c ) = 0 ( c) Sijoitetaan nyt lasketut c:n arvot alkuperäiseen ytälöön: c = + ε = α + (- ( ) ) β = α + (- ) β = α + β = α + β c = ε = α + - (- ( ) ) = α - (- ) β β c = ± = ± = α - β = α β Derivaa<a ja ääriarvot Derivaa<a ja ääriarvot Funk-on erivaa<aa -etyssä pisteessä kuvataan tangenuviivalla. Funk-on erivaa<aa -etyssä pisteessä kuvataan tangenuviivalla. 0
11 // Derivaa<a ja ääriarvot Funk-on erivaa<aa -etyssä pisteessä kuvataan tangenuviivalla. Missä koissa erivaa<a (tangen-n kulakerroin) on nolla? Derivaa<a ja ääriarvot Funk-on erivaa<aa -etyssä pisteessä kuvataan tangenuviivalla. Missä koissa erivaa<a (tangen-n kulakerroin) on nolla? Vastaus: funk-on ääriarvokoissa Derivaatan nollakoat f'(x) = 0 voi erkitä f(x):n aksiia f'(x) = 0 Derivaatan etuerkki Jos f'(x) > 0, funk-o on kasvava Jos f'(x) < 0, funk-o on pienenevä f'(x)=0: kasvuvau- on nolla f'(x) = 0 f'(x) = 0 f(x):n iniiä ei kupaakaan (engl. sale point") f'(x) = 0 f'(x) = 0 f'(x) > 0 funk-o kasvaa f'(x) < 0 funk-o pienenee f'(x) > 0 funk-o kasvaa
12 // Ääriarvotetävät Funk-on ääriarvokoat voivat löytyä: Derivaatan nollakoista Määri<elyalueen rajoilta Derivaatan nollakoan luonne (aksii, inii vai ei kupaakaan) selviää tarkastelealla erivaatan etuerkkiä nollakoan olein puolin Funk-on aksiikoassa erivaatan f'(x) etuerkki on posi-ivinen sen nollakoan vasealla (pienepi x) puolella ja nega-ivinen sen oikealla (suurepi x puolella) Funk-on iniikoassa erivaatan f'(x) etuerkki on nega-ivinen sen nollakoan vasealla (pienepi x) puolella ja posii-ivinen sen oikealla (suurepi x puolella) Jos erivaatan etuerkki on saa nollakoan olein puolin, kyseessä ei ole funk-on inii- tai aksiikota. f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 Toiintastrategia ääriarvotetävissä ("löyä funk-on pienin/suurin arvo") ) Selvitä f(x) ääri<elyjoukko Joskus tää on selkeäs- anne<u tetävässä, joskus taas se täytyy itse päätellä. Keialliset ja fysikaaliset perustelut käyvät yvin, esi "konsentraa-o tai assa ei voi olla nega-ivinen => yksi raja on c=0 tai =0". ) Derivoi f(x) )Etsi erivaatan f'(x) nollakoat 4)Selvitä f'(x):n etuerkin avulla onko kyseessä inii vai aksii 5)Laske f(x) arvo erivaatan nollakoissa sekä ääri<elyalueen rajoilla Esi: ikä on funk-on f(x) = x x + suurin ja pienin arvo välillä [ 5,+5]? Ratkaisu: )Määri<elyjoukko on anne<u; välillä [ 5,+5] )f'(x) = x )f'(x)=0 => x = 0 => x = / =,5 4) kyseessä on inii f'(x) + 5) f( 5) = 4 f(.5) = 0,5 f(5) = esi. f () = x=,5 è pienin arvo on 0,5 ja suurin arvo 4. esi. f () =
