KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe 16.2.2018 13:00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin. Arvioinnin pääpiirteet on kuvattu kunkin tehtävän osalta alla. Pienten virheiden osalta olen käyttänyt ns. miinusperiaatetta, jossa pieni virhe (tyypillisesti laskuvirhe) tuottaa yhden miinuksen. Jos saman päätehtävän alla (1-5) on useampi miinus, lähtee tehtävästä puoli pistettä jokaista kahta miinusta kohden (kahdesta puoli pistettä, neljästä piste jne.). 1. Vastaa lyhyesti (enintään muutama virke) seuraaviin kysymyksiin. Jokaisesta kohdasta 1p. a) Mitä tarkoittavat lokaali- ja konvektiokiihtyvyys? Partikkelikiihtyvyys Eulerin kuvaustavalla esitettynä koostuu kahdesta osuudesta eli lokaali- ja konvektiokiihtyvyydestä. Lokaalikiihtyvyys tarkoittaa sitä nopeuden muutoksen osaa, joka johtuu siitä, että nopeuskenttä kohdassa, jossa partikkeli on, saattaa muuttua ajan funktiona. Konvektiokiihtyvyys tarkoittaa nopeuden muutosta, joka johtuu siitä, että partikkelin siirtyessä nopeus vanhassa ja uudessa kohdassa ei ole välttämättä sama. Molemmista määritelmistä tulee puoli pistettä. b) Miksi potentiaaliteoriassa ratkaisua voidaan hakea perusratkaisujen summana? Tämä perustuu siihen, että potentiaaliteoriassa vallitseva yhtälö (Laplacen) yhtälö on lineaarinen. Yhtälön lineaarisuudesta seuraa se, että jos meillä on kaksi yhtälön toteuttavaa perusratkaisua a ja b, myös näiden perusratkaisujen summa a+b on yhtälön ratkaisu. Tätä kutsutaan superpositioperiaatteeksi. Pisteen vastaus edellyttää, että lineaarisuus on tuotu jotenkin esille. c) Mitä tarkoittaa vääristynyt malli? Vääristyneessä mallissa osa similaarisuusehdoista ei täyty. Yhden pisteen vastaus edellyttää, että tämä ajatus on tuotu jotenkin esille. d) Miten tasolevyn rajakerros muuttuu, jos Reynoldsin luku kasvaa? Jos virtauksen luonne ei muutu (transitio laminaarista turbulentiksi), Reynoldsin luvun kasvu johtaa rajakerroksen suhteellisen paksuuden pienenemiseen. Rajakerros on siis ohuempi suhteessa tasolevyn pituuteen. Jos virtaus oli alun perin laminaarista, saattaa Reynoldsin luvun kasvattaminen muuttaa virtauksen osittain turbulenttiseksi, jolloin rajakerroksen paksuus kasvaa nopeammin. Pisteen vastaukseen riittää toinen näistä. e) Miten kappaleeseen vaikuttava voima jaetaan vastukseksi ja nostovoimaksi? Vastus määritellään voimakomponentiksi virtauksen suunnassa ja nostovoima virtausta vastaan kohtisuoraksi voimakomponentiksi. Pisteen vastauksessa molemmat määritelmät tulee olla oikein. f) Piirrä kuvitteellinen pumpun nopeuskolmio ja selitä, mihin kolmion eri nopeuskomponentit liittyvät. Nopeuskolmio koostuu kehänopeudesta, suhteellisesta nopeudesta ja absoluuttisesta nopeudesta. Kehänopeus liittyy etäisyyteen impellerin pyörimisakselista ja kulmanopeudesta. Suhteellinen nopeus liittyy impellerin geometriaan ja on suurin piirtein impellerin siivistön suuntainen. Absoluuttinen nopeus on kehänopeuden ja suhteellisen nopeuden vektorisumma, joka on nopeus kiinteässä koordinaatistossa. Järjellisestä kuvasta tulee puoli pistettä ja komponenttien selittämisestä puoli pistettä.
