Mapusta. Viikon aiheet

Transkriptio

1 Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle, voit huomenna käyä jossain toisessa ex-tempore ryhmässä. Luennolla esitellään viikon aihealue. Varsinainen oppiminen tapahtuu laskareissa! Oppimateriaalin käyttö keskeistä! Nämä luentokalvot eivät ole oppimateriaali! Oppikirjan (CDH) lisäksi linkit materiaaliin kurssin kotisivulta! Mapusta kotilaskarit Syventävät tehtävät käsittelevät aiheita, jotka eivät ole aivan välttämättömiä syksyn opintojen kannalta. Nämä ovat kuitenkin erittäin hyöyllisiä myöhemmin. Tehtävät eivät ole normitehtäviä hankalampia. Syventävistä tehtävistä voit tienata normaalit laskaripisteet bonusta! Viikon aiheet Keskeistä: Hyperboliset funktiot Derivaatta raja-arvona, erivaatan merkintätavat Tulon erivoimissääntö, ketjusääntö, käänteisfunktion erivaatta, korkeamman asteen erivaatta, erivointi parametriesityksessä Syventävää: Funktion jatkuvuus Sarjakehitelmät ja l Hospitalin sääntö hankalien raja-arvojen määrittämisessä CDH: luvut 10-11, Prujut2016: luku 2, Prujut2008: s

2 Työkaluja funktion piirtämiseen Hyperboliset funktiot Tehtävien ratkaiseminen helpottuu usein, jos annetun funktion piirtää. Käteviä on-line työkaluja ovat mm. Voit toki käyttää muutakin, esim. graafinen laskin, taulukkolaskin, Python, Matlab... sinh x = 1 2 (ex e x ) cosh x = 1 2 (ex + e x ) tanh x = sinh x cosh x Näien käänteisfunktioita kutsutaan areafunktioiksi Nämä kannattaa piirtää! arsinh x, arcosh x, artanh x Hyperboliset funktiot raja-arvo Olkoon = x Näillä funktioilla monia samantyyppisiä ominaisuuksia, kuin trigonometrisilla funktioilla, esim: Mitä arvoa lähestyy kun x lähenee arvoa 2? cos 2 x + sin 2 x = 1 cosh 2 x sinh 2 x = 1 sin 2x = 2 sin x cos x sinh 2x = 2 sinh x cosh x Myös integroitaessa ja erivoitaessa sama läheinen käyttäytyminen (käsitellään myöhemmin).

3 raja-arvo Olkoon = x Mitä arvoa lähestyy kun x lähenee arvoa 2? Raja-arvo merkitään = x 2 x 2 x2 + 1 ja sijoittamalla x = 2 saaaan tulokseksi 5. raja-arvo Olkoon = x Mitä arvoa lähestyy kun x lähenee arvoa 2? Raja-arvo merkitään = x 2 x 2 x2 + 1 ja sijoittamalla x = 2 saaaan tulokseksi 5. Funktio on jatkuva kun f (a) = x a kulmakerroin kulmakerroin f(x) f(x) f(b) kk = f(b) f(a) b a f(b) kk = f(b) f(a) b a f(a) f(a) a b a b Mikä arvoa kulmakerroin lähestyy, kun b a? b a f (b) f (a) b a

4 Derivaatta graafinen tulkinta Derivaatta graafinen tulkinta f(x 0 +) f(x 0 +) f f(x 0 ) f(x 0 ) x 0 x 0 + x 0 x f (x 0 + ) f (x 0 ) f = 0 Derivaatta Funktion f erivaatalla f pisteessä x tarkoitetaan raja-arvoa ja merkitään mm. 0 f (x + ) = f (x) = = = D Leibnizin merkintä (punainen) on Mapulla kätevin: Derivaatta on osamäärän f / raja-arvo kun molemmat lähestyvät rajatta nollaa. Tällöin molemmat ovat infinitesimaalisen pieniä, f ja. Kaksi viimeistä (sininen) painottaa sitä, että erivoinnin voi mieltää erivaatta-operaattorin vaikuttamisena funktioon. (Lisää asiaa Mapu II:lla) Derivaatta Esim: Mikä on funktion = x 2 erivaatta? Suoraan määritelmästä Yleisesti (kokeile osoittaa!) f = 0 (x + ) 2 x 2 = 0 x 2 + 2x + () 2 x 2 = 0 2x + = 2x xn = nx n 1

5 Alkeisfunktioien erivaattoja Derivoinnin merkintöjä x n e x ln x sin x cos x f (x) nx n 1 e x 1 x cos x sin x Fysiikassa erivaatta ajan suhteen merkitään usein f t = ḟ Funktion f erivaatta laskettuna pisteessä x 0 monesti f (x 0 ) = f x0 Kattava taulukko löytyy mm. CDH Taulukko Kts. myös Wikipeiasta. Derivoinnin laskusääntöjä Derivointi on lineaarinen operaatio: (a + bg(x)) = a + b g(x) Tulon erivoimissääntö: (g(x)) = f (x)g(x) + g (x) Derivoinnin laskusääntöjä Yhistetyn funktion erivoimissääntö (ketjusääntö): g = g(x) ja f = f (g) = f (g(x)) f f (g(x)) = = f g Käänteisfunktion erivaatta: g y = ja x = f 1 (y) f 1 y = y = 1 y = 1 f

6 Derivoinnin laskusääntöjä Korkeammat erivaatat Derivointi parametriesityksessä: x = x(t) ja y = y(t) y = ( y ) t ( ) t ( ) = 2 2 = 2 f 2 = f = f (2) ( )) ( = 3 f 3 2 g(t) = g t2 Hankalat raja-arvot Hankalat raja-arvot, Sarjakehitelmät: Joskus raja-arvon x a g(x) laskeminen tuottaa 0 0 tai tyyppisiä lausekkeita. Näitä voi kiertää esim. seuraavilla menetelmillä: Sarjakehitelmät l Hospitalin sääntö Pisteen a lähiympäristössä funktiot korvataan niitä approksimoivilla polynomeilla. Esimerkiksi origon lähettyvillä, kun x 1 e x 1 + x + x2 2 + O(x3 ) sin x x x3 6 + O(x5 ) cos x 1 x2 2 + O(x4 ) Perustelu myöhemmin kurssilla.

7 Hankalat raja-arvot, l Hospitalin sääntö: Kun niin = g(x) = 0 tai ± x a x a x a g(x) = x a f (x) g (x) mikäli funktioien erivaatat ovat olemassa pisteessä a.