13 // Esierkki: Lennar- Jones - poten-aali Molekyylien välistä poten-aalienergiaa V(r) kuvataan usein Lennar Jones poten-aalienergiafunk-olla! V(r) = 4ε ( δ r ) - ( δ $ " r )6 % & issä r on olekyylien etäisyys toisistaan, ε on vuorovaikutuksen voiakkuu<a kuvaava paraetri ja δ on etäisyys jolla V(r) = 0. Selvitä poten-aalienergiafunk-on iniin paikka ja arvo. Ratkaisu: )Määri<elyjoukkoa ei ole erikseen anne<u, u<a etäisyys ei voi olla nega-ivinen: ääri<elyjoukko on siis ]0, [ )Derivoiaan:! V(r) = 4ε ( δ r ) - ( δ $ " r )6 % & = 4ε(δ r δ 6 r 6 ) V '(r) = 4ε(δ ( ) r δ 6 ( 6) r 7 ) = 4ε( δ r + 6δ 6 r 7 ) )Lasketaan erivaatan nollakoat: V '(r) = 4ε( δ r + 6δ 6 r 7 ) = 0 δ r + 6δ 6 r 7 = 0 δ 6 r + r 7 = 0 δ 6 r + r 7 = 0 δ 6 r 6 += 0 δ 6 r 6 = r 6 = r 6 = δ 6 r 6 = δ 6 6 r = δ 4)Onko kyseessä inii vai aksii? V'(r) + esi. V (δ) r=() /6 δ esi. V (δ) = 4εδ =4ε( 7 ) δ 0.8εδ Huo: -eetään eä ε,δ > 0.
14 // 5)Lasketaan V(() /6 δ)! V(r) = 4ε ( δ 6 δ ) - ( δ $ 6 " δ )6 % & V(r)! δ = 4ε ( )-( δ 6 $ )& 6 " 6 δ 6 & δ 6 %! = 4ε ( " 4 )-( ) $ % & = 4ε 4 = ε r=()/6 δ V=0 V(0) ei ole ääritelty (tosin elpos- uoataan e<ä V(r) kun r 0, ja V(r) 0 kun r ). Löye<y erivaatan nollakota r = () /6 δ on siis poten-aalienergian iniikota, jonka arvo on ε. V= ε Esierkki: Maxwell- Bolzann jakaua Toennäköisyys e<ä - assaisen iukkasen nopeus läpö-lassa T on v saaaan Maxwell Bolzannin jakauasta: f (v) = 4π ( π ) v e v issä k on Bolzannin vakio. Määritä olekyylin toennäköisin nopeus. Ratkaisu: )Määri<elyjoukkoa ei ole erikseen anne<u, u<a nopeus ei voi olla nega-ivinen: ääri<elyjoykko on siis ]0, [ )Derivoiaan: f '(v) = 4π ( π ) D v (v e v ) = 4π ( π ) D v (v ) e v + v D v (e v $% ) & '( = 4π ( π ) v e v + v e v D ( v v ) & $% '( = 4π ( π ) e v v + v v & $ % ' ( = 4π ( π ) e v v( v ) 4
15 // )Lasketaan erivaatan nollakoat: 4π ( π ) e v tulo on nolla jos joku sen tekijöistä on nolla, eli e v = 0 tai v=0 tai ( v ) = 0 v = ± EksponenUfunk-o on aina nollaa suurepi, ja nega-ivinen nopeus (/) 0.5 on ääri<elyalueen ulkopuolella. Jää siis kaksi nollakotaa: v=0 ja v=(/) 0.5 v( v ) = 0 4) Tarkastellaan f'(v) etuerkkiä: f'(v) + f '(v) = 4π ( π ) v=0 v=(/) 0.5 e v v( v ) = 0 Huo: koska vakio ja eksponenuosa ovat aina > 0, ja ääri<elyjoukko on v > 0, etuerkin laskeiseksi tarvitsee laskea ainoastaan tekijän ( v /) etuerkki. 5) v = (/) 0.5 vastaa siis f(v) aksiiarvoa, ja vastaus on: olekyylin toennäköisin nopeus on (/) 0.5 (uo: f(v) arvoa ei kysyy joten sitä ei tarvitse laskea) 5
3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A > B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
Lisätiedot3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
Lisätiedot3. Differen/aalilaskenta
3. Differen/aalilaskenta Differen/aali "hyvin pieni muutos" Keskeinen käsite: derivaaba (kuvaa muutosnopeuba). Ennen derivaatan käsibelyä tarvitaan tärkeä työkalu: raja- arvo eli limes (merkitään lim ).