2. Oletetaan kitkaton, kokoonpuristumaton ja yksiulotteinen veden virtaus vaakatasossa olevan T-liitoksen läpi (kuva 1). Määritä liitoksen veteen kohdistaman voiman x- ja y-komponentit. Kunkin putken sisähalkaisija on 1 m. a) Piirrä kontrollitilavuus, jota voit käyttää voimien ratkaisemiseen. (1p) Kontrollitilavuudeksi kannattaa valita liitoksessa oleva fluidi. Tällöin reaktiovoima on suoraan liitoksen veteen kohdistama voima. Oleellista on valita tilavuus siten, että leikkauspinnoilla tiedetään jotain virtaussuureista. b) Kuvaa (piirrä ja nimeä/selitä) kaikki valitsemaasi kontrollitilavuuteen vaikuttavat voimat. (1p) Tässä tapauksessa kontrollitilavuuteen vaikuttavat ainoastaan reaktiovoima ja paineiden aiheuttamat voimat liitoksen ja kontrollitilavuuden leikkauspinnoilla. Näistä tulee molemmista puoli pistettä. c) Määritä voiman komponentit. (4p) Voimat ratkeavat liikemääräyhtälöllä, johon tarvitaan nopeudet ja paineet leikkauspinnoilla. Nopeudet saadaan jatkuvuusyhtälön avulla, mistä tulee puoli pistettä. Paineet saadaan tunnetun paineen ja Bernoullin yhtälön avulla, mistä tulee myös puoli pistettä. Liikemääräperiaatteesta x- ja y-suuntiin tulee piste molemmista ja oikeasta tuloksesta puoli pistettä per suunta. Liitoksen veteen kohdistama voima on noin 185 kn positiivisen x-akselin suuntaan ja 45,8 kn negatiivisen y-akselin suuntaan. Kuva 1: Tehtävä 2 (Young et al, 2012)
3. Pumppu siirtää vettä korkeammalla olevasta säiliöstä alempana olevaan säiliöön (kuva 2a). Säiliöiden korkeusero on 30,5 m. Kitkahäviöt putkessa ovat 20V²/2g, missä V on keskimääräinen fluidin nopeus putkessa. Pumpun nostokorkeuden ja tilavuusvirran suhde on annettu kuvassa 2b. Putken halkaisija on 10 cm. Tehtävänäsi on määrittää tilavuusvirta ja pumpun teho. a) Kuvaa tunnetut suureet ja yhtälöt, joita tarvitset tehtävän ratkaisemiseksi. (1p) Tehtävän ratkaisemiseen tarvitaan laajennettua Bernoullin yhtälöä. Tunnettuja suureita ovat paineet, nopeudet ja asemakorkeudet kummankin tankin pinnalla. Yhtälöistä tulee yksi puoli pistettä ja tunnetuista suureista puoli pistettä. b) Määritä tilavuusvirta. (3p) Tilavuusvirta saadaan määritettyä kirjoittamalla laajennettu Bernoullin yhtälö tankkien pintojen välille. Tässä sekä häviö että pumpun nostokorkeus tulee kirjoittaa tilavuusvirran funktiona. Pumpun nostokorkeudelle saadaan kuvan perusteella lineaarinen yhteys. Laajennetusta Bernoullin yhtälöstä pitäisi seurata toisen asteen yhtälö, jolle löytyy kaksi juurta toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Juurista toinen on negatiivinen ja tässä tapauksessa epäfysikaalinen. Pumpun lineaarisesta yhteydestä tulee puoli pistettä, häviöiden ja pumpun sisällyttämisestä laajennettuun Bernoullin yhtälöön tulee puoli pistettä, yhtälön sieventämisestä huomioiden tunnetut suureet tulee puoli pistettä ja yhtälön kirjoittamisesta tilavuusvirran funktiona tulee puoli pistettä. Toisen asteen yhtälön ratkaisuperiaatteesta tulee puoli pistettä ja oikeasta vastauksesta puoli pistettä. Tilavuusvirta on noin 0,05 m 3 /s. c) Mikä on pumpulta vaadittava teho tässä tilanteessa? (2p) Teho saadaan laskettua, jos tunnetaan pumpun nostokorkeus ja tilavuusvirta. Koska tilavuusvirta saadaan edellisestä kohdasta ja pumpun nostokorkeus voidaan laskea tilavuusvirrasta lineaarista yhteyttä käyttäen, on tehon määrittäminen suoraviivaista. Yksi piste tulee, jos on oivallettu tehon riippuvuus nostokorkeudesta ja tilavuusvirrasta, ja toinen piste tulee tehon laskemisesta oikein. Tehon pitäisi olla noin 4,9 kw. Kuva 2: Tehtävä 3 (Young et al, 2012)
4. Pyöreässä putkessa olevalle pallolle määritetään vastus D kokeellisesti. Oleta, että vastus on funktio pallon halkaisijasta d, putken halkaisijasta D, nesteen virtausnopeudesta V ja nesteen tiheydestä r. a) Määritä vastukselle dimensioton riippuvuus käyttäen toistuvien muuttujien menetelmää. (4p) Tehtävä ratkeaa suoraan käymällä läpi toistuvien muuttujien menetelmän eri vaiheet. Oleellista on määrittää ensiksi muuttujien yksiköt oikein (1 piste) ja valita oikea määrä toistuvia muuttujia siten, että ne ovat riippumattomia ja että vastusta ei valita toistuvaksi muuttujaksi (1 piste). Tämän jälkeen tehdään ei-toistuvat muuttujat dimensiottomiksi. Tästä tulee yksi piste, jos periaate on oikein eli määritetty dimensiottomat muuttujat ei-toistuvien ja toistuvien muuttujien tulona, jossa on tuntemattomat potenssit. Muuttujat tulevat oikeassa tavassa valittua siten, että lopulta saadaan dimensioton vastus dimensiottoman halkaisijan d/d tai D/d funktiona. Oikeasta tuloksesta eli dimensiottomista muuttujista ja riippuvuudesta tulee yksi piste. b) Kokeet näyttävät, että vastus arvoilla d = 0,5 cm, D = 1 cm ja V = 0,6 m/s on 7x10-3 N, kun virtaava neste on vettä. Määritä vastus pallolle putkessa, jonka halkaisija D = 0,6 m, kun veden virtausnopeus on 2 m/s. Pallon halkaisija määräytyy geometrisen similaarisuuden perusteella. (2p) Tässä on kyse similaarisuudesta ja siitä, miten dimensiottomia suureita voidaan käyttää tulosten skaalaamiseen kahden mittakaavan välillä. Jos a-kohdan yhteys on johdettu siten, että dimensioton vastus on funktio dimensiottomasta pallon halkaisijasta, on geometrisen similaarisuuden perusteella dimensioton vastus sama molemmissa tilanteissa. Tällöin tehtävässä tulee laskea ensin dimensioton vastus annetuilla koetuloksilla ja skaalata tulos tämän jälkeen dimensiottoman vastuksen määritelmän avulla kysyttyyn tilanteeseen. Pallon halkaisija kysytyssä tilanteessa saadaan geometrisesta similaarisuudesta. Periaatteesta tulee jälleen yksi piste ja oikeasta tuloksesta toinen piste. Vastus on noin 280 N.
5. Tarkastellaan vaakasuoraa teräsputkea, jonka läpi virtaa bensiiniä (n = 4.6x10-7 m 2 /s, r = 680 kg/m 3 ) tilavuusvirralla 7600 l/min. a) Miten putkistossa tapahtuvat häviöt tyypillisesti jaotellaan ja mitä häviöitä tapahtuu tässä tapauksessa? (1p) Tässä riittää, että osaa erotella putkessa tapahtuvat kitkahäviöt ja erilaisissa komponenteissa ja liitoksissa tapahtuvat kertahäviöt. Tästä saa puoli pistettä. Täysi piste tulee, kun osaa selittää, että tässä tapauksessa tapahtuu ainoastaan putken kitkahäviöitä. b) Kuinka suuri painehäviö putkessa tapahtuu 100 metrin matkalla, jos sen halkaisija on 300 mm ja karheus e = 0.045 mm? (2p) Tässä painehäviö on ratkaistavissa suoraviivaisesti annetuista suureista käyttäen Moody-diagrammia. Kitkahäviön lausekkeen käyttämisestä tulee puoli pistettä, nopeuden, Reynoldsin luvun ja suhteellisen karheuden määrittämisestä puoli pistettä, Moody-diagrammin käytöstä puoli pistettä ja oikeasta ratkaisusta puoli pistettä. Painehäviö on noin 0,76 m tai 5,1 kpa. c) Määritä putken halkaisija siten, että putken painehäviö on 100 Pa 150 metrin matkalla, kun karheus e = 0.5 mm. (3p) Tämä tehtävä tulee ratkaista iteratiivisesti, koska virtausnopeus ja siten Reynoldsin luku sekä suhteellinen karheus riippuvat putken halkaisijasta. Tässä tehtävässä periaatteena on se, että lasketaan painehäviön yhtälöstä riippuvuus kitkakertoimen ja halkaisijan välille. Tästä tulee yksi piste. Tämän lisäksi tarvitaan Reynoldsin luku ja suhteellinen halkaisija, jotka johtavat myös halkaisijasta riippuviin yhteyksiin. Jos nämä kaikki on kasassa, saa toisen pisteen. Kolmas piste edellyttää jonkinlaista iteratiivista ratkaisua yhtälöille sekä oikeaa tulosta. Halkaisija on noin 760 mm.