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotOsi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö:
9//3 Osi+aisintegroin3 Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) = df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x)
LisätiedotRautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011
Yhteenlasku Rautaisannos 30.8.011 Yhteenlasku sin x + cos x Yhteenlasku sin x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 x R Yhteenlasku sin x + cos x = 1 x C Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotOsi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)
/9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Lisätiedot1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / 5. 7.4. Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotDerivaatta Maarit Järvenpää Puhtaaksikirjoitus Markus Harju
Derivaatta Maarit Järvenpää Putaaksikirjoitus Markus Harju Sisältö Derivaatan määritelmä 2 Derivoimissääntöjä 7 3 Dierentiaalilaskennan peruslauseita 3 4 Funktion ääriarvot 20 Derivaatan määritelmä Olkoon
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
Lisätiedot3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot4. Integraalilaskenta
4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t)
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotEsimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot0. perusmääritelmiä 1/21/13
Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusääriteliä Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaDonaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esifää kahden
LisätiedotDerivointiesimerkkejä 2
Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotTrigonometriset funk4ot
Trigonometriset funk4ot Suorakulmainen kolmio sin() = a c cos() = b c hypotenuusa c tan() = sin() cos() = a b kulma b katee= a katee= a = c sin() b = c cos() cot() = cos() sin() = b a Trigonometriset funk4ot
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
LisätiedotOpiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin. Lassi Korhonen, Oulun yliopisto
Opiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin Lassi Korhonen, Oulun yliopisto 21.3.2016 SISÄLLYSLUETTELO Oppaan käyttäminen... 2 Vastauksen syöttämisen perusteet... 2 Operaatiot... 2 Luvut ja vakiot... 3 Funktiot...
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 9 3.11.009 alkavalle viikolle Ratkaisuedoituksia Rami Luisto Sivuja: 5 Näissä arjoituksissa saa käyttää kaikkia koulusta tuttuja koulusta tuttujen
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotOsa 5. lukujonot ja sarjat.
Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a 3 +...+a n
LisätiedotMapusta. Viikon aiheet
Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle,
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotTehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,
Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotRadiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.
Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari
Lisätiedotf (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()
LisätiedotRATKAISUT: 18. Sähkökenttä
Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että
Lisätiedot3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali
50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotMS-A0103 / Syksy 2015 Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot
Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot Sekä tiistain 15.9. että torstain 17.9. luentoja pohjustavat ennakkotehtävät löytyvät MyCoursesin Tehtävät-osiosta. Lisätietoja itse tehtävissä. Tiedostoa viimeksi muokattu:
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 4 Maanantai 3..05. Halutaan määritellä funktio f siten, että f() =. Missä pisteissä + funktio voidaan määritellä tällä lausekkeella? Missä pisteissä funktio on näin määriteltynä
Lisätiedot2.2 Jatkuva funktio Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0, jos f on määritelty. Esim. sin x. = lim. lim. (1 x 2 /6 + O(x 4 )) = 1.
2 Raja-arvo ja erivaatta 2 Raja-arvon määritelmä Funktiolla f() on raja-arvo f 0 pisteessä 0 jos f() lähestyy arvoa f 0 kun lähestyy arvoa 0 Merkitään f() f 0 kun 0 (2) tai Raja-arvo matemaattisemmin:
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
Lisätiedotη = = = 1, S , Fysiikka III (Sf) 2. välikoe
S-11445 Fysiikka III (Sf) välikoe 710003 1 Läpövoiakoneen kiertoprosessin vaiheet ovat: a) Isokorinen paineen kasvu arvosta p 1 arvoon p b) adiabaattinen laajeneinen jolloin paine laskee takaisin arvoon
LisätiedotSivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi
Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla
LisätiedotTutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3
2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedot